/2 1Université Aix-Marseille - UE52P, électromagnétisme – Partiel, novembre 2013

Durée: 2 heures. Calculatrices (non communicantes) autorisées.

L'énoncé est rédigé de sorte que de nombreuses questions puissent être traitées indépendamment des autres questions.

Dans tout l'énoncé, l'espace est rapporté à un repère orthonormé direct ),,,( zyx eeeO

, et un point M de l'espace est repéré par

ses coordonnées (x,y,z) dans ce repère, ou bien par le vecteur r OM

. Les quantités 0 et 0 désignent respectivement la

permittivité et la perméabilité du vide. Tous les matériaux envisagés ont la perméabilité du vide 0 (matériaux non

magnétiques). On considère des régimes harmoniques de pulsation , et le champ électromagnétique est représenté au moyen

des vecteurs complexes E

, H

, B

, D

en utilisant une dépendance temporelle en exp( )i t : le lien entre les vecteurs

réels et les vecteurs complexes est: ( , ) Re[ ( ) exp( )]EE r t r i t

(exemple donné pour le champ électrique). On pose

0 0 0k .

A - Profondeur de pénétration dans l'eau Dans un milieu de permittivité complexe 0 r , en l'absence de sources, se propage une onde plane de vecteur d'onde

xk k e

, et de champ électrique complexe 0( ) exp[ ]E Er i k r

.

A1 Que vaut le Laplacien de exp[ ]i k r

? En déduire la valeur de k .

A2 L'indice optique n du milieu est défini par 2rn . Préciser sa détermination dans le cas d'une permittivité complexe.

A3 On pose 1n n i n , avec n et n réels. Montrer que 0 0 0( ) ( ) exp[ 2 ]E E E E k n x

.

A4 On donne, dans le cas de l'eau, les valeurs de l'indice optique pour les deux longueurs d'onde (dans le vide) suivantes:

pour 1 0,475 µm , -101 1 1 1,342 7,01. 10 n n i n i

pour 2 0,650 µm , -82 2 2 1,331 1,67. 10 n n i n i

Parmi ces deux longueurs d'onde, laquelle correspond à une radiation lumineuse rouge et laquelle à une radiation

bleue ? A5 Vérifier, pour 1 0,475 µm , que l'indice optique correspond effectivement à celui d'un milieu avec pertes.

A6 Déterminer le vecteur de Poynting complexe 12

P E H

de cette onde, puis exprimer la dépendance spatiale de

Re( )P

en fonction de la coordonnée x, de 0k , et de la partie imaginaire n de l'indice optique.

A7 On appelle profondeur de pénétration la distance telle que lorsque le champ se propage d'une distance dans le

milieu, l'amplitude de l'onde décroît d'un facteur e (attention, il ne s'agit pas ici du vecteur de Poynting). Déterminer

l'expression de la profondeur de pénétration, et faire les applications numériques correspondantes pour chacune des

deux longueurs d'onde.

A8 En déduire par quel facteur est atténuée la puissance électromagnétique transportée par cette onde lorsqu'elle traverse

une épaisseur de 10 mètres d'eau, et ceci pour chacune des deux longueurs d'onde.

Qu'en concluez-vous ?

B - Onde plane et vecteur de Poynting

On s'intéresse à une onde plane de pulsation se propageant dans le vide, de champ électrique complexe

0( ) exp( )E Er i k r

. On suppose que le vecteur k

, réel, s'écrit k k u

, où u

est un vecteur unitaire réel.

B1 Que vaut le nombre k ?

B2 On suppose que 0E

est un vecteur réel. Comment interprétez-vous cette hypothèse?

B3 Calculer le vecteur de Poynting complexe 12

P E H

associé à cette onde, en éliminant le champ H

et en ne

conservant que le champ électrique E

.

B4 Quel est le lien entre le vecteur de Poynting complexe P

et la puissance électromagnétique transportée par l'onde et

traversant une surface quelconque?

B5 On suppose que cette onde a été émise par un satellite de télécommunications en orbite géostationnaire, que la

puissance transportée par cette onde est de 1 kW, et que cette puissance se répartit uniformément sur une surface carrée de 1000 km de côté (à peu près un pays comme la France), perpendiculaire à u

. Quel est le module du champ

électrique 0E

reçu à la surface de la Terre? Application numérique.

/2 2

C - Équivalence métal-diélectrique; onde plane dissociée Dans tout cet exercice, on se place en régime harmonique.

C1 Rappeler l'écriture des équations de Maxwell, en régime harmonique, en utilisant les vecteurs complexes.

C2 Un métal ohmique de même permittivité et de même perméabilité que le vide a pour conductivité . Il est équivalent à

un diélectrique de permittivité et d'indice complexe n défini par 20 n . Exprimer 2n en fonction de et de la

longueur d'onde dans le vide 0 . Application numérique: 117 m10 , µm5,130 . On rappelle que

exp( / 2)i i . Montrer qu'avec une très bonne approximation, on peut dire que exp( / 4)n A i , où A est un réel

positif dont on donnera la valeur numérique.

C3 Dans ce métal se propage un champ décrit par 1 2( ) exp[ ( ) ]E zr i k ik r e

, où 1k

et 2k

sont deux vecteurs réels

orthogonaux à ze

. Dans cette question, on utilisera la valeur approchée de l'indice exp( / 4)n A i , où A est un réel

positif.

Quelles sont les conditions que doivent vérifier les vecteurs 1k

et 2k

?

Montrer que l'on peut choisir 1k

et 2k

pour que les plans équiphase fassent avec les plans équiamplitude un angle de

/4 radian.

Dans ces conditions, déterminer les normes de 1k

et 2k

en fonction de A et de 0 .

C4 On considère une onde plane dont le champ électrique complexe est 1 2( ) exp[ ( ) ]E zr i k ik r e

, où 1k

et 2k

sont

deux vecteurs réels orthogonaux à ze

, de module identique, et faisant entre eux un angle de /4 radian.

Déterminer l'excitation magnétique complexe H

de cette onde. Est-il vrai que 0 HE

?

En un point de l'espace défini par sa position r

, déterminer l'excitation magnétique réelle ( , )H r t

.

En déduire qu'à l'origine du repère, 1 20

1(0, ) cos( ) sin( )z zH t k e t k e t

On pose (0, )OA H t

. Préciser sur le schéma ci-dessous (faire une construction soignée à rendre avec la copie) la

trajectoire de A ainsi que son sens de parcours.

x

y

k1

k2

/4

O

k- \nr!*J^ ôq' P'ÂA^b^ Lr"'*' l(e*-*fl" ) ".'

È'ÿ -^

Do,^^rr .tryrn z,^,ltùer.r' ho,^'qÈ^" Aa/u bu-tct't , 9 *-dt )1"1*"bo^

A?* *'€P P=-î >> P't>: urze-Y'o +) )A--'

frL Dq^^â r.lrl\ 't,i0,'u-'^ n^'t-c Y*"' ' T-'- [gr'\ > t - 0^ tA";st

?ot*bi'r!- .lL|'tr I zot/

)z HrNt&\^2-

Z

,r d-L r»'k 1*

îe-("'\7o ?f D^f\))o'

À, "t &^^- ; À' tLo'*62' '

pr*^,{,= o,4{p, , tn=L,t3l, -ti lrot l"J' = 4'\üLr-(}','""-'"'t;;trl']I^

ù^ sr(t âr^t J*r- 8.. [Sa ) ) o , æ 1d t""alt"'^u "',,' 'niLiu^ ;1c"'§ca '

ftt

&t{

cùL d^'r? = 'r { --5 ;,Èî -n1*E',Y' : Fr'. E-- -ÿt p'

q + (d*)r.r' 2-1to '

w .b.

atbg)lo*tt el'rh" *7Yyl-- ll,.ol.,tvt\ 1't^

h-t*n"

'{n (l'* cl, &a C?)

)/yy z,ra(^\ y"^ "Atuvv/*'^l-

-a_= 7,sLq 1o '

gt lÿ ft;y^'^tt* ln?'u l^^ "^'- s*!^- Yy ^":

e"t

et- ; = ï,;'- n,æ, à", = L / /1,(' il

hl ds

: ;!* (c'E) s uryf "h'*L-«

:

tlBll'=

(g.El)s: # (Aa-') s

2* ^zo1-.

*4aoo LhoT ,'lo7 '

qlt üud,.æ,/,l r\y",+ ? :

ÀOoc&d..4oocrùoo ro'L's

V6 ,8 ^V /^

.\wtJ(n^* *'#"1 - d^&h'î^t i u'-lo (*-' d^sç"a,-u

Cü

cL) -

. -é4o

& r1*^r-,'!l a(t'wt*

À"tfî;--.-.--=-.+*11T*

4"n

trvcùl»d;^rnÿnJr , T.È --

4 1i|mfi" - ttt',lt'

.1 _.è ô-

nL2-

Az "*at;t'&. = [dll ei {". = l{

= 4+)"* Itr =4+i*ffit + Lt.bo ;** fÂ*{nr4 7"sti$1æ

"5)

ct4

Zr>

*Af. = 'l€^t" ^'r 2-i ü'Ü = L-

(^ ^&{;il)

&,^ 1^",,* o^rffi^t

[Cn -- ll Ël(

h-i Ytr flffi;; i \ "T',T ^f"^' ;,n;-ï2 (.',5 fj = {'o *'

tt,/0'l îrz

:{i->

..->

l.f,-).;'-_\x

=-

(È^q)

T

L-*)\,

Ê -t- (Âtnt{i) ^q o*,"rf. J

,*Pt ?= [-?'"

f, fu tu*1'so'*a ôuÀ %r --tY'.& =

tL

d"*

; Ê.;

le<>.'-àte

€] .[fu.(Ê" 4)ùrl ^*I [*tq* 'tr

It_

.rv

I

^%

4rraiayier 401

:)\&-[,t=o{":a?.Ë : Q,'A'

{. a srr.4

@i;ETI[,'II = l\gl\ =

nt_-)!

4t,

t(,"q 1i B^ql eLu.,f