C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 11–16, 2001Algèbre/Algebra

Algèbre de Lie des valeurs formellesd’hyperlogarithmes aux racines de l’unitéGeorges RACINET

Département de mathématiques et applications, École normale supérieure, 45, rue d’Ulm,75230 Paris cedex 05, FranceCourriel : Georges.Racinet@ens.fr

(Reçu le 18 décembre 2000, accepté le 19 mars 2001)

Résumé. On a décrit dans une précédente Note une structure de torseur sous un schéma en groupespro-unipotent sur le schéma affine défini par le système DMRD de relations fondamentalesentre valeurs d’hyperlogarithmes aux racines de l’unité. Dans la présente Note, on esquissela démonstration de ce théorème de structure. L’algèbre de Lie du groupe concerné joueici un rôle central ; elle devrait être égale à l’algèbre de Liegrt de Drinfel’d lorsqu’il n’y aqu’une racine de l’unité. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicalesElsevier SAS

Lie algebras of formal values of hyperlogarithms at roots of unity

Abstract. In a previous Note, we described a torsor structure on the affine scheme defined by thecollection DMRD of fundamental relations between values of hyperlogarithmic functionsat roots of unity. We give here a sketch of proof for the structure theorem of this torsor.The Lie algebra of the acting pro-unipotent group scheme is here the main ingredient. Itshould be equal to Drinfeld’s grt1 if there is only one root of unity. 2001 Académie dessciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

In a previous Note [5], we introduced some sets of non-commutative series and viewed them asrealisations of the affine schemeSpecDMRD defined by some collection, called for short DMRD, ofQ-algebraic relations between values of hyperlogarithms at roots of unity. We will now only address thisalgebraic situation, referring the reader to the previous Note for motivations and relations with Drinfeld’sassociators.

Given a finite multiplicative subgroupΓ of C∗, we denoted byXΓ = {x0} ∪ {(xσ)σ∈Γ} andYΓ = {(yn,ν)(n,ν)∈N∗×Γ} two alphabets and viewed the non-commutative polynomial algebraQ〈YΓ〉 asembedded inQ〈XΓ〉 by the algebra morphism sendingyn,ν to xn−1

0 xν , for every(n, ν) ∈ N∗ × Γ andextended this tok 〈〈XΓ〉〉 and k 〈〈YΓ〉〉 the corresponding power series algebras with coefficients in aQ-ring k. The algebraQ〈Y 〉 is graded by theweight: any generatoryn,ν is homogeneous of weightn.The weight is also the total degree ofQ〈XΓ〉.

Note présentée par Michel DUFLO.

S0764-4442(01)01978-4/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 11

G. Racinet

The study of relations DMRD led us to consider, for anyQ-ring k, the setDMRD(Γ)(k) of all seriesΦ ∈ k 〈〈XΓ〉〉 such that:

(Φ | 1) = 1 and (Φ | x0) = (Φ | x1) = 0, (1)

∆Φ = Φ ⊗̂k

Φ and ∆�Φ� = Φ� ⊗̂k

Φ�, (2)

with

Φ� := Φcorr · qsπY (Φ) and Φcorr := exp(∑n�2

(−1)n−1

n(πY (Φ) | yn)yn1

)

and satisfying moreover, for any subgroupΓ′ of Γ, the distribution relations

proj2Γ→Γ′(Φ) = exp

( ∑σ[Γ:Γ′]=1

(Φ | xσ)x1

)proj 1

Γ→Γ′(Φ),

and the weight1 relations, which assert that all the(Φ | y1,ν − y1,ν−1) are proportional overQ.Let us recall some of the notations we use. Ifw is a word in the alphabetXΓ andΦ belongs tok 〈〈XΓ〉〉,

by (Φ | w) we mean the coefficient ofw in Φ. The coproduct∆ is the standard coproduct ofQ〈XΓ〉,viewed as the universal enveloping bialgebra of the free Lie algebra onXΓ. The coproduct∆� is thealgebra morphism given by:

∆�yn,ν =∑

k+�=n,κλ=ν

k,�∈N, κ,λ∈Γ

yk,κ ⊗ y�,λ with the conventiony0,σ ={

1 if σ = 1,

0 if σ �= 1.

They are both extended tok 〈〈XΓ〉〉 andk 〈〈YΓ〉〉 by scalar extensionk and continuity. ByπY , we denote theprojection dual to the inclusion ofk〈YΓ〉 into k〈XΓ〉. Thek-linear endomorphismqs of k 〈〈YΓ〉〉 is givenby:

∀s1, . . . , sr ∈ N∗, σ1, . . . , σr ∈ Γ, qs(ys1,σ1ys2,σ2 · · ·ysr,σr ) = ys1,σ1ys2,σ2σ−11

· · ·ysr,σrσ−1r.

The linear mapproj1Γ→Γ′ is dual to the natural injection ofk 〈〈X ′

Γ〉〉 in k 〈〈XΓ〉〉 and proj 2Γ→Γ′ is the

continuousk-algebra morphism sendingx0 to [Γ : Γ′]x0 and eachxν to xν[Γ:Γ′ ] .We give in this Note a sketch of proof for the main result stated in [5] that we recall now. We view all

schemes overSpec(Q) as functors from the category ofQ-rings to the category of sets.

THEOREM 1. – Let Γ a finite subgroup of C∗. There is a scheme morphism DMRD(Γ) → A1 such that:(i) for any Q-ring k, the corresponding map DMRD(Γ)(k) → k is onto;(ii) the special fiber DMRD0(Γ) over 0 is a sub-group scheme of (MT(Γ),�);(iii) for any Q-ring k and any λ ∈ k, the group DMRD0(Γ)(k) acts freely and transitively on each fiber

DMRDλ(k) by left translations for the law �.

We recall the definition ofMT(Γ) in Section 1. The proof is divided in two parts. First, in Section 2,we study the tangent spacedmrd(Γ) near1 of DMRD and define a linear formk 〈〈XΓ〉〉 → k which willeventually become the map of the theorem. We denote bydmrd0(Γ)(k) its kernel indmrd(Γ)(k). Next,in Section 3, we sketch the proof of the hardest part of the theorem:DMRDλ(Γ)(k) is stable under theexponential of the tangential action ofdmrd0(Γ)(k) onk 〈〈XΓ〉〉 with respect to the law�. The next sectionis devoted to the transitivity of this action, concluding the proof of the theorem. The last section deals withconsequences and relations between Écalle’s Lie algebras anddmrd(Γ).

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Algèbre de Lie des polyzêtas formels aux racines de l’unité

1. Le groupeMT(Γ) et sa structure infinitésimale

Pour tout élémentγ de Γ, on notetγ l’action naturelle deΓ sur k 〈〈XΓ〉〉, i.e. l’automorphisme dek-algèbres topologiques dek 〈〈XΓ〉〉 fixantx0 et envoyantxσ surxγσ , pour toutσ ∈ Γ.

Pour toutQ-anneauk, soitMT(Γ)(k) l’ensemble des séries dek 〈〈XΓ〉〉 dont le terme constant vaut1 etmuni du produit� donné parG�H = G · κG(H), où κG est le morphisme dek-algèbres topologiquescaractérisé par

κG(x0) = x0 et κG(xσ) = tσ(G)−1xσtσ(G) (∀σ ∈ Γ).

Vu comme foncteur enk, c’est un schéma en groupes pro-unipotent surQ, carκ en est une représentationlinéaire fidèle dansk 〈〈XΓ〉〉 et κG(w) = w modulo des termes de plus haut poids quew. Son algèbre deLie k �→ mt(Γ)(k) est formée des séries sans terme constant dek 〈〈XΓ〉〉. On noteψ1, ψ2 �→ 〈ψ1, ψ2〉 soncrochet. En linéarisant le produit� au voisinage de1, on obtient les résultats suivants :

Pour toute sérieψ ∈mt(Γ)(k), soitdψ la dérivation continue dek 〈〈XΓ〉〉 caractérisée par

dψ(x0) = 0 et, pour toutσ ∈ Γ, dψ(xσ) =[xσ, tσ(ψ)

].

C’est ce que Goncharov, suivant Ihara, appelle une dérivation spéciale équivariante (pour l’action deΓ). Sil’on notesψ(φ) = ψφ+ dψ(φ), pour toutφ dek 〈〈XΓ〉〉, et exp� l’application exponentielle demt(Γ)(k)dansMT(Γ)(k), on a :

∀ψ ∈ mt(Γ)(k), H ∈ k 〈〈XΓ〉〉 , exp�(ψ) �H = exp(sψ)(H),

∀ψ1, ψ2 ∈ mt(Γ)(k), s〈ψ1,ψ2〉 = [sψ1 , sψ2 ].

De plus, pour toutψ dek 〈〈XΓ〉〉, on asψ(1) = ψ.

2. Les espaces tangentsdmrd et dmrd0

On considère ici la linéarisation au voisinage de1 deDMRD(Γ) :

DÉFINITION 1. – Pour toutQ-anneauk, soitdmrd(k) l’ensemble des sériesψ dek 〈〈XΓ〉〉 qui vérifient :

(ψ | x0) = (ψ | x1) = 0,

∆ψ = 1⊗k

ψ+ ψ⊗k

1 et ∆�(ψ�) = 1⊗k

ψ� + ψ�⊗k

1, (3)

où l’on pose

ψ� := qsπY (ψ) + ψcorr et ψcorr :=∑n�2

(−1)n−1

n(ψ | yn)yn1

proj 2Γ→Γ′(Φ) = proj 1

Γ→Γ′(Φ) +∑

σ[Γ:Γ′ ]=1

(Φ | xσ)x1,

cette dernière relation étant valable pour tout sous-groupeΓ′ de Γ, ainsi que les relations de poids1 quiexpriment la proportionnalité des(ψ | y1,ν − y1,ν−1).

PROPOSITION 1. –Pour tout ψ de dmrd(k), homogène de poids n� 3 et tout ν ∈ Γ, on a

(ψ� | yn,ν) + (−1)n(ψ� | yn,ν−1) = 0. (4)

On qualifiera d’exceptionnel un élément dedmrd(Γ)(k) ne vérifiant pas l’équation (4). On notedmrd0(k)l’ensemble des éléments dedmrd(k) qui la vérifient. Il y a essentiellement un seul élément exceptionnelpour chaqueΓ :

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G. Racinet

PROPOSITION 2. –Pour tout Γ, il existe un élément homogène αΓ de dmrd(Γ)(Q) tel que dmrd0(Γ)(k)soit le noyau dans dmrd(Γ)(k) de la forme linéaire ψ �→ (ψ | αG).

Si le cardinal deΓ est au moins 3 on peut prendre pourαG un desy1,ν − y1,ν−1 avecν2 �= 1 (grâceaux relations de poids1, toutes les formes linéaires ainsi obtenues sont colinéaires surQ). Si Γ = 1 ouΓ = {±1}, on peut prendreαΓ = y2. On considère dans la suiteαΓ comme fixé.

DÉFINITION 2. – Pour toutQ-anneauk et toutλ ∈ k, on noteDMRDλ(Γ)(k) l’ensemble des élémentsΦ deDMRD(Γ)(k) vérifiant :

(Φ | αΓ) = λ.

On a ainsi décrit le morphisme de schémasDMRD(Γ)→ A1 du théorème.

3. Action tangente

Par «�-primitif » et «�-codérivation », on entend respectivement « primitif » et « codérivation » pour lecoproduit∆�. On esquisse ici la preuve d’une moitié du théorème 1, sous la forme :

PROPOSITION 3. – Pour tout Q-anneau k, tout λ ∈ k et tout élément ψ de dmrd0(Γ)(k), l’ensembleDMRDλ(Γ)(k) est stable par multiplication � à gauche par exp�(ψ).

Soitψ ∈ dmrd0(k). La stabilité des équations (1) parexp(sψ) est évidente. Les deux relations de mélange(2) ont un comportement assez différent. En effet, l’ensemble des éléments « group-like » de(k 〈〈XΓ〉〉 ,∆)est stable par�. Cela peut se formuler ainsi : soitψ primitif dans(k 〈〈XΓ〉〉 ,∆) ; l’opérateursψ est sommede la dérivationdψ et de la multiplication à gauche parψ ; cette dernière est une codérivation, ainsi quedψ , car c’est une dérivation qui envoie les lettres deXΓ sur des éléments primitifs ;exp(sψ) est donc unmorphisme de cogèbres, ce qui permet de conclure. On va appliquer cette méthode au coproduit∆�, maisl’ensemble des « group-like » pour∆� n’est pas stable parexp(sψ), siψ est un�-primitif quelconque.

Premièrement, pour toutψ ∈ k 〈〈XΓ〉〉, on voit facilement que le noyau deπY est stable parsψ. On peutdonc considérer l’endomorphismek-linéairesYψ dek 〈〈YΓ〉〉, quotient parqsπY . D’autre part, si l’on notedx0 la dérivée partielle par rapport àx0 dek 〈〈XΓ〉〉, la projectionπY est bijective dekerdx0 surk 〈〈YΓ〉〉.Son inverseσ est donné par

σψ =∑i�0

(−1)i

i!dix0

(ψ)xi0.

Si ψ est une série de Lie,dx0(ψ) et (ψ | x0) · 1 coïncident. Siψ appartient àdmrd(Γ)(k), on a doncψ = σps(qsπY ψ). Commesψ dépend linéairement deψ, pourψ ∈ dmrd(Γ)(k), on peut décomposersψensσpsψ� − sσψcorr .

PROPOSITION 4. – Pour un élément ψ de dmrd0(Γ)(k), homogène de poids p, l’endomorphismek-linéaire sσpsψ� de k 〈〈YΓ〉〉 est une �-codérivation.

Pour démontrer cela, on décomposesσpsψ� en somme de la translation à droite parψ� et d’une dérivation.La première est une�-codérivation,ψ� étant�-primitif. On exprime les valeurs de la seconde sur lesYn,ν enfonction desYn,ν , deψ� et d’opérateurs respectant la�-primitivité. On teste alors l’identité de codérivationsur lesYΓ ; elle finit par se ramener à (4).

L’opérateurexp sYσψ�est donc un automorphisme dek-cogèbres topologiques de(k 〈〈YΓ〉〉 ,∆�). Si Φ

appartient àDMRDλ(k), l’élémentexpsYσpsψ�(Φ�) est donc « group-like » pour∆�. Pour conclure, il

suffit de prouver que c’est exactement(exp(sψ)(Φ))�. En effet, les termes correctifs (du typeΦcorr ouψcorr) sont des séries eny1 etx1 = y1 est central ; de plus, pour toutG ∈ k 〈〈XΓ〉〉, on a

y1 �G= y1G et(exp(sψ)(G) | yn

)= (ψ | yn) + (G | yn).

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Algèbre de Lie des polyzêtas formels aux racines de l’unité

Pour les relations de distribution, il suffit de voir que les coefficients des(xσ)σ∈Γ s’additionnent de la mêmefaçon et que les applicationsproj 1

Γ→Γ′ etproj2Γ→Γ′ sont des morphismes deMT(Γ) dansMT(Γ′).

La proposition 4 implique également quedmrd0(Γ)(k) est une sous-algèbre de Lie demt(Γ), car〈ψ1, ψ2〉 = [sψ1 , sψ2 ](1), pour tousψ1, ψ2 dedmrd(Γ), ce qui prouve que〈ψ1, ψ2〉 vérifie les équations (3).Les autres équations se traitent comme ci-dessus. Par la formule de Campbell–Hausdorff,exp�(dmrd0(k))est donc bien un sous-groupe deMT(Γ).

4. Transitivité

On donne ici les arguments permettant de compléter la preuve du théorème 1. La proposition 6 estinspirée des explications de Bar-Natan [1] à propos des associateurs.

Pour tout entiern, on notek〈XΓ〉(n) le quotient dek 〈〈XΓ〉〉 par le n + 1ème terme de la filtrationassociée au poids etπ(n) la projection correspondante. On considèrek〈XΓ〉(n) comme inclus dansk 〈〈XΓ〉〉 : la projectionπ(n) envoie tout mot de poids au moinsn + 1 sur 0 et laisse les autres fixes.

On noteDMRD(n)λ (Γ)(k) l’ensemble des éléments dek〈XΓ〉(n) satisfaisant aux équations définissant

DMRDλ(Γ)(k), modulo des termes de poids au moinsn+ 1. LesDMRD(n)λ (Γ)(k) forment un système

projectif dont la limite estDMRDλ(Γ)(k).Étant donné un élémentΦ = Φ1 + · · · + Φn deDMRD(n)(Γ)(k), si l’on cherche un élémentΦn+1 de

k〈XΓ〉, homogène de poidsn+1 tel queΦ+Φn+1 appartienne àDMRD(n+1)(Γ)(k), on résout un systèmelinéaire (avec second membre) à coefficients rationnels. Le système homogène associé est exactement celuiqui définit la composante homogène de poidsn+1 dedmrd(Γ)(k). La différence de deux solutions est doncun élément dedmrd(Γ)(k). D’autre part, modulo des termes de poids au moinsn+ 2, si ψ est homogènede poidsn+ 1, l’opérateurexp(sψ) agit sur une série de terme constant1 par addition deψ. On en tire parune récurrence facile l’énoncé suivant :

PROPOSITION 5. – Si DMRDλ(Γ)(k) est non vide, l’action de exp�(dmrd0(Γ)(k)) sur chaque

troncature DMRD(n)λ (Γ)(k) et sur DMRDλ(Γ)(k) est transitive.

Comme1 appartient àDMRD0(Γ)(k) et est l’unité deMT(Γ)(k), on a donc

exp�(dmrd0(Γ)(k)

)= DMRD0(k).

Pour finir, il reste donc à prouver queDMRDλ(Γ)(k) est non vide pour tousΓ, k etλ.Pour toutµ ∈ k, soithµ le morphisme dek-algèbres topologiques multipliant chaque lettre deXG parµ.

On voit facilement queDMRD(Γ)(k) est stable parhµ. Lorsque le cardinal deΓ vaut au moins3, l’élémentexceptionnelαΓ est de poids1. On a donc

hµ(DMRDλ(Γ)(k)

)⊂ DMRDλµ(Γ)(k).

Si Γ = 1 ou{±1}, on a

hµ(DMRDλ(Γ)(k)

)⊂ DMRDλµ2(Γ)(k),

carαG est de poids2. CommeL��(Γ) appartient àDMRD(C), en posant, suivant le cas,

µ=(L��(Γ) | αG

)−1ou µ2 =

(L��(Γ) | αG

)−1,

on obtient parhµ un élément deDMRD1(Γ)(C), qu’on noteraL��.

PROPOSITION 6. – Il existe un élément Ψ de DMRD1(Γ)(Q).

On résout pour cela par récurrence les équations définissantDMRD1(Γ). Si Φ est un élément de

DMRD(n)1 (Γ)(Q), il existeψ ∈ dmrd0(Γ)(C) tel queΘ := exp(sψ)(L��(Γ)) soit égal àΦ modulo des

termes de poids au moinsn+1. OrΦ+Θn+1 = π(n+1)(Θ) appartient àDMRD(n+1)1 (C), en notantΘn+1

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G. Racinet

le terme de poidsn+1 deΨ. Le système linéaire satisfait par les coefficients d’un élémentΦn+1 homogènede poidsn+ 1 deQ〈XΓ〉 pour queΦ + Φn+1 appartienne àDMRD(n+1)

1 (Γ)(Q) est entièrement rationnelet admet une solution complexe. Il admet donc une solution rationnelle.

Si le cardinal deΓ vaut au moins3, on en déduit queDMRDλ(Γ)(k) est non-vide pour tousλ et k : ilcontienthλ(Ψ). Sinon, on construit d’abord un élémentpair (i.e. dont les termes de poids impair sont nuls)Ψpair deDMRD1(Γ)(Q) : avec les notations ci-dessus,0 est solution du système linéaire portant surΦn+1

si n+ 1 est impair tandis queΦ est pair. On utilise alorshpairλ , l’opérateur qui multiplie les mots de poids

2n parλn.

5. Conséquences

Comme corollaire, l’application dek × dmrd0(Γ)(k) dansDMRD(Γ)(k) donnée par

(λ,ψ) �→ exp�(ψ) � hλ(Ψ)

(ou, suivant le cas,exp�(ψ) � hpairλ (Ψpair)) est un isomorphisme de schémas deA1 × dmrd0(Γ) sur

DMRD(Γ). Le foncteurk �→ dmrd0(Γ)(k) = dmrd0(Γ)(Q)⊗̂k est représentable par l’algèbre symétriquedu dual gradué dedmrd0(Γ)(Q) ∩ Q〈XΓ〉. Cela montre que l’algèbre formelleDMRD(Γ) définie parles relations DMRD est une algèbre de polynômes carDMRD(Γ) est son spectre premier et donne unedescription de ses générateurs libres.

La liberté de l’algèbreDMRD(1) constitue une partie de l’énoncé du théorème d’Écalle. Il donneune description des générateurs en fonction de son algèbre de Lie des polynômes bi-alternaux, elle-même sous-algèbre de Lie de ARI. Il a très récemment étendu ces résultats au casΓ = {±1} (cf. [3]).Modulo la correspondance entre les séries génératricescommutatives que Goncharov et lui utilisentet les séries génératrices non commutatives de ces Notes,mt(Γ) est isomorphe à la sous-algèbre deLie d’ARI formée des « moules entiers », i.e. correspondant à des séries entières au voisinage de0 etdont les variablesu sont dansΓ, cas particulier dont les formules sont déjà chez Goncharov [4]. Bienque développés indépendamment, les arguments d’Écalle recoupent fortement les nôtres (linéarisation etutilisation d’algèbres de Lie isomorphes).

Suivant la variante de Drinfel’d de la conjecture de Deligne ([2], p. 860), l’algèbre de Liegrt1 dugroupeGRT1 (lequel agit sur les associateurs par translation à gauche au sein deMT(1)) est une algèbrede Lie libre, avec un générateur et un seul en chaque poids impair excepté1. Drinfel’d exhibe, aprèsIhara, un système d’irréductibles degrt1(C), avec les bonnes conditions de poids, en les lisant dansΦKZ,égal àL��(1). Plus précisément, ce sont les composantes homogènes de l’élémentψ degrt1(C) tel queh−1(ΦKZ) = exp�(ψ) � ΦKZ. D’après le théorème 1,ψ appartient également àdmrd(1)(C), ainsi doncque les irréductibles de Drinfel’d. Si la conjecture est vraie, on doit donc avoirGRT1 ⊂ DMRD(1). Si laconjecture de dimension de Zagier [6] est également vraie, on doit avoir en fait égalité.

Remerciements.Je suis très reconnaissant envers P. Cartier d’avoir encadré cette recherche. Je remercie égalementM. Petitot pour ses tables, B. Enriquez et P. Deligne pour leurs remarques.

Références bibliographiques

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[2] Drinfel’d V.G., On quasitriangular quasi-Hopf algebras and a group closely related toGal(Q/Q), LeningradMath. J. 2 (1991) 829–860.

[3] Écalle J., Rapport sur les multizêtas et les sommes d’Euler, Prépublication, université Paris-Sud, 2000.[4] Goncharov A., Multiple polylogarithms, cyclotomy and modular complexes, Mathematical Research Letters 5

(1998) 497–516.[5] Racinet G., Torseurs associés à certaines relations algébriques entre polyzêtas aux racines de l’unité, C. R. Acad.

Sci. Paris, Série I 333 (2001) 5–10.[6] Zagier D., Values of zeta functions and their applications, in: First European Congress of Mathematics, Vol. II

(Paris, 1992), Birkhäuser, Basel, 1994, pp. 497–512.

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