C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, Skrie I, p. 141-144, 1997 Al@bre/Algebra (Thborie des nombres/hrumber Theory)

Analogues en caract&istique p d’un th&or&me de Mason

Yves HELLEGOUARCH

UniversitC de Cam, U.F.R. des Sciences, 14032 Cam CEDEX, Franc?.

R&urn& Nous donnons deux analogues d’un r&&at bien connu de Mason (voir [I]) sur les relations ABC en introduisant deux notions de radical : le radical mod&C et le radical rationnel. Ensuite nous gCn&alisons ces rCsultats.

Two p-analogs for a theorem of Mason

Abstract. Introducing two new notions of radicul, the tame radical and the rational radical, we give two analogs qf a well-known result of Mason (see [I]) on ABC: relations. We then generalize these results.

1. Minoration du degrC du radical mod&C

Soit F un corps de caractkristique p et soit F une clbture algkbrique de F. DEFINITION 1. - Soit P E F[k]. On appelle radical mod&t de P: et on note S1(P), le produit de tous

les polynitmes t - Q? ob cl est une racine de P dans F dont la multipIicitC n’est pas divisible par y, Nous utiliserons un lemme bien connu dont voici 1’Cnonck

LEMME 1. - Soit N E F une racine de P dont la multiplicitP est v 2 1. 1) Si p ne divise pas u: alors (t est une mcine de P’ de multiplicite’ u - 1. 2) Si p divise V, alors (Y est une racine de I” de multiplicite’ 2 V. DEFINITION 2. - line relation ABC est la donne’e de trois polynBmes A, B, C E F[t] tel.5 que

ABC $ F: qu’ils sont premiers entre eux deux 6 deux, et tels que

A+B+C=O.

La relation est dite @‘parable si A/B admet une d&i&e non nulle.

Remarque. - Quitte B remplacer t par tp”, on peut toujours supposer la relation &parable lorsque F est parfait.

TH~OR&ME 1. - Soit une relation ABC skparable et soit 5’1 E F[t] le radical mode’& du produit ABC. Alors, on a :

degS1 > sup {degA;degB,degC} + 1.

Note prksentke par Michel RAYNAUD.

0764.4442/97/03ZSOl3i Q Acadimie des ScienceslElsevier, Paris 741

Y. Hellegouarch

Dkmonstrution. - Elle est similaire B celle donnCe par OesterlC dans [2]. On considkre le dkterminant :

ABC et on remarque que __ divise D. On a done

Sl

deg(ABC) - degS1 I degD 5 deg-(AB) - 1,

d’oti :

degC+ 15 deg$.

COROLLAIRE 1. - Soir la relation ABC se’parabb :

(1) AuTL + ,uLbn + ucn = 0

avec a, b?.c E F[t], X, 1-1, u E F* et n y! 0 modp. Alors n = 1 ou 2.

COROLLAIRE 2. - Soient les relations ABC stfparables :

(2)

avec Ai: pj E F* et n $ 0 modp. Alors n = 1, 2, 3 ou 4.

Remarque. - Comparer le corollaire 1 avec [3], p. 264, et le corollaire 2 avec [4], p. 35.

2. Minoration du degrk du radical rationnel

DBFINITION 3. - Soit P E F[t]. On appelle radical rationnel de P pour F, et on note R1( P); le produit de tous les polyn8mes t - a, oti a est une racine de P dans F.

Nous utiliserons une a-dkrivation D sur Fv[t], dkfinie par la relation :

D(P) = CT(P) - P

a(t) - t E wr

O~TI LT dCsigne l’endomorphisme de Frobenius .7: H ~9 (voir [5] et [6] pour plus ample information), et nous utiliserons aussi le lemme suivant :

LEMME 2. - Soit Q E IF, une racine de P E IF,[t] dont la multiplicitk est u > 1. 1) Si Q E F,, alors Q est une racine de D(P) de multiplicite’ v - 1. 2) Si (Y $ IF,, alors a est une racine de D(P) de multiplicite’ V.

Remarque. - Ce lemme s’Ctend aux dkrivkes galoisiennes d’ordre supkrieur de P (voir [5]), ei. on a :

PROPOSITION. - Soit n E N et soit (Y E IF, une racine de P E F4[t] de multiplicite’ v 2 :.

1) Si cy est de degre’ d > n sur F,, aEors Q est une racine de D(“)P de multiplicitP ZI.

2) Si cu est degre’ d 5 n sur F,, alors QI est une racine de D(“)P de multiplicite’ v - n

[ 1 d .

Maintenant, on pose s = sup(deg A, deg B, deg C) et E = inf(deg A, deg B, deg C).

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Analogues en caractCristique p d’un thkoreme de Mason

TH~OR~ME 2. - Soit une relation ABC non triviale et soit RI E IF,(t) le radical rationnel du produit ABC pour F,. Alors, on a :

(3) degR1 2 q-(4-+

Dhonstration. - Elle est analogue a la demonstration du thtoreme 1. On considere le determinant :

ABC et on remarque que A # 0 et que ~

Rl divise A. On a done

d&ABC) - deg(Rt) < deg A.

Maintenant, on voit facilement (voir [4]) que :

(4) deg A 5 ~(s - 1) + E,

d’oti la relation suivante (si deg A = deg B = s) :

2s + degC - q(s - 1) - E 5 d&RI).

3. Ghhalisation

On se donne n elements distincts cl,. . . ;c,, dans F* et on pose cpi(X1,X2) = X1 - ciX2. OndCsigneparP(Xr,Xz) lepolyn6mehomogeneX1XzcpI(X1,Xz)...~n(X1,X2) E FIX1,XZ]. Soient Al et AZ deux polynbmes de F[t] premiers entre eux et tels que Al/A2 6 F soit separable,

on pose Sr = radical mod&e de P(A1, AZ).

T&OR&ME 3. - Le degre’ de Sl est minore’par nsup(deg Al, deg AZ) + I au sens large.

Dkmonstration. - On pose, pour Z # j et i? j = -I! 0, . . . , n,

avec WM1 = Al! Wo = AZ, Wi = cpi(Al,Az). Comme l’espace vectoriel sur F engendre par Wi et Wj est le mCme que celui engendre par Al et

AZ, on voit que ces determinants sont tous associts dans F[t]. On a done, quels que soient 1, el: .j :

Si de;gAr # degA2, on a :

deg AI + deg A2 + n sup(deg AI, deg AZ) - (deg 241 + deg A2 - 1) 5 deg sl.

Si deg Al = deg AZ, on obtient encore ce resultat (en se ramenant au cas precedent si le de@ de l’un des pi(Al, AZ) est inferieur a deg Al = deg AZ).

Remarque. - Je dois cette demonstration 2 J. Oesterle. Maintenant, on dtsigne par R, le radical rationnel de P(A1, AZ) pour F, et on suppose que F = [F,.

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Y. Hellegouarch

On pose s = sup(deg AI, deg AZ) et E = inf(deg Al, deg AZ), on suppose que s > 1, mais on ne suppose plus que Al/AZ est separable.

THGORBME 4. - Duns ces conditions, P(A1! .42) possdde au moins (7~ + 1 - y)s + ‘1 snl~rions distinctes duns F,.

De’monstrution. - On reprend la demonstration du thCor?me 3 avec les outils du thkorkme 2. Exemple. - Si n = Q - 2, alors P(A1: AZ) posskde au moins (1 - s racines dans IF,. On dksigne maintenant par P(X1: Xx! X,) le polynbme homogkne

X1X2& (Pl(Xl,X2,XS)~~~ Pn(X1,x’2,X3) E q-L&.&]

dans lequel les n + 3 facteurs sont des formes IinCaires B coefficients dans IF,. On suppose qu’il existe trois polyn8mes Al: A2! A3 de IF,[t], liniairement indkpendants sur IF,, tels que :

AI, A2. As! cpl(Al, A29 As), . . . i yn(Al, -42, AZ)

soient premiers entre eux deux 2 deux. Finalement, on dksigne par R1 (resp. R2) le radical rationnel de P(A1, API AZ) pour F, (resp. Fq2).

TH~OR~ME 5. - On suppose que l’an se truuve <ans tes conditions prk&dentes et que i’on a :

degAl = degA2 = degil3 = degcpi,(Al,Az>A3) = s

sauf pour au plus deux valeurs de i, alors on a :

de&&&) 2 s(n + 2 - cl - q2) + 2~1~ + q.

L’idte de la demonstration consiste g considkrer les dkterminants :

%(A) Yj (A) e(A) A+ := Dpi(A) DY, (A) &k(A)

Dc2)~i(A) Dc2)pj(4) D(‘)(~k(z4)

Exemple. - Si n = q + q2 - 3! alors P(A1: AT! il3) posskde au moins [l ( 2q2 + q - s)] racines

dans F,J. Remargues. - 1) Les thkorkmes 4 et 5 sont les premiers d’une chake de r&hats qui s’obtiennent

par une gCnCralisation tvidente. 2) Ces rksultats admettent des analogues << mod&& D qui s’obtiennent en rempla$ant q par 1. Ainsi,

le r&hat du thkorkme 3 (resp. du thCor&me 4) donne celui du thCor&me 1 (resp. du thCo&me 2). 3) Lorsque plus de deux facteurs ont des degrCs infkrieurs B s, une minoration du degrt du radical

est encore possible.

Note remise le 20 septembre 1996, accept&e aprk kvision le 2 mai 1997.

RCfkrences bibliograpbiques

[l] Mason R. C., 1984. Dinphnntine Equarions over Funcrim Fiefds, Cambridge U.P. [2] OesterlO J., 1987/88. Nouvelles approches du *< thCor?me de Fermat 1) in S&ninaire Bourbaki, p. 165-186 [3] Ribenboim P., 1979. 13 Lectures on Fermat’s Lusr Theorem. Springer. [4] Hellegouarcb Y., 1970. etude des points d’ordre fmi des variCtCs abkliennes de dimension un dkfinies sur un anneau

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