1S Devoir n°8 lundi 13 avril 2015

Exercice 1. sur 2 points On a représenté ci-contre la droite d’équation y x et une

fonction f. On considère la suite (

nu ) définie

pour tout entier naturel n par

1n nu f u

( ) et

01u .

Utiliser ces données pour construire sur l’axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite

(n

u ). Laisser les traits de

construction.

Exercice 2. sur 2.5 points Pour chacune des suites (un) définies ci-dessous, calculer les valeurs exactes de u1, u2, u3 en détaillant les calculs, puis, à la calculatrice et sans justification, donner u12 , éventuellement arrondi au dixième.

a) 3 1

2n

nu

n

b) 0 1

115 et 1

3n nu u u

c) La suite (un) est géométrique de premier terme 0 64u et de raison 1

2q

Exercice 3. sur 4.5 points Vrai ou faux ? Justifier.

1) L’équation 3

cos2

x a deux solutions dans ]–π ;π]

2) La fonction g définie par 3 2: 4 7x x x x est décroissante sur .

3) Si f est définie par 1

( )² 5

f xx

alors

2

2( )

² 5

xf x

x

4) Deux fonctions différentes ne peuvent pas avoir la même fonction dérivée.

5) Si la suite (vn) est définie par 5

1n

nv

n

alors 1

5 5

2n

nv

n

6) La suite (un) définie par u0 = 5 et pour tout entier n non nul, 1n nu n u est géométrique

7) La suite (wn) définie, pour tout naturel n par 17 3nw n est une suite arithmétique

Suite du devoir au dos

Cf

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

0 1

1

Exercice 4. sur 3.5 points

On considère la suite (un) définie par : u0 = 300 et pour tout n , 1 1.04 13n nu u

1) On souhaite déterminer la plus petite valeur de n telle que 600nu .

Compléter l’algorithme ci-contre pour qu’il affiche cette valeur.

2) On admet que la même suite (un) est aussi définie, pour tout entier

naturel n, par 625 1.04 325n

nu

a) Etudier le sens de variation de la suite (un) b) En utilisant le tableau de valeurs de la calculatrice, déterminer le

plus petit entier n tel que 600nu .

3) Un jardin est envahi par des chardons. Un dimanche, ceux-ci couvrent 300 m² de pelouse. Puis chaque semaine,

la surface envahie par les chardons augmente : De 4% par prolifération des racines De 13 m² dus aux graines envolées

Au bout de combien de semaines, le chardon aura-t-il envahi plus de 600 m² ? Justifier soigneusement votre réponse.

Exercice 5. sur 7.5 points

Soit u la suite définie par : 0

1

4

3

2n n

u

u u n

1) a) Justifier que 1 6u

b) Calculer u2 en détaillant les calculs c) Justifier que la suite u n’est pas arithmétique. Est-elle géométrique ?

2) Soit w la suite arithmétique de premier terme – 4 et de raison – 2. a) Exprimer wn en fonction de n b) Calculer w1 , w2 , w25.

c) Calculer le nombre 25

0

k

k

T w

d) Montrer que, pour tout entier n, 1

3

2n nw w n

3) Soit v la suite définie, pour tout n, par : vn = un – wn. a) Calculer v0, v1, v2 . b) Montrer que la suite v est géométrique.

4) a) Déduire des questions précédentes l’expression de un en fonction de n.

b) Soit S = u0 + u1 + …+ u25. Calculer S. Arrondir à l’entier.

Initialisation N prend la valeur 0 U prend la valeur 300 Traitement Tant que ………………… N prend la valeur……………. U prend la valeur……………. Fin tant que Sortie Afficher N

Corrigé du n° 2.

a) 1 2 3 12

3 1 1 4 3 2 1 7 3 3 1 10; ; 2 ; 2.6

1 2 3 2 2 4 3 2 5u u u u

b) 1 2 3 12

1 1 115 1 6 ; 6 1 3; 3 1 2 ; 1.5

3 3 3u u u u

c) Comme la suite est géométrique de raison 1

2, on a :

1

1 2 3 12

1

2

1 1 164 32 ; 32 16 ; 16 8 ; 0.0

2 2 2

n nu u

u u u u

sur 2.5 pts 0.75 0.75 1

Corrigé du n° 3

1) 3

12 et pour tout réel x – 1 cos x 1 : l’équation

3cos

2x n’a aucune solution. L’affirmation est

fausse

2) La fonction g définie par 3 2: 4 7x x x x est décroissante sur ?

'( ) 3 ² 8 7g x x x . = - 20 < 0. Pas de racine. g’(x) est toujours du signe de – 3, négatif sur donc

c’est VRAI

13) ( )

² 5f x

x

. f est de la forme

1

v donc

'

²

vf

v

. D’où

2

2( )

² 5

xf x

x

. C’est VRAI.

3) FAUX : par exemple, les fonctions f et g définies par ( ) ² et ( ) ² 3f x x g x x ont la même fonction

dérivée ( ) '( ) 2f x g x x

4) 1

5 5( 1) 5 5. Alors

1 ( 1) 1 2n n

n n nv v

n n n

. C’est VRAI

5) On calcule les premiers termes : 0 1 0 2 15; 1 5 ; 2 10u u u u u

1

0

1u

u alors que 2

1

2u

u : la suite n’est pas géométrique. c’est FAUX

6) 17 3 3 17nw n n de la forme 0w nr avec 0 3 et 17w r : cette suite est donc

arithmétique de premier terme – 3 et de raison 17. C’est VRAI.

sur 4.5 pts 0.75 0.75 0.5 0.5 0.75 0.75 0.5

Corrigé du n° 4. 1)

Initialisation N prend la valeur 0 U prend la valeur 300 Traitement Tant que U < 600 N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 1.04U+13 Fin tant que Sortie Afficher N

2) a) On étudie le signe de un+1 – un.

1

1 (625 1.04 325) (625 1.04 325)

625 1.04 1.04 325 625 1.04 325

1.04 (625 1.04 625)

1.04 25

n n

n n

n n

n

n

u u

Comme 1.04 et 25 sont positifs, 1.04n × 25 > 0 pour tout n et donc un+1 – un > 0 pour tout n. La suite (un) est croissante.

b) La calculatrice donne : 9 10564.57 et 600.15u u : la plus petit entier n tel que un 600 est 10.

sur 3.5 pts 1 1 0.5

3) Chaque semaine, la surface envahie par les chardons augmentent de 4% donc est multipliée par 1.04 et aussi de 13 m². La suite (vn) définie par vn = la surface envahie par les chardons après n semaines

vérifie donc : 0 1300 et 1.04 13n nv v v . Cette suite est donc égale à la suite (un) et d’après la

question 2 ? on peut affirmer que la chardon aura envahi plus de 300m² après 10 semaines.

1

Corrigé du n° 5

1) a) Pour n = 0 on a : 0 1 0 1

3 30 donc 4 6

2 2u u u

b) Pour n = 1 : 1 1 1 2

3 31 donc 6 1 10

2 2u u u

c) 1 0

2 1

6 4 2 la suite (u )n'est pas arithmétique

10 6 4n

u u

u u

1

0

2

1

61.5

4 la suite (u ) n'est pas géométrique

10 5

6 3

n

u

u

u

u

2) a) Comme la suite (wn) est arithmétique, on a : 0 4 2nw w nr n

b) 1 0 2 1 256 ; 8 ; 4 2 25 54w w r w w r w

c) (wn) est une suite arithmétique donc 25

0 25

0

4 5426 26 754

2 2k

k

w wT w

d) Pour tout entier n :

1

1

3 3( 4 2 ) 6 3 6 2 3

donc w2 22

4 2( 1) 4 2 2 2 6

n

n n

n

w n n n n n nw n

w n n n

3) a) 0 0 0 1 1 1 24 ( 4) 8 ; 6 ( 6) 12; 10 ( 8) 18v u w v u w v

b) 1 2

0 1

12 3 18 3;

8 2 12 2

v v

v v : d’après les premiers termes, on conjecture que la suite (vn) est

géométrique de raison 3

2. Démontrons le.

Pour tout naturel n :

1 1 1

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2n n n n n n n n n nv u w u n w n u w u w v

ce qui justifie que la

suite (vn) est géométrique de raison 3

2.

4) a) Comme (vn) est géométrique, on a : n , 0

38

2

n

n

nv v q

De plus : n n n n n nv u w u v w .

D’où 3

8 4 22

n

nu n

5) 25 25

0 1 25 0 0 1 1 25 25

0 0

... ... k k

k k

S u u u v w v w v w v w

Or,

26

2625

0

0

31

1 28 606 012

311

2

k

k

qv v

q

d’où S 606 012 -754 = 605 258

sur 7.5 pts 0.25

0.25

0.5

0.5

0.5 0.5

0.5

1

0.5

1

1

1