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TD3/ Méca-1/MMC 27 Septembre 2001 1. Champ de contraintes dans une poutre On considère le champ de contraintes suivant dans le domaine 0<x 1 <L, -c<x 2 <c et en coordonnées cartésiennes, en posant I=4c 3 /3 : s 11 = (p/I) (x 1 2 x 2 -(2/3) x 2 3 ) ; s 22 = (p/I) ((1/3) x 2 3 – c 2 x 2 + (2/3) c 3 ) ; s 12 = (p/I) ((c 2 -x 2 2 ) x 1 ) 1. Montrer que Div x s = 0 2. Evaluer le vecteur contraintes sur les faces x 1 ={0,L}, x 2 ={-c,c}. 3. Evaluer la résultante des efforts exercés sur la face x 1 =x 10 par la partie du domaine x 1 x 10 ainsi que le moment de ces efforts en (x 10 ,0). 4. Si on suppose que c<<L, à quel chargement approché correspond ce champ de contraintes 5. Application numérique : On considère une aile d’avion (assimilée à un parallélépipède) d’envergure L=20m, de demi-épaisseur c=1m, soumise à une portance p=C z r a V 2 /2 que l’on supposera répartie uniformément. (C z =0.8, V=200m/s, r a = 1 kg/m 3 ). Calculer s 11max . 2. "Essai brésilien" On considère un disque de diamètre d, soumis à deux forces P radiales, appliquées sur la circonférence et diamétralement opposées. On examine le champ de contraintes suivant, compte tenu des notations de la figure, où a est une constante que l'on définira à la question 2: s/a = (cos q 1 /r 1 ) i r1 ƒi r1 + (cos q 2 /r 2 ) i r2 ƒi r2 - (1/d) I 1. Montrer que Div x [(cos q/r) i r ƒi r ] =0, r, q , i r ayant les significations habituelles en coordonnées cylindriques. En déduire que Div x s = 0 (Indication : Div x (aƒb) = D x a(b) + div x b a, D x (a a) = a D x a + aƒ— x a ) 2. Montrer que s(n)= 0 le long de la surface libre r=d/2. On ne considérera que des points éloignés des points d'application de P. 3. Représenter le vecteur contrainte sur l'axe x 2 =0. Calculer la résultante et en déduire la constante a. (Indication : La primitive de 1/(1+x 2 ) 2 est: x/(2(1+x 2 )) + Arctg(x)/2. ) 4. Représenter le vecteur contrainte sur l'axe x 1 =0. En déduire pourquoi un matériau peu résistant en traction casse sur cet axe. 5. Application numérique : On considère un échantillon cylindrique en béton de hauteur H=0.1 m, diamètre d=0.1m. La force maximale mesurée est : F max =2 10 4 N. Calculer la résistance à la traction du béton. q 1 q 2 q r 1 r 2 P r x 1 x 2 d www.almohandiss.com www.almohandiss.com

6 Exercices Corriges Mmc

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exercice corrigé mmc

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TD3/ Méca-1/MMC27 Septembre 2001

1. Champ de contraintes dans une poutreOn considère le champ de contraintes suivant dans le domaine 0<x1<L, -c<x2<c et en coordonnéescartésiennes, en posant I=4c3/3 :

s11= (p/I) (x12x2-(2/3) x2

3 ) ; s22= (p/I) ((1/3) x23 – c2 x2 + (2/3) c3) ; s12= (p/I) ((c2-x2

2) x1 )

1. Montrer que Divx ssss = 0

2. Evaluer le vecteur contraintes sur les faces x1={0,L}, x2={-c,c}.3. Evaluer la résultante des efforts exercés sur la face x1=x10 par la partie du domaine x1≥x10 ainsi que

le moment de ces efforts en (x10,0).4. Si on suppose que c<<L, à quel chargement approché correspond ce champ de contraintes5. Application numérique : On considère une aile d’avion (assimilée à un parallélépipède) d’envergure

L=20m, de demi-épaisseur c=1m, soumise à une portance p=Cz raV2/2 que l’on supposera répartie

uniformément. (Cz=0.8, V=200m/s, ra= 1 kg/m3). Calculer s11max.

2. "Essai brésilien"On considère un disque de diamètre d, soumis à deuxforces P radiales, appliquées sur la circonférence etdiamétralement opposées. On examine le champ decontraintes suivant, compte tenu des notations de lafigure, où a est une constante que l'on définira à laquestion 2:

ssss/a = (cos q1/r1) ir1ƒir1 + (cos q2/r2) ir2ƒir2 - (1/d) I

1. Montrer que Divx [(cos q/r) irƒir] =0, r, q, ir ayant

les significations habituelles en coordonnéescylindriques. En déduire que Divx ssss = 0

(Indication : Divx(aƒb) = Dxa(b) + divxb a, Dx(a a) =

a Dxa + aƒ————xa )

2. Montrer que ssss(n)= 0 le long de la surface libre r=d/2. On ne considérera que des points éloignés des

points d'application de P.3. Représenter le vecteur contrainte sur l'axe x2=0. Calculer la résultante et en déduire la constante a.(Indication : La primitive de 1/(1+x2)2 est: x/(2(1+x2)) + Arctg(x)/2. )4. Représenter le vecteur contrainte sur l'axe x1=0. En déduire pourquoi un matériau peu résistant entraction casse sur cet axe.5. Application numérique : On considère un échantillon cylindrique en béton de hauteur H=0.1 m,diamètre d=0.1m. La force maximale mesurée est : Fmax=2 104 N. Calculer la résistance à la traction dubéton.

q1

q2

q

r1

r2

P

r

x1

x2

d

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TD3/Eléments de solution:1. Exercice 1:1. On vérifie que ∂sij/∂xj vaut identiquement zéro.

Remarque : Ce champ de contraintes vérifie également les équations de Beltrami ; il lui est doncassocié un champ de déplacements si le comportement est élastique.2. Le vecteur contraintes est ssss(n). Sur les faces x2=-c par exemple, il vaut : ssss(-i2) = -s22i2-s12i1 ; il

correspond à l’action de l’extérieur sur la pièce.s11(0,x2) = -p/2 (x2/c)3, s12(0,x2)=0,

s11(L,x2) = (3p/4) (L2x2/c3-2/3 (x2/c)3 ), s12(L,x2)=(3p/4) (L/c) (1-(x2/c)2) ;

s12(x1,c)=0, s22(x1,c) = 0,

s12(x1,-c)=0, s22(x1,-c)=p

On a donc une poutre chargée sur sa face inférieure par une pression -p et ainsi que par des forces surles faces x1=0 et L.Si la poutre est élancée L>>c, s11(0,x2) est d’ordre 1 en L/c, alors que s11(L,x2) et s12(L,x2) sont d’ordre

(L/c)2 et (L/c) respectivement. L’action exercée sur la face x1=0 devient négligeable.Les contraintes sont maximales en x1=L et pratiquement uniaxiale car s12 est d’un ordre de grandeur

plus petit que s12. On note que rapidement s11 est linéaire en x2.

3. TorseursÚ s11 dx2 = 0, Ú s 12 dx2 = p x10 : on peut retrouver cela en raisonnant au niveau de la coupure

0£x1£x10 à partir des actions exercées sur les faces.Ú x2 s11 dx2 = p (x1

2/2 –c2/5) ~px12/2 (formule classique RDM), Ú x2 s12 dx2 = 0

4. A.N. : L=20m, c=1m , Cz=0.8, V=200m/s, ra= 1 kg/m3,

p=Cz raV2/2 = 0.8 x1x4.104x0.5 = 16000 Pa

s11(L,c) ~ (3p/4) (L2/c2) = 3x16000/4x(20)2 ~5 Mpa

Poutre épaisse : c=L/5

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Isovaleur s11 Poutre élancée : c=L/10

Isovaleurs s12

Les isovaleurs de s22 sont des droites x2=cst

2. Exercice 2: Essai brésilien

Eléments de solution4. Divx ((cosq/r) irƒir)

On rappelle :Divx(a A) = a DivxA + A(————xa) Divx(aƒb)= Dxa(b) + divxb a

On en déduit :Divx ((cosq/r) irƒir) = (cosq/r) Divx (irƒir) + (irƒir)(————x(cosq/r))

= (cosq/r) (Dxir(ir) + divxir ir) + (ir,————x(cosq/r)) ir

————x(cosq/r) = (-sinq/r) iq/r – (cosq/r2) ir , Dxir = ∂qirƒiq/r= iqƒiq/r

Divx ((cosq/r) irƒir) = (cosq/r) (0 + (1/r) ir) - (cosq/r2) ir = 0

Remarque : avec la formule classique, on trouve le même résultat :

∂srr/∂r + (1/r) ∂srq/∂q + (srr - sqq )/r = - cos q1/r12 + cos q1/r1

2 = 0

2. Sur le pourtour r=d/2, n=er, cos q1/r1 = cos q2/r2 = 1/d, et : (er1 , er2)=0 ; d'où:

ssss(n)= a/d [ (er1, er) er1 + (er2, er) er2 - er ] = 0

3. sur x2=0, q=0, q1=q2, r1=r2 , cos q1 = d/2r1 , r1 = (d2/4 + r2)1/2 ; n=-i2 ,

(er1 , -i2) = cos q1, (er2 , -i2) = - cos q2,

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ssss(n) = a [(cos2 q1/r1) er1 - (cos2 q2/r2) er2 + (1/d) i2]

ssss(n) = a [(cos2 q1/r1) (sin q1 i1 - cos q1 i2) - (cos2 q2/r2) (sin q2 i1 + cos q2 i2) + (1/d) i2]

ssss(n) = a [-2 cos3 q1/r1 + (1/d) ] i2 = a/d [-d4/4r14 + 1 ] i2

donc, il n'y a pas de cisaillement sur cet axe;si r1=d/2, (au centre), la contrainte normale est max. et vaut: -3a/dsi r1=d/÷2, (au bord), la contrainte normale vaut zéro.

Résultante (des forces de contact de la partie inférieure x2<0 sur la partie x2>0:

(a/d) Ú]-d/2,d/2[ [-d4/4(d2/4 + r2)2 + 1 ] dr = - (a/d) dp/2 = - a p/2 = P

on en déduit a.

Répartition de s22 sur l'axe x2=0:

4. Sur l'axe x1=0, q1=q2=0, q= ±p/2, er1 = -i2, er2= i2 , n = i1 (si on regarde l'action de x1>0 sur x1<0):

ssss/a = - (1/d) i1

il n'y a, à nouveau, pas de contrainte de cisaillement. Comme a et d sont positifs, la contrainte normaleest une traction. L’essai est intéressant car il est difficile de pratiquer un essai de traction simple sur lebéton, à cause des problèmes d’arrimage de l’échantillon à la presse.

5. Application numérique : s11max = -2P/pd = 2F/(pdH) ~ 1.27 MPa

-0.4 -0.2 0.2 0.4

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

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Isovaleurs ssss22

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Isovaleurs s11

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Isovaleurs s12

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