8/9/2019 5- Chapitre IV-Rsultats et discussions-

1/8

CHAPITRE IV :

Rsultats et discussions

8/9/2019 5- Chapitre IV-Rsultats et discussions-

2/8

8/9/2019 5- Chapitre IV-Rsultats et discussions-

3/8

CHAPITRE IV DESA "M.S.C.P"

50

I- IntroductionLa mthode des lments finis est considre comme un outil trs puissant d'analyse

dans de nombreux domaines notamment la mcanique de la rupture. Cette mthode qui jusque

l a donn de trs nombreux rsultats dans les problmes de mcaniques des milieux continus,

semble aussi bien adapter aux problmes de rupture, en particulier ceux pour lesquels on a

une trs grand grande singularit des champs de contraintes.

Dans notre travail, on a utilis un programme d'essais numriques afin de calculer le

facteur d'intensit de contrainte K1 par la mthode des lments finis sur des prouvettes

DCB. Les rsultats de ce programme ont t par la suite compars avec ceux trouvs en

utilisant les formules analytiques de KANINEN dans le cas des matriaux isotropes, et du

Pr.LAHNA dans le cas des matriaux orthotropes.

Pour ce des essais ont t effectus sur des prouvettes isotropes (Acier, Cuivre,

Aluminium, Plexiglas) et autres orthotropes (Pin sylvestre, Douglas, Eucalyptus). Aprs on a

cherch la limite de fiabilit de la mthode de KANINEN pour diffrentes hauteurs en

travaillant sur l'acier comme matriau de base, ainsi que la limite de fiabilit du Pr.LAHNA

en travaillant sur le Pin sylvestre comme matriau de base.

II- MthodologieII.1 Matriaux

Les matriaux utiliss dans notre travail sont reprsents dans le tableau suivant :

Matriaux Acier Cuivre Aluminium Plexiglas

Module de Young E en

[daN/mm2]20 000 12 500 7 400 290

Coefficient de poisson

0,3 0,35 0,34 0,36

Tableau 1 : Les matriaux isotropes

8/9/2019 5- Chapitre IV-Rsultats et discussions-

4/8

CHAPITRE IV DESA "M.S.C.P"

51

Matrieaux Pin sylvestre Eucalyptus Douglas

E1 (daN/mm2) 1 700 1 924 1 669

E2 (daN/mm

2

) 108 96,1 132

E3 (daN/mm2) 108 _ 92

G12 (daN/mm2) 141 101,4 120

12 0,22 0,5 0,367

21 0,0139 2,497E-02 0,029

13 0,22 _ 0,384

31 0,0139 _ 0,021

23 0,62 _ 0,594

32 0,62 _ 0,414

Tableau 2 : Les matriaux orthotropes

II.2 Eprouvette DCB

Figure IV.1 : Eprouvette DCB utilis

Avec :

P : la charge applique (10 daN)

2h : la hauteur de lprouvette

c : le ligament

a : la longueur de la fissure

a + c : la longueur de l'prouvette (320 mm).

2h

ac

8/9/2019 5- Chapitre IV-Rsultats et discussions-

5/8

CHAPITRE IV DESA "M.S.C.P"

52

III- Calcul du facteur d'intensit de contraintes KIIII.1Pour des matriaux isotropes

A. Formule de KANNINEN (Mthode analytique)Dans cette partie nous allons donne un bref aperu sur la thorie de la poutre sur

fondation lastique dveloppe par KANNINEN, et qui tient compte fait que la partie non

clive de la poutre est susceptible de se dformer sous laction de contraintes existant en tte

de fissure. Dans les matriaux peu ductiles comme les mtaux, la zone de dformation en tte

de fissure est petite et la longueur de la fissure grande devant les dimensions de lchantillon.

Cette approximation nest alors pas gnante. En revanche, dans les polymres, la zone de

dformation en tte de fissure est importante et la longueur de fissure est assez courte. Le

modle simple a alors tendance surestimer la valeur de G de faon importante.

Un modle de poutre avec fondation lastique permet alors de mieux dcrire les

phnomnes et de tenir compte des dformations en tte de fissure. Le modle de fondation

lastique de KANNINEN [1973] a t adapt par Brown [1990] et Creton [1992]. Ci-dessous

modle de la poutre sur une fondation lastique.

FigureIV.2 : Le modle de poutre

Comme le montre la Figure, le modle considre que la poutre est libre dans sa partie

fracture et repose sur une fondation lastique de raideur k dans sa partie non fracture. Dans

cette rgion il existe une force dans la direction x proportionnelle au dplacement w : -k.w (z).

Le choix de la valeur de k, est relatif.

Durant les recherches de KANNINEN (1973), il a pu labore son propre modle qui

permet de nous donner le taux de restitution dnergie en fonction de la gomtrie du test et

des modules lastiques et ainsi il a pu dterminer la formule qui permet de calculer le facteur

dintensit de contrainte en mode I pour les matriaux isotropes, on a la formule de K1 (a)

donne par :

[ ]1 3/ 22 3 1 0.64( / )

( )P a h a

K ab h

+

=

(III.1)

8/9/2019 5- Chapitre IV-Rsultats et discussions-

6/8

CHAPITRE IV DESA "M.S.C.P"

53

Avec : P : Charge applique.

a : Longueur de fissure.

h : Demie hauteur de lprouvette.

b : Epaisseur de lprouvette

Le tableau ci dessous comporte des valeurs du KI en fonction de la longueur de fissure

a. Avec : P = 10 daN; h = 25 mm; b = 1 mm.

a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

KI [daN.mm-3/2

] 21,06 26,60 32,15 37,69 43,23 48,77 54,32 59,86 65,40 70,94

Tableau 3: Le KI par la formule de KANNINEN

B. Mthode de complaisance (numrique)Dans cette mthode on va utiliser un programme d'lments finis (propagation

virtuelle), pour obtenir les diffrentes valeurs de dplacement du nud, o la charge P est

applique, pour chaque longueur de fissure et diffrents matriaux dj cits (Tableau 1).

Pour cela on va procder comme suit :

On fait tourner le programme pour avoir le dplacement virtuel Uy d'o on va pouvoir

calculer la complaisance C (a) pour chaque matriaux, avecP

aC Uy2)( = ,

Et ainsi tracer la courbe de C (a),

Ensuite une tape de lissage est ncessaire afin de pouvoir trouver le polynme C (a)

en utilisant sur la mthode des moindres carrs,

N.B: Nous avons trouv que le lissage de troisime de degr donne les meilleurs rsultats.

Puis on calculea

aC

)(,

Et on calcule le taux de restitution d'nergie qui a pour formule:

a

aaG

CP II

=

)(

2)(

2

,

Aprs on calcule le KI avec la formule suivante: )(1

)(2

2

aE

aG KII

= ,

En fin on trace la courbe de KI (a).

8/9/2019 5- Chapitre IV-Rsultats et discussions-

7/8

CHAPITRE IV DESA "M.S.C.P"

54

Les rsultats obtenus des diffrents matriaux utiliss (Tableau 1) seront compars

ceux retrouvs par la formule de KANNINEN (Voir Annexe1).

C. Limite de fiabilit de la formule de KANNINENIci on cherche trouver les limites d'application de la formule de KANNINEN en

faisant varier la hauteur 2h de l'prouvette DCB (2h=10mm 2h=220mm) et comparer les

rsultats trouvs avec ceux calculs numriquement. (Voir Annexe2).

D. ConclusionEn fait, on a constat qu'il y a une concordance entre les valeurs de K I obtenus partir

des valeurs analytiques (formule de KANNINEN) et ceux obtenus par la mthode numrique

(mthode de complaisance).

On a remarqu aussi que le KI ne dpend pas de la nature du matriau mais seulement

de sa gomtrie.

Pour la limite de fiabilit on a trouv qu'elle est comprise entre 2h=25mm ( %4=l

h) et

2h=135mm ( %21=l

h).

III.2Pour des matriaux orthotropiques :A. Mthode de complaisance (numrique)

On utilise la mme procdure dj explique dans le cas des matriaux isotropes, pour

les matriaux orthotropes dj cits (Tableau2), sauf que lors du calcul du KI, on utilise la

formule suivante :

21

11

6612

21

11

22

21

22112

22

2

+

+

=

KG II .

Avec :

Sijij

= en contraintes planes (CP).

Les rsultats sont reprsents dans l'Annexe3

B. Formule du Pr. LAHNA (Mthode analytique)On utilise la formule suivante (Chapitre II II.5.1 -B-) :

8/9/2019 5- Chapitre IV-Rsultats et discussions-

8/8

CHAPITRE IV DESA "M.S.C.P"

55

41

11

6612

21

11

22

11

22

2

12

2222

22

33

222

sincossin

sinsin 312)(

+

+

+

+

+

=

h

r

cc

cccc

cc

cca

b sh

chsh

sh

sh

h

P

K

I

I

O

11

66=r ;

41

22

1161

=

h

Avec : S ijij = en contraintes planes (CP).

c : le ligament ; a : longueur de la fissure ; b : paisseur de l'prouvette ; h : demi hauteur de

l'prouvette ; PI : charge d'ouverture (mode I).

On a procd au calcul de KI en fonction de la longueur de fissure a, pour le cas de

l'Eucalyptus en comparant les rsultats avec ceux de la mthode de complaisance.

C. Limite de fiabilit de la formule du Pr.LAHNAEn fait varier la hauteur 2h de l'prouvette DCB (2h= 10, 35, 40, 45, 50, 60, 65 mm) et

on compare les rsultats trouvs avec ceux calculs numriquement (Voir Annexe4).

D. ConclusionLe facteur d'intensit de contrainte orthotrope KI; dpend des coefficients

lastiquesij , contrairement un matriau isotrope.

On constate qu'il y a une concordance entre les valeurs de KI obtenus partir des

valeurs analytiques (formule du Pr. LAHNA) et ceux obtenus par la mthode numrique

(mthode de complaisance).

Nous avons trouv que la formule donne des bonnes rsultats pour des hauteurs

comprises entre 2h=40 mm ( %2,6=l

h) et 2h=65 mm ( %2,10=

l

h).