C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, S&ie 1, p. 1255-1260, 1998 Probkmes mathhmatiques de la mCcaniquelMathemafka/ Problems in Mechanics

Analye as~ptoti~ue des modes de hautes frhqyuences dans les poutres minces

Hipolito IRAGO ‘, Nabil KERDID “, Juan M. VIAfiO a

” hpartamento dct Matemitiw .kplic~ada, kJniversidatl cir Santiago da Compost&, I5704, Santiago de Compost&, Espagne

I’ Laltoratoire d’analyse nuu&rique, Uuivttrsiti‘ f’ierre-et-Marie-Curip. tour 5.565, 56n,r &age, 4, plaw Jussiru, 75252 Paris cetiex 05, Frawe

(Rec;u Ic h avril 1998. accept6 11s 27 avril 1998)

RCsumt?.

Abstract.

Dans ce travail, on montre qu’une classe des modes de hautes frequences du syst&me d’Clasticit6 IinCaire pour we poutre mince et Ieurs fonctions propres associ&es convergent, yuand I’kpaisseur de la poutre tend vers z&o. Le modkle limite rst un problkme couplC rn~)n~)-dimensionnel dormant Ies kquations classiques des vibrations de torsion et d’~longation. 0 Acadgmie des S~iences~isevier, Paris

Asymptotic analysis of high frequency modes in thin rods

A bridged English Version

Let ii: be an open, bounded, and connected subset of R ?. having area A(w}. The coordinate system O:r:l;c2 will be supposed a principal of inertia system associated with the section in. Given E E R, 0 < E < 1, and L > 0. we define wE = EW and we note it” = wE x (0, L) the open set which is assumed to be the reference configuration of the rod. We suppose that the rod 62” is clamped on both its ends I‘6 = J x (0) and I’;, = w’ x {L}. The material which constitutes the rod is assumed to be homogeneous and isotropic with Young’s modulus E, Poisson’s ratio I/ and density 0. all independent of c.

We will employ the summation convention on the repeated index; moreover, Latin index take their value in the set { 1: 2.3) and Greek index in the set { 1? 2).

Note prkent&e par Philippe G. CIARI.~.

0764-4442/98/03261255 0 RcadCmie dt:s ScicncesiElsevicr. Paris 1255

H. Irago, N. Kerdid, J.M. Viaiio

Let V(12:) be the following space of admissible displacements:

b’(W) = { (Lf) E [111(62’)y : <If = 0 on rg u I‘; }.

The spectral problem in linear elasticity related to the previous conditions possesses a sequence of eigenvalues which tends to intinity,

associated with a normalized sequence of eigenfunctions U’B’

We introduce the following change of variable:

and the scaling of the test functions 81)’ E Y(12’) that gives U(C) E V(O1), defined in the following maner:

II,,(f)(X) = Ev~(:I.~), ?l:~(E)(:c) = l!g(L7?).

A first analysis of this problem was performed by Kerdid [4] (see also Irago-Viaiio [3]) using a combination of technics introduced by Ciarlet-Kesavan [2] for plates, and Le Dret [6] and Trabucho- Viafio [7] for rods. In this way a mathematical justification of flexural spectral problem of rods is obtained: For each 1 2 1, E--~Y/‘~;‘ -- r/y as f -+ 0, where 7$ is the P-th eigenvalue of the one-dimensional flexural spectral problem of rods. In addition, there exists a Sc-subsequence such that U’(E) -+ 1~’ (0) strongly in l’(I1l). where ~‘(0) is a displacement of Bernoulli-Navier type with no axial components. The pair of flexural components of u”(O) is the eigenfunction of the limit problem associated to ,I/:‘.

This result, obtained for each fixed B, concerns only the low frequency modes. The rechnique used can not be adapted in order to obtain the torsional and stretching eigenvalues. Indeed, it is well known that three-dimensional modes of a rod associated with torsional and stretching vibrations have higher frequency than the flexural modes. Moreover. if we consider the sequence 11; and we fix B, then I/; tends to 0 when c - 0 for all I’ 2 1. This comes from the fact that all the torsional and stretching eigenvalues are concentrated at the infinity and cannot bc obtained by a such passing to the limit.

Our approach, in order to characterize this kind of eigenvalues, consists of varying P and !̂ simultanously. We construct then some families of index {lii}E>o which depend on cc such that 1, -i +X and I/$, converges as E - 0. In this way, using a previous result of Castro-Zuazua [l ] we are able to prove the following main result of our work.

THEOREM. - For- euch integer- 71~ > 1. there exists a &k/y c~f’numbers {l?: }? ‘,,, with cl: --+ +cc as E --f 0. and such that

(71% 0. <) E w x [IFI,:( I#. (6, () # (0, (I),

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Analyse asymptotique de hautes frbquences dans les poutres

1. Introduction

Le but de ce travail est de montrer que le probleme spectral standard associe aux modes de torsion et d’elongation en elasticit lineaire des poutres minces, peut Ctre obtenu mathematiquement a partir du probkme spectral tri-dimensionnel, par une methode de convergence rigoureuse, quand i’epaisseur de la poutre tend vers zero. Ce resultat a 6tC obtenu en utihsant une technique asymptotique non standard. 11 constitut une premiere contribution dans l’ttude du comportement asymptotique des modes de hautes frcquences et leurs fonctions propres associees, darts les structures minces lineairement blastiques.

2. Le probkme tri-dimensionnel

Soit w un ouvert borne de R’ de mesure A(,w). Pour E E Iw,c) < F < 1, et I; > 0, on definit wE = TW et on note $2’ = wF x (0, I.) l’ouvert suppose &tre la configuration de reference d’un corps materiel lineairement Clastique, homogene et isotrope, de module de Young E, de coefficient de Poisson I/ et de densite p, tous independants de E.

On suppose que la poutre $1’ est encastree sur ses deux extremites I’; = w’ x (El} et I‘!> = ~3 x (I,). On adopte la convention de sommation de l’indice rep&C; les indices grecs prennent leurs valeurs

dans I’ensemble { 1.2) et les indices latins dans l’ensemble { 1.2,s). Soit V(Q’) I’espace des deplacements admissibles definie par :

ly(fF) = {( 71:) E [t1’(52’)]” : ,r!f = 0 on 1’; U lY:2}.

Le probleme spectral associe aux conditions precedentes admet la formulation variationnelle suivante :

(If>d) E 53 x l’(W). 17,’ # I),

avec

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H. Irago, N. Kerdid, J.M. Viaiio

Les valeurs propres de ce probleme forment une suite infinie qui vCrifie :

associee a une suite de fonctions propres (2~‘+) qui forme une base hilbertienne orthogonale de Ifi que l’on peut normaliser dam [L”(Q’)]” de la maniere suivante :

Pour se ramener a un ouvert independant de E, on considere le changement d’echelle suivant :

r : it’ - 1r.

3: = (Xl. :x:2; 3:s) - d = (CC, > EX2, :cy),

et on dtfinit les inconnues dilatees ELI’ E V(0l) de la man&e suivante :

7L~l(c)(:r) = &uy(xE). 7l&)(~K) = PLy(:f).

Les fonctions propres dilatees AL’ et les vecteurs propres Q(E) = 77; verifient le probkme spectral suivant :

ou (I”(., .) est la forme bilineaire suivante :

3. Analyse de la convergence des hautes frkquences

Une premiere analyse de ce probleme a Cte realisee par Kerdid [4] (voir aussi Irago-Viafio [31), en adaptant les techniques introduites par Ciarlet-Kesavan [2] pour les plaques, et Le Dret [4] et Trabucho-Viatio [7] pour les poutres. Ainsi, une justification mathematique du probleme spectral de flexion pour les poutres minces a Cte obtenue sous la forme suivante : pour tout P > 1, E--‘Q(E) ---+ ~(0) quand E + 0, ou ~(0) est la B’ valeur propre du probleme spectral mono-dimensionnel d’une poutre en flexion. De plus, il existe une sous-suite telle que U’(E) ---+ T/( 0) fortement dam 1’(0’), ou ?L’( 0) est de type Bernoulli-Navier avec des composantes axiales nulles. Le couple des composantes de flexion de u”(0) est le vecteur propre du probleme limite associe a ~(0).

Ce resultat, obtenu pour tout C fixe, concerne uniquement les basses frequences. Les techniques utilisees ne permettent pas d’obtenir les valeurs propres de torsion ou d’elongation. En effet, il est bien connu que les modes tri-dimensionnels associes aux vibrations de torsion et d’tlongation pour les poutres ont des frequences plus hautes que celles des modes de flexion. Cependant, si on considere la suite r/p(~) et on fixe P, ~/E(E) tend vers 0 quand - r + 0 pour tout II > 1. Cela vient du fait que les modes de torsion et d’elongation se concentrent en foe et ne peuvent done pas &tre cap& par un tel passage a la limite.

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Analyse asymptotique de hautes friquences dans les poutres

Notre approche, pour caracteriser ce type de valeurs propres, consiste a faire tendre a la fois E vers 0 et e vers +CG. On construit ainsi des families d’indices (lie)E,O qui dependent de E et tels que tlE - +wo: quand E --+ 0 et T~P~(E) < Kp , oti Kp est une constante independante de E.

Ainsi, en utilisant un resultat abstrait de Castro-Zuazua [l], on montre que, pour un choix convenable des familles d’indices (P:P)mE~. ,E>~, les valeurs propres qPF (E) du probleme d’elasticite tri-dimensionnel convergent, quand E + 0, vers les valeurs propres r/,(O) d’un probleme spectral couple, donnant les equations classiques des vibrations de torsion et d’elongation. Les vecteurs propres correspondants up: (E) convergent faiblement, au moins pour une sous-suite, et Ies d&placements limites sent de la forme u”(.z’) = (x~P(:I:~), -:clHn’(.e:3), <‘n(:~:3))T 0iI 0” et <,I sont respectivement, I’angle de torsion et l’elongation des deplacements associes aux valeurs propres T/,~(O). La forme precise du resultat est la suivante :

THBOREME. - Pour tout entier 7n > 1. il existe une ,famille d’entiers {!p},,,, avec !F -4 frx lorsque E --+ 0: telle que

02 ?& est une valeur propre du prohleme limite suivant :

(q.fl, C) E R x [H:,(O, L)j2. (0, C) # ((ho):

.L

/LJ I

B’~‘dz3 + A(w)E . ,I/: (“y’dxj = rj{(Il + 12) I I

” ,oH~d:c3 + A(w) ’ * 0 * n

I ,~ p~ydx~} I

Yx, w) E [H:,((), q2.

De Phil, it existe une sow-suite (toujours notee C) et IL’” (0) E I/(lt’) tels que, quurui E --f () :

uy (E) -2 16:; (0) faiblement duns L’[O, L: H1 (w)],

m(;:I’ (F) -2 IL;; (0) ,faihlement duns HL(lI1 ).

aver

et (Or”. cTn) E [HA((), I,)]‘. Si (fJ”‘( c”‘) # 0, a I ors il est vecteurpropre du probleme limite, ussocie a r/i,.

On donne maintenant, I’interpretation forte du probleme limite afin de la comparer aux problbmes spectraux classiques de torsion et d’elongation pour les poutres.

PROPOSITION. - Pour tout entier ?rt > I : la solution limite (rtjji j H”‘~ Cm) obtentre uu theoreme precedent vdrifie :

(i) si H”’ # 0, alors (#, , H”’ ) e,st une solution propre du probltme spectral de torsion :

-t/,./B” = q(Jl + Jp)pH duns (0, L),

H(0) = H(L) = 0;

oti J est la constante de torsion de la .section w :

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(ii) .si (“I # 0. alors (‘rf, . <‘Ii ) est me sol&m propre du prohldme spectrul d ‘e’longation :

- EC” = r/p< dans (0, L),

C(O) = i”(L) = 0.

Ce travail fait partie du programme CHM “Shells: Mathematical Modelling and Analysis, Scientific Computing” de la

Commission dcs Communautes Europeennes (Contract No. ERBCHRXCT 940536) et du Projet : “Desartollo de una teoria de hipervigas elasticas y su aplicacidn en ingenieria” de la Direction General de Ensetianza Superior (DGES) of Spain

(Ref. PB95-0862~C02-0 I ).

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