Maths 3e 11. Configurations de Thalès 2012-2013

11 Configurations de Thalès

11.1 Théorème de Thalès

Considérons l’une ou l’autre des deux configurations ci-dessous vérifiant les hypothèsesdu théorème de Thalès :

A

BB!

C !

C

(BC)//(B!C !)

A

B!

B C !

C(BC)//(B!C !)

Théorème : si les points A, B, B! d’une part et A, C, C ! d’autre part sont alignés et queles droites (BC) et (B!C !) sont parallèles, alors on peut écrire :

AB!

AB=

AC !

AC=

B!C !

BC

Remarque : les égalités de Thalès signifie que les triangles AB!C ! et ABC sont propor-tionnels.

Exercice : Pour la figure ci-dessus, calculer AC ! et BC sachant que :

AB = 9 ; AB! = 5 ; AC = 12 ; B!C ! = 7

Solution : on sait que :– les points A, B, B! d’une part et A, C, C ! d’autre part sont alignés ;– les droites (BC) et (B!C !) sont parallèlesalors on peut utiliser le théorème de Thalès pour écrire :

AB!

AB=

AC !

AC=

B!C !

BC

ce qui permet de calculer AC ! et BC après avoir remplacé les longueurs connues :

59

=AC !

12=

7BC

d’où le calcul de AC ! : AC ! = 12 !59

=203

(" 6, 67)

et le calcul de BC : BC = 7 !95

=635

(= 12, 6)

F.Bonomi – 27/36 – prog 2008

Maths 3e 11. Configurations de Thalès 2012-2013

11.2 Réciproque du théorème de Thalès

Considérons l’une ou l’autre des deux configurations ci-dessous vérifiant les hypothèsesde la réciproque du théorème de Thalès :

A

BB!

C !

C

A

B!

B C !

C

Théorème : si les points A, B et B! d’une part et A, C et C ! d’autre part sont alignésdans le même ordre et que l’égalité suivante est vérifiée :

AB!

AB=

AC !

AC

alors on peut a!rmer que les droites (BC) et (B!C !) sont parallèles.

Exemple (exercice type) : si on donne pour les figures ci-dessus :

AB = 9 ; AB! = 5 ; AC = 12, 6 ; AC ! = 7

alors on peut utiliser la réciproque du théorème de Thalès pour montrer que les droites(BC) et(B!C !) sont parallèles ;

Solution : on sait que :– les points A, B, B! d’une part et A, C, C ! d’autre part sont alignés dans le même

ordre ;

– les rapportsAB!

AB=

59

etAC !

AC=

712, 6

sont égaux, car7

12, 6=

70126

=5 ! 149 ! 14

=59

alors la réciproque du théorème de Thalès permet d’a!rmer que les droites (BC) et(B!C !) sont parallèles.

Remarques :

1. si l’ordre des points, même alignés, n’est pas respecté, alors on ne peut pas a!rmerque les droites sont parallèles ;

2. il est nécessaire de montrer que les rapports sont exactement égaux : un calculapproché est donc insu!sant ;

par exemple siAB!

AB=

3421

" 1, 619 " 1, 62 etAC !

AC=

8955

" 1, 618 " 1, 62 , on nepourra pas a!rmer que les droites sont parallèles, même si les deux rapports ne

di"èrent que de8

1000(en e!et

34

21=

34 ! 55

21 ! 55=

1870

714et

89

55=

89 ! 21

55 ! 21=

1869

714ce qui prouve bien que les

fractions sont distinctes).

F.Bonomi – 28/36 – prog 2008