Analyse et Commande des systemes lineaires

Frederic Gouaisbaut

LAAS-CNRS

Tel : 05 61 33 63 07

email : fgouaisb@laas.fr

webpage: www .laas.fr/ ∼ fgouaisb

September 24, 2009

Presentation du Cours

Volume Horaire: 9h Cours, 9h de Tds, 12h de TPs,

Materiel sur le site http://www.laas.fr/∼ fgouaisb

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Evaluation:

1 note de controle intermediaire (Partiel),1 note de controle terminal,1 note de travaux pratiques (comprenant 1 note de controle QCMs typemoodle, 1 note terminale de travaux pratiques).

Contact⋆ Responsable du Cours : Frederic Gouaisbaut, fgouaisb@laas.fr⋆ Responsable des TPs : Yann Labit, labit@laas.fr

Sommaire

1 Introduction a l’automatique et a la notion de systemes.

2 Une premiere modelisation temporelle des systemes lineaires.

3 Analyse temporelle des systemes lineaires.

4 Une seconde modelisation des systemes lineaires.

5 Analyse structurelle des systemes lineaires.

6 Exemples de commande de systemes bouclees.

7 Conclusion

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Part I

Analyse temporelle des systemes lineaires

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Sommaire

1 Introduction

2 Regime transitoire

3 Les systemes du 1er ordre

4 Les systemes du 2nd ordre

5 Exemples de systemes regules

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Analyse temporelle

Les systemes que nous allons etudier sont definis par un modele liant l’entreeet la sortie.Analyse d’ un systeme

comprendre l’evolution du signal de sortie en fonction des sollicitationsde l’entree.

Comparer les evolutions des sorties de differents systemes.

Comparer des systemes :1 en terme de stabilite (le systeme explose t-il ?).2 en terme de rapidite de convergence vers l’objectif.3 en terme de qualite de convergence (oscillations de la sortie ...)

→ Definir des indices de performances communs.

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Les reponses temporelles

idee : Comparer les reponses des systemes a une serie d’entrees tests.

Impulsion de dirac E (p) = 1

e(t)

t

Echelon unitaire e(t) = 1∀t > 0, 0 sinon E (p) = 1/p

e(t)

t

Rampe e(t) = t∀t > 0, 0 sinon E (p) = 1/p2

e(t)

t

Parabole e(t) = t2∀t > 0, 0 sinon E (p) = 2/p3

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Indices de performances pour la reponse indicielle

8y( )

D1

D1

y(t)

t

2, 5% de y( )8

0.1

0.9

TmTp

Tm : temps de montéeTp : temps de picTr : temps de réponse : premier dépassement

Tr ou Te

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Definitions d’indices de performance

Reponse temporelle composee de :

1 regime transitoire.

2 regime permanent.

Nous definissons plusieurs points de reference aisement calculables oumesurables :

La valeur finale :

Le temps de montee :

Le temps de premier pic :

La valeur du premier pic ou premier depassement :

Le temps de reponse :

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Regime transitoire et Regime permanent

1 La reponse transitoire du systeme yt(t). Celle ci correspond a lasolution de l’equation homogene ou les n inconnues (provenant despolynomes qi) sont determines grace aux conditions initiales.

2 La reponse permanente du systeme qui correspond a la solutionparticuliere de l’equation differentielle. Elle correspond en general a lapartie de la courbe lorsque t −→ ∞.

Example

Soit l’equation y(t) + y(t) = 2× u(t) = 2 × 1 avec comme condition initialey(0) = 0. L’equation homogene s’ecrit yl(t) = Ae−t . L’equation particulieres’ecrit y(t) = 2. La constante A est calcule telle que yl(0) + yp(0) = 0 i.e.A = −2. Le regime permanent est donc yp(t) = 2 et le regime transitoire estyt(t) = −2e−t .

Analyser la reponse indicielle c’est donc analyser les caracteristiques duregime permanent (yp(t) = 2) et analyser les caracteristiques du regime

transitoire (yt(t) = −e−t ou au signe pres y⋆(t) = e−t)

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Indices de performances pour le regime permanent

Valeur finale

La valeur finale de la courbe est definie par y(+∞) = limt→+∞

y(t)

Reponse indicielle

Temps (sec)

Am

plitu

de

0 5 10 15 20 25 30 350

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Valeur finale

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Indices de performances pour le regime transitoire

Temps de montee

Le temps de montee d’un systeme est le temps mis par sa sortie pour passerde 10% de sa valeur finale a 90% de sa valeur finale.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Reponse indicielle

Temps (sec)

Am

plitu

de

Temps de montee

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Indices de performances pour le regime transitoire

Temps de reponse

Le temps de reponse d’un systeme est le temps mis par la sortie du systemepour entrer dans la bande compris entre ±5% de sa valeur finale.

0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Reponse indicielle

Temps (sec)

Am

plitu

de

Temps de reponse

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

Reponse indicielle

Temps (sec)

Am

plitu

de

Temps de reponse

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Indices de performances pour le regime transitoire

Temps du premier pic

Le temps de premier pic est le temps mis par le systeme pour atteindre lepremier pic du depassement (si celui ci a lieu ...)

la valeur du premier pic

La valeur du premier pic a plusieurs definitions refletant differentes manieresde mesurer la valeur du depassement maximale par rapport a la valeur finalede y(t). Il est en general utilise en pourcentage :

Dr =y(Tp) − y(∞)

y(∞)∗ 100%

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Indices de performances pour le regime transitoire

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

Reponse indicielle

Temps (sec)

Am

plitu

de

Temps dupremier pic

Valeur du premier pic

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Modele et Reponse d’un systeme du 1er ordre

Equation differentielle

a0y + a1y = b0u ⇔ y + Ty = Ku

T est la constante de temps et K est le gain statique.

Reponse indicielle, echelon e0

y(t) = e−tT x0 +

∫ t

0e−

t−τT

KT

e0dτ

= e−tT x0 + K (1 − e−

tT )e0

= e−tT (x0 − Ke0) + Ke0

regime transitoire + regime permanent

Pente a l’origine

x(0) =Ke0 − x0

T

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Trace de la reponse indicielle

8y( )

y(t)

t

5% de y( )8

T 2T 3T

63%

Temps de montée de 10 à 90% = 2.2T

Temps de réponse à 5% = 2.86T

La valeur finale : Ke0.

Le temps de montee : 2, 2T .

Le temps de premier pic :∅.La valeur du premier pic ou premier depassement :∅.Le temps de reponse : tr = 3T .

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Identification de la reponse

choix d’un modele mathematique.

Determination des parametres du modele (par exemple le gain statiqueK et la constante de temps T )

⇒ Identification de ces parametres1 Ces parametres sont calcules par l’intermediaire de la connaissance du

processus physique.2 Ces parametres sont difficilement calculables ou avec un grande

imprecision ...

⇒ Utiliser la methode de la reponse indicielle pour calculer les parametresinconnues...

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Identification de la reponse

Example

Soit un systeme de capteur d’entree e(t), la donnee que le capteur mesure etde sortie y(t) la mesure du capteur. La reponse indicielle (pour une entreee(t) = 1) donne la courbe suivante.

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

tm=7.2 sec

yfinale=4.1

Calcul du temps de montee tm = 7.2secCalcul de la valeur finale y(∞) = 4.1secModele du systeme

3.27y (t) + y(t) = 4.1e(t)

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Identification de la reponse

Example

Soit un systeme de capteur d’entree e(t), la donnee que le capteur mesure etde sortie y(t) la mesure du capteur. La reponse indicielle (pour une entreee(t) = 1) donne la courbe suivante. Nous pouvons aisement calculer sontemps de reponse tr = 4.36sec , son temps de montee tm = 3.65sec et savaleur finale y(∞) = 2.

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

temps de montee temps de reponse

reponse indicielle du systeme physique

valeur finale

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Calcul du modele mathematique

Reflet du comportement physique,

meme valeur finale.

meme temps de reponse.

Nous choisissons un modele simple du premier ordre.y(∞) = Ke0 = 2 ⇒ K = 2tr = 3T = 4.36 et donc T = 1.463. Le modele mathematique du capteursera donc :

1.463y (t) + y(t) = 2e(t)

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Comparaisons entre la reponse du modele et du procede

Nous obtenons par ailleurs les reponses suivantes :

reponse indicielle

Temps (sec)

Am

plitu

de

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

temps de montee

temps de reponse

procede reel

modele mathematique premier ordre

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Modele du second ordre

Equation differentielle :

y + a1y + a0y = b0u ⇔ y + 2ζωny + ω2ny = Kω2

nu

Fonction de transfert : G (p) = Kω2n

p2+2ζωnp+ω2n

ωn est la pulsation naturelle (pulsation propre non amortie), ζ est lecoefficient d’amortissement, K est le gain statique.

Le comportement depend des racines de l’equation caracteristique(poles du systeme) :

Si ζ > 1, alors poles reels :

p1,2 = −ζωn ± ωn

√

ζ2 − 1 = − 1

τ1

et − 1

τ2

si ζ = 1, alors pole double : p = −ζωn

si ζ < 1, alors poles complexes conjugues :

p1,2 = −ζωn ± jωn

√

1 − ζ2

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Reponse indicielle aperiodique ζ > 1

y(t) = K(

1 − p2etp1−p1e

tp2

p1−p2

)

u(t)

= K(

1 − τ1

τ1−τ2e− t

τ1 + τ2

τ1−τ2e− t

τ2

)

u(t)8y( )

y(t)

t

grand

petit

ζζ

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Reponse indicielle critique ζ = 1

y(t) = K(

1 − e−ωnt − ωnte−ωnt

)

u(t)

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Reponse indicielle oscillante amortie |ζ < 1|Reponse oscillante amortie

y(t) = K

[

1 − e−ωnζt

√

1 − ζ2sin(ωn

√

1 − ζ2t + ϕ)

]

u(t)

avec ϕ = arctg

√1−ζ2

ζ .

Pulsation propre : ωp = ωn

√

1 − ζ2 Periode des oscillation : T = 2πωp

Enveloppe d’amortissement donnee par e−ωnt

Temps de reponse a 5% : Te ≃ 3ζωn

Temps de montee : Tm = π2ωp

= T4

Premier depassement : D1 = 100.e−

ζπ√1−ζ2 (en %)

intervient a T2

Coefficient de surtension lorsque ζ < 1√2

Pulsation de resonance : ωr =√

1 − 2ζ2ωn

Coefficient de surtention : Q = 1

2ζ√

1−ζ2

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Reponse indicielle d’un modele d’ordre 2

8y( ) 8 5% de y( )

D1

n- e tζω

t

Tp

T

TeTm

y(t)

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Evolution Reponse indicielle amortissement ζ

Plus ζ diminue, plus les depassements augmentent

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

zeta=0.2

zeta=0.5

zeta=1

zeta=0.7

zeta=1.5

gain statique : 1 pulsation naturelle : 1

réponse indicielle

temps

ampl

itude

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Evolution Reponse indicielle pulsation ωn

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Step Response

Am

plitu

de

ω = 0.1n

ω = 0.2ω = 0.3

ω = 0.4

ω = 0.5

n

n

n

n

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Asservissement proportionnel et integral

Example (asservissement de position)

On desire asservir la position d’un petit robot. Nous commandons la vitessedes roues et nous desirons que celui-ci progresse de yr metres. Le modeleliant la vitesse des roues Ω(t) et la position du robot y(t) est donne par :

y(t) + 30y(t) = Ω(t)

Choix d’une commande en boucle fermee: Ω(t) = k(yr (t) − y(t)) ou k estun parametre de la commande.

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

La relation entre yr et y(t) devient alors :

y(t) + 30y(t) = Ω(t) = k(yr − y(t))y(t) + (30 + k)y = kyr

1 Pour une consigne de yr , le robot progresse de k30+k

yr

2 Nous pouvons egalement utiliser k pour jouer sur la vitesse deconvergence car tr = 3

30+k.

Introduction Regime transitoire Σ du 1er ordre Σ du 2nd ordre Exemples

Example (asservissement de position)

On choisit une commande de la forme Ω(t) = kt∫

0

(yr − y(t)dt) ou k est un

parametre de la commande.L’equation liant la consigne et la sortie devient donc :

y(t) + 30y(t) = Ω(t) = k

t∫

0

(yr − y(t)dt)

En derivant nous obtenons :

y(t) + 30y(t) + ky(t) = kyr

C’est une equation du second ordre, ces parametres canoniques sontKstatique = 1, ωn = k,ζ = 15

k.

1 Pour une consigne de yr , le robot progresse de yr

2 Nous pouvons egalement utiliser k pour faire respecter d’autrespecifications...