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5. Integration complexe

1. Integrales definies d’une fonction complexe d’une variable reelle

Les integrales sont extremement importantes dans l’etude des fonctions d’unevariable complexe. Nous etablirons l’equivalence entre les notions de fonction ana-lytique, d’une part, comme fonction derivable en chaque point d’un domaine dedefinition, et, d’autre part, comme fonction dont l’integrale ne depend pas duchemin d’integration.

1.1. Definition

Pour introduire les integrales de f(z) d’une maniere simple, on commencepar introduire l’integrale definie d’une fonction a valeurs complexes d’une variablereelle t sur un intervalle donne a ≤ t ≤ b. Designant cette fonction par w(t), onecrit :

w(t) = u(t) + iv(t). (1.1)

Les fonctions u(t) et v(t), definies sur l’intervalle ferme borne a ≤ t ≤ b, sontsupposees continues par morceaux. Chacune de ces deux fonctions est a valeursreelles et continue partout dans l’intervalle [a, b], sauf peut-etre en un nombre finide points ou la fonction, bien que discontinue, possede des limites a gauche et deslimites a droite finies. La fonction w est, elle aussi, continue par morceaux surl’intervalle a ≤ t ≤ b. On definit l’integrale de w de a a b comme :∫ b

a

w(t) dt =∫ b

a

u(t) dt + i

∫ b

a

v(t) dt. (1.2)

1.2. Majoration du module d’une integrale

On suppose que la valeur de l’integrale (1.2) est un nombre complexe non nul.On l’ecrit sous la forme : ∫ b

a

w dt = reiθ. (1.3)

50 Chapitre 5 : Integration complexe

On a donc :

r =∫ b

a

<e(e−iθ w) dt. (1.4)

On en deduit l’inegalite :

r ≤∫ b

a

|w| dt. (1.5)

Par suite, on a la majoration :

∣∣∣∣∣∫ b

a

w(t) dt

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|w(t)| dt, a < b. (1.6)

2. Contours

2.1. Definition des arcs

Les integrales des fonctions a valeurs complexes d’une variable complexe sontdefinies sur des courbes dans le plan complexe. Un arc C dans le plan complexeest un ensemble de points z = (x, y) tels que

x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b, (2.1)

ou x(t) et y(t) sont des fonctions continues du parametre reel t. On decrit lespoints de l’arc C au moyen de l’equation

z = z(t), a ≤ t ≤ b, (2.2)

ou :z(t) = x(t) + iy(t). (2.3)

L’arc C est un arc simple s’il ne se recoupe pas lui-meme. Lorsque l’arc C estsimple mais que z(b) = z(a), on dit que C est une courbe simple fermee.

2.2. Exemple

Le cercle unitez = eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π, (2.4)

centre a l’origine est une courbe simple fermee orientee dans le sens contraire desaiguilles d’une montre. Il en est de meme du cercle de rayon R centre au point z0 :

z = z0 + Reiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π. (2.5)

Integrales curvilignes 51

2.3. Definition des arcs differentiables

La derivee de la fonction (2.3) est definie comme

z′(t) = x′(t) + iy′(t), (2.6)

si les deux derivees x′(t) et y′(t) existent.

Si les derivees x′(t) et y′(t) des composantes de la fonction z(t) utilisee pourdecrire un arc C existent et sont continues sur l’intervalle a ≤ t ≤ b, C est appeleun arc differentiable. La fonction a valeurs reelles

|z′(t)| =√

[x′(t)]2 + [y′(t)]2 (2.7)

est integrable sur l’intervalle a ≤ t ≤ b et l’arc C a la longueur :

L =∫ b

a

|z′(t)| dt. (2.8)

La longueur L ne depend pas des changements de representation parametrique del’arc C.

2.4. Definition des contours

Un contour est un arc constitue de morceaux d’arcs differentiables joints bouta bout. Autrement dit, si l’equation (2.2) represente un contour, z(t) est continue,tandis que la derivee z′(t) est continue par morceaux. Quand les valeurs initialeet finale de z(t) sont les memes, le contour C est appele contour ferme simple. Lalongueur d’un contour ou d’un contour ferme simple est la somme des longueursdes arcs differentiables qui le forment.

3. Integrales curvilignes

3.1. Definition

On s’interesse maintenant aux integrales des fonctions f a valeurs complexesde la variable complexe z. Une telle integrale est definie a l’aide des valeurs f(z)le long d’un contour donne C allant d’un point z1 a un point z2 dans le plancomplexe. C’est donc une integrale curviligne, dont la valeur depend en generalaussi bien du contour C que de la fonction f . On l’ecrit∫

C

f(z) dz ou∫ z2

z1

f(z) dz, (3.1)

la derniere notation etant reservee au cas ou la valeur de l’integrale est independantedu choix du contour entre les deux points z1 et z2.

52 Chapitre 5 : Integration complexe

Supposons que l’equation

z = z(t), a ≤ t ≤ b, (3.2)

represente un contour C, s’etendant d’un point z1 = z(a) a un point z2 = z(b). Sila fonction f(z) = u(x, y) + iv(x, y) est continue par morceaux sur C, on definitl’integrale curviligne ou integrale de contour de f le long de C comme :∫

C

f(z) dz =∫ b

a

f[z(t)

]z′(t) dt. (3.3)

On a ∫C

f(z) dz =∫ b

a

(ux′ − vy′) dt + i

∫ b

a

(vx′ + uy′) dt, (3.4)

soit encore : ∫C

f(z) dz =∫

C

udx− vdy + i

∫C

vdx + udy. (3.5)

3.2. Inegalite fondamentale

On a la propriete :∣∣∣∣∫C

f(z) dz

∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a

∣∣f[z(t)

]z′(t)

∣∣ dt. (3.6)

Si donc M est une constante positive telle que |f(z)| ≤ M , on a :∣∣∣∣∫C

f(z) dz

∣∣∣∣ ≤ M

∫ b

a

|z′(t)| dt. (3.7)

Comme l’integrale sur la droite represente la longueur L du contour C, le modulede l’integrale de f le long de C reste borne par ML :∣∣∣∣∫

C

f(z) dz

∣∣∣∣ ≤ ML. (3.8)

Cette majoration sera tres utile par la suite pour le calcul pratique des integrales.

Puisque tous les chemins d’integration consideres ici sont des contours etpuisque les integrands sont des fonctions continues par morceaux definies sur cescontours, un nombre M tel que celui apparaissant dans l’inegalite ci-dessus existetoujours. En effet, la fonction a valeurs reelles |f [z(t)]| est continue sur l’intervalleferme borne a ≤ t ≤ b quand f est continue sur C. Une telle fonction atteint tou-jours une valeur maximum M sur cet intervalle. Donc |f(z)| possede un maximumlorsque f est continue sur C. La meme propriete est vraie lorsque f est continuepar morceaux sur C.

Theoreme de Cauchy 53

3.3. Lemme de Jordan

L’inegalite fondamentale peut etre appliquee a un arc de cercle Γ de centrez0 et de rayon R, d’angle au centre Ω. La longueur de l’arc Γ est L = ΩR. On adonc : ∣∣∣∣∫

Γ

f(z) dz

∣∣∣∣ ≤ MΩR. (3.9)

On en deduit le lemme de Jordan :

Si limR→0 R maxz∈Γ |f(z)| = 0, alors limR→0

∫Γ

f(z) dz = 0

Si limR→∞ R maxz∈Γ |f(z)| = 0, alors limR→∞∫Γ

f(z) dz = 0

Le lemme de Jordan ne donne que des conditions suffisantes pour que la limitequand R → 0 ou quand R → ∞ de l’integrale

∫Γ

f(z) dz soit nulle (cette limitepeut etre nulle meme si les conditions ci-dessus ne sont pas satisfaites).

4. Theoreme de Cauchy

Dans le cas general, l’integrale∫

Cf(z) dz depend aussi bien de la fonction

a integrer f(z) que du contour d’integration C. Cependant, si une fonction estanalytique dans un domaine simplement connexe contenant un contour C, sonintegrale est alors completement definie par la position des extremites de C et nedepend pas de la forme du contour.

Le theoreme de Cauchy (Cauchy, 1825) s’enonce de la maniere suivante :Si une fonction f(z) est analytique dans un domaine simplement connexe D, alors,pour tous les contours C appartenant a ce domaine et ayant des extremites com-munes, l’integrale

∫C

f(z) dz a une valeur unique.

Nous demontrerons ce theoreme avec l’hypothese supplementaire de la con-tinuite de la derivee f ′(z) (la definition de l’analyticite n’exigeant que l’existencede cette derivee).

On pose :f(z) = u(x, y) + iv(x, y). (4.1)

En vertu de la relation∫C

f(z) dz =∫

C

udx− vdy + i

∫C

vdx + udy (4.2)

la question de l’independance d’une integrale∫

Cf(z) dz par rapport au chemin

d’integration se ramene a la meme question pour les integrales curvilignes ci-dessous : ∫

C

udx− vdy,

∫C

vdx + udy. (4.3)

On apprend dans le cours d’analyse reelle que, pour que, dans un domaine sim-plement connexe, l’integrale curviligne

∫C

Pdx + Qdy, ou P et Q sont des fonc-tions possedant des derivees partielles continues, soit independante du chemin

54 Chapitre 5 : Integration complexe

d’integration, il faut et il suffit que l’expression sous le signe d’integration soitune differentielle totale, c’est-a-dire qu’en chaque point du domaine D on ait larelation ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Pour les integrales (4.3), cette relation est de la forme

∂u

∂y= −∂v

∂x,

∂v

∂y=

∂u

∂x. (4.4)

La continuite des derivees partielles decoule de l’hypothese selon laquelle f ′(z) estcontinue. Les equations (4.4) coıncident avec les conditions de Cauchy-Riemannet sont verifiees puisque f(z) est une fonction analytique. Le theoreme est doncdemontre.

En vertu de ce theoreme, pour les fonctions analytiques dans les domainessimplement connexes, au lieu de

∫C

f(z) dz, on peut ecrire∫ z

z0f(ζ) dζ, ou z0 et z

sont les extremites de la courbe C.

Le theoreme de Cauchy peut aussi etre enonce sous la forme suivante : Si unefonction f(z) est analytique dans un domaine simplement connexe D, alors sonintegrale prise le long de tout contour ferme C appartenant a D est nulle :∮

C

f(z) dz = 0. (4.5)

5. Primitives et independance par rapport au chemin d’integration

Si une fonction f(z) est analytique dans un domaine simplement connexe D,alors l’integrale ∫ z

z0

f(ζ) dζ = F (z) (5.1)

consideree comme fonction de sa limite superieure, est aussi une fonction analy-tique dans D. On a :

F ′(z) =d

dz

∫ z

z0

f(ζ) dζ = f(z). (5.2)

En effet, d’apres la definition de la derivee et les proprietes de l’integrale, ona :

F ′(z) = limh→0

F (z + h)− F (z)h

= limh→0

1h

[∫ z+h

z0

f(ζ) dζ −∫ z

z0

f(ζ) dζ]

= limh→0

1h

∫ z+h

z

f(ζ)dζ. (5.3)

Etant donnee la continuite de f(z) au point z, qui decoule de son analyticite, cettederniere quantite tend vers f(z) lorsque h tend vers zero.

Une fonction dont la derivee est egale a une fonction donnee f(z) est uneprimitive de cette fonction. L’integrale de f(z), consideree comme fonction de sa

Formule integrale de Cauchy 55

limite superieure, est l’une des primitives de la fonction f(z). On peut montrerque deux primitives quelconques d’une fonction different l’une de l’autre au pluspar une constante.

Plus generalement, si F (z) est une primitive quelconque d’une fonction ana-lytique f(z), alors on a :

∫ z

z0

f(ζ) dζ = F (z)− F (z0). (5.4)

6. Formule integrale de Cauchy

Grace a une application tres simple du theoreme de Cauchy, il est possiblede representer une fonction analytique f(z) comme une integrale de contour danslaquelle la variable z intervient comme un parametre. Cette representation d’unefonction analytique, connue sous le nom de formule integrale de Cauchy, a desapplications importantes et nombreuses.

Soit f une fonction analytique partout a l’interieur d’un contour ferme simpleC parcouru dans le sens direct, ainsi que sur ce contour lui-meme. Si z est un pointquelconque interieur a C, on a :

f(z) =1

2πi

∮C

f(ζ)ζ − z

dζ. (6.1)

La formule integrale de Cauchy (6.1) signifie que, pour une fonction f analytiquea l’interieur et sur la frontiere d’un contour ferme simple C, les valeurs de finterieures a C sont completement determinees par les valeurs de f sur C. Lorsquela formule integrale de Cauchy est ecrite sous la forme

∮C

f(ζ)ζ − z

dζ = 2πif(z), (6.2)

elle peut etre utilisee pour calculer certaines integrales le long de contours fermessimples.

56 Chapitre 5 : Integration complexe

O x

y

•

C

Figure 1

z

C0

!

Pour demontrer la formule (6.1), on choisit un nombre positif ρ assez petitpour que le cercle |ζ − z| = ρ, designe par C0 et oriente dans le sens direct, soitinterieur a C (Fig. 1). Comme f est continue en z, il correspond a chaque nombrepositif ε, aussi petit soit-il, un nombre positif δ tel que |f(ζ) − f(z)| < ε lorsque|ζ − z| < δ. Si donc ρ < δ, on aura |f(ζ)− f(z)| < ε sur le cercle C0.

Puisque la fonction f(ζ)/(ζ − z) est analytique pour tous les points situes surC et interieurs a C, a l’exception du point z, on peut appliquer le theoreme deCauchy pour un domaine multiplement connexe. L’integrale le long de la frontiereorientee de la region entre C et C0 a pour valeur zero :∮

C

f(ζ)ζ − z

dζ −∮

C0

f(ζ)ζ − z

dζ = 0. (6.3)

On peut donc ecrire :∮C

f(ζ)ζ − z

dζ − f(z)∮

C0

1ζ − z

dζ =∮

C0

f(ζ)− f(z)ζ − z

dζ (6.4)

Comme on a ∮C0

1ζ − z

dζ = 2πi, (6.5)

Derivees des fonctions analytiques 57

l’equation (6.4) devient :∮C

f(ζ)ζ − z

dζ − 2πif(z) =∮

C0

f(ζ)− f(z)ζ − z

dζ. (6.6)

En utilisant la continuite de f et en remarquant que la longueur de C0 est 2πρ,on peut majorer l’integrale du membre de droite de l’equation (6.6) :∣∣∣∣∮

C0

f(ζ)− f(z)ζ − z

dζ

∣∣∣∣ <ε

ρ2πρ = 2πε. (6.7)

Comme ε est arbitrairement petit, la formule (6.1) est demontree.

7. Derivees des fonctions analytiques

Si une fonction est analytique en un point, ses derivees de tous les ordresexistent et sont elles-memes analytiques en ce point.

Supposons que f est analytique a l’interieur d’un contour ferme simple Coriente positivement, ainsi que sur ce contour lui-meme. Soit z un point quelconqueinterieur a C. Si ζ designe un point de C, la formule integrale de Cauchy s’ecrit :

f(z) =1

2πi

∮C

f(ζ)ζ − z

dζ. (7.1)

On peut montrer que les derivees de tous les ordres de f au point z existent et ontles representations integrales :

f (n)(z) =n!2πi

∮C

f(ζ)(ζ − z)n+1 dζ. (7.2)

En particulier, si une fonction

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (7.3)

est analytique en un point z = (x, y), l’analyticite de f ′ assure la continuite de f ′.Puisque l’on a

f ′(z) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=

∂v

∂y− i

∂u

∂y, (7.4)

il s’ensuit que les derivees partielles du premier ordre de u et v sont continues ence point. On demontre de meme que les derivees partielles de tous les ordres de uet v sont continues en tout point ou f est analytique.