2 lments de calcul tensoriel

La mcanique des milieux continus fait un usage intensif des champs scalaires, vectorielset tensoriels. Ces outils mathmatiques indispensables permettent non seulement dtablirdes rsultats fondamentaux indpendamment du rfrentiel choisi, mais en outre, confrentaux formules qui les expriment une concision remarquable. Grce cela, on peut porter sonattention sur les phnomnes physiques quelles reprsentent plutt que sur les quationselles-mmes.

Les scalaires, vecteurs et tenseurs ont en effet la proprit dtre invariant lors dun change-ment de base. Cest ainsi que grce ces quantits on peut crire les quations de la mcaniquede manire intrinsque cest dire indpendamment de la base choisie.

Dans ce cours, nous naurons pas recours la forme la plus complte du calcul tensoriel ;nous nutiliserons que des systmes de coordonnes orthogonales, ventuellement curvilignes(par exemple le systme de coordonnes cylindriques ou sphriques), ce qui permet des sim-plifications considrables sans introduire de restrictions trop gnantes 1. En outre, tout lesvecteurs et tenseurs considrs seront toujours composantes relles. Cette introduction aucalcul tensoriel sinspire de [3].

Avant de dfinir ce que sont les scalaires, vecteurs et tenseurs, nous introduisons une sriede dfinition.

2.1 Convention de sommation dEinstein

Chaque fois quun indice apparat deux fois dans le mme monme, ce monme reprsentela somme des trois termes obtenus en donnant successivement cet indice les valeurs 1,2,3.Par exemple, aibi est la notation compacte pour a1b1 + a2b2 + a3b3. Lindice rpt sur lequelon effectue la sommation est appel indice muet. On peut lui substituer nimporte quel indicepourvu quil diffre des autres indices prsents dans le monme. Un indice non muet est ditfranc. Ainsi, dans aijbj , lindice i est franc et lindice j est muet ; on peut le remplacer parnimporte quel autre indice except i . Cette convention de sommation est dite conventiondEinstein.

2.2 Symbole de Kronecker

Le symbole de Kronecker (on dit aussi le delta de Kronecker) est dfini par

ij =

{

1 si i = j0 si i 6= j

(2.1)

1. Lorsque le systme de coordonnes nest pas orthogonal, il faut distinguer les composantes cova-riantes et contravariantes du tenseur. Un prsentation plus gnrale du calcul tensoriel peut tre trouvedans [2].

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2 lments de calcul tensoriel

2.3 Symbole de permutation dit de Lvi-Civita

Soient i , j , k trois indices ayant des valeurs diffrentes. On dit quils forment une permutationpaire de 1,2,3 si lon peut les amener dans cet ordre par un nombre pair de permutations. Ondit quils forment une permutation impaire de 1,2,3 si lon peut les amener dans cet ordrepar un nombre impair de permutations. Les permutations paires de 1,2,3 sont donc : (1, 2, 3),(3, 1, 2) et (2, 3, 1) et les permutations impaires : (2, 1, 3), (1, 3, 2) et (3, 2, 1). Cela tant, lesymbole de permutation est dfini par

ijk =

0 si deux quelconques des indices sont gaux+1 si i , j , k forment une permutation paire de 1,2,31 si i , j , k forment une permutation impaire de 1,2,3

(2.2)

2.4 Changement de base

Considrons deux bases orthonormes (vecteurs de bases unitaires et orthogonaux entreeux), dont les bases respectives sont notes (~e1,~e2,~e3) et (~e1 ,~e

2 ,~e

3).Soient, Pij , les coefficientscaractrisant ce changement de repre.

Pij = ~ei ~e

j (2.3)

Ils peuvent sinterprter comme les composantes du vecteur ~ei dans le repre (~e1 ,~e

2 ,~e

3) :

~ei = Pij~e

j (2.4)

et rciproquement, les coefficients Pij peuvent sinterprter comme les composantes du vecteur~ej dans la base (~e1,~e2,~e3) :

~ej = Pij~ei (2.5)

Que lon peut aussi crire :~ej = P

Tji ~ei (2.6)

car PTji = Pij . En injectant (2.4) dans (2.6), on a :

~ej = PTji Pik~e

k (2.7)

Donc :PTji Pik = jk (2.8)

De mme, en injectant (2.6) dans (2.4), on a :

~ei = PijPTjk~ek (2.9)

do :PijP

Tjk = ik (2.10)

En notant P la matrice contenant les coefficient Pij , les relations ci-dessus se rcrivent :

PPT =

1 0 00 1 00 0 1

(2.11)

PTP =

1 0 00 1 00 0 1

(2.12)

Ce qui indique que la matrice de passage P est une matrice orthogonale : son inverse et satranspose concident.

cole Centrale de Nantes : cours de mcanique des milieux continus et discrets page 12

2 lments de calcul tensoriel

2.5 Scalaire

Certaines grandeurs comme la masse volumique ou la temprature sexpriment par un seulnombre, qui ne dpend pas de la base choisie. Ce sont des scalaires. De manire plus math-matique, nous dfinirons un scalaire comme suit : un scalaire s est un tre mathmatique une seule composante et invariant lors dun changement de base.

2.6 Vecteur

Des grandeurs telles que la vitesse ou lacclration dun point matriel, un flux de chaleur ouune force sont caractriss par leur direction, leur sens et leur intensit. Ce sont des vecteurs.On les reprsente par un segment orient. Un vecteur possde trois composantes qui dpendentdu repre choisi (~e1,~e2,~e3) :

~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 (2.13)

En notation indicielle, on crira plutt

~a = ai~ei (2.14)

en utilisant la convention de sommation. Si lon se rfre la base (~e1 ,~e

2 ,~e

3), on crira

~a = ai ~e

i (2.15)

Il sagit toujours du mme vecteur mais exprim dans une autre base.Il est capital de comprendre que lors dun changement de base, les composantes du vecteur

changent alors que le vecteur lui-mme ne change pas. En clair, bien que les ai sont diffrentsdes ai , on a

~a = ai~ei = a

i ~e

i (2.16)

Pour que cela soit possible, il faut que les composantes du vecteur se transforment comme :

ai = Pija

j , a

j = Pijai (2.17)

Cette proprit suggre la dfinition mathmatique suivante dun vecteur : un vecteur ~a estun tre mathmatique qui, lors dun changement de repre ~ei = Pij~e

j se transforme selon la

formule ai = Pija

j .

En utilisant la notation matricielle, on peut rcrire (2.17) comme

[~a] = P[~a], [~a] = PT[~a] (2.18)

Faisons le point sur ces notations : ~a est un vecteur ; ai est la ime composante de ce vecteur dans une base donne ; ai est la ime composante de ce mme vecteur mais dans une autre base ; [~a] est la matrice colonne regroupant les trois composantes du vecteur ~a dans une base

donne

[~a] =

a1a2a3

(2.19)

[~a] est la matrice colonne regroupant les trois composantes du mme vecteur ~a maisdans une autre base

[~a] =

a1a2a3

(2.20)

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2 lments de calcul tensoriel

Finalement, il faut noter que dans lquation (2.18) P nest pas mis entre crochet car cestdj une matrice. La matrice de passage comme son nom lindique est un tableau de nombre.Il ne sagit pas dune quantit tensorielle.

2.7 Tenseur dordre 2

Un tenseur dordre 2 sexprime par

A = Aij~ei ~ej (2.21)

Un tenseur dordre 2 est un tre mathmatique 9 composantes qui, lors dun changementde base ~ei = Pij~ej , se transforme selon les formules :

Aij = PikA

klPTlj , A

kl = PTki AijPjl (2.22)

ou sous forme matricielle[A] = P[A]P

T, [A] = PT[A]P (2.23)

Nous insistons une nouvelle fois sur le fait que P est une matrice et na rien a voir avec untenseur dordre 2. Un tenseur dordre 2 est une quantit intrinsque indpendante de la basechoisie alors que P est un tableau de nombre donnant les produits scalaires entre les vecteursde la premire et de la seconde base : Pij = ~ei ~ej .

2.8 tude des tenseurs dordre 2

Nous tudions ici en dtail les tenseurs dordre 2 compte tenu de leur importance en mca-nique des milieux continus.

2.8.1 Tenseur identit

Le tenseur identit not I est un tenseur particulier car ses composantes sont les mmesdans toute base orthonorme et donnent la matrice identit :

[I ] =

1 0 00 1 00 0 1

(2.24)

autrement dit Iij = ij .

2.8.2 Tenseur symtrique et antisymtrique

Un tenseur est symtrique sil est gal sa transpose :

A symtrique A = AT

Aij = Aji (2.25)

Un tenseur est antisymtrique sil est gal loppos de sa transpose :

A antisymtrique A = AT

Aij = Aji (2.26)

Cela nest possible que si les termes diagonaux de A sont nulles : A11 = A22 = A33 = 0.

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2 lments de calcul tensoriel

La symtrie ou lantisymtrie est une proprit intrinsque dun tenseur. Si la matrice repr-sentant les composantes dun tenseur dans une base est (anti)symtrique, elle le restera danstout autre base.

Tout tenseur dordre 2, A, peut scrire comme la somme dun tenseur symtrique et duntenseur antisymtrique :

A = Asym

+ Aasym

, Asym

=1

2(A + A

T

), Aasym

=1

2(A A

T

) (2.27)

2.8.3 Trace dun tenseur

La trace dun tenseur dordre 2 est la somme de ses termes diagonaux

TrA = Aii (2.28)

2.8.4 Produit contract

Le produit contract de deux tenseurs dordre 2 est un tenseur dordre 2 dfini par :

C = A B Cij = AikBkj (2.29)

Le produit doublement contract de deux tenseurs dordre 2 est un scalaire :

s = A : B = AijBij = AijBTji = Tr(A B

T

) (2.30)

Le produit contract dun tenseur dordre 2 et dun vecteur ~b est un vecteur, on peut post- ou

pr-multipli par un vecteur. Le rsultat nest pas le mme moins que A ne soit symtrique :

A ~b = ~c Aijbj = ci (2.31)

~b A = ~d biAij = dj (2.32)

Le produit contract (appel plus couramment produit scalaire) de deux vecteurs est un sca-l