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BOL. SOC. BRAS. MAT., VOL. 12 N? 2 (1981), 61-81 61 Algebres de Lie regulieres E. Ferreira et A. Petitjean Introduction. La notion de prolongement normal d'un pseudo-groupe de Lie, a 6t6 introduite par E. Cartan qui s'est apergu que si on prolonge un pseudo- -groupe de Lie, ~ un ordre assez +lev6, le pseudo-groupe obtenu est carac- tgris6 par le fait de laisser invariante chaque feuille d'un feuilletage. Ce rgsultat lui a permis de faire la classification des pseudogroupes de Lie simples ([2]). Plus tard M. M. Orellana, dans sa th6se de 3e cycle ([6]) a donn6 une version alggbrique du th6or6me de Caftan 6voqu6 plus haut; mais d'une part, il s'est limit6 au cas d'alg6bres de Lie associ6s ~ un pseudo- -groupe de Lie transitif sur une vari6t6 r6elle, d'autre part le manque de souplesse de ses m6thodes trop g6om6triques, les rend inutilisables d6s que l'on essaie de se placer dans un contexte plus g6n6ral. Partant des travaux d'E. Caftan et de M. Orellana, nous nous sommes propos6s de reprendre la version alggbrique du thgor6me d'E. Cartan. Les r6sultats de Rim ([8]) et Hayashi ([3]) nous ont permis d'introduire la no~ion de prolongement d'un champ de vecteurs formel (w Cette notion de proiongement correspond fi la notion g6om6trique qui pour- rait 6tre appel6 "prolongement ponctuel". A partir de Ih, nous avons d6- montr6 le thgor+me de Cartan pour les alg6bres de Lie filtr6es homog6nes (w et avons introduit la notion d'alg6bre de Lie r6guli6re en nous inspirant, d'une part, des r6sultats antgrieurs, d'autre part de la remarque 6vidente que toute alg6bre de Lie "associ6e" ~ un pseudo-groupe de Lie est rgguli+re, au sens de notre d6finition. Ace propos, nous devons mentionner le travail de M. Morimoto ([5]) qui, pour des raisons diff6rentes a 6t6 amen6 ~ considgrcr des pro- Iongements eta d6fini les alg+bres de Lie r6guli6res de fagon presqu' identique ~ la notre. (*) Ce travail, a 6t6 men6 fi bien grfice ~ I'aide de la F.A.P.E.S.P. (Fundaq~o de Amparo e Pesquisa do Estado de S~o Paulo, Brgsil). Recebido em 13/I0/80.

Algebres de Lie regulieres

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BOL. SOC. BRAS. MAT., VOL. 12 N? 2 (1981), 61-81 61

Algebres de Lie regulieres

E. Ferreira et A. Petitjean

Introduction.

La notion de prolongement normal d'un pseudo-groupe de Lie, a 6t6 introduite par E. Cartan qui s'est apergu que si on prolonge un pseudo- -groupe de Lie, ~ un ordre assez +lev6, le pseudo-groupe obtenu est carac- tgris6 par le fait de laisser invariante chaque feuille d'un feuilletage. Ce rgsultat lui a permis de faire la classification des pseudogroupes de Lie simples ([2]).

Plus tard M. M. Orellana, dans sa th6se de 3e cycle ([6]) a donn6 une version alggbrique du th6or6me de Caftan 6voqu6 plus haut; mais d'une part, il s'est limit6 au cas d'alg6bres de Lie associ6s ~ un pseudo- -groupe de Lie transitif sur une vari6t6 r6elle, d'autre part le manque de souplesse de ses m6thodes trop g6om6triques, les rend inutilisables d6s que l'on essaie de se placer dans un contexte plus g6n6ral.

Partant des travaux d'E. Caftan et de M. Orellana, nous nous sommes propos6s de reprendre la version alggbrique du thgor6me d'E. Cartan. Les r6sultats de Rim ([8]) et Hayashi ([3]) nous ont permis d'introduire la no~ion de prolongement d'un champ de vecteurs formel (w Cette notion de proiongement correspond fi la notion g6om6trique qui pour- rait 6tre appel6 "prolongement ponctuel". A partir de Ih, nous avons d6- montr6 le thgor+me de Cartan pour les alg6bres de Lie filtr6es homog6nes (w et avons introduit la notion d'alg6bre de Lie r6guli6re en nous inspirant, d'une part, des r6sultats antgrieurs, d'autre part de la remarque 6vidente que toute alg6bre de Lie "associ6e" ~ un pseudo-groupe de Lie est rgguli+re, au sens de notre d6finition.

A c e propos, nous devons mentionner le travail de M. Morimoto ([5]) qui, pour des raisons diff6rentes a 6t6 amen6 ~ considgrcr des pro- Iongements e t a d6fini les alg+bres de Lie r6guli6res de fagon presqu' identique ~ la notre.

(*) Ce travail, a 6t6 men6 fi bien grfice ~ I'aide de la F.A.P.E.S.P. (Fundaq~o de Amparo e Pesquisa do Estado de S~o Paulo, Brgsil).

Recebido em 13/I0/80.

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62 E. Ferreira et A. Peti t jean

1. Preliminaires.

Dans tout ce travail, A repr6sentera un corps commutatif de carac- t6ristique nulle et V un A-espace vectoriel de dimension finie n.

Soit S(V*)= f i sk(v *) la A-alg6bre locale des fonctions formelles k = O

sur V dont l'id6al maximal I~I sk(v *) sera not6 Jr On notera encore k = l

D(V) la A-alg6bre de Lie et S(V*)-module des A-d6rivations de ~(V'*). Pour x e V soit O/Ox 1'616ment de D(V) qui est d6fini sur V* par

&z ~x - ~(x), ~ ~ V*.

L'homomorphisme

x e V ~ O/Ox6D(V)

est injectif et permet d'identifier V ~ la sous-alg6bre de Lie ab61ienne de D(V) form6e des 616ments de la forme a/Ox.

On munit D(V) de la filtration {D*(V), k > -1} donn6e par D k ( v ) = = r qui en fait une alg+bre de Lie filtr6e transitive, s6par~e et compl+te.

Posons Vk = D(V)/Dk(V). On identifiera Vo /l V au moyen de I'iso- morphisme

x ~ V ~ O/~x rood D~

On posera encore Ak = S(V*) et l'on notera .///, l'id6al maximal de Ak. Les projections canoniques

p ' v k - , ve, <_ k

d6finissent par passage au dual, des homomorphismes injectifs d'alg6bres locales:

je : Ae--+ A k, ~ < k.

On a bien s~r fee= idae pour tout e et fk off =j~' pour m < t~ k. De plus, J~(./lte) =J~(Ae) n dlk pour to _< k. On peut ainsi identifier A t i~ une sous-alg6bre locale de Ak pour ve _< k. On obtient donc une suite croissante d'alg6bre locales:

A o = "S(V*) = A 1 c . . . = A k = A k + 1 = . . . .

D6finissons maintenant D(Vk, Ve) pour/~ < k comme 6tant l'ensemble des X ~ D(Vk) tels que X(A~) = A s pour to _< s _< k. I1 est clair que D(Vk, Ve)

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A l g e b r e s d e L i e r e g u l i e r e s 63

est une sous-alg6bre de Lie de D(Vk) et un sous-Ae-module si I'on munit D(Vk) de la, structure de Ae-module sousjacente ~t sa structure de Ak-module.

Notons nk'D(Vk, Ve)---,D(Ve)l'application d~finie par

~ g x x f ) = XI; x + D(K, D), .f+ A~.

I1 est imm6diat que n~ est um homomorphisme d'alg~bres de Lie filtrdes. On peut interpr6ter ce qui pr6c+de en termes de bases. Pour cela

soit ez . . . . , e, une base de Vdont e ~ . . . . , e" d6signera la base duale. Posons

p~. = ei | e ' ' ... e "e et pO = e i ' i = 1, ..., n

o/l ct = ( c q , . . . , a e ) ~ N e est tel que 1 _<ax < ... <Cte<n. L'isomorphisme bien connu:

x | e V | Vd(V*) ~ f(O/Cx ~ D(V)

induit un isomorphisme:

k

y, v | s q v * ) --, vk. to=O

k

En identifiant ainsi ~ V| =l , . . . , ne tO<l~!<k_ , _ g = O

(off [ c~ I = ~e si ~ = ( ~ . . . . , ee) et I e ! = 0 si ~ = 0) forment une base de V~. i i Tout 61~ment X sD(Vk) s'~crit alors de fa~on unique:

k

x = 2 Y i = 1 s = O l a l = s

Dire que XeD(Vk, Ve) 6quivaut /L dire que f~-eAe pour i = l , . . . , n et 0 < ! e ! < _ e et . / ~ A ~ p o u r i = l , . . . , n et ! e ! = s si t e < s < k . .

II s'ensuit que g

= f ] O/Opi i = 1 s = O ) a l = s

donc rr~ "D(Vk, Ve)--,D(Ve) est surjective. En particulier, D(V k, Ve) est une sousalg6bre de D(Vk) projetable sur D(Ve) et n~ est une projection ([7]). II existe donc, une sous-aig6bre de Lie de D(Vk) projetable maximale sur D(Ve), et une s.eUle, contenant D(Vk, Ve) et sur laquelle on peut prolonger, n6cessairement de faqon unique, n~ ([7] corollaire 4.4). Soit D(~ , Ve) cette alg6b(e et soit ff~ I'extension d e n ~ /t D(Vk, Vto ). I1 est clair que

O--(Vk, Ve) = {X + D(Vk) " X(Ae) = Ae' ,

l'expression de gk 6tant 6vident.

Page 4: Algebres de Lie regulieres

64 E. Ferreira et A. Petitjean

D6signons par G~ le noyau de la projection p~ �9 Vk ~ V e. II r6sulte des r6sultats ant6rieurs que

9roD(V~,, Ve) = {X e VR | V~' " IX , G]] = G~ pour s = ( . . . . . k I et que

�9 Oro.D(Vk, Ve) = [ X ~ V k | ~* "[X, GRe] = G~I.

De plus g r_ 1 rc~ �9 Vk ~ V e coincide avec projection canonique p,~ �9 VR ~ Ve. Un calcul montre que la base ~ " ~pi, i = l . . . . . n; 0 < [ c ~ l < k I de Vk,

construite plus haut, est quasi-r6guli+re par rapport aux sous-espaces 9roD(Vk, Ve) et groD(Vk, Ve) de Vk | VR* donc ces deux sous-espaces sont involutifs (cf. [4] et [9]): De plus si s > 1, 9r,D( Vk, Ve) (resp. 9r,D( Vk. Vt ))

O i / . este le prolongement d 'ordre s de 9to (l'k, Ve) (resp. de 9roD( ls~, I, e )), par cons6quent, D(Vk, V e) et D(Vk, Ve) sont des sous-alg6bres de Lie acy- cliques de D(Vk).

Si L e s t un A-espace vectoriel muni d 'une filtration d6croissante sr~t~ ~ J.~_> _ 1, on n o t e Llkl, pour k _> 0, l 'espace vectoriel L muni de la filtration d6finie par

L si s = 1 (Ltkt)~= ~+~ si s > 0

On a ainsi

#r_lLtk I = L / g et gr.~Ltk J= grk+"L si s > 0 .

Si L est une alg6bre de Lie filtr6e transitive, il en est de m~me de Ltk I pour tout k > 0.

On a un homomorph i sme injectif d'alg6bres de Lie gradu6es:

J = (J- 1, Jo . . . . ) �9 grD( V)tkl ~ 9rD( VR )

d6fini par: J -1 est l 'application identique de Vk = 9r- lD(V) tk I = 9r-ID(VR) et si

~ > 0 Je " V | Sk+e + l(V *) --', Vk | se + l(Vk *)

est donn6 par la formule:

je(x | ~1 ... c~k+e+l)=

= ~ Ix | ~Jl . . . ~ ) | ~ ... ~ ... ~ . . . ~ +e +1 I <-Jl <" ""<Jk < k + t ' + 1

En particulier, un 616ment X~je(oreD(V)tk}) v~rifie

(1) [ x , , [ X z , [ . . . , [ x e + l , X ] . . . ]~ v | s k ( v *) = ker(Vk-* Vk-1)

pour tous x t ... Xe+ 1 e Vk "

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Algebres de Lie regulieres 65

(2) [x, X] = 0 s i x 6 G~o = ker(11", --, V).

Ces conditions impliquent

(3) j(grD( V)tk 1) c grD(Vk, Ve).

On identifiera d6sormais, au moyen de j, grD(V)tk I h une sous-alg~bre de Lie gradu6e de grD(Vk, V).

2. Prolongements.

2.1. Theoreme. Pour tout k >_ 0 il existe un homomorphisme d'algObres de Lie:

Pk " D(V) ~ D(Vk)

v~r(fi'ant :

1) pkD(V) est une sous-aigebre tie Lie transitive de D(Vk) contenue clans D(Vk, V):

2) pour ( = 0 . . . . . k

ltke o Pk " D( V)te I ~ D( V e )

est un homomorphisme d'alg6bres de Lie filtr~es; 3) 7r~ o Pk est l'application identique de D(V).

D~monstration. Puisque grD(V)tk 1 s'identifie h une sous-alg4bre de Lie gradu6e transitive de grD(Vk, V) et que D(Vk, V) est acyclique, le th4or8me 3 de [3] affirme I'existence d'un homomorphisme injectif d'alg8bres de Lie filtr6es ~k'D(V)ik]-'~ D(Vk, V) tel que gr ~k soit l'inclusion canonique j "grD(V)tki--,grD(Vk, V ). En particulier, tPk(D(V)) est une sous-alg6bre de Lie transitive de D(K). De plus, il est imm6diat que pour ( = 0, ..., k, n~ o ~b k est un homomorphisme d'alg6bres de Lie filtr6es de D(V)tel dans D(Ve) et que n~ o ~bk est un automorphisme de D(V). Posons L = ~bk(D(V)) et h = ~/,~- ~ "L--,D(V). Alors h est une projection de L sur D(V) ([7] w D'apr+s le corollaire 4.4 de [7], il existe un unique couple (P, ~) off P est une sous-alg6bre de Lie de D(Vk) projetable maximale sur D(V) et h ' P - - , D ( V ) une projection qui prolonge h. Puisque P e t D(V k, V) con- tiennent L, leur intersection P n D(V k, V) est une sous-alg6bre de Lie transitive de D(~). De plus, ker groh = ker groh = ker p~ = G~; donc groP est la sous-alg6bre de Lie de K | Vk* = groD(Vk) form6 des endomor- phismes laissant G~ stable. I1 s'ensuit que grD(Vk, V)= grP. En vertu de i'acyclicit6 de P e t de D(Vk, V) le lemme 3.11 de [7] implique -D(Vk, V)= P. On utilise maintenant la proposition 4.3 de [7] qui assure I'existence d'un automorphisme/~ de l'alg6bre de Lie filtr6e D(V) tel que h =/~ o n~.

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66 E. Fcrreira et A. Petitjean

L'homomorphisme Pk = ~bk o # : D(V) --, D(Vk) satisfait /t toutes les condi- t iom du th6or6me.

2.2. l)efmitioa. Un prolongement d 'ordre k de D(V) est un homomor - phisme d'alg6bres de Lie Pt :D(V)~D(Vk) satisfaisant aux conditions du th6or6me pr6c6dent.

Remarquons qu'un prolongement Pk de D(V) est toujours une appli- cation injective. Un proiongement d'ordre z6ro est simplement rapplica- tion identique de D(V).

2.3. Proposition. Si Pk est un prolongement aeordre k de D(V) alors pour = 0, 1 . . . . . k - l l'application

pe = o pk " o ( v ) D(V, )

est un prolon#ement d'ordre ~e.

Ddmonstration. I1 suffit de v6rifier que peD(V) est une sous-alg6bre de Lie transitive de/3(Ve) ce qui est imm6diat puisque peD(V) est I'image de pkD(V) par la projection ~k.

2.4. Definition.'. Avec les notations de 2.3 on dira que Pe est le prolongement d'ordre e de D(V) induit par Pk.

2.5. Theoreme. Si Pk et qk sont des proiongements d'ordre k de D(V) alors pour ~' = 0, I . . . . . k il existe un automorphisme dp e de D(Ve) et un seul tel

que :

qe = C~eope.

De plus, dpe(D(Vt, Vt - I )) = D(Ve, Ve- 1 ) et c~ r_ l o ~ee- 1 = n~e- 1 o qbe sur D(Ve, Ve-1) p o u r ~ e = 1 , . . . , k et dPo est i'application identique de D(V).

Ddmonstration. L'existence et unicit6 de q~e(~ = 0 . . . . , k) au tomorphisme de D(Vt) satisfaisant q t = dp t o Pe est une cons6quence du th6or6me 3 de [3]. I1 est clair que 40 est l 'application identique de D(V). Pour ~e -: 1 . . . . , k considerons les sous-alg6bres projetables maximales D(Ve, Vt -1) et c~,,(D(Ve, V t - l ) ) d e D(Vt) sur D(Ve,1) munies d e s projections (~be- i )- 1 o ~ _ 1 et ~ _ r o (~be)- 1 respectivement. Ces deux sous-alg6bres de Lie de D(Vt) contiennent la sous-alg6bre transitive qtD(V); de plus, les projections (~b,,_1)-1 o 4 - 1 et ~ - 1 o (~be) -1 coincident sur qcD(V). Du corollaire 4.4 de [7] r6sulte alors que ~b,,(D(Ve, V t . t)) = D(Ve, Ve- 1 ) e t q u e ~ 1 ~ ~be = ~be-~ "o ~_1..

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Algebres de Lie regulieres 67

Remarque: Le th6or6me 2.5 admet une r6ciproque triviale c'est4t-dire si Pk est un prolongement d'ordre k de D(V) et si 0R est un automorphisme de D(Vk) induisant, dans un sens 6vident, un automorphisme de D(Ve) pour re = l, ..., k - 1 et i'identit6 sur D(V), alors qk = Ok o Pk est un pro- longement d'ordre k de D(V).

Rappeions maintenant que si West un A-espace vectoriel de dimen- sion finie alors pour tout H eAut~(W*) l'application

H . : X e D(W) -o H o X o H - l e D(W)

est un automorphi~me de l'alg6bre de Lie filtr6e D(W). De plus, l'application

H e Aut S(W*) ---,. H , e Aut D(W)

est un isomorphisme de groupes ([-7] th6or6me 2.5). A raide de la remarque pr6c6dente, on peut donner une autre version

du th6orSme 2.5. Soit Gk le groupe des automorphismes de A k qui induisent, par restriction, un automorphisme de A t , pour e = 1,.. . , k - 1, et l'iden- tit6 sur A o. On a ainsi:

2.6. Theoreme. Soit Pk un prolongement d'ordre k de D(V). Alors por tout H k e Gk, Fapplication

H k , P k : X e D(V) -o H k o pk X o H k 1 e D(Vk)

est un prolongement d'ordre k de D(V). De plus, Fapplication H k e G k --* Hk ,Pk

est une bijection de Gk sur rensemble des prolongements d'ordre k de D(V).

Ddmonstration. La premiere pattie du th6or6me est imm6diate ainsi que l'injectivit6 de H k ~ Hk.Pk . Soit qk un prolongement d'ordre k et soit 0e, pour t~ {0, 1 . . . . . k}, ! 'automorphisme de D('Ve) v6rifiant qe=Oeope . On note He l 'automorphisme de A e associ6 ~t Or. On a ainsi qe =He*Pc. Montrons que HkeGkOU, ce qui revient au mSme, que HR(f)=He(J') pour}' e A e. On a pour tout X e D(Vk) et tout f ~ AR, OR(fX) = HR(J")Ok(X). Si X e D(VR, VR-I) et f e Ak-i alors f X e D(Vk, Vk-1) donc 0k(X), Ok(fX)e eD(VR, Vk-l). iil s'ensuit que Hk(f)" D(VR, Vk-1)cD(VR, Vk-l) et par suite H k ( f ) e A k - l . De l'6galit6 Ok(fX)=HR(f)Ok(X) et du fait que ~k- 1 o 0k = ~bk- 1 o ~k_ i on d6duit alors

Ok-~(fzrkk -~(X)) ---- Hk(f )Ok- ~( 7tk- ~(X)). O r

donc , I x ) ) = tXl)

Hk(f )Ok- 1(~- l(X)) = Hk- l(f )O,- l(Zr~, l(X))

pour tout X e D(Vk, Vk- 1 )ld'ofi Hk(f) = Hk- l(f). A partir de ce r6sulta.t, une r6curr~nce simple sur k perrnet d'achever la d~monstration.

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68 E. Ferreira et A. Pet i t jean

3. Prolongements de sous-algebres de Lie homogenes de D(V)

On consid6re un pro longement pk.d 'ordre k de DIV) et I'on note Pe((<-k) le pro longement d ' o r d r e ( induit par PR"

Si L est un sous-A-espace 'vectoriel de D(V) muni de la fil tration induite de celle de D(V), on posera

VR L = or_ lPkL = PRL/(Pk L) ~ DO( V~ )

et l 'on notera p~eL ou ~ L pour ( = 0, l . . . . . k le sous-Ae-module de D(Vk) engendr6 par pRL.

Fixons-nous main tenant un sous-espace vectoriel L de D(V).

3.1. Lemme. Pour ( = O, 1, . . . . k - I , on a pek L = D( Vk , V e) et la projection de ~ L fi D(Vk_l) est ~gale f peg_lL.

La d6monstra t ion de c e lemme est imm6diate. On a encore:

3.2. Lemme. Soit X ~ (p~L) ~ = pkL c~ DO(Vk). On peut &~rire

X ~. .i : .1 p k X i i=1

avec, pour tout i, .].i~ ~#[e ou X i 6 ~.

D~monstration. On peut 6crire X = Z.fipkY~ Off f i ~ A e et Y ~ L . O n note y~ la project ion de Pk Y~ sur Vk. Si yz = 0 pour tout i, il n'y a rien/l d6montrer . Sinon, soit s le rang du syst6me de vecteurs y~ . . . . . Yr- On peut par exemple

supposer que Yl,-. . ,Y., sont A-ind6pendants et 6crire yj = ~ 2~i pour i=1

j = s + 1 . . . . , r, off ;~j e A. Posons maintenant Xi = Y/ pour i = 1 . . . . . s e t

!X j = Y j - . 2jY/ pour j = s + 1,.. r. On a ainsi X = off i=1 i=1

• f i = g~ + ).~! j si i < s e t ] i = g ~ si i > s. II est clair que cette d6com-

j = s + l

position de X r6pond /t la question.

3.3. Coroilaire.~ On a

[gr /kO(V) , G~] = 0

pour ( = 0 , 1 . . . . . k et tout s > - 1 .

D~monstration. Puisque pRD(V) et par suite ~D(V) , est une sous-alg+bre transitive de D(VR), il suffit de d6mont re r que [gro~D(V),Gke] = 0 p o u r

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Algebres de Lie regulieres 69

( = 0 . . . . ,k. Soit alors X e(~D(V)) ~ D'apr6s 3.2, on peut 6crire

X .i = .1 pkXi OU .] ieAr et off pour t o u t i ou bien J~E ~t' e ou bien i=1

Xi e DR(V). Si to e G k on peut choisir Yr tel que 9r- lpkY= to. On a"

[X, Pk Y] = Xf 'pk[X, , Y] -- X(ptY)(f ')pkX~.

Si f i e ./14 e alors (peY)( f i )e ./14 e puisque peYe D~ donc fipk[Xi, Y] ' et (prY)(fi)pkXi appart iennent /l D~ Si X~aDk(V) alors [X;, Y ] a e DR+e(V) c DR(V) donc f ipk[Xi, Y] et (peY)(fi)pkXi appartiennent en- core /L D~ I! s'ensuit que [(~D(V))~176 donc [or0PkeD(V), G,~] = 0.

On en dSduit imm6diatement:

3.4. Corollaire. On a l'~9alit~:

9rprkO(V) = Vk | S(V~).

3.5. Corollaire. Si L est un sous-A-espace vectoriel de D(V) les conditions suivantes sont dquivalentes:

1) [grkL , V] = 9rk_tL; 2) 9rol~kL = Vk L | V,Y pour ( = O, 1,. . . , k; 3) il existe ( e {0, 1, . . . , k} tel que groWL = V? | V~.

D~monstration. La condition 1) est dquivalente /t

[tL D( V)] = t2- + Ok(V)

d'ofl l 'on d6duit

[pk ~, pkD( V)] c pk ~ - 1 + pkDk(V),

inclusion de laquelle r6sulte la suivante

[Pekkl_~,pkD(V)] c gI~,- ' + AePkDR(V)

et par suite

[grop /L vk] c V?.

En tenant compte de 3.4, cette inclusion donne

gr Olfkk ~ = V~ | V~'.

Or, d'apr~s 3.2, on a (peL)~ = ,AlePkL + pe~ etpar consequent 9ropeL c V~ | Ve*. L'inclusion dans l'autrc scns cst imm6diatc, donc on a 2). II cst clair quc 2) impliquc 3). Par aillcurs, la condition 3), comptc tcnu de 3.3 implique [(pkeL) ~ pkD(V)] = pk L + D~ et par suite [(pkL) ~ pRD( V)] =

pkL + (pkD(V)) ~ d'ofl [/3, D(V)] c L + DR(v) et par cons6quent on a 1 ).

Page 10: Algebres de Lie regulieres

70 E. F e r r e i r a et A . P e t i t j e a n

3.6. Lemme. Sont ~quivalentes les conditiotis suiwmtes:

1) 9r p.~L = VRL | sIv~'): 2) le Ae-module pekL est libre de rang O9al d dimAVk L.

DOmonstration: Soient X~ . . . . . Xqe L dont les classes modulo /_} forment une base de L/l_}. Consid~rons le sous-Ae-module M de D(Vk) engendr~ par PRXI . . . . ,pkXq. II est clair que MCpekL et que pkXl . . . . . pkXq est une Ae-base de M. Mont rons que, sous I'hypoth~se 1 ), on a E L = M + (~L) "~ pour tout s _> - 1 . Cette ~galit~ est immediate pour s = - 1 puisque M c ( ~ L ) - I = pekL et pour s = 0 par construction de M. Admettons- la pour s i.e. admettons que si X s E L , il existe Ye M tel que X - Y e ( ~ L ) -~.

II s'ensuit que la classe de X - Y modulo (ptkL)"+~ appart ient ',i

VkL| S~+tlVt*) i.e. elle est de la forme Z x i ~ f i, OLI X i est la classe de i = 1 q

PkXi modulo (~L) ~ et .fi~ Vt.. En posant Y ' = Y+ 2 f i p k X i on a i = l

Y' ~ M et X - Y' e (pkL)~+1. Par cons6quent, peL ~ M + (tfkkL) "~+ ~" I'in- clusion dans I'autre sens 6tant 6vidente, on a ainsi d6montr6 par r6currence que E L = M + ( ~ L ) ~ pour tout s > - I. Puisque Ae est un anneau local complet et que M est un Ae-module de type fini, M est complet pour la JC'e-topologie. Or puisque M est libre de rang 6gal "h.dima[~t'-dimaM/M ~ la ~ ' t - topolog ie de M est identique ',i la top01ogie induite par celle de D( Vk e) (car on a en effet JI~+aM = M ~ D'~IVk) pour tout s): par cons6quent M est ferm6 dans O(Vk) et l'on a M = (") (M+D~(Vk))= ~ (M +

s _ > - I s _ > - I

+ (fkL) ~) = prkL i.e. M = pekL ce qui d6montre 2). Le fait que 2) implique 1) est imm6diat.

3.7. Lemme. Les conditions suivantes sont ~quivalentes:

1) pour tout ~ ~ {0, 1 . . . . . k}, pekL est un Ae-module libre de rang ~gal d dim~ VkL;

2) il existe ( ~ {0, 1, . . . , k} tel que prL soit un Ae-module libre de ran 9 Ogal d dimA vkL."

D~monstration. La condi t ion 1) implique naturellement 2). Supposons donc que pekL est libre de rang 6gal b. dima Vk z pour un certain e ~ {0, 1, . . . , k}. Soient X1 . . . . . Xq ~ L dont les projections xl . . . . . xq dans Vk forment une base de Vk L. Alors pkX~ . . . . . pkXq sont Ae,-ind6pendants pour tout t o' ~ {0, 1 . . . . , k} et forment une Ae-base de fkL. Si to' > to alors on a pke'L = Ae,~L done PkX~ . . . . , PkXq engendrent ~ ' L et par suite en consti tuent une Ae,-base. Si ( ' < (, on a pek'L c fkL done 9rpek'L = 9rfkL. De 3.6 et 3.4, on d6duit 9r~'L = Vk L | V k | S(V~) =

=VkL| Come par ailleurs 9rpek'L~ VkL| on a

Page 11: Algebres de Lie regulieres

Algebres de Lie regulieres 71

grp~'L = Vk L GaS(V*) ce qui, d'apr6s 3.6, implique que ~ ' L est libre de rang 6gal fi dimaVk L.

Rappelons qu'une sous-alg6bre de Lie L de D(V) est dite homogene si son normalisateur N(L) dans D(V) est une sous-alg6bre de Lie transitive de D(V).

3.8. Proposition. Si L e s t une sous-algbbre de Lie homogbne de D(V) alors p~Lest un At-module libre tie rang ~gal dl dim~Vk L pour tout ( ~ [0, 1 . . . . . k~,.

DOmonstration. D'apr6s 3.7 et 3.6, ii suffit de d~montrer que grp~ = = Vk L | S(V*). On a toujours g r_ ,p~ = Vk L et grp~ D V L | S(V*). D'autre part, puisque Les t homog6ne, on a [grL, V ] c grL donc, d'apr~s 3.5 on a grop~ = V~ | V*. De nouveau, la transitivit+ de N(L) et 3.3 impliquent

[9r,p~ L, Vk ] = [gr.,p~ L, ';N'L'I "k j c y r . , _ lp~

pour tout s _> 0. Comme grop~ = V~L| V* on en (]6duit que gr,p~ c VkL| S '+ 1(V*) pour tout s >__ 0 ce qui ach+ve la d6monstration.

4. Families de Prolongements

Dans ce paragraphe, on se propose de montrer que tout prolonge- ment Pk d'ordre k de D(V) est induit par un prolongement Pk+l d'ordre k + I e t intr0duire ainsi les familles de prolongements (ou prolongements d'ordre infini) de D(V). On peut remarquer que l'existence de p, + l.induisant Pk peut ~tre obtenue comme consequence des th~or~mes 2.1 et 2.6. Pour des raisons qui deviendront claires par la suite, on a pr~f~r~ donner ici une d~monstration bas~e sur la th6orie des invariants de sous-alg6bres de Lie de D(V).

Soit L une sous-alg~bre de Lie de D(V ). On note'~ le sous-Ao-module (Ao= S(V*)) de D(V) engendr6 par L. Rappelons qu'un invariant de L est un ~16ment f ~ A 0 tel que X ( f ) = 0 por tout X ~ L. I1 est clair que l'ensemble At. des invariants de L e s t une sous-alg~bre de Ao contenant les constantes (i.e. A,. D A). On a de plus AZ = At. et AL est ferm~ dans A o pour la topologie d~finie par I'id~al maximal ~ 'o de A o. I1 n'est, Carlleurs, par difficile de d6montrer que At. est un anneau local, d'id~al maximal ~ ' o n At. et de m~me corps r6siduel que A 0.

On rappelle qu'un sous-Ao-module M de D(V) est une distribution (involutive) de rang ps i M est libre de rang ~gal b. p = dimAM/M ~ et si M est une .sous-alg~bre de Lie de D(V). On a la version alg~briqiae suivante du th~or~me de Frob~nius (cf. [ t ] , th6o. 3.3).

Page 12: Algebres de Lie regulieres

72 E. Ferreira et A. Petitjcan

4.1. Theoreme. Pour un sous-Ao-module M de D(V) les conditions suivantes sont ~quivalentes :

1) M est une distribution involutive de rang p; 2) si x l . . . . . x. est une base de Vii existe un automorphisme (a de ralg~bre

de Lie filtrde D(V) tel que le Ao-module qb(M) soit engendr~ par Ol~xl . . . . . OlOx~.

4.2. Def'mition. On dit que f l . . . . . fp ~ v/r sont ind6pendants si leurs classes modulo .gr forment une partie livre du .A-espace vectoriel V//o/.gr = V*.

Du th6orCme 4.1, on d6duit facilement:

4.3. Lemme. Si Les t une distribution de rang p, alors il existe n - p dldments inddpendants fp+1 . . . . . f , ~ J / o tels que la sous-algdbre de Ao engendrde parfv+l . . . . . f~ soit dense dans At., c.&d. A L = A[l fp+ i . . . . , f , ] ] . Rdcipro- quement, si fp+ l . . . . . f~ sont des dldments inddpendants de J/o il existe une distribution M e t une seule de D(V) retie que AM = A[[-]~,+1 . . . . . )'~,]].

Appelons It- i'id6al de A 0 engendr6 par -///o c~ A~. On a bien sur I t . = I~. D u lemme 4.3 on d6duit:

4.4. Lemme. Si L e s t une distribution de ran 9 p alors It. est enoendrd par n - p dldments inddpendants de 21"[ 0 qui sont des invariants de L.

A raide de 4.1 on en d6duit encore:

4.5. Lemme. L'iddal It. de Ao est stable par L. De plus, si Les t une distri- bution, It. est maximal dans rensemble des idFaux de A o s[ables par L.

On applique maintenant ces r6sultats aux prolongements. Si k et s sont deux entiers positifs, on pose

Vk.~= D(Vk)/D'(V k) et A k . ~ = S ( ~ . ~ )

et l 'on note ~r rid6al maximal de Ak.,. On a bien stir Vk.o = Vk. Consid6rons maintenant un prolongement d 'ordre k > 0 de D(V):

Pk : D(V) ~ D(Vk)

et un prolongement d 'ordre ~e > 0 de D(Vk):

qe : D(Vk) ~ D(Vk.e).

P o u r s = 0, . . . , ( l 'application compos~e q~ o.Pk est un h o m o m o r - Phisme injectifd 'alg6bres de Lie filtr6es de D(V)tk+~ 1 dans/)(V~.~) et indui t un homomorph i sme injectif d 'espaces vectoriels:

A,s : V~+s --' Vk,s.

Page 13: Algebres de Lie regulieres

Algebres de Lie regulieres 73

O n a le diagramme commutatif suivant:

Vk+~ Jk,~: ~ Vk,~ = gr_lq~D(Vk)

Vk+s+l " J k . s - l ~ gk~ = 9r_lq~_lD(Vk)

les fl6ches verticales &ant les projections canoniques. En passant au dual, on obtient un homomorphisme surjectif:

Jk.~'V~*~V*+~

donc un homomorphisme surjectif d'alg6bres locales

Ak. s "* Ak+ s

dont le noyau sera not6 lk,~. II est clair que Ik.~ est engendr6 par le noyau de j~.,~. On a de plus

l k . o = O et lk.~-I = Ak.~-l C~lk.~ (S=I . . . . . O

comme r6sulte du diagramme commutatif pr6c6dent. Appelons Jk..~ l'id6al de Ak.~ engendr6 par les invariants non inver-

sibles de q~.pkD(V) (0 <_ s <_ ~).

4.6, Lemme. E ideal Jk..~ est inddpendant des prolongements Pk et q~ choisis.

Ddmonstration. Soient .Vk et ~/~ des prolongements d'ordre k et s e t D(V) et D(Vk) respectivement. D'apr6s 2.5, on peut 6crire ~L = ~ o q~ et Pk = (Ok o Pk Off ~p~ (resp. ~k) est un automorphisme de l'alg~bre de Lie filtr6e D(Vk.~) (resp. D(Vk)). Puisque ~LD(Vk) est une sous-alg6bre de Lie transitive de D(Vk..~), le th6or6me 4 de [3] affirme l'existence et unicit6 d'un automor- phisme ~bk.~. de D(Vk.~) v6rifiant

On a ainsi

q~ o Pk ---- C~k.~ ~ ~ ~ q~ ~ Pk.

I I en r6sulte que q~(pkD(V)) et ~L(~kD(V)) ont les mSmes invariants, donc le m6me id6al engendr6 par les invariants non inversibles.

Puisque pRD(V) est une sous-alg6bre transitive de D(Vk), [a propo- sition 3.8 implique que le Ak.~-sous-module de D(Vk,~) engendr6 par q~(pkD(V)) est une distribution de rang 6gal ~ dim~qr_lq.~(pkD(V))= = dimAVk+~. De lemme 4.4 on d~duit alors que Jk.,~ est engendr6 par dim VR.~ -- dim Vk§ 616ments ind6pendants de Jgk.~. Il en r6sulte en par- ticulier

(4.7) ( ~ k . s ) r" J k . s [ j~ ~r+l

Page 14: Algebres de Lie regulieres

74 E. Ferreira et A. Pet i t jean

(4.8)

i.e.

Des d6finitions de j , . .~ et de lk . s ainsi que de 4.7 on d6duit aussi

grJk . s = grlk..~

(J/k..;Y Jk.~/("//k..~) "+ x ~k.. , = ('~k..~)" l~..J(~//k..~) "+ I lk..~, r,>_ O.

4.9. Lemme. O n a Jk. .~- 1 = Jk..~ ~ Ak..~- 1.

Ddmonstration. On a bien stir JR. . , -~ ~ Jk..~ n Ak.. ,-~. D'au t re part, Jk .~ n Ak.~- 1 est un id6al de Ak..~- 1, stable pax q.~_ ~(pkD( V)) donc, d'apr~s 4.5, il est contenu dans Jk .~ - l .

'4.10, Proposition. I1 existe un automorPfiisme He de l'algdbre locale Ak.e. v~rifiant :

1) He(Ak.~ ) = Ak.~ et He(Jk .~) = lk.~ pour s = 0, 1 . . . . . ( ; 2) H e ( f ) = f si f ~ Ak.

D~monstration. On a l e d iagramme commuta t i f suivant

)2 ~ ~ k e / (Jg~ e )2 ,,,K,<l.,g~ -.> ~ ,< . , l ( . ,a, , .x - .+ . . . . .

t t J~<. U. ,gk . J k . ~ - > . . . -> J~ .e l , ' ak .e<~k .e

toutes les fldches &ant les injections canoniques. P o s o n s u s = dimA~+., et v~ = dim,xVk.~ - dimAVk+~ = dim,x jk .JJ lk .~Jk . '~ . Choisissons une base

cq . . . . . ~ e ' fll . . . . . floe de ..r162 2 telle que

1) ~ ' " " ~ o est une base de JIU..r162 2) fix, . . . , 3 ~ est une base de Jk .UJC~.~j~.~ , s = 1 . . . . . ( ; 3) ~1 , - - . ,~ ,~ , f l l , . . . , f l~ est une base de JCk.d(~t'~.~) 2,

s = 1 , . . . , ( .

O n consid~re maintenant des ~l~ments.fi, . .... f"e, g ~ . . . . . 0,, e, h ~ . . . . , h~, e de ~lgk.r v~rifiant

1) f l , : . . , f a o E . / g , ; 2) g~, . . . ,O~,e,r et hi . . . . . hv ~ l k . ~ , s = I . . . . . tr

3) f l , . . . , f U s e . , ~ k . s , S = 1 . . . . . ~; 4) la classe de f i , i = 1 . . . . ,ue (resp. de 0i et de h s, j = 1 . . . . , re)

modulo (~r 2 est ggale A ~ (resp. A fig).

I1 r6sulte alors de [10] (ch. VIII, th6or6me 7) que

~t'k = ( f l , - - - , f~o ) ~,~ = (g ~ . . . . , g % ) , 1 < s _<

Ik.~ = ( h l , . . . , h % ) , 1 <_ s <_

~gk.s = ( f l . . . . . f , ~ , g l , . . . ,g%) , 1 < S < ( .

Page 15: Algebres de Lie regulieres

Algebres de Lie regulieres 75

II est maintenant imm6diat, qu'en posant

He(J)) = L, i = 1 . . . . , ue

He(Or ) = h j, j = 1 . . . . , re

on d6finit un automorphisme He de Ak.e v6rifiant toutes les conditions du th6or6me.

4.11. Corollaire. Pour tout s e { 1 . . . . . ~} on peut trouver un homomorphisme surject![ d'alg~bres locales

O~k. s �9 Ak.s -* Ak+ s

dont le noyau est ,~k. , et de sorte que le diaoramme suivant soit commutat(f "

Ak-'* Ak.l ~ "'" ~ Ak.e

fl ~k. ~ ~k.e LI

A k ~ Ak+ 1 ~ . . . --~Ak+ r

les fl~ches horizontales ~tant les injections canoniques.

Avec les notations de 4.11 on peut maintenant d6finir

Pk+e : D(V) ~ D(Vk+e)

par la formule

(4.12) Pk+eX o O~k.e = O~k.e o qe(pkX).

Une v6rification simple montre que Pk +e est un prolongement d'ordre k + ( induisant Pk" On a ainsi d6montr6:

4.13. Theoreme. Etant donn~ un prolongement Pk d'ordre k de D(V) alors

pour tout ( > O, il existe un prolongement Pk§ d'ordre k + ( induisant PR" Un tel prolongement peut ~tre obtenu, & raide d'un prolongement qe d'ordre

( de D(Vk), ~ partir de la formule 4.12.

Ce th6or~me justifie la d6finition suivante:

4.14. Definition. Une famille de prolongements de D(V) est une suite { P k } k ~ l O1~1, p o u r t o u t k e ~, PR est un prolongement d'ordre k de D(V)

chaque Pk 6tant induit par Pk+~.

On a pour les familles de prolongements des th6or+mes analogues 2.5 et 2.6 dont on ommettra ici les 6nonc6s. Signalons toutefois que I'en-

semble des families de prolongements est en bijection avec le groupe lim (Gk, .Rk ) 0(.1 Rk : Gk + 1 .--~ G k est l'application restriction (cf. 2.6).

Page 16: Algebres de Lie regulieres

76 E. Ferreira et A. Petitjcan

Avcc les notations de ce paragraphe, posons

P -- {XED( .t)IX(Jk.,)

I! n'cst pas difficile de voir que P c s t en fair le sous-Ak.e-module de D(Vk.e) engendr6 par qe(pkD(V)), mais ce fait ne sera pas utilis~ ici.

Rappelons (cf. p. I0) que qae(pkD(V)) (resp. ~+eD(V)) d~signe le sous- -Ak-module de D(Vk.e) (resp. de D(Vk+e)) engendr6 par qe(pkD(V)) (resp. par pk+eD(V)).

L'appl ica t ion ak,e :Ak.e ~ Ak+e induit un homomorphisme h d'alg6- bres de Lie filtr~es de P dans D(Vk+e) et il cst clair que h(qkt(pkD(V)))= =p~+eD(V). On a, plus pr~cis~ment:

4.15. Proposition. Eapplication h:qke(pkD(V))--*p~+eD(V) est un iso- morphisme de Ak-modules filtrds et de A-algbbres de Lie filtr~es.

La d6monstration de 4.15 ne pr6sente pas de difficult6s. II suffit, en effet, de remarquer que si XI . . . . . Xuk+e sont des 616ments de D(V) dont Ics classes modulo Dk+e(V) forment une base ~ de Vk+e alors qt(pkX l ) . . . . . qe(pkXuk + e ) (resp. Pk + eX l . . . . . pk + eX,,k +e)forment une base du Ak-module qkt(pkD(V)) (resp. de pk+eD(V)), et d'utiliser le fait que h(qe(pkX)) = Pk+r x (X ~ D(V)).

5. Algebres de Lie regulieres.

On conserve dans ce paragraphe les notations des paragraphes pr6c6dents. On se donne en plus une famille de prolongements ( P k ) ~ de D(V).

5.1. Lemme. Soit L une distribution (pas ndcessairement involutive) de D(V) et soient XI . . . . . XqeD(V) dont les projections .xl . . . . . xq sur V forment une base d'un sous-espace W de V tel que W n gr- lL = O. Alors si

q

f l . . . . , f qE ~(V*) sont tels que ~ . f iXi~ L, on a f l . . . . ~ f q = O. i=1

Ddmonstration. Ecri~,ons f i = a~ + ~ + . . . + a[ + . . . o6 a[e St(V*). On a, q q

en posant X = ~ fiX~, g r _ l X = ~ a~oXie W n g r _ l L = O done a ~ = 0 i=1 i l l

pour tout i ou encore X e L ~ Cont inuons par r6currence en supposant que X E E ; on a done f~e,~'~+~ pour tout i e t par suite g r t X =

q

- - ~, xi | at+i l egr,L n W | S'+I(V*). Or, L 6tant une distribution, o n i=1

a gr,L = gr- i L | St+I(V *) ([7 bis] proposit ion 1.5) done

Page 17: Algebres de Lie regulieres

Algebres de Lie regulieres 77

gr~L n W | S'+~(V *)

et par cons6quent gr,X=O i.e. X ~ s +~ ou encore .!.~ejr

5.2. Lemme. Soient L e t M deux sous-A-espaces vectoriels de D(V) tels que

l) L et ~l sont des distributions; 2) gr_l(L n M) = gr_lL n gr_lM.

Alors L n M est une distribution et L n M = L n M.

D~monstration. Si 9r - iL n or_ iM = 0 on a ~. n ,~ = 0 d'apr6s 5.1, done L r~ M = 0 et le lemme est v6rifi6 dans ce cas. Supposons 9 r_ ~ L r~ 9 r_ ~ M ~ 0 et soit Wun sous-espaee vectoriel de V tel que 9r- ~M = 9 r_ ~(L c~ M) q) W. On a bien stir gr_~Lc~ W = O. Soient X~ . . . . . X p + , ~ M tels que X~ . . . . . Xpe L n M e t dont les projections x~ . . . . . xp+, sur Vsont telles que xl . . . . . x~ soit une base de 9 r_ I(L c~ M) et x~+~ . . . . ,xp+, une base de W. Puisque M est une distribution, Xl . . . . . Xp+, est une base de comme S( V* )-module. Soit X e L"n'~M; en particulier, X e , ~ done on

p + q p + q

peut 6crire X ~ ; = ! X;. Or X, XI . . . . . X p ~ L done ~ " ! Xi = i = 1 i = p + 1

P

= X - ~ f i X i e T , . Le lemme 5.1 implique alors f p + l . . . . = ! P + q = 0 i = 1

P

d'o/l X = ~ f i x i. Par cons6quent, X l . . . . . Xp engendrent L c~ M sur i = 1

S(V*) et par suite, L n M est une distribution de rang p. Le m6me raisonnement montre que L, n ~t es tauss i une distributi~on de rang p, comme par ailleurs on a L " ~ M ~ L n M, il s ensuit que L n M = L, c~ ,~/.

5.3. Definition. Un sous-A-espace vectorial L de D(V) est dit r6gulier I'ordre ko e N, si pour tout entier k >_ ko le sous-S( V* )-module pkL engen- dr6 par pkL est une distribution. Une sous-alg6bre de Lie de D(V) est dite r6guli~re si Fespaee vectoriel sous-jacent est r6gulier.

D'apr6s 2.5, cette d6finition est ind6pendante de la famille de pro- Iongements (pk) choisie.

I! r6sulte de 3.8 que toute sous-alg~bre homog6ne, en particulier done transitive, de D(V) est r6guli~re & l'ordre 0.

5.4. Lemme. Si Les t un sous-espace de D(V) r~gulier d l'ordre ko alors pour tout entier k >_ k o on a [grkL, V! c grk- i L.

D~monstration. Soit k un entier >_ k 0. Puisque p~'L est une distribution on a groPkL -- Vk L | VR* donc groPkL c ~L | F* ou, d 'une far ~qui-

Page 18: Algebres de Lie regulieres

78 E. Ferreira et A. Petit jean

valente, [grOPkL, Vk]C Vk L. Or, puisque pkD(V) est une sous-alg6bre transitive de D(I,;,) et que (pkL) ~ p~/~, cette derni6re inclusion este en- core 6quivalente

[pk~, pkD( v)] c pk L d- pkDk( V)

d'ofl, en projetant sur D(V):

o(v)] L + Dk(V)

d'ofl encore [gr,L, V] r L / I~. Comme d'autre part, [gr~L, V] r grk- .D( V), on a finalement [grkL , V ] r gr k_ i L.

5.5. Lemme. Si L e t M sont deux sous-espaces vectoriels de D(V) et k o un entier positif ou nul, les conditions suivantes sont ~quivalentes:

l) L/l~o c~M/Mko = (L ~ M ) / ( L c~M) ko et grgL c~grkM = ~lrdL c~M) tout. k >_ ko, i.e. grL[ko] ~grM[ko] = gr(L t~ M)Iko ]-

pour2) L/I~. c~ M / M k "= (L c~ M)/ (L c~ M) k pour tout k >_ k o.

3) VR L c~ Vk M = VR LoM pour tout k >_ k o.

D~monstration. Soit i" Vk--* Vk i'isomorphisme induit par Pk. On a Vk L= i (L /~) , Vk M = i(M/MR), VR L'~M = i((L n M ) / ( L c~M)*) et V~c~ Vk M = =i(L / I~c~M/MR) . L'6quivalence de 2) et 3) en r6sulte. Remarquons maintenant que les inclusions L//~ c ~ M / M k D (L n M)/(L ~ M ) k et gr k_ ~L c~ grkL ~M ~ gr k_ I(L ~ M) sont v6rifi6es pour tout entier k ~ 0. On a donc le diagramme commutatif suivant:

0 0 0

t t ,t 0 ~ grk- i(L C~ M) ~ (L c~ M)/ (L n M) k ~ (L c~ M) / (L n M)R-. 1 _. 0

0 ~ g r k - l L ~ g r k - l M ~ L/I~ c~ M / M k ~ L / ~ -~ ~ M / M ~-~

dont les lignes et colonnes sont exactes. A partir de ce diagramme l'6qui- valence de l) et 2) se d6duit par r6currence sur k.

On utilise ce lemme pour d6montrer:

5.6. Proposition. Si L e t M sont deux sous-espaces de D(V) r~gulier fi rordre k o et si grLtkol r~ grMt, oi = gr(L c~M)tkol alors L ~ M est aussi r~gulier d~ rordre k o.

D~monstration. Puisque Pk est injectif pour tout k, on a pkL ~pRM = .=pR(LOM). D'autre part, on a, d'apr6s 5.5, gr_~pkL~gr- lPkM-- -

= gr~. lpk(L ~ M) pour tout k _> ko. D'apr/:s 5.2, pour tout k > ko, pk(L n M ) est une distribution. La proposition est ainsi d6montr6e.

Page 19: Algebres de Lie regulieres

Algebres de Lie regulieres 79

En appliquant successivement 4.15 et 3.7 on montre facilement:

5.7. Proposition. Si L e s t un sous-espace vectoriel de D(V) et k un entier positif ou nul, alors L e s t r~gulier d Fordre ko si et seulement si pkL est rd- r~gulier ~ l'ordre M a x ( k - k o , 0).

On se propose maintenant de donner une autre caracterisation des sous-alg~bres de Lie r6guli6res de D(V). Rappeions d'abord.

5.8. Definition. Si E est un sous-espace vectoriel de V| se(v *) (( >_ O) et si k est un entier positif, le k ~ prolongement de E est le sous-espace vec- toriel de V | Sk+e(V *) donn~ par pkE= E | sk(v *) c3 V | Sk+e(V*);

On dit qu'un sous-espace vectoriel L de D(V) est l-acyclique /t I'ordre /' si

9rk+eL = Pk(OreL) pour tout k >_ 1.

I! est clair que si Les t 1-acyclique ~ I'ordre ( on a IV, 9rk+ iL] = 9rk L pour tout k_> (. Inversement, on a le r6sultat bien connu suivant, que I'on admettra ici. (of. [8], propositions 2.1 et 2.5, [-9] ~4.6).

5.9. Proposition. Soit L un sous-espace vectoriel de D(V). Supposons qlfil existe eo >_0 tel que [V, Ork+IL ] c 9rkL pour tout k >_ do. AIors il existe 41 >-do tel que L soit 1-acyclique ~ I'ordre 41.

On peut maintenant 8noncer:

5.10. Theoreme. Soit L une sous-algObre de Lie de D(V), j'erm~e pour la topologie de la filtration de D(V). Si Les t r~guli&'e alors il existe un entier k o >__ 0 tel que L soit 1-acyclique fi l'ordre ko. lnversement, s'il existe un entier ko >_ 0 tel que les conditions:

l) L est 1-acyclique fi rordre ko; 2) Pko+lL est une distribution;

soient satisjaites, alors L e s t rOguliOre gt rordre ko + 1. De plus on a:

pRL = ~RL n pkD(V) et 9rpkL ' 9rp~L c~ 9rpkD(V)

pour tout k >_ k o + 1.

D~monstration. La premiere partie du th6or6me est une consequence de 5.4 et 5.9. R6ciproquement, supposons qu'il existe k0 _ 0 satisfaisant 1) e ta2) et posons M = P k o + ~ c~Pko+lD(V). D6terminons d 'abord grcPko + IL n PRo+ 1D(V), pour ( >_ - 1. Si ( = - 1 cette intersection es t 6gale ~ V~+ 1 c~ Vko+ l = VkZo+ 1 Supposons d o n c ( >_ 0. Puisque Pko+ 1L est une distribution, on a 9rePko+ iL = V~ + l | Se + I(V~o+ 1). Si i : Vko+ ~ ~ --~ Vko+ ~ est I'isomorphisme induit par Pko+ 1 ' O(V)[ko+ 11 --~ Pko+ ID(V) et si ron note encore i son extension ~ 9reD(Vko+l)= Vko+l | Se(Vk*+I), on a:

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80 E. Ferreira r A . Petitjean

grePko+ lL n Pko+ ,D(V) = i((L/l~ ~ x) | Se + ~(Vk*o§ ,) r~ V | Sk~ + !(V*))

= i(9rkoL| Se+I(V *) c~ V | Sk~ V*))

= i(pr l(9rkoL)).

On a donc les inclusions suivantes:

grcPko+ IL c gr rM c grcPko + 1L t~ PRo+ ID(V) =- i(pe+ l(grkoL)).

Or, par hypothrse L est 1-acyclique it l'ordre ko donc pt.~(grko L) = = grko+r 1 et par consrquent i(Pr+ l(grkoL)) = grrPko+ 1L. I Ien rrsulte qu~

(5. l 1) grpko + 1L = grpko + 1L c~ grpko + 1 D(V).

Puisque Les t ferm6 darts D(V), alors Pko+ 1L est aussi ferm6 dans D( Vko+~ ); d'autre part, on a Pko+ 1L ~ Pko+lL ~ PRo+ t D(V), compte tenu de 5.11 cette inclusion implique:

(5.1 2) PRo + 1L = Pko + 1L n Pko + 1 D(V).

Or Pko+l L est une distribution (nrcessairement involutive) de D(Vko+l); c'est donc une sous-alg+bre homogrne de D(Vko+Z). D'aprrs 3.8, Pko+l~L est une sous-algrbre rrgulirre h l'ordre 0 de D(Vko+ i ). De m~me, Pko+ ~D(V) 6tant une sous-algrbre transitive de D(VRo+~) eile est rrgulirre it l 'ordre 0 d'aprrs 3.8. Compte tenu de 5.11 et 5.12, la proposition 5.6 implique que Pko+ ~L est une sous-algrbre rrgulirre it l 'ordre 0 de D(Vko+~) et par consrquent Lest, d 'aprrs 5.9, une sous-algrbre de D(V) rrgulirre it I'ordre k0+ 1. Il est clair maintenant que, L 6tant 1-acyclique /t rordre ko elle l'est aussi it l 'ordre k pour tout k _> ko. D'autre part, la rrgularit6 de L ~t i'ordre k o + l implique que Pk+l L e s t une distribution pour tout k_> ko. On a donc, compte tenu de ce qui prrcrde,

g r Pk + 1 L = gr PR + 1 L c~ g r PR + I D ( V ) et Pk + 1 L = Pk + 1 L r~ Pk + 1 D ( V )

quel que soit k _ k o. Le throrrme est ainsi drmontrr . Compte tenu du thror~me de Frobrnius formel ( throrrme 4.1) s e

drduit de 5.10 le rrsultat suivant:

5.13. Corollaire. Si L gst une sous-algkbre de Lie r~gulikre de D(V) alors il existe un entier k o tel que pour tout entier k > k o on puisse dcrire

pkL = Ok(Vk L | S( Vk* )) C~ pkD(V)

oft dpk est un automorphisme de Falg~bre de Lie Jiltrde D(Vk+I) vdrifiant

gr dp, = idgr O(Vk~.

Un calcul 616mentaire montre d'ailleurs qu'on peut choisir les auto- morphismes (J~k de sorte.que (~k+l induise ~k pour tout k_> ko.

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Algebres de Lie regulieres 81

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A. Petitjean Laboratoire de Math6matiques Pures - Institut Fourier d6pendant de rUniversit6 Scientifique et M&licale de Grenoble associ6 au C.N.R.S. B.P. 116 38402 ST MARTIN D'HERES (France)

E. Ferreira Universidade Estadual de Campinas IMECC UNICAMP 13100 Campinas (Br6sil)