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analyse dynamique non-linéaire et tridimensionnelle d'un barrage en terre J.H. PREVOST, A.M. ABDEL-GHAFFAR et S.J. LACY Department of Civil Engineering Princeton university * Résumé Les résultats numenques présentés illustrent les effets de la non-linéarité et de la tridimensionnalité sur le comportement dynamique d'un barrage en terre soumis à des effets sismiques. L'analyse est basée sur une modélisation numérique du barrage par la méthode des éléments finis. Les comportements non-linéaires et hystérétiques des matériaux sont modélisés à l'aide d'un modèle élasto-plastique à surfaces d'écrouissage multiples. L'intégration numérique dans le temps des équations non-linéaires est effectuée pas à pas. Deux tremblements de terre ont été considérés: l'un modéré (0,22 g, durée: 35s), l'autre fort (1,2 g, durée: 15 s), avec des caractéristiques dynamiques (en fréquences) très différentes. Des études comparatives ont été effectuées : i. entre les analyses non-linéaires bidimensionnelles et tridimensionnelles; ii. entre les analyses linéaires (modèle visqueux) et non-linéaires (élasto-plastiques) ; iii. entre les réponses mesurées et calculées du barrage soumis à un tremblement de terre. Abstract The fol/owing investigations are presented: (i) comparison between the results of 20 nonlinear and 3D nonlinear dynamic finite-element analyses of an earth dam subject to two very different input ground motions, (H) comparison between linear and nonlinear analyses, and (Hi) comparison between measured and computed earthquake responses of the dam. The study is based on rigorous nonlinear hysteretic analyses utilizing a multi-surface plasticity theory. The backbone shear stress-strain curve is assumed hyperbolic and symmetrical about the origin. Oetailed comparisons of induced stresses, strains, accelerations, and permanent deformations at various locations in the dam are presented. The effects of three-dimensionality on the dynamic response, particularly on resulting permanent deformations, are assessed. The suitability of 20 analyses in determining the dynamic behavior of such structures is evaluated. Final/y, the inadequacy of linear earthquake response analyses for earth dams is confirmed. * Princeton, N.J. 08544, USA.

analyse dynamique non-linéaire et tridimensionnelle … · REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE et Hi. entre les réponses mesurées et calculées du barrage soumis à un tremblement

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analyse dynamique non-linéaire et tridimensionnelled'un barrage en terre

J.H. PREVOST, A.M. ABDEL-GHAFFAR et S.J. LACY

Department of Civil Engineering

Princeton university *

Résumé

Les résultats numenques présentés illustrent les effets de la non-linéarité et de latridimensionnalité sur le comportement dynamique d'un barrage en terre soumis àdes effets sismiques. L'analyse est basée sur une modélisation numérique dubarrage par la méthode des éléments finis. Les comportements non-linéaires ethystérétiques des matériaux sont modélisés à l'aide d'un modèle élasto-plastique àsurfaces d'écrouissage multiples. L'intégration numérique dans le temps des équationsnon-linéaires est effectuée pas à pas. Deux tremblements de terre ont étéconsidérés: l'un modéré (0,22 g, durée: 35s), l'autre fort (1,2 g, durée: 15 s), avecdes caractéristiques dynamiques (en fréquences) très différentes. Des étudescomparatives ont été effectuées :

i. entre les analyses non-linéaires bidimensionnelles et tridimensionnelles;

ii. entre les analyses linéaires (modèle visqueux) et non-linéaires (élasto-plastiques) ;

iii. entre les réponses mesurées et calculées du barrage soumis à un tremblementde terre.

Abstract

The fol/owing investigations are presented: (i) comparison between the results of20 nonlinear and 3D nonlinear dynamic finite-element analyses of an earth damsubject to two very different input ground motions, (H) comparison between linearand nonlinear analyses, and (Hi) comparison between measured and computedearthquake responses of the dam. The study is based on rigorous nonlinearhysteretic analyses utilizing a multi-surface plasticity theory. The backbone shearstress-strain curve is assumed hyperbolic and symmetrical about the origin. Oetailedcomparisons of induced stresses, strains, accelerations, and permanent deformationsat various locations in the dam are presented. The effects of three-dimensionalityon the dynamic response, particularly on resulting permanent deformations, areassessed. The suitability of 20 analyses in determining the dynamic behavior ofsuch structures is evaluated. Final/y, the inadequacy of linear earthquake responseanalyses for earth dams is confirmed.

* Princeton, N.J. 08544, USA.

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1. INTRODUCTION

Les barrages en terre sont de grandes structurestridimensionnelles et non-homogènes, construites avecdes matériaux anélastiques. En conséquence, l'analyseou, mieux encore, la prédiction de leurs comporte­ments dynamiques sous sollicitations sismiques est trèsdifficile. C'est pourquoi les méthodes employées dansla pratique courante ont beaucoup d'hypothèses sim­plificatrices. C'est ainsi, par exemple, qu'il est courantde modéliser la réponse dans la direction amont-avalen utilisant un modèle unidimensionnel linéaire) depoutre triangulaire (HATANAKA, 1955; MARTIN,1965; ABDEL-GHAFFAR et SCOTI, 1979; GAlE­TAS, 1981; AMBRASEYS, 1960), bien que desmesures sur site (cf., ABDEL-GHAFFAR et SCOTI,1979) indiquent qu'un tel modèle en général nereprésente pas bien le comportement réel de lastructure.

Les résultats récents du calcul sur ordinateur rendentaujourd'hui possible une analyse dynamique pluscomplète incorporant des effets complexes tels queceux dûs à la tridimensionnalité et au comportementnon-linéaire des matériaux. Plusieurs investigations ontdéjà été consacrées à l'étude de l'effet de la tridi­mensionnalité sur la réponse (ABDEL-GHAFF et KOH,1982; MAKDISI et al., 1982; MEJIA et al., 1982;OHMACHI et al., 1982). D'autres ont examiné lesconditions sous lesquelles la tridimensionnalité pourraitcontribuer de façon importante à la réponse (VRY­MOED, 1981; MEJIA et SEED, 1983). Cependant, ilfaut noter que dans toutes ces analyses, le compor­tement non-linéaire des matériaux a été pris en compteen utilisant des propriétés linéaires équivalentes et uneprocédure itérative pour obtenir des modules élastiqueset des amortissements visqueux compatibles avec ladéformation calculée dans chaque zone de barrage.Bien que cette procédure itérative semble convergerdans presque tous les cas pratiques où elle a étéutilisée, il est vrai cependant qu'il reste encore beau­coup de questions quant à la validité de ses hypothèsessimplificatrices et quant au domaine de validité pourson application pratique (en particulier quand elle estutilisée pour calculer la réponse non-linéaire d'unouvrage soumis à un fort effet sismique).

Les résultats numériques présentés ci-après illustrentles effets de la non-linéarité et de la tridimensionnalitésur le comportement dynamique d'un barrage en terresoumis à des effets sismiques. L'analyse est basée surune modélisation numérique du barrage par laméthode des éléments finis. Les 'comportements non­linéaires et hystérétiques des matériaux sont modélisésà l'aide d'un modèle élasto-plastique à surfacesd'écrouissage multiples. L'intégration numérique dansle temps des équations non-linéaires est effectuée pasà pas. Deux tremblements de terre ont été considérés:l'un modéré (0,22 g, durée: 35 s), l'autre fort (1,2 g,durée: == 15 s), avec des caractéristiques dynamiques(en fréquences) très différentes. Des études compara­tives ont été effectuées:

i. entre les analyses non-linéaires bidimensionnelles ettridimensionnelles ;

ii. entre les analyses linéaires (modèle visqueux) etnon-linéaires (élasto-plastiques);

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

et Hi. entre les réponses mesurées et calculées dubarrage soumis à un tremblement de terre.

Tous les calculs dont les résultats sont reportés ci­aprè.? ont été effectués à l'aide du programme Dynaflon(PREVOST, 1981), développé à l'Université de Prin­ceton (USA).

2. GÉOMÉTRIE CONSIDÉRÉE ­MAILLAGE D'ÉLÉMENTS FINIS

Le barrage considéré est celui de Santa-Felicia. C'estun barrage en terre, moderne, construit en 1954­1955, et situé dans la région de Ventura en Californie,à 65 km environ au Nord-Ouest de Los Angeles.

Ce barrage s'élève à une hauteur de 82 mau-dessusde sa fondation la plus basse, et a une longueur encrête maximale de 382,5 m. Ses pentes, amont etaval, sont à 2,25/1 et 2/1, respectivement. Le barrageest équipé d'un noyau central imperméable qui s'élèveà partir du rocher avec des pentes à 0,33/1. Lafigure 1 représente une section transversale à mi­longueur, une section longitudinale et une vue enplan du barrage.

La figure 2.a montre le maillage éléments finis tridi­mensionnels 3D utilisé pour l'analyse dynamique dubarrage. L~ maillage est constitué de deux centcinquante-d~ux éléments briques isoparamétriques àhuit nœuds.

La figure 2.b montre le maillage éléments finis tridi­mensionnels 3D utilisé pour l'analyse dynamique dubarrage. Le maillage est constitué de deux centcinquante-deux éléments briques isoparamétriques àhuit nœuds.

La figure 2.b montre la section transversale maximale(à mi-longueur du barrage).

Le maillage 3D a été construit en étendant horizon­talement le long de l'axe longitudinal du barrage lescinquante éléments quadrilatéraux de la figure 2.bjusqu'aux murs de la vallée. A chaque nœud dumaillage sont associés trois degrés de liberté entranslation.

La section transversale maximale (fig. 2. b) est aussicelle utilisée par la suite pour les calculs dynamiquesbidimensionnels 20. Le maillage dans ce cas estconstitué de cinquante éléments isoparamétriques àquatre nœuds, et à chaque nœud sont associés deuxdegrés de liberté en translation (correspondant à unehypothèse de déformations planes).

Puisque les parois de la vallée sont constitués derochers, elles sont supposées rigides et les nœudssitués le long de la frontière avec la vallée sontcontraints à bouger tous en phase et avec la mêmeamplitude. Evidemment, la validité de cette idéalisationsimple qui ne prend pas en compte des effets de sitepeut être remise en cause. Cependant, l'état desconnaissances actuelles ne fournit pas de méthodologieclaire et définie pour prendre en compte les effets desite.

ANALYSE DYNAMIQUE NON-LINÉAIRE ET TRIDIMENTIONNELLE D'UN BARRAGE EN TERRE 21

AM,ONT AVAL

-po'r- S0 MME T DU BAR RAGE 10 751055 NIVEAU MAXIMAL DES EAUX -n

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VUE EN PLAN

Fig. 1. - Le barrage en terre de Santa-Felicia: Détails structuraux.

22 REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

15 15

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Fig. 2. - Maillage éléments finis: Barrage en terre de Santa-Felicia.

3. PROPRIÉTÉS DES MATÉRIAUX

Le barrage de Santa-Felicia est constitué d'un noyaucentral argileux imperméable et de parements per­méables, sables et graviers, reposant sur une coucherigide de graviers et sables jusqu'au rocher. Lesmodules élastiques en petites déformations, pourchaque matériau, et à chaque profondeur, ont étécalculés à partir de résultat d'essais expérimentauxeffectués sur le site du barrage (mesures de vitesse

de propagation d'ondes de cisaillement et de vibrationsforcées en vraie grandeur du barrage) et reportés parABDEL-GHAFFAR et SCOTT (1981). Les valeurs desmodules élastiques de cisaillement déduites de cesmesures et utilisées dans les analyses présentées ci­après, son présentées dans le tableau 1. Un modulede Poisson de 0,45 a été utilisé pour le noyauargileux, et de 0,30 pour les autres matériaux (Abdel­Ghaffar et Scott, 1979). Des poids volumiques de21,06 kN/m

3pour le noyau argileux, et de 22,16 kN/m3

pour les autres matériaux, ont été utilisés.

ANALYSE DYNAMIQUE NON-LINÉAIRE ET TRIDIMENTIONNELLE D'UN BARRAGE EN TERRE

Tableau 1. - Module de cisaillement (petites déformations)

23

Profondeur Noyau Parement Gravier(sous crête) Zone (4.161 slugs/fP) Zone (4.379 slugs/fP) Zone (4.379 slugs/ft3 )

en ft n° en Ibs/ft2 n° en Ibs/ft2 n° en Ibs/fP

24.75 ft. 1C 2,441,492 15 1,725,42374.25 ft. 2C 3,755,302 25 2,939,447

123,75 ft. 3C 4,414,405 35 3,781,540173.75 ft. 4C 4,763,929 45 3,972,660235.5 ft. 5C 4,763,929 G 39,726,600

* Voir figure 2.b.

Le comportement non-linéaire et hystérétique desmatériaux constituant le barrage est modélisé à l'aided'un modèle élasto-plastique à surfaces d'écrouissagemultiples (MROZ, 1967; PRÉVOST, 1977, 1978,1981) de la forme Von Misès. La courbe intrinsèquede cisaillement est supposée hyperbolique et symé­trique par rapport à l'origine, et de la forme:

L == Go y (1)

1+!Yr

où L == contrainte de cisaillement (viz., (oxx - Oyy),

Lxy, ... );

(1)

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~ 3.08) COURBE INTRINSEQUE ;t

TYPIOUE ~ 2.0

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~ 0 1.2 2.4 3.6 4.8 6.0 -3

B DEFORMATION DE CISAIllEMENT, Yxy ( 10 )

0'1

y == déformation associée (viz., (Exx - Eyy), ... , Yxy,... ) ;

Go == module de cisaillement élastique à petitesdéformations ;

Yr == 0,0013 == déformation de référence.

b) CHAMP DE SURFACES

o 'ECROUISSAGE

PLASTIQUE

Onze surfaces d'écrouissage ont été utilisées poureffectuer une approximation linéaire par morceau dela courbe intrinsèque, et la résistance maximale dumatériau a été prise égale à Luit == Gal1000 ( SEED& IDRISS, 1970).

La figure 3 montre la courbe intrinsèque correspon­dante et le champ de surfaces d'écrouissage associé.Une loi plastique d'écrouissage purement cinématique(PRAGER, 1955) a été utilisée, et la taille des surfacesreste donc constante au cours du chargement.

Il est intéressant de noter que puisque la courbeintrinsèque est supposée symétrique par rapport àl'origine, le modèle plastique génère des bouclesd'hystérésis du type Masing (1926). Il est aussi impor­tant de remarquer que l'amortissement pour cettemodélisation du comportement du sol est purementhystérétique.

4. SÉISMES CONSIDÉRÉS

De façon à pouvoir étudier les effets de la nature duséisme sur la réponse du barrage, deux chocs d'entréesismiques enregistrés en 1971 lors du tremblement deterre de San-Fernando, sont considérés.

c) BOUCLE D' HYSTERESIS DE

TYPE MASING

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Fig. 3. - Comportement contrainte-déformation:matériau du barrage.

Le premier choc d'entrée sismique référé ci-aprèscomme la secousse modérée, dure 35 secondes et aune accélération maximale de 0,22 g dans la directionamont-aval du barrage. Cette secousse est celle enre­gistrée au rocher, sur le site du barrage près desouvrages de déversement.

La figure 4 montre les accélérogrammes du mouvementdans les directions amont-aval, longitudinale et verti­cale, et leurs transformées de Fourier respectives.

24 REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

20181612 14HERTZ

4 6 8 10FREOUENCE EN

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FREOUENCE EN HERTZLONGITUDINALE

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TEMPS EN SEC.(b) DIRECTION

0.04CI)

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0 4 8 12 16 20 24 28 32

TEMPS EN SEC.

(C) DIRECTION VERTICALE

Fig. 4. - Secousse modérée (site du barrage de Santa-Félicia; Tremblement de terre de San-Fernando,Février 1971).

Le second choc d'entrée sismique, référé ci-aprèscomme la secousse forte, dure 15 secondes (seule lapartie forte de la secousse est considérée), et a uneaccélération maximale de 1,2 g dans la directionamont-aval du barrage. Cette secousse est celle enre­gistrée près de l'épicentre du tremblement de terresur le site du Pacoima.

La figure 5 présente les accélérogrammes du mou­vement dans les directions amont-aval, longitudinaleet verticale, et leurs transformées de Fourier respec­tives.

Il est important de noter que la résonance à environ10 Hz (fig. 4), observée dans les spectres de la

ANALYSE DYNAMIQUE NON-LINÉAIRE ET TRIDIMENTIONNELLE D'UN BARRAGE EN TERRE 25

18 206 8 10 12 14 16

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4

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TEMPS EN SEC.

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(C) DIRECTION VERTICALE

Fig. 5. - Secousse forte (site du barrage de Pacoima; tremblement de terre de San-Fernando, Février 1971).

secousse modérée, est due aux vibrations du tuyauen béton, qui se trouve sous le plancher de l'abrides valves. L'accéléromètre a été fixé sur ce plancherplutôt que directement sur le sol. La secousse modéréea un spectre d'énergie relativement étroit, tandis quela secousse forte (fig. 5) est caractérisée par un spectreétendu.

Pour les deux cas considérés, les trois composantesdu choc d'entrée sismique ont été appliquées simul­tanément comme une accélération prescrite uniformeaux nœuds du maillage éléments finis à la frontièreavec le rocher de la vallée.

26

5. INTÉGRATION DANS LE TEMPS

L'intégration numenque dans le temps des équationssemi-discrètes provenant des éléments finis, a étéeffectuée pas à pas à l'aide d'un algorithme implicite­explicite prédicteur-multi-correcteur (HUGHES et al.,1979), basé sur la famille des intégrateurs proposéspar NEWMARK (1959). Plus spécifiquement, la con­tribution linéaire élastique à l'opérateur de rigidité(tangente) a toujours été traitée implicitement, tandisque le reste (contribution non-linéaire plastique) a ététraitée explicitement. Ce choix permet d'effectuer l'in­tégration de façon optimale (PRÉVOST, 1982), puis­qu'il ne requiert de former et de factoriser l'opérateurde rigidité qu'une seule fois pour toute l'intégrationdans le temps. Des itérations ont été effectuées àchaque pas de temps, afin d'assurer la convergencede la solution, et un test de convergence très sévèrede 10-4 a été utilisé.

Sauf indication, l'amortissement visqueux n'a pas étéutilisé et l'intégration dans le temps a été effectuéeavec les valeurs suivantes pour les paramètres deNewmark:

ex 0,55(3 (ex + 1/2)2/4 == 0,28

Un peu d'amortissement numérique a donc été intro­duit pour le choix particulier adopté pour ex(ex == 0,50 correspondant au cas sans amortissement),et la valeur adoptée pour (3 maximise la dissipationde hautes fréquences numériques (HILBER, 1976).Un pas de temps ~t == 2 x 10-2s. a été utilisé afinde suivre précisément tous les détails du choc d'entréesismique.

6. FRÉQUENCES ET MODES PROPRES

Des calculs de valeurs propres ont été effectués surles maillages 20 et 3D afin de trouver les fréquenceset modes propres du système linéaire. Les résultatspour les deux maillages sont résumés dans le tableau II.On a aussi montré dans ce tableau, pour comparaison,les résultats obtenus avec des maillages plus fins. Dansle tableau II, NEQ dénote le nombre total d'équationspour chaque maillage considéré (NEQ == nombre denœuds x nombre de dimensions physiques - nombretotal de conditions aux frontières). Comme on peutle voir, d'après ce tableau, les deux maillages utilisésont leurs fréquences propres, plus de 8 % de cellesobtenues avec des maillages beaucoup plus fins. Aussi,les modes propres ont été trouvés ici être trèssemblables. Finalement, les fréquences calculées sonten bonne concordance avec celles mesurées expéri­mentalement (ABOEL-GHAFFAR et SCOTI, 1981). Ila donc été décidé de faire des calculs en utilisant lesmaillages 20 et 3D les moins fins.

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

Tableau 1/. - Fréquences propres calculées2D et 3D

MAILLAGEMode

n° Gros 2D Fin 2D Gros 3D Fin 3D

1 1,401 1,333 1,395 1,3572 2,282 2,130 1,433 1,4273 2,326 2,134 1,505 1,4714 2,736 2,797 1,522 1,6085 2,889 2,958 1,605 1,7456 3,007 3,041 1,736 1,8437 3,262 3,399 1,975 1,9768 3,507 3,601 1,894 2,0299 3,568 3,736 1,920 2,048

10 3,712 3,899 1,976 2,084

NEQ* 100 242 585 2312

Sointime**(secs) 21,03 36,17 177,7 1 378,14

* NEQ désigne le nombre total d'équations.** Note: Algorithme avec vecteur en sur-relaxation (voir Batheet Ramaswamy 1980).

La figure 6 montre les quatre premiers modes propresdu modèle 3D et la figure 7 ceux du modèle 20. Ilest intéressant de remarquer que les dix premièresfréquences propres du modèles 3D s'intercalent entreles deux premières fréquences du modèle 20, et doncque plus de configurations modales intermédiaires sontintroduites par la tridimensionnalité.

Ainsi, bien que le barrage de Santa-Felicia soit rela­tivement long (non typique d'une configuration 3D),des différences considérables sont à noter entre sescaractéristiques dynamiques 20 et 3D.

Enfin, il faut souligner que le bon accord constatépour la valeur de la fréquence fondamentale amont­aval, calculée avec les modèles 20 et 3D, n'impliquepas forcément un bon accord entre les réponsescalculées sous sollicitations sismiques. Ceci seradémontré par la suite.

7. RÉPONSE DYNAMIQUE: RÉSULTATS

Pour chaque entrée sismique, trois types de calculdynamique ont été faits comme suit:

1. 20 linéaire avec amortissement visqueux;

2. 20 non-linéaire sans amortissement visqueux (amor­tissement uniquement hystérétique).

3. 3D non-linéaire sans amortissement visqueux (amor­tissement uniquement hystérétique).

Pour les calculs linéaires, un amortissement visqueuxdu type Rayleigh (soit par exemple, CLOUGH, etPENZIEN. 1975) a été utilisé, et les coefficientsd'amortissements ont été déterminés, basés sur un

1er MODE :1.357

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3eme

MODE :1.471 Hz

,

2eme

MODE:1.433 Hz

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4 MODE: 1.608 Hz

Fig. 6a. - Modes propres - Maillage tridimensionnel fin.

28 REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

1er

MODE: 1.395 Hz

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/ 1 \ 1 \ \ \\ ", ~ /

\

1]

,eme

2 MODE: 1.433 Hz

\

eme3 MODE:l.5D5Hz

\

eme4 MODE :1.522 Hz

Fig. 6b. - Modes propres - Maillage tridimensionnel adopté.

ANALYSE DYNAMIQUE NON-LINÉAIRE ET TRIDIMENTIONNELLE D'UN BARRAGE EN TERRE 29

MAlllAIGE FIN BI-DIMENSIONNEL

1er

MODE:1.333 Hz

2 ème MODE: 2.130 Hz

3eme

MODE: 2.134 Hz

erne4 MODE:2.797 Hz

Fig. 7a. - Modes propres ­

Maillage bidimensionnel fin.

amortissement critique, de 5 % (ou 15 %, voir discus­sion ci-après) des deux premières fréquences modalesdu barrage.

Les paramètres appropnes pour effectuer une com­paraison entre les résultats d'analyses 2D et 3D sontles composantes de l'accélération en crête du barrage

1er MODE: 1.401 Hz

2eme

MODE: 2.282 Hz

3eme

MODE: 2.326 Hz

4eme

MDDE ~ 2.736 Hz

Fig. 7b. - Modes propres ­Maillage bidimensionnel adopté.

et les contraintes/déformations induites dans le barrage

par l'excitation sismique. Les valeurs calculées pourl'accélération maximale en crête dans la section maxi­male du barrage dans les directions amont-aval, ver­ticales et longitudinales, sont résumées dans letableau III.

Tableau III. - Accélération en crête maximale (en g's)

SECTION MAXIMALE (à mi-longueur)

Secousse Direction 2D linéaire 2D linéaire 2D 3D(5 % amort.) (15 % amort.) non-linéaire non-linéaire

Mesuré

Amont-Aval .45 - .26 .22 .19Modérée Vertical .29 - .13 .14 .065

Longitudinal - - - .20 .17

Amont-Aval 5.28 3.71 .86 .58 -Forte Vertical 2.98 2.17 1.27 1.19 -

Longitudinal - - - .35 -

30 REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

Les valeurs maximales d'accélérations mesurées sur lesite (ABOEL-GHAFFAR et SCOTI, 1979) ont égale­ment été reportées dans le tableau IV.

D'après ce tableau, les déficiences du modèle linéaire dubarrage sont évidentes. Pour la secousse modérée, lemodèle linéaire 20 avec plus de 5 % d'amortissementvisqueux, surestime la réponse mesurée par plus de135 % dans la direction amont-aval, et par 345 % dansla direction verticale. Pour la secousse forte, le modèlelinéaire 20, avec plus de 15 % d'amortissement visqueuxsurestime la réponse calculée avec le modèle non-linéaire3D de 540 % et 82 % dans les directions amont-aval etverticale respectivement. Cependant, il est intéressant denoter le bon accord entre les réponses calculées avec lemodèle 3D non-linéaire et celles mesurées sur le sitepour la secousse modérée (il faut se rappeler que lasecousse forte n'a pas été enregistrée sur le site dubarrage, et est utilisée uniquement pour illustrer les effetsde non-linéarités importantes sur la réponse).

verticale sont présentées sur la figure 8, en fonctiondu temps. Leurs transformées de Fourier respectivessont aussi présentées sur cette figure. On notera unedifférence très importante entre les résultats préditspar les modèles 20 linéaire et 20 non-linéaire, aussibien dans les accélérations en fonction du temps quedans leurs spectres de fréquence. Bien que la secoussesoit modérée et que plus de 5 % d'amortissementvisqueux ait été utilisé pour le calcul linéaire, celui-cisurestime de façon appréciable la réponse calculéeavec le modèle non-linéaire (et hystérétique). Aussi, ilest important de noter que le modèle linéaire répondsurtout à ses fréquences propres tandis que la réponsedu modèle non-linéaire est concentrée sur la premièrefréquence et s'étend sur des fréquences encore plusbasses. Ceci indique, pour cette secousse particulière,une prédominance du premier mode dans la réponseet un radoucissement du système non-linéaire, où lafréquence varie avec l'intensité de l'entrée.

Les résultats obtenus pour la secousse modérée et lasecousse forte, respectivement, sont présentés et discutésci-après plus en détails.

7.1. Secousse modérée

7.1.1. Comparaison 2D linéaire et 2D non-linéaire

Les valeurs calculées de l'accélération en crête pourla section maximale dans les directions amont-aval et

7.1.2. Comparaison 2D non-linéaire et 3D non­linéaire

Les accélérations calculées en fonction du temps etleurs transformées de Fourier respectives sont présen­tées sur la figure 9. A part une petite différence dansles amplitudes calculées, les réponses temporelles cal­culées avec les deux modèles sont semblables. L'in­troduction de la tridimensionnalité et de la composantelongitudinale de l'excitation sismique, abaissent encoreplus l'amplitude de la réponse calculée et font des-

0.4

__ 20 NON LINEAIRE

____ 20 LINEAIRE

( 50/0 AM 0RTl SSEM ENT)

2 3 4 5 6 7 8 9 10

FREQU~NCE EN HERTZ

c.j1.0

t.J.Jene,:, 0.8:2w

a: 0.6wa::;:) 0.40"'-wc 0.2wa:~

uwCLen

8 12 16 20 24 28 32

TEMPS EN SEC.

4

:2o 0.0~

eta:~ - 0.2wuuet -0.4

+---...........--+---+---+----+-----+-'"-------4--+---__+_

o

en

e,:, 0.2:2w

DIRECTION VERTICALE

e,:, 0.16

u· 0.20w(1)

ZLU 0.12a:w

l'!~

: O.08-f_---+_--+-_-+-_-+,.,~ 0...U~ 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(1) FREQUENCE EN HERTZ

DIRECTION VERTICALE

4 8 12 16 20 24 28 32

T EM PS EN SEC.

o

0.2

ene,:, 0.1:2w

:2 0.00

~

et 0.1a:w~

w0.2u

uet

Fig. 8. - Accélération en crête calculée - Secousse modérée - Modèle 2D linéaire (5 % d'amortissementvisqueux) VS 2D non linéaire.

ANALYSE DYNAMIQUE NON-LINÉAIRE ET TRIDIMENTIONNELLE D'UN BARRAGE EN TERRE 31

cendre encore plus bas les fréquences auxquelles laplupart de l'énergie est dissipée. Il est intéressant denoter que la réponse dans la direction verticale indiquela participation de plus de modes de vibrations bienqu'il y ait une prédominance nette du mode fonda­mental dans la réponse, dans la direction amont-aval.

7.1.3. Comparaison 3D non-linaire et réponse mesuréesur le site

Les accélérations en fonction du temps et leurstransformées de Fourier respectives sont présentées surla figure 10. On notera un agrément raisonnablementbon entre les réponses calculées et mesurées, bienque le modèle 3D non-linéaire hystérétique surestimeencore légèrement la réponse mesurée. Ceci tendraità montrer qu'il existe, en plus des mécanismes hys­térétiques, d'autres mécanismes dissipatifs dans le bar­rage réel (en particulier, visqueux dûs à la présencedu noyau argileux). Il est cependant important de

rappeler qu'aucun effet de site sur le choc d'entréen'a été pris en compte dans le calcul, ce qui a unetendance en soi-même à surestimer aussi la réponse.

7.2. Secousse forte

7.2.1. Comparaison 2D linéaire et 2D non-linéaire

Les accélérations calculées sont présentées sur lafigure Il. Comme précédemment, une différence trèsimportante est à noter entre les résultats prédits parles deux modèles. Bien que plus de 15 % d'amortis­sement visqueux ait été utilisé, le modèle linéairesurestime de façon inacceptable la réponse du modèlenon-linéaire.

7.2.2 Comparaison 2D non-linéaire et 3D non­linéaire

Les accélérations calculées sont présentées sur lafigure 12. Pour ce séisme fort, la tridimensionnalité

O. 8r---+---r--+---+-----+--+---+--~~--+--__+_~

a 2 3 4 5 6 7 8 9 10

FREQUENCE EN HERTZ

ULU

1CI)

0.2 ; ':t:J

..en: ~

Zt:J 0.1 LU

z ~

0 LU

t- 0.0 a:<t ::;)

0ex: u..LU-' 0.1 LULU

C(.)(.) LU<t

-0.2 AMONT-AVAL ~t-uLU

4 8 12 16 20 24 28 32c..a en

TEMPS EN SEC.

0.6

04

-- 3D NON LINEAIRE

- - - 20 NON LI NEAIRE

0.12en

"c.:J

:2: 0.06:LU

zo 0.0t-<t~

LU

~-0.06(.)C'..)

<t _ 0.12

o 4

VERTICAL

8 12 16 20 24 28 32

'TEMPS EN SEC.

U 0.12LUCI)

c.:J

2LU

~ 0.08LU

~

::;)

0u..

004LUcLU

~

t- a(.)LU ac..CI)

VERTICAL

2345678

FREQUENCE EN HERTZ

9 10

Fig. 9. - Accélération en crête calculée - Secousse modérée - Modèle 20 non-linéaire VS ­Modèle 3D non-linéaire.

32 REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

__ MESUREE

.. CALCU~EE (3D NON LINEAIRE)

0.5 ~----+.,.-_+__-+___-+-_+_-+----+----+--+__~

0.16 AMONT-AVAL

VERTICAL

LONGITUDINAL

2 3 4 5 6 7 8 9 10

FREGUENCE EN HERTZ-

"""""",,'~

:::1if 1:,

!1\1\:

;\k:!

~I

oo

0.04

0.4

0.3

0.2

0.1

0c.Jwtn

(.:J

z0.4w

a:w 0.3a:::;:)

0 0.2LA.

w 0.10

w 0w

~

lX:0LA.

CI)

z 0.12cra:....

0.08

VERTICAL

AMONT-AVAL

LONGITUDINAL

~ 0.08

O.12i

o 4 8 12 16 20 24 28 32

TEMPS EN SEC.

~-0.16U i-----:-----1f-------+----+--+-----+-----r---+---+-----1

et

2o 0.0....eta: 0.08w--'

.. tn 0.16~

Fig. 10. - Accélération en crête - Secousse modérée - Modèle 3D non-linéaire VS ­Réponse mesurée sur le site.

ANALYSE DYNAMIQUE NON-LINÉAIRE ET TRIDIMENTIONNELLE D'UN BARRAGE EN TERRE 33

__ 20

_____ 20NON LINEAIRE

LINEAIRE (15 % AMORTISSEMENT)

AMONT-AVAL

2 3 4 5 6 7 8 9 10

FREQUENCE EN. HERTZ

2 3 4 5 6 7 8 9 10

FREQUENCE EN HERTZ

VERTICAL

::< ::

o +---+----+---+-----+-'if.----I/~I---"f--+-f'._.:'/ -+-.....:-:.:.-'-,,: ---+=-,/....:..--';):::-.<~_.:..-.::.+o

1.0

1.6 t-----+--+---r---t---+-----+--+---t---t---------l---+

0.4

0.8

1.2

2.0

W

LoU

~ccou­V)

z«cc~

LoU

Q

ccLoU

3.0

4.0

zw

3.0

2.0

1.0

0.0

-1.0

en- 2.0

c.:::J

2 -3.0 AMONT-AVALw

2 0 2 4 6 8 10 12 14c~

TEMPS iN SEC.e:ta:w

1.6---l

w(,.)

c..J0.8« ~ \

0.0

-0.8

-1.6VERTJ CAL

0 2 4 6 8 10 12 14

TEMPS EN SEC.

Fig. 11. - Accélération en crête - Secousse forte - Modèle 2D linéaire (15 % amortissement visqueux) VS- Modèle 2D non-linéaire.

réduit de façon importante la réponse amont-aval danslaquelle, contrairement au cas précédent, on voit lacontribution de beaucoup de fréquences.

Les valeurs calculées pour les contraintes et déformations du cisaillement dans le noyau central (au 1/3de la hauteur) et dans les parements seront présentéessur les figures 13 et 14 respectivement. Bien que lescontraintes calculées avec les modèles 20 et 3D soientsimilaires, il existe des différences importantes dans lesdéformations calculées avec les deux modèles.

7.3. Conclusion

Les résultats présentés permettent de conclure quepour le barrage de Santa-Felicia une analyse bi­dimensionnelle de la section maximale ne peut pasfournir de prédiction raisonnable ni de l'accélérationen crête ni des déformations finales rémanentes dansle barrage.

8. CONCLUSIONS

Des résultats numériques ont été présentés qui illustrentles effets de la non-linéarité et de la tridimensionnalitésur le comportement dynamique d'un barrage en terresoumis à des efforts sismiques. L'analyse est baséesur une modélisation numérique rigoureuse du barragepar la méthode des éléments finis. Le comportementnon-linéaire et hystérétique des matériaux a été modé­lisé à l'aide d'un modèle élasto-plastique à surfacesd'écrouissage multiples. Deux chocs d'entrée sismiques,l'un modéré, l'autre fort, avec des caractéristiques enfréquence très différentes, ont été considérés.

Bien que le barrage de Santa Felicia, utilisé danscette étude, soit relativement long et donc a pnonpeu susceptible aux effets de la tridimensionnalité, desdifférences importantes ont été trouvées entre lesrésultats obtenus par les analyses non-linéaires 20 et3D. Les différences les plus prononcées ont étéobtenues dans la direction amont-aval pour le cas dela secousse forte. Les résultats de cette étude démon-

34 REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

___ 3 0 NON llNEAIRE

2 D NON llNEAIRE

0.8 +----t----t---+-ï---+---t-----+--__+_--+ 0.8r--,-+--+---t---+----+--+---t----t------I---+

10

10

9

3456789

FREQUENCE EN HERTZ

VERTI CAL

3 4 5 6 7 8

FREQUENCE EN HERTZ

2

2

0.4

0.8

AMONT- AVAL

0.2

06

0.4

wC

a:w

14

14

12

1210

8 10

SEC.

6

EN

6 8

EN SEC.

4

TEMPS

4

TEMPS

2

2

; ~ AMONT-AVAL

---+---+---+-1 ---+-~o

0.4

0.4

0.0

-1.2 -l--_-+-__---+-ooi---+-----i--""O------i-~

o

- 0.6-

2 0oJo-e:ta:w-' 1. 2 1----+----+---+,-,

~ 0.6 !'i 1:~N~1\ \:I~~ li\I\}~r, 1\'~\':~\Nt;N+y.

': : , i;., j: i i : 11 ~ l':ii(,:, Il:' : . .,' .

i i\l) T'l' ) ~ VERTICAL

Fig. 12. - Accélération en crête calculée - Secousse forte - Modèle 2D non-linéaire VS ­Modèle 3D non-linéaire.

trent donc l'importance des effets tridimensionnels surle comportement dynamique des barrages en terre,tout particulièrement en ce qui concerne le calcul desdéformations rémanentes. Enfin, la déficience impor­tante des analyses linéaires a été clairement démontrée.

c. pour obtenir les paramètres associés à la réponsedans la direction longitudinale.

Ceux-ci sont essentiels pour l'interprétation des fissurestransverses souvent observées aux appuis des barragesen terres.

Bien que les calculs tridimensionnels non-linéairessoient beaucoup plus onéreux que les calculs bidi­mensionnels non-linéaires, cette étude a bien démon­trée qu'ils étaient des outils fiables:

REMERCIEMENTSa. pour prendre en compte de façon rationnelle tousles modes de vibrations du barrage et la tridimen­sionnalité du choc d'entrée sismique;

b. pour prédire de façon réaliste la réponse dubarrage;

Cette étude a été soutenue financièrement par laNational Science Foundation (U.S.A.) sous contratCEE81-20757, avec la supervision de W. HAKALA.Leur support est vivement remercié.

ANALYSE DYNAMIQUE NON-LINÉAIRE ET TRIDIMENTIONNELLE D'UN BARRAGE EN TERRE 35

___ 3D NON LIf\lEAIRE

_____ 20 NON LINEAIRE

__ 3D NON LINEAIRE

_ 2D NON LINI:AIRE

14

14

12

: '

L1 6 8 10 12TEMPS EN ~r:C.

2o

1.2

2.4

12.4 -J-,__+-~I-"-+I---tl----f-----+- -----+----+--+

o 2 4 6 8 10-;"EMPS EN SEC.

08

O.0 -t-9~rtf-t-t-+------+-+tt--n-t+r---+--~-----+

/ v,/ht·r..I··v·;:·····..······· .. ····

0.4

u.CI)

Q.

ex: -1.2ex:.....2oU

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N

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14122 4 6 8 10

TEMPS EN SEC.

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1.2N.

0

0.8

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0.40;:

0.0ex:2ex:~ - 0.4wc

Fig. 13. - Contraintes-Déformations de cisaillement- Secousse forte - Noyau central

au 1/3 de la hauteur.

Fig. 14. - Contraintes-Déformations de cisaillement- Secousse forte - Parement.

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