(ET SON

ANALYSE DU FONCTIONNEMENT DES SYSTI~MES PHYSIQUES DISCONTINUS

APPLICATION AUX SERVOMt~CANISMES) (suite et fin) *

par Frangois-Henri RAYMOND Chef tie l r a v a u x a u C o n s e r v a t o i r e des A r t s c t M6t iers

b l a i t r e de (~ouf(~renccs 'h l'l~eoIc .-N'atlonalc Sap6r i eu re de l ' A r m e m e n t **

TRO1SII~ME PARTIE

THI~ORIE DES SERVOMI~CANISMES DISCONTINUS

1. I NTRODUC'rlOkN.

Classons les divers sch6mas de servom6canismes en fonction de la position qu'occupera l 'organe dis- continu.

L ' in ter rupteur peut tout, d 'abord 6tre plac6 apr~s le diseriminateur d'6carts.

Le fonct ionnement de la chalne directe du servo- m6canisme entre directement dans le cadre de la th6orie pr~c6dente.

L ' in te r rupteur peut ~tre plac6 avant le discri- minateur &@arts, soit dans la chMne de r6action, soit dans la chaine du signal d'entr6e. Le signal appliqu6 au discr iminateur d'6cart dolt etre un signal fonction continue du temps ; il ne peut se composer d'impulsions provenant de l 'organe interrupteur et d 'un signal continu, sinon la notion &@art perdrait en patt ie sa signification. I1 apparai t doric que Fin- terrupteur doit ~tre suivi d 'un organe de mdmoire.

a) Servom6canisme avec ou sans organe de m~moire.

En application des proc6d6s de calcul expos6s dans la 2e pattie, 6crivons les formules g6n6rales de ces trois servom6canismes.

Servomdcanisme dont l'organe it [onctionnement discontinu est placd aprb~s le discriminateur d'dcart dans la cha~ne directe, la chafne d'asservissement, ayant un coefficient de trans]ert dgal it l'unitd (fig. 9-1). - - Soit YI(P) le coefficient de transfert des organes de ]a chMne directe. Soit comme pr6c6demment t o la p6riode de r6currence. Soit e(t) l '6eart de r6glage, z(p) son image symbolique. Soit z,~ la valeur de z(t) a l '6poque nt o. Si la chalnc dc r6action est ouvcrte avan t lc discr iminateur d'6carts, cn appliquant h l 'entr6e de 2 ]e signal z(t) on a :

On ne moditle pas le fonet ionnement si on ferme la

* Voi r les p r e m i6 re e t d e u x i 6 m e par t ies dans les num6- ros de ju i l l e t 19r pages 23r h 2~0, et ao f i t - s ep t embre t 949, pages 307 h 314.

** Ing6n ieu r - conse i l h la Soci6t6 d ' l : i lec l roniquc c t d ' A a t o m a t i s m c .

chalne de r6action, mais alors on doit obligatoire- ment prendre ~ = 0 afin que le signal d '6cart puisse 6tre calcul6 h l 'aide de (J).

Par suite : (2):~ ~(v) = : ,(v) - -- :J(p)

x(p) 6tant l ' image du signal d 'entr6e x(t), et y(p) l ' image selon (l) du signal de sortie de l 'organe :[ qui co'incide avee le signal r6cl aux ins tants nt o.

On peat d'onc 61iminer r entre (l) et (2), d'ofi : _ ~. (~)

qui est la relation g6n6rale des servom6canismes lin6aires. Dans cette technique, on voit I 'int6r6t dc la fonction g6n6ralis6e de t ransfer t .

x

L", (:. 9 .

M~me servorndcanisme que ci-dessus (cas 9-ii), la cha~ne d'asservissement ayant un coefficient de trans[en diffdrent de l'unitd (fig. 9-2). - - Soient Y~(p) et Yz(P) les coe~cien ts isomorphes de t ransfer t des 616ments de la chalne directe et de la chMne de r6action respcct ivcment repr6scnt6es par les carr6s I. et If.

Avec les notat ions ci-dessns on a :

( 4 ) 2 y ( r ) - ~ ( v ) L~/, (~)

oh "~ll(z) t empla te YI(P) sn ivant la th6orie d6ve- lopp6e dans la 2e partie de ce m6moire.

Le signal appliqu6 h l 'entr6e de 2 est l 'original de

( s h y , (p) = ~(p) "~t~ (z)

off "}112(z) se calcule en (onetlon du produi t YI(P) Y~(P) (C'est ce que rappel lent les indices 1, 2).

347

2111

On a d o n e :

y(p) = ix(p) - - yl(p)] ?/1

Y(P) = J-x(P) -y(p---~) ]

d'ofi :

F R A N ( ~ O I S - H E N R I R A Y M O N D [ANNALI~S Dl~S TI~LI~COMMUNICATIO~S

eas se deduit du precedent en rempla~ant dans (9 x(p) par Y2(p)x(p), Y2(p) 6tant le coefficient de transfert de 1'.

Y(P) = l + ~tt~ x(p) Y~

qui generalise la formule u - - i + y ~ y - x(p)

des servomeeanismes enti~rement lineaires.

M&ne servom~eanisme que ei-dessus (eas 9-1), le signal d'entrde traverqant prdalablement un organe lindaire (fig. 9-3). - - Yg. 6tant eette fois le coefficient de t ransfer t ~de l 'organe I plac6 dans la chalne du signal d'entr6e, on a :

z(p) = Y~(p).x(p) - - y(p), v(p) = %(~). ~(p),

d 'o6 : •,xJ t

(7)a Y(P) = l q - "~/-t Y2(I')x(p)

qtii d6eoule na ture l lement du eas 9.1.

b) S e r v o m 6 c a n i s m e s a v e e o r g a n e d e m 6 m o i r e . Ces servom6caidsmes eompor tent un organe de

memoire chaque fois que l 'organe diseontinu pr6c~de le discr iminateur d'6carts.

Considerons, figures t0, les plus simples parmi les divers cas possibles.

Servomdcanisme dont l'organe it [onctionnement dis- continu est place." dans la cha~ne d'asservisseraent avant le diseriminateur d'&art (fig. 1 0 - 1 ) . - Si on ouvre la chalne de react ion et si y(p) est le signal h l 'entr6e de l ' in terrupteur , il produi t h la sortie de (1) (compte t enu d,u signe correspondaat au discrira~aateur) te s i g n a l - "~h(z)y(p). Le signal h la sortie de (1) se compose de celui-ci et du signal produi t par x(p),

x(p) Yl(P). et en refermant la boucle,

y(p) + Yt(p) *re) ;

lequel a pour expression Comme I e s t ]in6aire,

o n a : u(p) = - - ",h (~)

d'ofi : YI(p) *(p).

(s)~ Y(P) - l + % (p)

ServomOcanisme dont l'organe dt jo~zctionnement discontinu est ptaed darts la cha~ne d'entrde avant le discriminatateur d'dcart (fig. t0-2). - - Les notat ions 6rant toujours les m~mes, on a :

(9)3 Y(P) = "5/(z) x(p) off ql(z) repr6sente le eoeffieient de t ransfer t global de l 'organe q,ai suit le dispositif non lineaire 2. Le coettieient i -omorphe de t ransfer t de eet organe est .

Y, (t') Y'l(p) = l + rl(p) ;

done ~](z) se ealeute h part i r de eelui-ei suivant }es formules 6tablies pree6demment.

- - Servom&anisme dont l'organe it [onetionnement diseontinu est plaed darts la eha~ne d'entrJe, le signal d'entrde traver,ant un organe lindaire (fig. ~[0-3). - - Ce

I ......... = 1 { 2 , , /

Fro. lO.

Servam&anisme dont l'organe it [onctionnement discontinu est placd dans ta cha~ne d'asservissement, celle-ci comportant en outre an organe llndaire (fig. 10-4). - - O u v r o n s la ehalrre de r6aetion entre t ' e t2 . Le signal 9'1 produi t h la sortie de (l t) est done en fonction du signal Yt (P) h t 'entr6e de 2 :

~'l(p) = - - T'x.2 (z) Ydp) + x(p) YI. Y,a off "~h,2 se ealeule h part i r du produit Yx. Yz"

Le signal de sortie du servomeeanisme a pour image :

y(p) = - - % (=) y2(p) + . ( p ) Y1. Refermons la ehalne de r6aetion, on a alors : Y'l(P) = Y2(P), d'o~t sueeos~ivomo~t :

Y,. Y~

( v , % Y(P)

Si oil suplarlme Forgano 2 pour }e remp[aeer par u•e e on~exioB rigide on a :

Y1 "~,.~= Y, Y2 "~h= Yx et Y(I?)-- i q- Yt Y2x(P)'

resultat qui est eonnu. On imagine des eas plus complexes, parm~ les-

quels les figures 1]~ en presentent qLfi sont parti- culi~rement typiques.

Servom&anisme dont Forgane it ]onctionnement dis- corttinu e.st r e~tre de ux organes tindaires de la cha~ne directe (fig. 11-1). - - Le raisonnement 6rant calqu6 sur ceux effectues dgj~ ei-dessus, on a :

y(p) = ?It (~) z(p), z(p) = x(p) Y2 (P) - - "X, lt.2 (z) z(p),

- - 3 r

t . 4 , n ~ 10, 1949]

(10U

(~2)~ ,j(p) % (~) Y" (p) I + ~h,~(z) x(t,).

Si l 'on suppr ime l 'organe diseontinu 2 on a ~lx ~ Yx, ~l~,z ~ Y1Ye ; par suite, on re t rouve bien la formule g6n6rale des servom6canismes lin6aires.

F O N C T I O N N E S [ E t N T DES SYSTESfE$ l a l I Y S I Q U E S D I S C O N T I N U S 3 / ] _ ]

Fm. 11.

Servomdcanisme dont l'organe h [onctlonnement dis- continu est placd dt l'entr~e de la cha~ne d'asservisse- meat, qui comporte en outre un organe lingaire (fig. ~1~-2). - - On a imm6dia tement :

Y(P) ~- - - ~h.~ Y(P) -F Y, x(p), d'oh :

Y~ (p) ~(~) (13)~ Y(P) - t + ~,.~ (,)

Conclusion. - - Nous avons rencontr6 deux types de formules g6n&ales.

Dans l 'une, le d6nominateur est de la forme t --~ "~](z), ~](z) se calculant h pa r t i r du produi t d 'un cer ta in nombre de Coefficients de t ransfer t .

Dans ] 'autre , le coefficient g6n6ralis6 de t ransfer t ent re la sortie et l 'entr6e du servom6canisme ~](z) se calcule h ] 'aide des formules 6tablies dans la 2 e par t ie de ce t ravai l h par t i r du coefficient de

Y~ t ransfer t classique d ' u n servom6canisme, 1 - ~ Ya

Y, ou !t % Ya Y2 selon les cas, les plus simples d'ailleurs.

l L C!qlTI~RE DE STABILITI~

DES SIEII~,'OMI~CANISM1ES DISCONTIINuS.

La not ion de coefficient g6n6ralis6 de t ransfer t pe rmet de calculer l ' image y(p) d 'une fonetion qui coincide avec la r6ponse r6elle du servom6canisme aux ins tants nt o. Une condit ion n6cessaire pour que le systbme soit stable est que cet te fonction soit born6e lorsque le signal appliqu6 est b rusquement supprim6.

La th6orie des r6gimes transi toires s 'applique. Pour s 'en convaincre, soit y(t) 73 y(p) on a :

(14)a y(t) -~ ~ ~! (z) x(p) evt dp.

On choisit le con tour de BROMWlcn-WAGNEa qui coa t ienne tous |es pSles de ~l(z) et de x(p). Pour ehaque pSle de x(p) on a un t e rme en t re tenu de ]a forme :

(15)3 ~(z). (r~sidu de x(pk) erk~) oh, dans z, p -~ Pk.

Pour chaquc p61e p,; dc ~l(z) oil a un tcrmc qui ne d6pend pas de x(p) au t r cmcn t quc par des cons- tantes , et de la forme :.

(16)a (rdsidu ~)J (Z))" x(py) epyt.

Le systbme est stable - - conditi,m n,~cessaire et sufffsante - - si "~ tou t ins tan t nto, n croissant, ind6- f iniment - - l 'ensemble des termes de v ib ra t ions propres (16) s '6vanouit . Cela exige que t~p7 < 0. Pour connal t re l 'ensemble de la r6ponse du systbme h t o u t ins tant , il fau t dans (14) prendre le coefficient ~)lz(z) of, l 'on donnera fi z toutes les valeurs de 0 h / .

On peut donc conclure que le systbme est stable si les p~les de ~/z(z) ou si les racines en p de :

07)3 "~/-% (z) = o

sont h partie rdelle ndgative, quel que soit ~r, 0 ~< a < 1. La condition est ndcessaire et suffisante.

Rappelons que z = e Pt.. Donc si p ---- p~, est une 2r:Nj

racine de (t7), p~, -{- to en est une autre . A route

racine P'C cor respond donc une infinit6 de raeines dispos6es sur un axe parallble ~ l 'axe imaginai re pur, et 6quidis tantes en t re elles de la pulsat ion de r6cnr-

2~ f e n c e 60 0 ~-

to La forme de NYQuIsT du crit6re de stabil i t6 exige

que lorsque p d6crit le con tour F de la figure :12, le con tour d6cri t par le point d'affixe ,}j-1 (ept0) ne cont ienne pas ] 'origine des coordonn6es.

. ( t ' ) A"L o y reel

FIG. 1 2.

On r cm arq n e que z d6cr l t / e cercle de r ay o n nnlt&, lorsque p d6ci i t l 'axe imaginaire .

Le crit~re de stabilit6 s '6nonce alors de la manibre suivante :

La condition ndcessaire pour que le syst~me compo r- tant un organe ?t /onctionnement discontinu (et rgpdtg h la/rgquence l / t o) et un systkme physique lindaire, soit stable est que le point d'affixe "~J-la(z) ddcrive un contour qui contienne l'origine des coordonndes lorsque z ddcrit le cercle unitd. Cette condit ion.dolt ~tre remplie quel que soit ~r.

Toutes les racines sont contenues dans ( ~ p < 0 si le n o m b r e de r6volut ions faites par "~1-1r

349

4 / 1 ~

a u t o u r de l 'or ig ine des c o o r d o n n @ s est le m a x i n l u m possible ; s inon, des rac ines p o u r r o n t Ore dans fR.p >0 .

P o u r d 6 n i o n t r e r ce t h 6 o r ~ n i e , on d o i t p r6c ise r

c o l n n l e n L o u p a s s c du c o u t o u r F du p lan p a u c o n -

t o u r d6cri t p a r z (fig. '13). Le cercle unit6 cor respond a u x poin ts de I 'axe imag ina i r e . Sur le demi -g rand- c e r c l e f i l l a ;

Z : e~( ('~ 0 + js in 0)t,,

O ~'t

7~ ?X - - . _ 7 < 0 ~< §

Dora ' h' module de z e s t eV t0r 0

..f/an p plan z

p.: = % +/[~:,

Fro . t 3 .

F R A N I ~ O I S - H E N R I R A Y M O N D [ A N N A L E S D E S T{,~I,f :COMMUNICATION-~

de NYQUIST coInilie d ' h a b i t u d c dans la th6orie lin6aire classique).

H e v e n o u s h la ,16finilion de "}/(z.) ( formule '13 de la 2e par t ie) .

k = o o

d,%~ ,}1(~) = V Bkz ~. k = 0

Lorsque z d6cri t le cercle uni t6, on ob t i en t les diverses vale.urs du coefficient de t ransl 'er t i';ochrfuie. Posons p : jr0, to 6 t e n t I ' i l rguiuenl d'uu lioint dl l

cercle un i t 6 .

O11 a : k = o o

('19):~ ")/(jo~) = V B~ e--i ~ k = O

o u e n c o r e , e l i f a i s a n t appai'attre l a p u l s a t i o n d e

r6currenee ~o 0 : k = o o

*1 (l~) = \~ #fl< e -~ s k k=O

Le t r ans fo rm6 du point. 0 du p lan p e s t d o n e : k ~ o o

k=O

e 'es t done une grandeur r~elle. P o u r ~ = N ~ 0 , N 6 tan t un n o m b r e ent ier quel-

eonque , on a : k = o o

,}/(NO3o) = V Hi, e--2r~l~k

"k==0

7~ P o u r 0 = ~ il est 6gal h l ' un i t6 ; z se r6dui t

alors 'h el~ to qui, m 6 m e lorsque p crol t ind6finiment," est r epr6sen t6 pa r un p o i n t du cercle uni t&

P o u r les au t res va leurs de 0, le m o d u l e de z crolt avec p. 11 est 6ga] he~t:" p o u r 0 = 0 : c 'es t sa plus g r a n d e va leur .

Son a r g u m e n t est celui de e~P t~ soit p t o sin'O.

II est nul p o u r 0 = 0 et 6gal h :L: pt0 pour 0 = :]: ~.

0 n n o t e r a que la t r a n s f o r m 6 e de l ' axe imagina i re est repr6sent6e pa r le cercle uni t6 r6p6t6 un nombre infini de lois sur les feuil lets de RIEmANn.

Si ~I-1r s ' a n n u l e p o u r un p o i n t situ6 ~ l ' int6- ,.lear du c o n t o u r I ~, p o i n t p~ ~ ~'r ~- J~3"r off ~:, > (), le point z.,. c o r r e s p o n d a n t est :

zy ~--- C~ to e i ~ y t0

de modu le plus g r a n d que l 'un i t6 , zy est. bien ext6- r ieur aux cercles uni t6s des feui l le ts de Rl~MAn.~ el est sltu6 dans ] e p l a n (modu le z) > ] o b t e n u q u a n d p crol t ind6f in imcnt .

.Le syst~me est done stable si les z&os de \X/-xz(z ) sont h l'int&ieur da cercle unitd.

L ' o b j e t de no t re 6 tude 6 t a n t la s tabi l i t6 des servo- m6can i smes , nous c o m m e n c e r o n s pa r ceux dont l ' 6qua t i0n est ana logue h celle des se rvom6can i smes cla s iques, le coefficient global de t r ans fe r t a y a n i p o u r d 6 n o i n i n a t e u r :

I § ' ) l (z) .

N o n s a d n l e l l . r o n s d a n s c e t t e p r e n i i b r e 61 ,nde q u e

Ies p61es du coet t icient global de t r a n s f e r t sont seule- m e n t les z6ros de son d 6 n o n i i n a t e u r . Dens le cas off cela n ' e s t pas, on effeciue ta g6n6ra l i sa t ion du crltbme

d ' o f l

Ui ):~ k = o o

71 (.~o~,,) - \ 7 t tk = ,~/(% k=O

P o u r ~ =/= 0 on peu t @ r i r e k = a @ r ( formule t 6 de la '2e parl ie) , r 6 t an t un h o m b r e entier, pa l suite :

r ~ c x ~

",~tr (_V6%) = \ ~ R,~,,. e-" ,~.~( a ~> l ' - l i

= X'~ R . I r e o=Nr e-2=,wr j r = O

soil f iualenien! :

r T r ~ o o

"}la (.Vow0) = e--z=N~ri eta ,. = e---"~N~J V It~ r =0 ] ~ [ I

donc : (2<=>):~

Or, pour

o n a :

60 ~ _V6) o.

�9 ~

Done ct laque lois que z d6crii un cercle sur un feuillel de I~IE~[A:~N. \~l(z'l d6cri t une courbe de ee ,U6l,W feuilhd.

Mout rons , sl r = - I t , que ces courbes sont iden- l iques sur Ious les feuillels. Nous venons de voir qu 'e l les onl nit'rues ext r6 ,u i t6s pu i sque d 'aprSs (21) :

350 - -

1, 4, nO 10, 194~o1

Soit

o n a :

( 2 3 ) a z ~ e + i ( x + > . ) ~ r v = e q'~=Z

par suite :

(24)a \~,l (ko~,~) = "}I{ (A" -~ k)~oo! =- \~ Rt e -;'~n)'k 0

Dans le eas r = 0, il sutt~it done de tracer la courbe ~],~(z) lovsque z d6crit un seul cercle unit6. Cette r e m a r q u e offre l ' a v a n t a g e d 'une repr6senta- lion p lane ne fa i sant pas in tervenir les feuillels de IT{IEMA N N .

Revoyons d ' un peu Idus pr6s eet tc corrcspon- dance du p lan p au plan z.

Lcs poin ts p = JNr sont choisis ( a rb i t r a i r ement d 'ai[ leurs, mais cela ne res t re int nul lement la g6n6ra- lit6 de ce qui suit) pour effectuer ]a coupure dans le plan z et le p lan ~l(z). Au lieu du contour I2 de la tignre 13, dans le plan eonsid6rons le contour form6

2 t o 0

coo

F O N U T I O N N E M E N T D E S S Y S ' F I ' . i M E S pt lY,q tOU I,:S I ) I . ~ ( : O N T ! NIYS" ['~ / ~ /

que t e rme de la s6rle s 'annule , saul le p remier . I I e n est de m~me sur le cerele de r ayon e u. du plan z. Consid6_.rons deux points sym6t r iques du plan z, pour Fun on a z~ p o u r l ' au l rc z" ; pa r suite :

"}1 (z) =- \~ It~ = k

v ( = ' ) _- -v =(E )

pl=-n f D 0

I

B

Fm. 1 Lr.

de rec tangles ABCD, dont BC s'61oignera h l ' infini ( f i g . i t s ) .

La t r ans fo rm6e de AD est le cercle unit6, la cou- pure 6 t an t effeetu6e aux polnls A ~ et D ' eonfondus d u p l a n z (fig. '15). L e l o n g d e B C , p = I + j 6 ) , o h I = AB, d o n e :

Z == e 1% e j2rr

60 qui est repr6sent6 pa r un point d ' a r g u m e n t 2 r : ~ du

CO 0

cercle de r a y o n elf0 > l , B e t C sont t ransform6s en B ' et C t, A B e t CD en A ' B ' et C ' D ' de p a r t et d ' au t r e de la coupuve. Lorsque I - + oo le cerch; ext6r ieur s ' en v a h l 'infini. Dans chaque plan t rans- form6 de chacun des rectangles semi-infini tel que ABCD, le po in t ~l(z) d6erit un contour fe rmi . Les t r ans form6s de A t et B ' sont des point s sur l ' axe r~el d ' apr~s (21), Il e n e s t de m~Ine des points t rans - form6s des b ranches .X'B' et C ' D ' de chaque eSt6 de la coupure . En B ' et C' on a :

c~o

0 oh

d o n c :

= ( ) ( / ~ ()W.

Doric, lorsque p - - ~ , gl{z} s 'annule si R 0 ~ O. ou est 6gal h / t 0 dans le cas contra i re (correspon-" dan t h des sys t6mes physiques id6aux) puisque cha-

"~J(:') = ~1(:)"

~" ' I f I "~kCercle e lto

Fro. 15.

La conrbe lieu du point d 'at l lxe ')l(z), ob t en u e ea fa i sant d6crire h z le con tour F ' d ' un feuil let de ~7~IEMANN: est donc sym6t r ique par r a p p o r t ~ l ' axe r6el.

Comme points r emarquab le s nous avons "~1(0), / % ) �9

~1\--~ , ~1(~o) et ")/(oo) qui sont indiqu6es darts le

t ab leau ci-dessous :

= t1 =-:t(0) = ~ ,}1(: Rk, k--0

k = o o

k = 0

21 (~oo) -= ~ (0), ~/{co = o~) = n,,.

La figure 16a a 6t6 t rac6e dans l 'hypoth6se H o ~--- 0; la figure 16b dans l ' hypoth6se R 0 # 0 ; le con tour d6crit pa r ~l(z) est t rac6 sur un feuiilet

de RIEMANN. La condi t ion de s tabi l i t6 pour un s e rvom6can i sme

du type 6tudi6 icl est donc la su ivan te : Pour qu 'un sem,omdcanisme discont inu dont i ' (qua-

t ion g~ngralisge est de la /orme e(p)

soitstable, il f au t et il sufflt que le contour dgcrit par le point d'affixe ')l(z) Iorsque z d(crit le conto,o, de la f i g , re 15, ne contienne pas le point -~-- i + j 0 (F (p) n ' a y a n t pas de pSles).

Sur les figures t6 les fl6ches ind iquent le sens de pareours co r r e spondan t aux sens des pa rcou r s sur

- - 3 5 1 , - -

les contours des iigures 15 et 15. L ' int6rieur du rectangle est t ransform~ dans l ' int6rtcur des courbes ~6. On v6ritie que ce]a est bien exact cn r c m a r q u a n t que, lorsque l 'argumert t de z est positif ~t(z), d'aprbs (25) se compose de grandeurs complexes h argument n@ati / ; done si z e s t t q- j r z pet i t et positif, "~! diff~re peu de ~l(z = 1) ou ~/(to = 0) et son a rgument cst n6gatif.

i'4xe "n~',.e

FiG. 16 o.

A x e i m ~ g i n a i r e

FRA N~.OIS-HF,1NRI R A Y M O N D [ANNALES DES TI~L~CO~MUNICATIONS

rdglage s'dvanouit avec l'inveres du temps, lorsqu'on le mesure aax dpoques nt o. La condit ion de stabilit6 vcu t quc cettc propri6tA soit vraic it toutcs ]es 6poques. Physiquement , cela semh]e bien r6alis6, puisquc le contraire voudra i t que la pulsation propre correspondant aux oscillations libres instables soit 6gale h un multiple entier de tOo, ee qui ne peul avoir lieu q n ' e n des circortstances exceptionnelles.

Remarque. - - De mgme que la sym6trie des coeffi- cients et imp6dances des syst~mes lin6aires p$rmet ]cur 6thde par le seul parcours de la moiti6 de l 'axe imnaginaire, ici ]a moiti6 seulement du cercle unit6,

tOo de ca ~ 0 h t o : - ~ pe rmet d e d6finir enti~rement

les propri6t6s du servom6canisme discontinu. Nous too

reviendrons sur la valeur sing uli~re - ~ de 6) qui

paral t jotter ainsi un r61e fondamenta[ . (Voir ]e paragraphe largeur de bande).

'#) Axe rdel

Flc . 16 b.

Les branches du con tour C telles qu'elles sont trac6es sur la figure 16 laisseraient craindre une confusion pour l 'appl icat ion du crit~re de stabilit6, du fait que l e p o i n t - - I + j 0 est sur l 'axe r6el. Pour lever cet te appa ren te difficuh6, on divisera l 'axe imaginaire du plan p e n segments de hau teu r 60, mais le premier par tar i t d 'un point quelconque d 'or- donn6e ~o 1.

La t ransform6e dans le plan z d 'un rec tangle analogue au rectangle de la figure ~6 et p r en an t appui sur l 'un quelcortque des segments sus-nomm6s de l 'axe imaginaire, est le contour F ' de la figure 15, mais !a Coupure cor respondan t aux c6t6s horizon- t aux du rectangle est situ6e n ' impor te off darts le plan suivant la valeur donn6e h to t Elle est indiqu6e en pointiIl6 sur la figure t5. La coupure darts le plan ~l(z) est elle aussi hors de l 'axe r6el (elle peu t ~ventuel lement le couper, mais le point off elle le coupe est arbi t ra i re puisqu' i l d6pend du choix de 0)1), Dans l '6nonc$ du erit~re de stabilitY, on peu t done n6gliger les branches raccordan t le con to u r d6crit pa r~ / ( z ) , lorsque z d6crit le cercle unit6, au poin t d'aflixe '~](z) pour z - -~ oo qui, lui, fait toujours par t ie du contour.

Nous avons 6tudi6 des condi t ions de stabilit6 du servom6canisme qui sont mani fes tement ngces- saires. Etles traduiSent la propridtd que l'dcart de

III. CALCuL nE L'OI~IGINAL

DU COI~FFICIENT G~NI~HALIS|~

DE TRANSFERT D~UN SYSTEMP. LINEAIRE

PRECEDE D'LIN INTERRUPTEUR,

La formule de M~LLIr~-FountEa permet , ainsi qu'il est biert connu, d ' inverser l ' int4grale de L~,VLACE.

Appliqu6e au cas x(p) = 1, elle donne :

' S (27)3 g~(t) ~- ~ ~]6(z) O pt dp.

Cette relation a u n caract~re formel car si le syst~me discontinu fabr ique ,une impulsion, celle-ci n 'a de sens que si l ' impulsion x ( t ) ~ I qui lui cst appliqu6e arrive h l '6poque t o = 0. Sinon elle est sans effet sur le fonc t ionnemen t de l 'organe in ter rupteur . En r6alit6, la no t ion d ' impulsion au sens de DII~AC est d61ieate ; darts ce cas, la mani~re dont pourrai t fortctiortner l ' i n t e r rup teu r est difficile h saisir autremertt qu 'en a d m e t t a n t qu'il t ransmet , et en la d6formant, cet te impulsion, au syst6me lin6aire qui le suit.

La r6ponse yz(t) a donc une signification uni- quement math(~matique. Les r~gle s du calcul sYmbo- lique pe rmet t en t gr$ce ~t sa connaissance de d6ter- miner la r6ponse du syst~me h t o u t signal x(t) par l ' int6grale de BOnEL.

Le contour de 12~ROMWICFI-WAG NER ~" doit O:re t ransform6 darts le p lan z si on int~gre par rappor t h z au lieu de p. Ainsi, n 6 tau t quelconquc 1 :

('_)s):, :1~ (,,to) = ~ (z)=.,I (Ioz ~) 27~j t o

- - 2 = i t ~

Nous avons d6jh (figure ]5) t rac6 le contour darts z t ransform6 du contour ABCD. Or, pour t < 0, le contour de BaOMWiCH-WA6NEa est form6 de l 'empi-

1. Ainsi qu'il a d6jh 6t6 dit y(~(t) ne repr6sente la r6ponse du syst6me physique que pour t -~ (N + 6) t a, N 6taut un hombre entiei- quelcvnque.

- - 352

t. 4, n ~ 10, 1949|:

l emen t de ces rectangles . Done le contour F est form6 des contours cercles de la figure 15, trac6s sur les feuillets de RIEMANN.

Pour t > 0, on doit rechercher les t ransform6s des rectangles sYm6triques des pr6c6dents par r appor t h l 'axe imaginaire . Le m~me ra i sonnement montre a lors que la par t ie du con tour aut re que le cercle de r a y o n unit6 t end vers l 'or igine des eoordonn6es lorsque la d imension hor izonta le des rectangles erolt ind6finiment . Le contour t r ans fo rm6 dans z du con- tour de BnOMWIcu-WAGNEn est donc repr6sent6 figure 17-1, la coupure le long de | ' a x e r6el fa isant passer d 'un feuillet de RIEMANN h u n autre.

r---

F O N C T I O N N E M E N T DES ~qYSTEMES P H Y S I Q U E S D I S C O N T I N U S

FIG. ] 7-'1.

0

Fro . '1 7-2.

La figure 17-2 donne le con tour d6crit par ~l(z). Lorsque les rec tangles du plan p ont leurs c6t6s ho r i zon taux qui croissent ind6f iniment , le contour C ' ext6r ieur h C s 'en v a h l ' i n f i n i . En conclusion, pour t > 0 le domaine d ' i n t6gra t ion dans le p lan z cor- r e spond h l ' ext6r ieur du con tour C d e plan ~ (z ) , et, pour t < 0, h l ' in t6r ieur de ce contour.

7/11

I V . P n o P n I ~ ' r r ~ s o r : LA FONC' r IoN

DE TRANSFERT GIs

LORSQUE L I N T E R B U P T E U R P R E S E N T E DE L A M ~ M O I H E

Soit Y(p) le coefficient de t r a n s f e r t des 616ments qui su iven t ' 1 organe h f o n e t i o n n e m e n t discont inu. Supp0sons- le d6compos6 en 616ments s imples :

.ak .~ (29)z Y(P) : a~ + E (p - - pk) e

k,s

K p r e n a n t un nombre fini ou infini de va leurs su ivan t que les p61es ou fr6quences p ropres de Y(p) sont en n o m b r e fini ou infini.

S u p p o s o n s un sys t6me a y a n t de la m6moire . On va calculer ~l(z) pour ~ i = 0, % = t o (Par. 5, 2e pat t ie ) c ' es t la fonct i0n qJ'(z) calcul6e en 25 ou 36 dans la 2e pa t t i e de ce t te 6tude.

Pour calculer "~'(z) co r r e spondan t h Y(p) donn6 en (29)a , 11 suffit de calculerles t r ans fo rm6s de chaque t e rme du d6ve l0ppemen t de Y(p).

Pour ao, on a : d0

9/' ('-) = To ~-''

ak .o P o u r ~ , o n a :

P - - Pk Ok.O ~ - - epfrt~

~ ' ( Z ) ----- toPk Z - - ePk to"

ak.s Pour (p __ P k f ' on a :

1 ~s--I ( ak,s I - - ePk%"~ ~] ' (z) : (s - - t ) ! ~pk s--t . pk t. Z - - epkt'--'~/

On peut ~erire si [pkto[ << i : I - - ePkto 1

(30h ,ok z - e~'k~

to 1

z - - ( i q - pkt0) - - z - - - 1. pk

to

z - - I l Posons q = to ; o n v o i t q u e z - 1 1-4- qtoet

que les au t res t e rmes sont expr im6s en fonct ion de 1

q - - Pk On a ainsi :~

(to (31 h to ~' (z) - 'l + qt,,

+ f

Or,

par suite :

a~ ~- E .ak.~ qto toni' (~) = 1 + qto (q - - Pk) ~ = Y(q) - - "0 ~i' + qt0 ;

k8,

done, si [qto[ ~< l, on a a p p r o x i m a t i v e m e n t :

(3~)3 ?J' (~) ~ 70 Y(q~

353 - -

sm Cette ass imila t ion exige, que pour t ou t pk, l 'on

ait Ipktol << 1. La p6riode de r6currence t o dol t donc ~tre peti te

vis-h-vis de la plus grande cons t an te de t emps ou de la va leu r propre a y a n t le plus grand module du sys tbme lin6aire en t r an t dans la composi t ion du nl6canisme 6tudi&

L '6 tude de l a stabil i t6 et celle des r6gimes transi- toires se font en 6 tudiant ql'(z) Iorsque z d6cri~

1 ; ' R A N G O I S - H I . : N R I RAY:MOND

Si !pkt0l<< l on a done :

')1 (~) = +'o -+- V "~' k

Si nous posons

[ :I~NN:kLE~ l)t~.S TI~'.I,I~,CO~4~,II'NICATIO"r

__ pkto

:[ Z ak = ' ~ +?0 z - - I k

=t o pk

le cercle unit6. Or le c h a n g e m e n t de var iab le consi- d6r6 h l ' i n s t an t fair cor respondre h tou t point de z le po in t q = ( z - - t ) / t o. Lorsque ~ d6crit le cerele unit6, q d6erit le eercle de r ayon / o = / / to, t angen t h l ' axe inmglnai re pur et situ6 daus tP~q < 0 (tlg. 18). La re la t ion (32)a exige que [qtol < t ; or ia phis grande va leu r de ce module est 6gale "~ 2. L ' appro -

Z - - I .

zt o

'~ (11 k _ _

" " ~ + r'~ r ( ~ ) - - , , o ;

d o n e :

1 (37)a ?/(z) ~-- to Y(~).

x i m a t i o n (32)a est donc va lab le pour la par t ie du cercle de la figure 18 qui est voisine de l ' axe imagi- naire. Dans ce cas, on a a p p r o x i r n a t i v e m e n t ~ q ,-~ p

r Pl n q

tr~nsformg du eercle um'td d a r t s Z �9

FIG. 1 8.

P a r l o u t ailleurs, on aura done :

] a~ [ (33)a "~/'(z) --~ ~0 Y(q) "I + qt o

dont l ' 6 tude est plus s imple que ee]le de l 'expression r igoureuse de ")V(z). On se rappe l le ra en out re que pour to (~ 6~ 0 on a, d 'apr6s ce q u ' o n v ien t de voir :

(34)8 71' (jto) ,~ to Y(Jto)

V. P R o P n t ~ T ~ S DE LA FONCTION

DE TRA NSFERT G~NI~]RAI, IS]~E~ LORSQUE LA FRI~:QUENCE

D r : R I ~ C u n n E - N C E E S T G n A N n E .

l )ans ]es lnb~II~es eondil ions que celles du ealcul c i -dessus , [pkt0[ ~ l , cherchons une app rox i ma t ion ])our la fonction de t r ans fe r t "~](z).

Soit tou t d ' abo rd :

(3:,):~ )%, ) = 0o + ~ ['~- P pk

k

Les r~suh at s de cah.l,ls effectu6s au par. 5, 2 e partie, p e r m e t t e n t d'~erire :

(3~s), -)~(z) = .o + X ~ ,,k z �9 mind -7, ~ P k to

k

e ~ , t ~ - - / I -~- pro- - | '1. Ell ~[|'et q -- - - ' ~ p,

to to

On remarque alors q ue ~ d6erit le cerele sym6t r ique du eercle de la figure t8 lorsque z d6crit le cercle unit6.

V I � 9 NOTI ON DE BANDE PASSA.N~rE uTI LE �9

Nous avons vu que les propri6t6s des systblnes en t ran t dans le cadre des probl6mes 6tudi6s dans la 2e part ie, p r6sen ten t une p6riodicit6 t% le long de l 'axe imaginai re pu r du plan des pulsat ions com- plexes p. Cette propri6t6 en r6v61e une au t re dont la t raduc t ion p ra t ique est impor tan te .

Suit un signal p6riodique

�9 x = A sin (2~]t + 0).

L'ensemble des valeurs a y a n t une act ion sur le systbme lin6aire, v ia l ' i n te r rup teur , est done :

Xn = A sin (2rzn/to + 0).

Consid6rons m a i n t e n a n t un signal de fr6quenee ] o - - - [ : / ' , il lui cor respond l ' ensemble x n des modules des s ignaux produi ts pa r l ' i n t e r r u p t e u r :

.Vn ~--- A s in [27~n(/o - - /)t o -4- 0].

()n peut 6crire aussi, a y a n t 2~n[ot o = 2:zn :

X,, = A sin (2~n/to + • - - 0);

done l ' ensemhle des valeurs .%, est le m~me que l ' ensemble des va leurs x n h eela pros que la phase est diff6rente ; elle passe de 0 h r: - - 0. Or, la p lu p a r t des m6eanismes reneontr6s dans les appl ica t ions ne sont pas sensibles h la phase. Celle-ei est a rb i t ra i re , car sa d6finition impliq uerait que le fone t iounemen t de l ' i n t e r rup teu r suit synehronis6 par un ph6nom~ne p6riodique g o u v e r n a n t l e s ph6nom~nes qui pro- duisent les s ignaux x(t). Daus la r6ponse du sys t~me e o m p o r t a n t un organe h fone t ionnement diseont inu, il n 'es t done pas possihle de dis t inguer deux s ignaux d 'entr6e p6riodiques de fr6quenees / e l / ' , telles q,n, leur somme suit ]0.

Lri plus grande [rgquence q . ' i l de~,ient possible ~h" trat~smettre est done dgale dt la moiti~, de la [rgquenee de rdcttrrenee [o"

Cette propri6t6 est b ien eonnue, aussi n ' iusis tuns- nous pas sur son i m p o r t a n c e pra t ique.

- - 3 5 4 -

I. t. ,,~ 1,',, l<.,l:,l 9 / 1 1 FONC'FIONNEMI~N'I ' - I IE,q SYS'I'I.:.~IE~ P I l Y S I Q U E S DISCO.NTINIt~q

Ofl

VII . E X E M I ' L E DE NER%'OMI~:t:ANI,'qME SIMPLE, ~TITDE DE SA STABILITI~:.

Considdrons u n se rvom~can i sme iddal de ii posi- l ionnemenl ~; sa chalne dlrecte est. caract~.risb, e p a r :

K 7',,, (38):t r , f f , ) - p ( t + #,,m)

h" 6�91 le gai~n de la chalne direete, K T m l '6car t de p o s l t i o n n e m e n t h vi tesse c o n s t a n t e et 6gale h l 'uni t6 du signal d ' en t r6e , et T,, la cons t an t e de t emps du se rvo lno teur . Cet te formule est bien connue .

()n peu t avo i r l 'un des sch6mas 9.1, .10.t et 10.2.

P o u r le premier , l ' 6qua t ion g6n6ralls6e du servo- m6can i sme est :

% (~'i ( : l g h .'S(P) - - 1 + 7J, t '<) x ( p ) .

')/l(Z) se ca l cu lan t "~ par t l r tie Y(p) donn6 en (38)a. Pour . ]e s e c o n d , o n a :

YdP) .~(p), (40).~ :S(P) - :~ + "~h (~)

"~/l(z) a y a n t la m g m e valeur que ci-dessus. �9 Enf in , dans le t rois i6me cas (t0.2) o n a :

(41),~ ,#(p) = ,}j (~). ~(p).

YI '~/(z) me ca l cu lan t b par t i r de I q- Y'------I"

Sau l le dern ier cas, les deux aut res se t r a i t en t en r e c h e r c h a n t h quelles condi t ions le c o n t o u r de "~/(z) ne c o n t i e n t pas le po in t ..... I q- .i0 lorsque z d6cri t le cercle unit6.

Admet tons tout d 'abord que le /one t ionnement de I 'organe in terrupteur cornporte une mgrnoire de

L �9 " dur~e t o. C'es t done ~I (z) que nous devons eonsid6rer. I,a f o rmu le du db.veloppement en 616ments simples

de Y t ( p l s'&'.rit :

K A" Y'(P) =- p 1

p - l - = - I m

d 'o i ' i i m m 6 d i a t e m e n t h l 'a ide de rSsul ta ts d6jh ul.i- lis6s ( fornmles 3.q, par. 5, '2e patt ie) :

K h 1 - - - e ~,'r,,, ' } 1 " ( : ) - - ~,- 'l ,,, : e ,,,.,'r,,,

I I l l

l , ' ~ q u a l l o n a t ix f r 6 q u e n e e s p r o p r e s d u servoln~c~ i l i s i i i e es[ I I o i l c :

1 + ~ l ' , (=) = 0

A" h" I �9 e to ' r m �9 }

I - t 3 - I t u _5 I~ I.t,"i 'm

I III

( ) r d o n n ~ ' e l i a r r a l l l i o r l h -% e l le s ' t " l , r i l :

(49): I P(z) = z 2 -}- .,lz @ I / = (I

011

/~t" ~/'111 . t = K - - (1 -F e-r~ - t---0-- (l .- e t.o.,'r,,,).

K7"., (! - - e-t.T,,). = (t - - K ) e t.,~.~ +

Cherchons '~ e x p r i m e r les cond i t ions p o u r qu e le point d 'a l t ixe P(z) d6crive un c o n t o u r qui c o m i e n n e le n o m b r e m a x i m u m de lois l 'or igine des coordonn~.es lorsque z d6cr i t le eercle unit6.

P o u r z - I : P(z) = I -F A q- B. P o u r z : - - I : P(z) ~ I - - A q- B . Q u a n d z fa i l un d e m i - t o u r sur le cercle uni t6 , z 2

fail un t o u r comple t , donc P(z) coupe l ' axe r6el en un t ro is i6me po in t C (fig. 19). On a p o r t 6 0 B = B

\

C o [B) s~ I ' ,G. 19.

sur l ' axe r6el, Az = BA, et AC = zL C o m m e l ' ang le = 2~, le t r i ang le CBA est isoc~le, d o n c CB ~-- 1.

Le t rois i~me po in t r6el de P(z) e s t . d o n c :

/~ - - I . + 10.

Le lieu de P(z) est. ind iqu6 sur la figure 20.

1 l:m. 2D.

I.e sy s t~me est s table si le po in t O e s t d e u x lois h l ' i n t6 r i eur du c o n t o u r ( l ' 6qua t ion a y a n t d e u x racines) d o n c si O est dans l 'a i re h a c h u r 6 e i n d i q u 6 e sur la f igure 20 on vol t qu ' i l fau t que :

B - - : I < 0 ,m P(O) < t ,

(4:1):: .~ t + _4 + R .-~ a , . , p(1) > 0. I I - - . t + u > . , , , , p ( - - 1 ) > n .

l .a [ n r u l c ill/ VolllOllr de la l i gu re 2 t n e p e u t , . , , ,wtmir p , u , ' un svs t~me stable, le p o i n t 0 nc l lOUvanl p b n 6 1 r c r q u ' u n e s e t t l e lois dans le con tou r .

l".n r emp la t ! an t A , It par leurs va teu r s , les condi - l ions de s tabi l i i6 (6) d e v i e n n e n t :

355 - -

tO/it

(47)~

[ANNALES DES T]"2LI'.2COMMUNI(2ATIONS F R A N C O I S - H E N R I R A Y M O N D

(1 - - K ) e-to/'r,,,

-[-"-~'oKT"" (1 - e-t.,T,,,) < 1

KTm I -+- ( t - - K ) e-t0/Tm + ~-~0 (]--e--t~

+ K - (! + e--to/T~)

K T m ( I - e-to/~m) > 0 to

KTm (1 - - e--to/~m) I + ( l - - K ) ff-to/Tm -~-

- - K ~- (J ~- e--to/Wm)

K T - - m ( t - e-t0/Tm) > 0.

off :

y - 3,7, /~ .... /2 --- 0,238.

On remarquera que le gain cor respondan t au coefficient g6n6ralis6 de t r ans fe r t ~ff(z) est K i t o puisque nous avons in t rodui t le fac teur t / t o dan~ la d$finition de ~/(z) ; cela p c r m e t une discussion selon ]a mani~re dont se posera le probl~nle p r a t i q u e ; choix de K, en fonct ion de T,,, t o 6tant donn$, choix de K en fonet ion de t o , T= 6tant donn6, choix de t o lorsque K et T m sont donn6s.

.. .+--~o

r ~r-._. ../f§

~ B - f 0

Fro. 2 t .

4Cs) 09

Fro. 22.

Les deux derni~res se s impl i f ien t en :

K (l--e-to/Win) > 0 toujours v6rifi~.e, ayant K > 0,

(1 + e - t~ K) -f- 2K to ( t T m __ e_tr ) > 0.

Cet te derni~re peu t s '6crire :

t t Tm th ~ to (4,+).+ K > 2 ~ '~ Y%"

Enfin, la p remiere condi t ion (44) s '6erit , en regrou- p a n t lcs t e rmes en K et t o/Tm :

Fm ( I - e-~o/~. , / - - e- ~.~-,J < 1 - - K e--to/Tin., I_ to

d 'ofi : t T m e-- tJTm

h ~ > t,-~ - - 1 -- e+ t~

~311 encore .:

(46)3 K > t o I --- etdTm

Finalement les conditions de stabilitg impliquent que le gain K du ser~,omdcanisme satis/asse it deux indgalitds difJgrentes ddpendant de la m~me ~,ariable [ondamentale

v,,~ = T m / t o

qui mesure la eonstante de temps du serr lorsqu'on prend la p++riode de rdeurrenee t o eomme un, it~ de temps.

La figure 22 reprodui t g ross i~rement les fonctions l de Tm/to, avec en ordonn6cs ~ (d 'apr~s [8]). La zone

haehur~e est la zone de stabil i tb. Leu r point d ' in te rsec t ion est :

t 4 1

- :l + ' : f - e':

Tou t d ' abord , la condit ion de stabil i t6 est dans ]es cas extrgmes :

t t / ~ > . ~ si to<< Tm ou to>>Tm,

t > 0,238 si l 'on est au point de croisement des

courbes limites. Si to~Tin >~ 3,7 c 'est la fonct ion [~ qui fixe les

condit ions de stabil i t& Sur cet te courbe on a :

l 1 T m i to J~ - - 2 to th ~ 7',---~

r

P ( - - I ) m t - - A + B ~ O ;

done, l '6quat ion I + "~ffa(z)= 0 a d m e t la racine 6O o

z = - - I ou p = i T . Le svs t~me oscille donc avec

la moit i6 de la p6riode de r6currence. Cela est bien nature l si la cons tan te de t e m p s T m de la chalne directe est plus pe t i t e que la p6riode de r6currence de l 'organe discontinu. La th6orie pr6- cise done que cela est r i goureusemen t vrai pour t o >~ 3,7 Tin.

Lorsque !e syst~me est r endu s table par un choix judicieux de K, la fr6qucnce propre de ses oscil- lations 6ventuelles ( tout le t e m p s qu 'on n 'es t pas h l ' amor t i s semen t c r i t i q u e ) e s t done voisine de /o/2.

S i t o est plus pe t i t quc Tin, la condi t ion de stabili t6 est donn6e par la courbe ]1, c 'cs t -h-dire p a r :

B - - I = 0 ou P ( 0 ) = I

Dans ces condit ions, si z t e s t une racine complexe, on a aussi une racine conjugu6e ; d6signons-la par

356 - -

t. 4, n ~ 10, 1949J

z~, ]es pulsa t ions propres corrcspondantes sont d o n e -*

1 l p x : ~ l o g z ~ ; P~=T01~

Or, lc syst~me 6tant , dans ce cas, dans les condi- tions 6oliennes, p~ et P2 sont imaginaires pures et l 'on sait d6jh que z x et zz sont SUE le cercle unit6 ;

d~s lors z~ ~ z2* condui t h p z - ~ ~ - + p~. Done,

los deux pulsat ions propres different entre cites de t0!2.

Manuscri t re~u le 19 ]anvier 1949.

F O 1 N C T I O N N E M E N T DES S Y S T E M E S P H Y S I Q U E S D I S C O N T I N U S 1 1 / ~ - ] -

[3] Losa (J.), Les servomgcanismes comportant liaison radio~lectrique. Conf6rence (17 octobre 1947) *

[4] LOE~ (J.), DUTILU (J. R.), JEUDON (A.), Radiosyn- chromoteurs. A. Tdlec. (mars i949), 4, n ~ 3, p. 87 **.

[5] KBI~TZMIaR (E. N.) , A n a l y s i s of' s t i p a p p r o x i m a t i o n to a c o n t i n u o u s f u n c t i o n . Technical Report n ~ 12. Research Laboratory of Electronics (MIT).

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Ill KA~ (R. M.), BEINkNET (W. R.) , Distorsion fcrro- magn6tique ])our une onde "~ deux frdquences (Ferromagnetic Distorsion of a two-frequency Wave). Bell Syst. Tech. J., U. S.'A. (I935), I~, pp. 322-359, t0 fig.

[2] BEr~r~T (W. R.), Syst6mes nmltiplex ~ division de teml3s (Time division multiplex systems). Bell Syst. Tech. J., U. S. A. (aPril 1948), 20, n ~ 12, pp. 199-221, 5 fig., i l rlf. hibl.

LtvaEs

[6] GXnDr~E~ (M.), BxnN~s (J.), Les phgnomdnes tran- sitoires dans les syst~mes lindaires (Transient in linear systems). 3. u and Sons, New-~(ork, U. S. A. (1942), 399 p., I78 fig. Prix : 5 dollars.

[7 i Mac COLL (L.), Elgments de la thdorie des ser~,o- mdcanismes. (Fundamental Theory of servomecha- nisms). D. Van Nostrand Co, New-York, U. S. A. (1945), 130 p. Prix : 2,25 dollars.

[8] JAMBS (H. M.), NICHOL (N. B.), PHILIPPS (R. S.) , Thgorie des servorndcanlsmes (Theory of Servo, m e c h a n i s m s ) . M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e of T e c h n o - l o g y . Radiation Laboratory Series, Mc. Graw-Hill Book Co, U. S. A. (1947), 375 p., i40 tig. Prix : 5 dollars.

* Dans le cadre des Confdrenees d 'Ae tua l i t6s Scient i f iques et Indust r ie l tes , organis6es en oe tobre 19~7 p a r le Conser- va to i re Na t iona l des Ar t s et M6tiers (Chaire de M6canique) . 6dit6es p a r S .E.D.E.S . , 99, Bd Sain t -Michel , Par is .

** Voir aussi LoEu (J.) . U n proc6d6 g6n6ral de l in6arisa- t ion des d i sc r imina teurs de servo-m6canlsmes . Note pr61imi- naire du Labora to i r e Nat ional+de Rad io 61ectricit6, ao &le~ (hoEs commerce) .

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NOTES - - I N F O R M A T I O N S - - + A C T U A L I T I E S

R e v u e d e s P. T. T. de F r a n c e . - - Publication de l 'Administration des P. T . T. (Direction du Budget el de la Comptabilit4, fie B~reau). Ea vente : soft par num4ro s6par6 (100 frar~r ; soft par alDonnement annuel d,: 6 fascicules, servi h part ir du num6ro suiva~t la date de souscription (500 francs : pont Ies membres de I'Admi- nistratiou fran~aise des P. T. T. : 250 francs). Souscrire (en spgcifiant le mot'i/du ~,ersetnent : (( Abonnement fi la Revue des P. T. T. >)) au er6dit du Reeeveur principal de la Seine, 52, rue du Louvre, Paris gleE) :

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Sommaire gu no 4 (vol, 4) : jmllet-aofit } ~ 9 ,

Pages Inaugu ra t i on de [a Conference tM4~raphique et t616-

phonique in te rna t iona[e , - - Par is I949 . . . . . . . . . . t Les grands h o m m e s des T61@otnmunicat ions : Tesla . 3 Le "l'cansi~tL'o~t-trm4e t ype P. T. T. ~i~l . . . . . . . . . . & Les cont r6 |es comptab les , pat' M. GUILLAUME . . . . . . . 5 L a Eot~lt6renee t616graphiq~e et t616phonique in te rna-

t ionale de Par is , pa r M. LAFFA'Z . . . . . . . . . . . . . . . 9

U n ~ran~e "X prop os d 'u~e il~vent~on t 6 4 ~ g l a t ) l ~ t e (suite et f~a), pa r M. RlcArtD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~,3

La fab r i ca t ion des t imbres -pos t e frat~vais (sui te et f i n ) p a r M. POVG~T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Le service des P. T. T. dans les l le~ d'O~, pa r M. COUZINI~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Chrottiqaes : Con[6rences ('p. 59) ; - - Statisti(4tkes (p. 3 I ) ; - - Phii~t61ie (p. 3 ~ ) ; - - t 2 ~ , i ~ s i t ~ s phi4atel~tnes , l ~ r M. l ~ e t e | d ! A ~ l ~ x ~ 3 3 ) ; - - L ~ i s ~ t ~ t r ju r i sp rudence (p. ~3) ; - - Hdbliographie (p . hS )

- - 3 ~ - -