Algbre de Lie

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    25-Nov-2015

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  • Algbre de Lie 1

    Algbre de Lie Pour les articles homonymes, voir Algbre (homonymie).

    En mathmatiques, une algbre de Lie, nomme en l'honneur du mathmaticien Sophus Lie, est un espace vectorielqui est muni d'un crochet de Lie, c'est--dire d'une loi de composition interne bilinaire, antisymtrique et qui vrifiela relation de Jacobi. Une algbre de Lie est un cas particulier d'algbre sur un corps.

    Dfinitions, exemples et premires proprits

    DfinitionSoit K un corps commutatif.

    Une algbre de Lie sur K est un espace vectoriel sur K muni d'une application bilinaire dedans qui vrifie les proprits suivantes:

    1. ;2.Le produit est appel crochet de Lie (ou simplement crochet) de et . Puisque le crochet est une fonctionbilinaire alterne de , on a aussi l'identit pour tous dans . L'identit (2) ci-dessusest appele l'identit de Jacobi.Une sous-algbre de Lie de est un sous-espace vectoriel de stable pour le crochet de Lie. Toute sous-algbre deLie de est munie de manire vidente d'une structure d'algbre de Lie sur K.Remarque : contrairement aux algbres tensorielles (et aux algbres de Clifford, dont les algbres extrieures), lesalgbres de Lie ne sont pas unitaires, ni associatives.

    Quelques exemples classiques d'algbres de Lie

    Tout espace vectoriel peut tre muni d'une structure d'algbre de Lie, en posant .Une telle algbre de Lie, o le crochet de Lie est identiquement nul, est appele ablienne.

    On peut, partir de , une algbre associative sur un corps, construire une algbre de Lie, de la faonsuivante : on pose (c'est le commutateur des deux lments x et y). Il estfacile de vrifier que l'on dfinit ainsi sur une structure d'algbre de Lie.

    Inversement, toute algbre de Lie est contenue dans une algbre associative, appele algbre enveloppante,dans laquelle le crochet de Lie concide avec le crochet dfini ci-dessus. L'algbre enveloppante est beaucoupplus grande que l'algbre de dpart.

    Comme exemple concret de la situation ci-dessus, considrons , l'espace des matrices coefficients dans K. C'est une algbre associative pour le produit matriciel usuel. On peut donc galement luidonner une structure d'algbre de Lie, avec le crochet . On note cette algbre,lorsque l'on considre sa structure d'algbre de Lie.

    Bien videmment, tout sous-espace vectoriel de stable par le crochet est une algbre de Lie. Ainsi, onpeut vrifier que l'ensemble des matrices de trace nulle est une algbre de Lie, que l'on note .

    En fait, le thorme d'Ado montre que toute algbre de Lie de dimension finie peut tre vue comme unesous-algbre de .

    Un autre exemple fondamental, plus gomtrique, est le suivant. Soit une varit diffrentielle. Alors l'espacevectoriel form par les champs de vecteurs sur possde une structure naturelle d'algbre de Lie, sans tre unealgbre.

  • Algbre de Lie 2

    En particulier, l'ensemble des champs de Killing d'une varit riemannienne ou pseudo-riemannienne forme unealgbre de Lie, qui correspond au groupe d'isomtries de la varit considre.

    L'espace euclidien tridimensionnel 3 avec le produit vectoriel comme crochet de Lie est une algbre de Lie.

    Morphismes et idaux

    Un morphisme d'algbre de Lie est une application linaire qui respecte le crochet de Lie, c'est--dire telle que

    .Un idal de est un sous-espace vectoriel tel que . C'est en particulier unesous-algbre de Lie. Si une algbre de Lie n'admet pas d'idal non trivial, elle est dite simple.Si est un idal de , on peut former le quotient de par : c'est l'espace vectoriel quotient , muni ducrochet dfini par . La projection est alors un morphisme d'algbres deLie.Une reprsentation d'une algbre de Lie est un morphisme . Autrement dit, c'est uneapplication linaire telle que .Le morphisme dfini par dfinit une reprsentation de , appelereprsentation adjointe(en). L'identit de Jacobi exprime prcisment le fait que ad respecte le crochet. Le noyau decette reprsentation est le centre de l'algbre de Lie .

    Relation avec les groupes de Lie et les groupes algbriquesLes algbres de Lie sont naturellement associes aux groupes de Lie. Si est un groupe de Lie et 1 son lmentneutre, alors l'espace tangent en 1 est une algbre de Lie ; la construction exacte de cette algbre est dtailledans la section correspondante de l'article Groupe de Lie. La mme construction est valable pour les groupesalgbriques. On note en gnral en petites lettres gothiques l'algbre de Lie associe un groupe de Lie, ou ungroupe algbrique. Ainsi, comme on l'a dj vu, dsigne l'ensemble des matrices carres de taille n et dsigne l'ensemble des matrices carres de taille n de trace nulle. De la mme faon, dsigne l'ensemble desmatrices carres A de taille n antisymtriques, etc. Dans tous ces exemples, le crochet de Lie n'est rien d'autre que lecommutateur : [A,B]=AB-BA.Si est un morphisme de groupes entre deux groupes de Lie et , et si l'on suppose diffrentiable, alorssa diffrentielle en l'identit sera un morphisme entre les algbres de Lie et de et . En particulier, unereprsentation de diffrentiable, on associe une reprsentation de .La classification des algbres de Lie est utilise de faon cruciale pour l'tude des groupes de Lie, des groupesalgbriques et de leurs reprsentations.

    ClassificationSi et sont deux sous-algbres de Lie d'une algbre de Lie , notons le sous-espace vectoriel engendrpar les lments de la forme pour et .

    Algbres de Lie nilpotentesArticle dtaill : Algbre de Lie nilpotente(en).

    Une algbre de Lie est dite nilpotente lorsque toute suite de commutateurs finit par trenulle, lorsque n devient suffisamment grand.Plus prcisment, dfinissons par et .S'il existe un i tel que =0, on dit que est nilpotente. Cette notion est mettre en parallle avec celle de groupenilpotent. Il est facile de voir que toute algbre de Lie ablienne est nilpotente.

  • Algbre de Lie 3

    L'algbre des matrices triangulaires strictes, c'est--dire de la forme fournit un exemple

    d'algbre de Lie nilpotente.Le thorme de Engel affirme qu'une algbre de Lie est nilpotente si et seulement si l'image de la reprsentationadjointe est conjugue une sous-algbre de .

    Cependant, l'exemple de l'algbre de Lie ablienne (donc nilpotente) montre qu'il existe des sous-algbresnilpotentes de qui ne sont pas conjugues une sous-algbre de .

    Algbres de Lie rsolublesArticle dtaill : Algbre de Lie rsoluble(en).

    Dfinissons par rcurrence par et S'il existe un i tel que =0, on dit que est rsoluble. Comme dans le cas des algbres nilpotentes, cette notioncorrespond celle de groupe rsoluble. Il est facile de voir que toute algbre de Lie nilpotente est rsoluble.Un exemple d'algbre de Lie rsoluble est donn par l'algbre des matrices triangulaires suprieures dans

    .Le thorme de Lie montre que, si K est corps algbriquement clos et de caractristique nulle, alors toutesous-algbre de Lie rsoluble de est conjugue une sous-algbre de .

    Algbres de Lie semi-simples et rductivesArticles dtaills : Algbre de Lie semi-simple(en) et Algbre de Lie rductive(en).On dit qu'une algbre de Lie est semi-simple lorsqu'elle ne contient pas d'idal rsoluble non trivial. est diterductive lorsque sa reprsentation adjointe est semi-simple.Lorsque K est de caractristique nulle, et que est de dimension finie, la semi-simplicit de est quivalente lanon-dgnerescence de la forme de Killing dfinie par , o tr dsigne latrace. Par ailleurs, est rductive si et seulement si est semi-simple.On peut montrer que, sous les mmes hypothses, toute algbre de Lie semi-simple est en fait une somme directed'algbres de Lie simples.Les algbres de Lie simples de dimension finie sur le corps des nombres complexes sont classifies par lesdiagrammes de Dynkin. Il y a donc 4 familles d'algbres de Lie simples (ou 3 si on considre et commeune mme famille) et 5 algbres de Lie exceptionnelles, correspondant chacune un diagramme de Dynkin diffrent. un diagramme de Dynkin de type correspond l'algbre de Lie . un diagramme de Dynkin de type correspond l'algbre de Lie . un diagramme de Dynkin de type correspond l'algbre de Lie . un diagramme de Dynkin de type correspond l'algbre de Lie . Les algbres de Lie exceptionnelles, correspondant aux diagrammes de Dynkin restants (de type E6, E7, E8, F4 et

    G2) n'ont pas d'interprtation aussi simple.

    L'algbre de Lie est, elle, rductive et son algbre de Lie drive est .Les algbres de Lie semi-simples de dimension finie sur le corps des nombres rels sont classifies par lesinvolutions d'algbres de Lie complexes ou, de faon quivalente, par les involutions de systmes de racines(en).Ceci correspond la notion d'algbre de Lie symtrique(en). Comme classe d'algbre de Lie simple relle, on peutciter :

  • Algbre de Lie 4

    Les algbres de Lie compactes. Ce sont les algbres de Lie de groupes compacts. Il y en a exactement une quicorrespond chaque algbre de Lie complexe.

    Les algbres de Lie complexes vues comme algbres de Lie relles. Les autres peuvent tre classes en familles AI, AII, AIII, BI, CI, CII, DI, DIII et en algbres exceptionnellesEI, EII, EIII, EIV (de type ) EV, EVI, EVII (de type ) EVIII, EIX (de type ) FI, FII (de type ) et GI(de type ) suivant la notation d'Helgason(de)).

    Dimension infinieIl n'y a pas de classification gnrale des algbres de Lie de dimension infinie mais plusieurs classes de tellesalgbres ont t tudies. Une algbre de Kac-Moody est une algbre de Lie dfinie abstraitement en termes de gnrateurs et relations

    cods par une matrice de Cartan gnralise non ncessairement dfinie positive. Elles peuvent donc tre dedimension infinie. Leur classification gnrale est encore hors de porte mais plusieurs sous-types sont connus Une algbre de Kac-Moody affine(en) possde la proprit que tous les sous-diagrammes de Dynkin de son

    diagramme de Dynkin correspondent des sous-algbres de Lie de dimension finie. Sa matrice de Cartangnralise est alors de corang 1. Les algbres de Kac-Moody affines ont t classifies par Victor Kac(en).Elles sont trs utilises en physique thorique dans l'tude des thories conformes des champs et en particulierdans l'tude des modles WZW.

    Une algbre de Kac-Moody hyperbolique possde un diagramme de Dynkin connexe avec la proprit que sion lui retire une racine, on obtient une algbre de Lie semi-simple de dimension finie ou bien une algbre deKac-Moody affine. Elles ont t galement classifies et sont de rang 10 au maximum. Leur matrice de Cartangnralise est non dgnre et de signature Lorentzienne (cest--dire avec exactement une directionngative).

    algbre de Kac-Moody gnralise(en) ou algbre de Borcherds : c'est un type d'algbre de Lie gnralisant leconcept d'algbre de Kac-Moody dont la matrice de Cartan gnralise peut possder des racines simplesnommes imaginaires pour lesquelles l'lment diagonal de la matrice de Cartan gnralise est ngatif. Elles ontt introduite par Richard Ewen Borcherds dans le cadre de l'tude de la conjecture monstrous moonshine.

    GnralisationIl existe diffrentes sortes de gnralisations des algbres de Lie, on citera les anneaux de Lie(en), les superalgbresde Lie, les groupes quantiques, les algbres de Leibniz, les algbres pr-Lie(en).

    Note et rfrences N. Bourbaki, lments de mathmatique, Groupes et algbres de Lie Jacques Dixmier, Algbres enveloppantes, ditions Jacques Gabay, Paris, 1996 (ISBN978-2-87647-014-9) (en) James E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, New York, Springer, coll.

    GTM (no9), 1978, 2ed. (ISBN978-0-387-90053-7) (en) Nathan Jacobson, Lie algebras, New York, Dover, 1979 (1red. 1962) (ISBN978-0-486-63832-4, lire en ligne (http:/

    / books. google. fr/ books?id=hPE1Mmm7SFMC))

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  • Sources et contributeurs de larticle 5

    Sources et contributeurs de larticleAlgbre de Lie Source: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=100448973 Contributeurs: Alain r, Ambigraphe, Anne Bauval, Archibald, Aschheim, Cbigorgne, Dacoucou, DesideriusSeverus, Dfeldmann, Ektoplastor, Erasmus.new, Esnico30, Fafnir, FraD, GLec, Grendelkhan, Jaclaf, Jaimie Ann Handson, Jaipasdepseudo, Jean-Luc W, Jef-Infojef, Kilom691, LeYaYa, Linan,Lylvic, Lyoa, Moipaulochon, Neseb, Orthogaffe, Oxyde, Peps, Phulbert, Poulpy, Prtmrz, Quentinv57, Rmih, Snark, Speculos, Teuxe, Theon, Touriste, Valvino, Walterpfeifer, 29 modificationsanonymes

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    Algbre de LieDfinitions, exemples et premires proprits Dfinition Quelques exemples classiques d'algbres de Lie Morphismes et idaux

    Relation avec les groupes de Lie et les groupes algbriques Classification Algbres de Lie nilpotentes Algbres de Lie rsolubles Algbres de Lie semi-simples et rductives Dimension infinie

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