Analyse expérimentale et modélisation numérique des couplages thermomécaniques dans les matériaux solides

Rev. C&J. Therm. (1998) 37, 582-606 @ Elsevier, Paris

Analyse expkimentale et mod4lisation numkrique des couplages thermomkcaniques dans les mathriaux solides

Andre! Chrysochoos*, Robert Peyroux Laboratoire de mkanique et genie civil, CNRS UMR 5508, universitk Montpellier II, CCO81,

place EugBne-Bataillon, 34095 Montpellier cedex 05, France

(Recu le 5 decembre 1997, accept6 le 5 fevrier 1998)

Abridged English version at the end of the text

Abstract-Experimental analysis and numerical simulation of thermomechanical couplings in solid materials. In the first part, the theoretical and experimental framework used to present the thermomechanical behaviour of solid materials is briefly recalled. The main feature of the experimental approach relies on the use of thermographical techniques allowing us to deduce, from the thermal data, the distribution of heat sources arising during the mechanical transformation. In the particular case of homogeneous thermomechanical tests, an energy balance can be performed and used to derive the behavioural constitutive equations. When heterogeneities occur, the infrared images facilitate the analysis of localization mechanisms. In the second part, basic aspects of homogenization techniques are reiterated. Related to thermomechanical couplings, homogenization improves the description of the behaviour of materials and structures in which microstructural phenomena have a significant influence at the macroscopic scale. Several finite element simulations are shown concerning the thermoviscoelasticity of polymers, the thermoelasticity coupled with damage in composites, and the pseudoelastic behaviour related to the solid-solid phase change of shape memory alloys. 0 Elsevier, Paris

thermomechanics / couplings / infrared thermography / constitutive equations / localization / homogenization / damage / shape memory alloy / polymer / composite

Resume - Dans une premiere partie, le cadre theorique et experimental adopte pour etudier le comportement thermomecanique des materiaux solides est brievement rappel& L’originalite de I’approche experimentale developpee repose sur I’utilisation de techniques thermographiques permettant de deduire des donnees infrarouges la distribution des puissances calorifiques accompagnant le processus de deformation. Dans le cas d’essais thermomecaniques homogenes, il est possible de dresser des bilans complets d’energie utiles au developpement des lois de comportement. Dans le cas d’essais non homogenes, les images infrarouges peuvent Ctre utilisees pour etudier les phenomenes de localisation. Dans une deuxieme partie, les notions de base en homogeneisation sont presentees. Associee aux couplages thermomecaniques, I’homogeneisation permet de mieux decrire le comportement de materiaux et de structures oh des phenomenes physiques microscopiques ont une forte incidence sur le comportement macroscopique. Plusieurs simulations numeriques par elements finis sont ensuite presentees ; elles concernent la thermoviscdlasticite des polymeres ou la thermoelasticite avec endommagement des composites, et le comportement pseudoelastique avec changement de phase des alliages a memoire de forme. 0 Elsevier, Paris

thermomecanique / couplage / thermographie infrarouge / loi de comportement / localisation / homogeneisation / endommagement / alliage i m&moire de forme / polymere / composite

Nomenclature

A tenseur de localisation des deformations

B tenseur de localisation des contraintes

c tenseur de rigidite microscopique C tenseur de rigidite macroscopique

* Correspondance et tires-a-part.

IbIPa MPa

C’

cm

dl

e,l,L

E”

g

tenseur de rigidite visqueuse

capacite thermique massique A Q,)i=l , .n constants .

dissipation intrindque

caracteristiques geometriques de l’eprouvette

module de viscosite.

vecteur courant de chaleur microscopique.......................

MPa,s-’

J.kg.K-’

W.m-”

111

MPa.ss l

W.n1-”

582

Analyse expkrimentale et modklisation numerique des couplages thermomkaniques dans les matkriaux solides

G

h

k

K

L

M

N 7 re

s

S

S T

To t U

u

vecteur courant de chaleur macroscopique ....................... coefficient d’echange air-eprouvette .......................... tenseur de conductivite microscopique .......................... tenseur de conductivite macroscopique .......................... chaleur latente specifique de changement de phase ............... tenseur de localisation des gradients de temperature tenseur de localisation des flux temperature microscopique ...... source volumique de chaleur d’origine exterieure ................. tenseur de souplesse microscopique .......................... tenseur de souplesse macroscopique .......................... section droite .................. temperature absolue macroscopique ........................... temperature de reference. ....... temps ......................... vecteur deplacement microscopique .......................... vecteur deplacement macrosco pique ..........................

x = (?Y>Z) vecteur position du point microscopique . , .

X = (X,Y,Z) vecteur position du point mncroscopique

Symboles grecs

tenseur des dilatations thermiques microscopiques . . tenseur des dilatations thermiques macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . .

> n} ensemble de variables d’etat

tenseur d-orientation des variantes de martensite tenseur des deformations microscopiques tenseur des deformations macroscopiques energie libre specifique. . . vecteur des fractions de marten- sites transform&es longueurs caracteristiques des fuites thermiques . . . . coefficient de contraction visqueuse variation de temperature.. . masse volumique . . . . tenseur des contraintes microsco piques......................... tenseur des contraintes macroscopiques......................... facteur d’echelle micro-macro

K

W.m-”

MPa-1

MPaa’ m2

K K

S

m

m

m

m

K-l

K-1

J.kg-’

m

K kg.m-3

MPa

MPa

1. INTRODUCTION

Les solides ont des comportements mecaniques tres varies qui dependent non seulement des conditions de sollicitation comme la vitesse ou le trajet de chargement, des conditions d’environnement comme la temperature et l’humidite ambiantes, mais aussi de leur histoire pendant et depuis leur elaboration. Cette grande diversite provient de la multiplicite des evenements microstructuraux dont le mat&au solide est le siege, et ce & des echelles differentes et de faGon generalement couplee. C’est pourquoi l’etude des cclois N de comportement est un domaine de recherche particulibrement actif de la mecanique des solides. tant sur le plan experimental et theorique que numerique. Dans la pratique, ces lois de comportement sont utilisees par l’ingenieur qui cherche & dimensionner une structure, & maitriser un processus de mise en forme ou & predire la duke de vie d’un composant. Sur un plan plus theorique, ces equations viennent completer celles provenant des grands principes de conservation de la physique (masse, mouvement , energie).

Pour decrire le comportement macroscopique d’un materiau, une premiere attitude est de considerer celui-ci. non seulement comme un milieu continu, mais aussi comme un systeme thermodynamique. C’est l’objet de la thermomecanique des solides que de presenter des modeles de comportement dans un cadre qui adopte a la fois les outils stheniques et cinematiques de la mecanique des milieux continus, tout en cherchant & traduire, au travers de variables d’ktat internes, les consequences macroscopiques des phenombnes microstructuraux. Le cadre des materiaux standard g&r&alis& (MSG) que nous utiliserons dans la suite, est dans le droit fil de cette d&narche [l]. Le comportement du materiau y est represent6 par deux ensembles d’equations, appelees respectivement lois d’etat et lois compldmentaires. Les premieres derivent d’un potentiel thermodynamique conforme au choix des variables d’etat et caractkrisent les propri&& physiques du milieu & l’equilibre. Les secondes derivent: dans le cadre des MSG: d’un potentiel de dissipation. et rendent compte des irr&ersibilites qui accompagntnt les transformations thermomecaniques du milieu. Depuis une vingtaine d’annees, cette approche des lois de comportement & variables internes. s’inspirant de celui, plus large, de la thermodynamique des processus irreversibles [2]. a fait ses preuves ! Elle a permis d’aborder, avec une certaine reussite, la modelisation des mecanismes d’ecrouissage; des effets visqueux. des phenomknes de vieillissement et d’endommagcment [3 -51.

Toutefois, en partie grace & l’augmentation constante des puissances de calcul et au developpement des moyens informatiques dans les laboratoires. d’autres approches, plus deductives, se sont considerablement developpees ces dernieres an&es. Celles-ci partent de la connaissance de parametres et mkcanismes de

583

A. Chrysochoos, R. Peyroux

dkformation & des khelles de description plus fines que celles choisies prtkkdemment et que l’on qualifie gdrkralement de microstructurales. Ces khelles restent cependant & un niveau tel que le milieu est toujours considkrk comme continu. C’est done par un changement d’kchelle (de milieu continu), en effectuant ce qu’on appelle communkment un passage micro macro; que les lois macroscopiques de comportement sont alors obtenues. De beaux succ&s sont B mettre & l’actif de ces nouvelles approches : description fine des mkcanismes d’krouissage de mktaux. prkdictions plus rkalistes des caractkristiques klastiques macroscopiques des matkriaux composites tels que les composites B fibres, les multicouches, etc. [6&g]. Paralklement aux efforts constants rdalisks par de nombreux centres de recherche pour tenter d’ktendre le domaine de validitk des modkles, le point de we dkveloppk ci- apr&s consiste & adjoindre aux critkres de validit mkanique des critkres de validitk knergktique fond& sur l’observation expkrimentale [lo la]. Un des objectifs est dc pouvoir tenir correctement compte dans les calculs des manifestations thermiques et knergktiques likes aux processus de dkformation. Cette dkmarche va & l’encontre d’habitudes encore rkpandues en mkanique des solides. En effet. pour des vitesses de sollicitat,ion mkcanique lentes (essais quasi statiques). la capacitk calorifique par unit6 de volume des matkriaux solides &ant trks klevke (comparativement & celle des gaz par exemple), les variations de tempkrature induites par la dkformation restent souvent faibles. C’est pourquoi ces processus sont encore souvent assimik B des processus isothermes. Cette attitude, somme toutc naturelle sur un plan strictement thermique. prive du m&e coup le mkcanicien de possibiliti! de contrble sur le plan knergktique (thermodynamique) de ses modkles de comportement. En nkgligeant les variat,ions de tempkrature induites par le processus de dkformation. il klimine la possibilitk d’effectuer des bilans complets d’knergie.

2. CADRE THERMOMtCANIQUE

Le cadre thdorique g&&al utilisk est celui de la +ermodynamique classique des processus irr&ersibles. A tout instant, chaque 616ment de volume du milieu continu est considkrk comme un systkme thermodynamique & l’kquilibre (axiome de l’htat local) pouvant Gtre dkcrit par un lot de n + 1 variables d’ktat. Dans les applications, on prend gknkralement comme variables : T = a~> la tempkature absolue, E = ~1. (011 E, = CYI) un tenseur de dkformation (ou dkformation klastique) et {ck 3 ; j = 2,. ,n} un ensemble de n - 1 variables complhmentaires caractkrisant l’ktat interne du matkriau. Le potentiel thermodynamique choisi est. en conskquence, l’knergie libre de Helmholtz $, trans- formke de Legendre de l’knergie interne par rapport B l’entropie.

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En comhinant classiquement les premier et second principes. on obtient l’kquation locale de diffusion de la chaleur : celle-ci peut irtre &rite sous la forme cl’url opkateur aux dkrikes partielles applique k la tempkrature au premier membre. avec, au second membre, les diffkrentes sources de chaleur. En notant p la masse volurnique, C, la capacit6 thermique massique & cyJ constant (j = 1.. ,n): K le tenseur de conductivitG et r, le terme volumique d’kchange de chaleur avec lc milieu extkicur. on obtient :

p C,, ? - div(Kgrad T)

= d1 + I’ T tJT aa,, a27b &,+r,.,j=l,....n (1)

On reconnait au second membre la dissipation in- trinsilque dl et les termes dits de couplage thermomdca- nique.

Dans le cadre des essais exp&imentaux. les hypothkses suivantes sont faites : (i) la capacitk thermique massique et le tenseur de conductivith (supposk isotrope K,, = KS,,) sont des constantes caractkristiques du matkriau ; (ii,) le terme source r, est constant dans le temps : &i) les essais ktant quasi statiques. les termcs convectifs sont nkgligks dans la dkrivation particulaire.

Ces hypothkses: raisonnablcs dans un grand nombre de cas classiques, risquent d’etre largement fausses dks qu‘une forte anisotropie prkexiste ou se dkveloppe au tours dc la dkformation (i), lorsque le matkriau est le sikge dc transformations de phase du second ordre (ii): quand le chargement thermomkanique fait apparaitre des instabilitks thermiques ou mkaniques (iii). En introduisant les variations de tempkrature B dkfinies par Q = T - TO! oti TO est le champ de temperature & l’kquilibre thermique, l’@quation de la chaleur peut $tre r&rite soils la forme simplifike suivante :

a0 azv aoi, p Cm z - k Ab’ = dl + P T aT acu, at = s,

j = 1.. ,n (2)

oil s reprksente la somme des diff&ents termes sources volurrliques de chaleur.

3. ANALYSE THERMOCRAPHIQUE

Pour observer les manifestations thermiques accompagnant un processus de dkformation, on associe aux moyens d’essais mkcaniques traditionnels un dispositif de thermographie infrarouge. La cam&a est placke sur la traverse mobile d’une machine d’essai servomkanique de traction<ompression. Le systkme de numkisation du signal vidko utilisC a BtB con$u et rkalisk par Nay- roles et al. [13] et Bow et al. [14]. Ce dispositif a kte initialement utilisk pour ktudier les effets de couplage thermoklastique lors d’essais cycliques en utilisant des techniques de dkmodulation synchrone du signal [15].

Analyse experimentale et modklisation numkrique des couplages thermomkcaniques dans les matkriaux solides

L’idee etait de rapprocher les mesures infrarouges des mesures par photoelasticimetrie. Les premieres permettent, dans le cadre de la thermoelasticite adiabatique, d’evaluer la trace du tenseur des contraintes (somme des contraintes principales) ; les secondes offrent une &a- luation des contraintes de cisaillement (difference des contraintes principales). Ici, l’objectif du traitement des donnees est de deduire des cartes de temperature de surface la distribution des sources de chaleur, sans prejuger du comportement mecanique du materiau. Dans le cas general d’un milieu tridimensionnel, cette operation, qui rentre dans le cadre des probkmes inverses, est delicate, voire impossible a realiser, saris information sur les sources que l’on cherche & determiner [lS, 171. Lorsque le champ de temperature est suppose homogene dans l’epaisseur de l’eprouvette, les sources sont deter- minces localement par estimation du premier membre de l’equation de la chaleur (2). 11 n’y a plus alors, & proprement parler. de probleme inverse & rksoudre ; cependant le passage des temperatures aux sources reste delicat & realiser sur le plan numerique.

3.1. Traitement numkrique des images infrarouges

La camera utilisee (Agema SSOSW) a une technologie de type monodetecteur & prismes. Elle est relativement lente (7 images par seconde) et un filtrage dans le temps de l’information est insuffisant pour des essais temporellement non periodiques. Aussi la demarche adoptee initialement [ll] pour estimer l’operateur aux derivees partielles a-t-elle repose sur des techniques de filtrages convolutifs passe-has dans l’espace et sur une approximation par differences finies de l’operateur. Pour donner des resultats corrects, cette methode exige de bons rapports signal sur bruit (M 10). Signalons de plus que le filtrage de la temperature puis de ses derivees successives fait perdre d’autant plus d’informations sur les bords de l’image que les frequences de coupure des filtres sont faibles. Le “zero padding,, classiquement utilise en traitement d’images n’a pas d’intirret ici, dans la mesure oti il fausse terriblement l’estimation des sources en imposant de forts gradients (discontinuites) ; suivant le niveau de bruit, les effets de bords peuvent faire perdre plus de 80 % de la taille des images.

Recemment, une autre methode de traitement, evitant cet inconvenient mais au domaine d’application plus limit& a Pte mise au point [18]. Elle s’appuie sur l’existence d’une base spectrale pour des problemes aux derivees partielles associes & des geometries simples (Rprouvettes parallelipipediques ou cylindriques). Cette base est constituee des fonctions propres de l’operateur laplacien present dans l’equation de la chaleur. La connaissance des conditions aux limites thermiques permet alors d’identifier cette base de fonctions. On peut ensuite, & tout instant, projeter le champ de temperature fourni par la camera infrarouge sur les premiers vecteurs de base (basses frequences), de facon a obtenir une forme analytique des variables d’espace

du champ (filtre) des temperatures. On s’appuie enfin sur cette expression analytique pour calculer les fuites thermiques par conduction (d&i&es secondes spatiales). I1 ne reste plus alors qu’& estimer les sources de chaleur. moyennant certaines hypotheses sur leur regularit et leur << projetabilite N.

La mdthode precedente n’est applicable que pour des geometries relativement simples, et si, par ailleurs, on maitrise experimentalement bien les conditions aux limites. C’est pourquoi il a semble interessant de reprendre les techniques classiques de traitement du signal fondles sur la transformee de Fourier discrete. Afin de reduire les effets de bord dus & la non-periodicite des images, effets fortement amplifies ici par la presence du laplacien, on effectue cette fois-ci au prealable un prolongement periodique assurant la regularite du signal et de ses derivees normales aux bords de l’image jusqu’a l’ordre 2. Par ailleurs, le bruit du systeme thermographique utilise est de type bruit blanc, caracterise par une densite gaussienne de probabilite, de moyenne nulle, et possede une densite spectrale de puissance uniforme. Cette derniere caracteristique implique que le filtrage, quelle que soit sa forme. ne peut totalement eliminer les frequences parasites. L’efficacite de la methode, comme celle des prkckdentes, est Bprouvee de la man&e suivante : (i) on calcule par methode spectrale un champ de temperatures a partir dune distribution don&e de sources dans des conditions aussi proches que possible des conditions d’essai ; (ii) ce champ est ensuite perturb6 par un

bruit conforme aux observations experimentales. On prend differents niveaux de bruit pour eprouver la robustesse des algorithmes de traitement ; (iii) pour un niveau don@ on compare les sources deduites des champs de temperature & la distribution initiale. On constate que les erreurs de traitement sur les sources s’amplifient rapidement avec le niveau de bruit. Cette nature instable du passage des temperatures aux sources (probleme inverse) vient du caractere t&s regularisant des phenomenes de diffusion thermique (probleme direct). Pour limiter les effets du bruit, on peut diminuer la frequence de coupure des filtres ; en contrepartie, on observe, comme il se doit, une baisse de l’intensite des sources, et un etalement des zones oil elles se concentrent (elimination des hautes frequences spatiales).

Afin d’illustrer cette demarche de validation, on presente brievement quelques resultats de depouillement des don&es thermiques. On se limite aux essais de traction sur des echantillons tires de plaques minces (produits plats).

3.2. Contr6le des mkthodes de traitement d’images

3.2.1. Analyse de thermoprofils ; milieux curvilignes

Plus le materiau est bon conducteur, plus les fuites thermiques suivant l’axe de chargement de l’eprouvette

585


sont importantes, car les mors de la machine d’essai constituent deux importants puits de chaleur. Pour des eprouvettes elan&es, il peut etre interessant d’integrer l’equation (2) sur chaque section droite, afin de se ramener a un problbme de diffusion thermique ne dependant que dune seule variable d’espace.

Au voisinage de l’equilibre thermique, les conditions limites exprimant les fuites laterales sont modelisees par des lois lineaires en temperature (conditions mixtes de type Fourier). Ainsi. pour un echantillon de longueur utile L! de largeur 1 et d’epaisseur e: en notant XX la longueur caracteristique des fuites longitudinales et h le coefficient d’echange thermique entre l’air et l’eprouvette, le problkme aux derivees partielles s’ecrit alors :

(a) pc, qp + 2h(;+ l) e(x,t)

-K J2w,t) ______ = s(X$) (b) 8(X,0) lx;

(3)

(c)

oh 19(X,t) et a(X,t) representent respectivement les temperatures et les sources moyennes & l’instant t de chaque section droite S d’abscisse X. En pratique e(X,t,) represente le profil moyen des temperatures a l’instant tN de l’echantillon consider6 comme un milieu curviligne. 11 est assimile au profil moyen des temperatures mesurees en surface par la camera. 11 est experimentalement obtenu en moyennant les colonnes de l’image thermique N sur la largeur utile de l’eprouvette. La validite de cette approximation est d’autant meilleure que la temperature varie peu dans chaque section droite. De plus, l’operation de moyenne sur chaque section a pour effet de reduire de faGon importante le bruit en temperature.

Dans l’exemple present6 sur la figure 1, on choisit un profil longitudinal de source, de forme triangulaire. Au tours du temps, la base du triangle se deplace et diminue, sa hauteur augmentant de faGon a ce que l’aire se conserve. Cette forme bien particuliere et quelque peu academique permet un calcul analytique relativement

Figure 1. Profils des sources de chaleur a deux instants to et tl. Figure 1. Heat sources profiles at twogiven instants to and tl.

aise de la solution en temperature, dans le cas oil il y a une localisation progressive des sources de chaleur.

Les figures 2 et 3 illustrent la demarche de validation de la methode numerique de traitement d’images (TFD). A partir de la distribution don&e des sources. on calcule par methode spectrale l’evolution du champ des temperatures! champ qui est utilise pour reconstruire la carte des sources de chaleur. Divisees par p C,. ces sources se mesurent en ’ Cs-i ou en K.s-’

3.2.2. Analyse des images thermiques ; plaques minces

Dans le cas general des plaques minces une hypothese, mains reductrice que celle proposee ci-dessus pour l’analyse des profils thermiques, consiste seulement a supposer que le champ de temperature varie peu suivant l’epaisseur de la plaque. Ceci permet d’approximer la temperature de surface (celle mesuree par la camera) a la temperature moyenne dans l’epaisseur. Comme precedemment. il semble raisonnable de modeliser les fuitcs thermiques longitudinales et laterales par des conditions mixtes de Fourier en notant resp,ectivemcnt XX et XV leurs longueurs caracteristiques. A partir dc l’equation de la chaleur moyennee suivant l’epaisseur. le problkme de diffusion thermique en deux dimensions s’ecrit alors :

/ dB(X,Y,t) ((4 P G & + y B(X,Y$)

-K A@(X.Y,t) = s(X,Y>t) (b) B(X,Y,o) = 0

(4) (c) B(k L/2-Y+) Ik xx aQc*;g~y~t) = 0

(d) 0(X,& 1/2.t) * XY d”(x!g’2.t) = 0

La distribution des sources choisie pour illustrer la methode prend ime forme pyramidale (generalisation 2D du cas precedent). Au tours du temps. la base de la pyramide se deplace et se r&r&it, tandis que sa hauteur augmente de faGon a ce que le volume se conserve. A cette distribution, spatialement heterogkne. on a superpose dans cet exemple une source de chaleur homogene et decroissant exponentiellement au tours du temps.

Une illustration des resultats obtenus par traitement d’images est proposee (figure 4). On considere l’instant correspondant a l’image no 36. De la distribution don&e des sources (figure 4a), on deduit par methode spectrale la carte des temperatures (figure 4b). L’estimation du premier membre de l’equation (4a) par TFD permet alors de reconstruire un champ de sources. On presente ici les resultats obtenus pour deux niveaux de bruits (,fi,gure 4c et 4d).

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Analyse experimentale et modelisation numerique des couplages thermomecaniques dans les materiaux solides

80

60

1

80

60

-20 0 20 sources don&es

l- 40

x : pixel suivant la gCnCratrice (espace) t : numtro d’image thermique (temps)

-40 -20 0 20

sources reconstruites 40 -40 -20 0

temphatures (bruit ~0°C) 40

Figure 2. Controle de la methode de traitement par TFD sur des thermoprofils. Le calcul des temperatures est fait sur 2 x 20 vecteurs propres (methode spectrale). La reconstruction du champ de sources (estimees en K.s-l) se fait a partir des temperatures directement issues du calcul (temperatures non bruitees). Figure 2. Validity testing of DFT data processing on thermoprofiles. Temperatures have been computed using 2 x 20 eigenvectors (spectral method). Reconstructing the heat sources distribution (divided by PC, ; the unit becomes K.s-l) has been performed using the calculated temperature without adding any thermal noise.

X -40 -20 0 20 40 -40 -20 40

sources reconstruites tempkratures &uit = EMT) Figure 3. Influence du bruit en temperature sur I’estimation des sources. Pour nos experiences en laboratoire, le bruit sur les profils est d’un niveau d’environ 80 mK. Figure 3. Influence of thermal noise on the determination of heat sources. In the case of our experiments, the noise amplitudes on the mean profiles reach around 80 mK.

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A. Chrysochoos, R. Pevroux

bnage 36

-2” -1” 1” + bruit e02”C

I” 0 1” *o

Figure 4. Traitement 20 par TFD. La confrontation entre sources donnees et sources reconstruites est proposke pour I’image no 36 et pour deux niveaux de bruit. Figure 4. DFT image processing. A comparison between initially given source distributions and the one reconstructed using the thermal data is proposed for image 36 and for two noise amplitudes.

On constatc de lifgers &arts cntre sources dorm&s ct sources reconstruites dans le cas du traitement, des cartes des temperatures non bruitees. Ces &arts s’amplifient t&s rapidement avec le niveau de bruit (instabilitk numerique). Comme pr6ddemment~ les erreurs proviennent principalement de la presence du laplacien dans l’equation de la chaleur. qui amplifie terriblement les effets du bruit.

4. QUELQUES RkSULTATS ISSUS DES EXPiRlENCES

4.1. Essais homogknes ; lois de comportement

4.1 .l. Comportements dlastoplastiques des mktaux B froid

Des essais thermomecaniques de traction simple ont ete realis& sur des metaux courants (aciers. duraluminium, laiton) a temperature ambiante et constante. En g6nera1, les mktaux a froid ont ml comportement dit elastoplastique. Pour de nombreux modeles cinematiques de la litterature [IO], la faiblesse du rapport des contraintes dues au chargement sur le module d’elasticite permet de decomposer de facon

additive. par linitarisation. la deformation en parties thermique. &rstique et plastique :

{

(a) E = &he + E, (h) &he = cY@Id + &

(5)

11 peut etre alors interessant de prendre E, comme variable d’etat k la place de E. Les sources de chaleur qui interviennent durant une transformation elastoplastique sont :

la dissipation intrinsitque (dl = YZE, - p$:, di, : % = 2.. ,7~) traduisant les ir&ersibilitBs dues aux glissemcms plastiques.

la source provenant du couplagc thermoelastique pT T,!J~,~, I?, due h la thermodilatabiliti dcs metaux. Lcs sources complementaires provenant des couplages entre la tcmptkature et les autres variables internes peuvent etre: quant a, elles, negligees au voisinage de la temperature ambiante. dans la mesure oil de faibles variations de temperature ne modifient pas les caracteristiques d’ecrouissage (pT I+!J~.,,, d;, zz 0; 1; = 2.. :n). Dans un tel cadre. le bilan pour ml increment de temps 6t s’krit alors :

L’kquation (6a) rappelle quc l’incrbment d’energie nkcanique fournie pour deformer le materiau se decom- pose dune partie thermoelastique r&up&able a la decharge des efforts et au retour a la temperature d’equilibre, et d’une partie complementaire dite anelastique. Cette dernibre est soit dissipee, soit absorbee (bloquee) par le materiau pour modifier sa microstructure (equation (6b)). La chaleur globalement mise en jeu provient dcs mecanismes de dissipation plastique, mais aussi des couplages thermoelastiques (equation (6~)).

L’analyse des resultats expdrimentaux a permis de constater qu’un modele de comportement peut, etre mecaniquement satisfaisant , pour une certaine gamme de sollicitations, saris etre pour autant Bnergetiquement coherent [19]. Par exemple, lors de tractions monotones. les essais ont fait apparaitre :

(i) une evolution limitee de l’dnergie bloquee : (ii) une decroissance. avec l’ecrouissage, du rapport

de l’energie bloquee sur l’energie rnecanique fournie pour deformer plastiquement le rnateriau ;

(iii) 1111 pourcentage important de cette fraction en tout debut d’ecrouissage (50 ‘%).

Ces rdsultats ne peuvent etre prevus par les modeles classiques a ecrouissage isotrope de PrandtllReuss et cinematique lineaire de Prager. Meme pour des essais de traction simple, il faut faire appel a des modeles de type cinematique non lineaire ou isotrope a memoire,

588

Analyse expkrimentale et modelisation numerique des couplages thermomecaniques dans les materiaux solides

en imposant de plus des forces thermodynamiques non toutes nulles dans la configuration initiale, pour retrouver les rksultats (i-ii-iii). Dans la rkfkrence [~cI], on montre encore que pour un lot don& de sollicitations (traction, compression, essai cyclique, onduk, etc.), on peut klaborer plusieurs modkles satisfaisants sur le plan mkcanique: mais donnant autant d’tkolutions diffkrentes de bilans d’knergie.

Enfin, pour plusieurs matkriaux (duraluminium, laiton), on a kgalement constat que certaines hypothkses classiques, bien vkrifikes sur le plan mkcanique et & la base de l’G.stoplasticit6 indkpendante du temps, n’ktaient plus aussi indiscutables au plan thermomkcanique. Par exemple, il a 6t6 observk :

(i) une dissipation durant le retour (< klastique )> pour certains matkriaux (figwe 5) ;

40-

s 30- -32 ‘0 g 20-

z

.E lo- 3 o-

-.

-

I

- ”

s

0 -YLxA- Tern& (s)

I I I I I I I

0.00 0.02 0.04 0.06 DCformation plastique cumulke

Figure 5. Bilan d’energie lors d’un cycle ondule. Expbrimenta- lement des liberations d’energie bloquee apparaissent lors des retours c~~lastiques>~. Ce phenomene ne peut Otre pr&u dans le cadre classique de I’elastoplasticit& Dans le domaine elastique, les variables d’etat likes a la microstructure n’evoluent theoriquement pas.

Figure 5. Releases of stored energy during ‘elastic’ returns can be experimentally observed. This phenomenon cannot be predicted within the classical framework of elastoplasticity. Theoretically, in the elastic domain the hardening state variables are fixed so that no dissipation nor release of stored energy can occur.

(ii) une liberation d’knergie bloquke aprk arret de la sollicitation (figure 6).

Ces derniers rksultats peuvent bien sfir 6tre r&n- terprktks en terme de “relaxation,> du matkiau, mais il faut alors abandonner l’hypothkse d’indkpendance par rapport au temps et sortir du cadre traditionnel de la plasticit&

Pour ktablir des lois de comportement permettant de mieux prendre en compte les phknomknes knergktiques et thermiques constatks lors de sollicitations quasi statiques de plus en plus complexes, une possibilitk est de

/ Vo = 614 mm3

--- .-^ ------.-.. - ..-” ..^. .“. -. .- 1.. _.

Figure 6. ivolution de I’energie bloquee lors d’un essai cyclique. Une liberation d’energie bloquee est observCe experimentalement apres arrCt de la sollicitation. La encore, dans le cadre d’une hypothese de comportement independant du temps, ce phenomene ne peut Ctre pr&u. Figure 6. Release of stored energy during an upholding of the load is experimentally observed. Once again, the classical framework of the time rate independent of elastoplasticity cannot predict an evolution of the stored energy as the solicitation stops.

considkrer les paramktres d’krouissage comme des fonctions des forces thermodynamiques et non plus comme des forces & proprement parler. Cette approche, adoptke d&s les premiers travaux & partir diessais de traction [21], s’est rkv6lke intkressante kgalement pour des chargements plus complexes. Ces nouvelles lois intirgrkes dans un code de calculs thermomkaniques par Gments finis ont permis de retrouver t&s convenablement les rksultats mkcaniques, thermiques et knergktiques obtenus expkrimentalement [22].

4.1.2. Comportement pseudoklastique des alliages i memoire de forme

Un autre exemple, remarquable nous semble-t-il, de l’importance que peut avoir la contribution de la thermodynamique expkrimentale k l’klaboration des lois de comportement, a &6 obtenu rkemment sur des alliages & mkmoire de forme (AR/IF). En de+ d‘un certain niveau de sollicitation thermique et mkcanique, les AMF, lorsqu’ils sont m&allurgiquement conditionnk, ont un comportement pseudo (ou super) e’lastique. 11s acceptent : de faGon <c rkversible >a, des dhformations de plusieurs pour-cent sous l’effet d’un (petit) chargement thermique ou mdcanique. Les d4formations importantes obtenues sont attribuees & la transformation de phase martensitique dont ils sont le si&ge. Les dkformations autres qu’klastiques sont, dans ce cas, des dkformations dites de transformation. Ce ne sont pas ces dkformations qui seront en g&&al prises comme variables d’ktat. Beaucoup d’auteurs prkfkrent, en effet. prendre comme

589


variables d’etat complementaires les proportions de variantes de martensite. Elles sont reliees & la deformation de transformation par :

Et = C Jt Pi (7) M

ou M est le nombre de variantes et /3% le tenseur d’orientation associe & la variante i. La transformation de phase martensitique &ant du premier ordre, la puissance calorifique associee & la chaleur latente de changement de phase doit apparaitre au second membre de l’equation de la chaleur. Le bilan incremental d’energie s’ecrit alors :

{

(u) thext = c 6E = hwthe + if& = x 6(E-Et) +x i?iG~~ (b) swch = i!iWd + swzs + &L-l

=d16t+pT1D~,,6E+pT~~,5,~EZ

(8) Les resultats experimentaux suivants ont ete obtenus

[23, 241 : (i) des variations de temperature induites par

un changement de phase austeno-martensitique sous contrainte ont ete mises en evidence lors d’essais quasi- statiques de traction ondulee & temperature ambiante constante sur des alliages de type CuZnAl et NiTi ; l’amplitude de ces variations est du meme ordre de grandeur que la c< largeur >’ du domaine de transition ;

(ii) l’etablissement de bilans d’energie associes & ces chargements fait apparaitre des quantites d’knergie mecanique dissipee tres faibles devant la chaleur latente de changement de phase (i.e. experimentalement indkcelables !).

Une analyse thermodynamique [25] permet alors de montrer que les variations de temperature induites par le changement de phase sous contrainte jouent un role majeur dans la reponse mecanique du materiau et qu’il convient d’en tenir compte dans toute modelisation thermomecanique du comportement. et ce, que la temperature de l’aire d’essai reste constante ou qu’il y ait chargement thermique (figures 7 et 8).

L’incidence de ces resultats sur les modeles de comportement et leur identification a ete etudiee en detail en considerant le changement de phase accompagne ou non de phenomenes dissipatifs intrinseques, les processus ktant eux-memes supposes ou non isothermes [26]. L’introduction dans les modeles des variations de temperature induites par le changement de phase sous contrainte s’est rdvelee etre une voie a la fois nouvelle, simple et riche pour rendre compte de l’hysteresis des courbes contrainteedeformation.

Signalons encore que, comparativement a l’approche thermodynamique classique des transitions de phase du premier ordre, on a propose d’introduire le changement de phase, non pas & partir dune non-convexite (sup- posde) du potentiel thermodynamique (loi d’etat non monotone), mais & partir de proprietes (observees) de la dissipation (source d’entropie) et des caracteristiques

590

140

2 70

8 Q) 0 5 .d g g -70 u

-140

- To= 31.3”C

-1.0 -0.5 0 0.5 1 DCformation (%)

Figure 7. Cycles d’hysteresis en traction-compression. L’aire des boucles d’hysteresis represente une energie qui est, ici, plutot associee aux couplages thermomecaniques et a la dissipation thermique qu’aux effets dissipatifs intrinseques du changement de phase, comme cela est tres frequemment suppose. Figure 7. Hysteresis loops arising during tension-compression tests. The hysteresis area comes rather from the thermomechanical coupling sources via the thermal dissipation than from intrinsic dissipation accompanying the phase transition as is frequently assumed.

J . Trac. Comp. I Trac. Comp. 1

0 125 2560 125 250 Temps (s)

Figure 8. Reponses thermiques et energetiques associees aux sollicitations de la figure 7. Les energies sont calculees pour un volume equivalent Vo % 141 mm3. On constate que le travail volumique de deformation Wext est environ dix fois plus faible que la chaleur Wch mise en jeu lors de la charge pour le CuZnAl.

Figure 8. Thermal and energy responses corresponding to the mechanical loading of fisure 7. Ener ies are determined for an equivalent volume (Vo % 141 mm 9 ). We observe that the deformation work Wext is ten times smaller than the heat W& evolved during the load for CuZnAl samples.


du diagramme de phase (domaine de transition). Cette attitude permet d’etendre au cas dissipatif (irreversible) le concept de diagramme de phase et de ligne de transition, ce qui n’est pas possible dans le cadre classique, dans la mesure oti la relation de Maxwell (menant a l’equation de ClausiussClapeyron) n’est etablie que pour des processus reversibles [2].

k l’essai de charge-decharge de la figure 9 correspond le bilan energetique de la figure 10 et la cinetique de changement de phase presentBe sur la figure 11. Les hypotheses <<non dissipatif ba et <c faiblement visqueux )> ont et6 envisagees. Durant un tel chargement, une seule variante de martensite est activee. Le domaine de transition est classiquement limit6 par deux droites parallkles dans le plan temperatureecontrainte. Le lecteur remar- quera (figure 12) que si l’essai simule est effect& a temperature de Salle d’essai constante (To zz 30 “C), les variations de temperature de l’echantillon dues a une transformation complete de changement de phase (M 10 K) sont loin d’etre negligeables devant la taille du domaine de transition & contrainte nulle (x 13 K). De telles amplitudes ont et6 observees experimentalement.

Cette constatation am&e naturellement a s’inter- roger sur la validitk de l’interpretation des mesures mkcaniques traditionnelles. En effet, eu Bgard & la force des couplages thermomecaniques, que penser de l’ho- mogeneite des champs de contrainte et de deformation dans la partie utile de l’echantillon? Cette question importante sera reprise au § 7.2 ; son analyse mettra en evidence le role majeur des mecanismes de diffusion thermique.

4.2. Essais non homogenes ; phtkom&nes de localisation

Dans le cas d’essais non homogenes, les don&es infrarouges sont utilisees pour detecter les effets energetiques lies aux mecanismes de localisation de la deformation. Cet axe d’etude interesse, d’une faGon generale, la mise en forme des materiaux, pour laquelle la maitrise des ph&rom&nes de striction et de plissement est capitale. Les manifestations energktiques, dues & la localisation des deformations menant a la striction locale d’eprouvettes d’acier, ont et6 Btudiees en utilisant la methode spectrale de depouillement des donnees IR, puis la methode par TFD.

Des essais de traction monotone et quasi statique ont et6 effect&s sur des eprouvettes d’acier doux d’em- boutissage. La figure 13 represente, dans le css d’un acier de type DD14, les courbes isothermes associees a l’evolution dans le temps du thermoprofil releve le long de l’axe de symktrie longitudinal de l’eprouvette. La figure 14, quant a elle, montre l’evolution correspon- dante des courbes iso-puissance dissipee. Pour ces deux figures, l’axe des abscisses correspond aux pixels suivant l’axe de chargement et l’axe des ordonnees aux numeros des images thermiques.

I 3

---To = 3&

- - - - ModBle PE - Modkle PVE

Oh2 0.64 O.( DCformation

5

Figure 9. Boucles d’hysteresis durant un cyle charge- decharge. Cet exemple de simulation, obtenu par le modele propose dans [45], montre que la prise en compte des couplages permet de retrouver une boucle d’hysteresis (ligne pointillee) saris la moindre dissipation intrinseque. Naturelle- ment, I’ajout d’une leg&e dissipation visqueuse a tendance a amplifier l’aire de la boucle (ligne en trait plein). Figure 9. Hysteresis loops in the case of the load-unload cycle. This numerical example, computed with the model developed in reference 1451, shows that hysteresis can be obtained by taking account of thermomechanical couplings without any intrinsic dissipation (dotted line). Of course, adding a slight viscous dissipation leads to an increase of the hysteresis area (solid line).

10

8

6

r

-2

1

io 100 Go 2bo Temps (s)

Figure 10. Bilan d’energie associe aux sollicitations de la figure 9. On observe le mCme rapport Wext/Wch que celui etabli experimentalement. On peut remarquer la faiblesse des effets dissipatifs introduits. Les reponses des simulations effect&es avec et sans dissipation sont quasi indiscernables, ce qui n’etait pas le cas pour la reponse mecanique. Figure 10. Energy balance related to figure 9. The ratio Wext/Wch keeps the same order of magnitude as the one obtained experimentally. The smallness of the dissipated effects can be verified. The simulated responses obtained with and without dissipation are indistinguishable. This was not the case with the mechanical responses.

591


z-Modkle PVE I

-10 -5 0 5 10 TempCrature (“C)

Figure 11. Cinetique de changement de phase. Le domaine de transition est limite par deux droites dans le plan contrainte-temperature. En dehors du domaine, la materiau est soit austenitique (< = O), soit martensitique (< = 1). Son comportement est alors purement thermoelastique. Figure 11. Kinetics of phase change. The transition domain is bounded by two straight lines in the stress-temperature plane. Out of the domain, the material is in an austenite ([ = 0) or martensite (5 = 1) state. The behaviour is then purely thermoelastic.

10

- Modble PVE I

50 100 150 2 Temps (s)

Figure 12. Reponses thermiques associees a la figure 9 dans les cas dissipatif et non dissipatif. Comme les reponses energetiques, elles sont, elles aussi, quasiment indiscernables. Les variations de temperatures sont ici associees a une transformation complete. Figure 12. Thermal responses related to figure 9. Both slightly dissipative and non-dissipative cases have been consi- dered. As energy responses, they are quasi-indistinguishable. Note that the temperature variations are here associated with a complete phase transformation.

On voit progrcssivement apparaitre une concentra- tion des lignes iso-puissance dissipee. Cc caractere s,cr- tialement et temporellement progressif est deja interessant en soi. des que 1’011 sait quc les approches traditionnelles associcnt la localisation B une discontinuitt:

t? 75 Y .@O

45

15 tempkatures (“C)

0 0 15 30 45 60 75 90

pixels Figure 13. Courbes isothermes d’un acier DD14. Les thermoprofils suivant l’axe de chargement ont ete debruites par moyenne darts le sens de la largeur de I’eprouvette, ce qui explique la regularite des courbes isothermes. Figure 13. isothermal curves of a DD14 steel. The regularity of the isothermal curves is due to the filtering of the lengthwise thermoprofiles when the noise has been reduced considering mean temperatures in the widthwise direction of the sample.

2 75

2 60 E .- 45

15

0 0 15 30 45 60 75 90

pixels Figure 14. Courbes iso-dissipation. Ces courbes se concentrent progressivement la 012 la striction locale va apparaitre. En fin d’essai, la localisation est si forte qu’une fissure s’initie ; le chargement est alors immediatement arrete.

Figure 14. Iso-dissipation curves. These curves concentrate where the local necking arises. At the end of the test, the localization is so strong that a crack occurs: the loading is immediately stopped.

brutale du champ de vitesse (rccherche de bifurcation) pour les comportements elastoplastiques independants du temps [27] ou k une instabilite du systeme d’equations linearisees de comportement (methode de perturbation) pour les materiaux thermoviscoplastiques [28].

L’importance de ccs premiers resultats now a conduit B rapprocher ces mesures de dissipation de celles de champs de deformation obtenus par granularite [29]. Lc principal otjjectif est. hieri enter&r, d’effectuer

592

Analyse expkrimentale et mod6lisation numbrique des couplages thermomkaniques dans les matkriaux solides

une confrontation systematique des effets cinematiques et energktiques de facon a valider ou invalider cette nouvelle vision des mecanismes de localisation.

5. COMMENTAIRES

Le formalisme de la thermomecanique a variables internes represente pour le mecanicien des solides un cadre theorique coherent et souple. Sa souplesse tient au fait que le mode’lisateur peut (doit !) choisir des variables d’etat caracterisant l’etat du materiau et son evolution au tours dune sollicitation mecanique. Par ailleurs, la thermographie infrarouge offre un outil experimental complementaire permettant de mieux apprehender les problemes de couplages thermomecaniques dans les solides. Dans ce domaine: comme dans beaucoup d’autres, il est indispensable de marier approches thkorique et experimentale ; c’est ce que nous avons cherche a faire en ne considerant qu’une seule echelle de description. Bien qu’il reste encore beaucoup & faire, il ne faudrait cependant pas croire que c’est la le seul domaine d’application de ce type d’approche. Des tentatives recentes en thermoelasticite couplee laissent presager que le ddveloppement de modeles micro-macro pouvant prendre en compte les couplages thermomecaniques represente une voie nouvelle, certes t&s difficile, mais B combien prometteuse! En effet. avec des mod&s classiques. il est frequent d’observer des variations rapides (dans l’espace) et brutales (dans le temps) des champs de micro-contrainte et de micro- deformation dans un volume Blementaire representatif (v.e.r.). 11 s’ensuit alors une distribution fortement heterogene du travail des efforts interieurs, dont une partic, on le sait. se transforme en chaleur a cause des irreversibilites. Mais alors, que penser du champ des micro-tempe’ratures? Ne serait-il pas interessant de caracteriser systematiquement a l’echelle du v.e.r. ses evolutions, et de determiner si l’intensite des micro-couplages qui en decoulent n’est pas autrement plus forte que celle des couplages dej& observes a l’echelle macroscopique ? Quelques elements de reponse sont proposes dans ce qui suit, oti, parmi d’autres exemples, les thematiques c< transformations de phase’, et cclocalisation de la deformation>, sont reprises.

6. COUPLACES ET PASSAGES MICRO-MACRO

Les techniques d’homogeneisation permettent de relier deux echelles de description du materiau, une dite macroscopique correspondant generalement a l’echelle de la structure etudiee: l’autre dite microscopique et like a la geometric des heterogeneites du materiau. La description microscopique permet non seulement de

saisir la complexite geometrique et materielle du milieu; mais aussi de decrire plus correctement les phenomenes physico-chimiques presents & cette echelle, pour enfin traduire leurs effets au niveau macroscopique par une operation de moyenne qu’il conviendra de preciser. Tout l’interet du passage micro-macro ou homogeneisation est alors de definir un comportement (<macroscopique homogene equivalent >>, pour pouvoir realiser un calcul de structure (par essence macroscopique) en faisant abstraction de la complexite du materiau. Suivant cette demarche, on peut meme esperer, tout au long du calcul de structure macroscopique, suivre les evolutions microscopiques en certains points interessants de la structure. C’est ce que l’on qualifiera de passage macro-- micro, qui autorise le suivi simultane d’un calcul de structure a deux echelles de description.

De t&s nombreux travaux ont et4 effect&s sur les methodes d’homogeneisation, et ce theme de recherche a ete aborde sous des angles assez differents, suivant l’importance don&e au formalisme mathematique utilise et le domaine d’application precis vise [5, 6. 8, 30, 311.

11 n’est evidemment pas question ici de presenter une revue exhaustive de tous ces aspects, mais plutot de rappeler les differentes dtapes necessaires a la realisation d’un passage micro-macro pour des problemes de thermique pure, d’elasticite pure et de thermoelasticite couplee au sens evoque dans les parties precedentes. Nous nous limiterons, dans un premier temps, a l’etude de ces comportements, en se placant dans des hypotheses de petites transformations, le lecteur devant la aussi se referer aux ouvrages cites pour ce qui concerne d’autres types de comportements. Dans un deuxieme temps, et a travers plusieurs applications, des comportements plus complexes seront etudies, comrne la thermoviscoelasticite ou la thermoelasticite avec endommagement et le comportement pseudoelastique avec changement de phase des alliages a memoire de forme.

6.1. Notions likes aux passages micro-macro

L’echelle macroscopique correspond done a celle de la structure J2, que nous supposons etre constituee d’un materiau heterogene, la taille des heterogeneites~ reliee a l’echelle microscopique, &ant t&s infirieure a celle de la structure. Cette structure est de plus soumise a un chargement thermomecanique quelconque. Nous cherchons a definir (figure 15) un materiau fictif. homogene. equivalent au materiau reel heterogene! au sens ou les champs thermomecaniques macroscopiques sont les memes dans les deux materiaux. Cette definition passe par l’etude du v.e.r., ou l’hkt&ogdn&tk microscopique est d&rite.

En chaque point x de la structure n composee du materiau reel, on d&nit les champs microscopiques de deplacement u et de temperature T. Soient E et g,

593


Figure 15. Schema de principe du passage micro-macro. Milieu reel, volume elbmentaire representatif et milieu homogene equivalent.

Figure 15. Schematic representation of a micro-macro transition. Real medium, representative unit cell and homogeneous equivalent medium.

respectivement, le tenseur des dkformations et le vecteur gradient de tempkrature qui sien dkduisent. Enfin. soient g et 4. respectivement. le tenseur des contra&es de Cauchy et le vecteur courant de chaleur (ou flux de chaleur). qui sont estimks par l’intermkdiaire des lois de comportement en vigueur au point consid&&

Chacune des composantes des tenseurs des dkformations ou des contraintes. ainsi que des vecteurs gradient de tempkature ou flux de chaleur a une 6volution. le long de la structure. observable aux deux Pchelles (figure 16). Pour une description fine (au niveau microscopique). les fluctuations rapides sont dues aux li&Srog6n&t&. alors que les variations plus lentes, qui apparaissent seules dans we description plus grossike (niveau macroscopique). en sont la moyenne et, tradui- sent, les effets de chargcmcnt ct de g6omktrir de la structure.

Ces moyennes sont d’autant plus significatives que l’amplitude des fluctuations microscopiques autour de Ia, valeur rnoyenne est faible et que le rapport entre

r ’ 6volution rtelle (micro) I

l?volution moyenne (macro)

Figure 16. Fluctuations microscopiques autour de la valeur macroscopique. Figure 16. Microscopic variations around the macroscopic value.

Cchelle macroscopique et rnicroscopique est import ant. On voit apparaitre ici les bonnes conditions pour qu’un matkriau soit cc homog&kisable V. Lorsque celles-ci sont vkrifikes. on peut dkduirc de faGon asset naturelle. en chaquc point X macroscopique de la structure 0. (cette fois indiffifremrnent sur le matkriau rkel ou le matkriau homogkne kquivalent). le tenseur de dkformation E et le gradient de tempkrature G. ainsi que le tenseur de contrainte C et le flux de chaleur Q.

Soulignons toutefois quc cette dkmarche n’est valable quc pour des grandeurs dont la rnoyenne arithmktique cst bien reprksentative de la valeur macroscopique. Par cxcmple. elle ne permet pas de d4finir directement des champs de deplacement U ou de tempkrature T. Ceci se fait en utilisant des rksultats plus thkoriques qui seront 6voqu& clans la suite, et qui assurent qu’il existe bier1 un champ de dkplacement U dent d&rive E, ceci &ant vrai kgalement pour T et G.

CJuoi qu’il en soit, les liaisons entre les valeurs microscopiques de dkformation. dc contrainte, de gradient de tempkrature et de flux de chaleur et leurs homologues ma.croscopiques sent, ktablies sous la forme de relations de moyenne spatiale; la moyenne s’effectuant sur lr volume tkmentaire reprkscntatif, qui prend ici toute sa signification : Plhentaire. car il correspond B l’&hellr microscopique du milieu et reprkn,tatifau sens que sa taille est sufisante pour dkrire correctement le milieu. Cette description est complkt,e si le milieu est pkriodi- quc. mais reste st,atistiquement correcte sinon. 11 faut, alors voir le v.e.r. commc une opkration de ~~zooni)) rkaliske en chaque point macroscopique X, permet tant l’accks B une Bchelle ~1~1s fine d&rite par les points x microscopiques. De fac;on prCcise. on peut done dkduirc. par exemple, le tenseur de dkformation macroscopique E de E: d&formation microscopique, par une relation du type :

Et, = h y E,, .i

dz not6 dans la suite : E,, = (&t-7) (9)

oil /Y/ dksignc la mesure de Y. Dans un souci de simplicitd. les relations g6nCrales

d’homog~n&sation sont ktablies pour des comporte- merits d’@lasticitk pure et de thermique pure. Le cas d’un cornportement thermoklastique coup14 est d&rit dans urle partie suivante.

6.2. Relations gbwkales en homogbnkisation

6.2.1. Cas du comportement Clastique

Au niveau rnicroscopique. le champ de dkplacernent u permet de dkfinir le tenseur de d&formation E par :

E = grad,(u) ou E?,] = 2 l (G.J + %.L) (10)

594

Analyse experimentale et modklisation numerique des couplages thermomkcaniques dans les matkriaux solides

La loi de comportement elastique permet de deduire La loi de comportement microscopique, ici la loi de les composantes du tenseur des contraintes cr par : Fourier, s’ecrit, en chaque point x microscopique :

UiJ = Cqkl(X) &kl (11)

Le tenseur de rigidite c(x) depend de la phase du point x consider& On note s(x), le tenseur de souplesse inverse de c(x)

92 = 4, (4 Q3 (17)

On definit aussi des tenseurs de localisation du gradient de temperature et du flux: Met N, par :

A ce niveau, on introduit les tenseurs de localisation de deformation A et de contrainte I3 permettant de relier les champs locaux E et c en chaque point x a leurs homologues macroscopiques E et Z au point X macroscopique correspondant. Ces tenseurs sont definis par :

g(x) = Wx)G(X) et q(x) = WW(X) (18)

L’utilisation des equations de liaison microomacro permet ici aussi d’aboutir a la loi de comportement macroscopique :

E(X) = A(x) E(X) et U(Z) = B(x) Z(X) (12)

Puis, en utilisant les equations de liaisons micro- macro deja evoquees, il vient :

G?(X) = (q(x)) = (-kbM4) = (-k(xPf(x)G(X)) = -K(X)G(X) (19)

K(X) = (-k(x)Wx)) (20)

{

C = (CT) = (CE) = (cAE) = (cA)E E = (E) = (sa) = (sBC) = (sB)E (13)

On aboutit alors & la loi de comportement macroscopique :

I2 = C(X)E ou E= S(X)I= (14)

et a la definition des tenseurs de rigidite et de souplesse macroscopiques :

La encore, la seule connaissance des tenseurs de localisation permet d’obtenir les caracteristiques macroscopiques de conduction. De meme que pour le cas elastique, on utilise ici des conditions aux limites de type homogkne en gradient de temperature et vecteur courant px;h$&r’ T(X) = GI,(X)Zk; v’x E aY, q,(x) = &z(X);

C(X) = (c(x) A(x)) et S(X) = (s(x) B(x)) (15)

La seule connaissance des tenseurs de localisation permet done de resoudre le problbme d’homogeneisation, et toute la difficult6 reside dans leur evaluation. Pour cela, il convient de trouver par exemple E, champ de deformation microscopique, lorsque le v.e.r. est sou- mis a une deformation macroscopique E. Ce probleme, a valeur moyenne imposee, est un problbme typiquement ma1 pose. 11 est necessaire d’avoir une condition sur le deplacement au bord du v.e.r., qui permette de plus de verifier la condition de moyenne (E) = E.

On met en evidence, grace aux tenseurs de localisation, une propriete interessante des coefficients de dilatation thermique. En effet, le probleme de la dilatation thermique des materiaux heterogenes se ram&e tout simplement a un probkme d’elasticite. On peut montrer [32] que les coefficients macroscopiques de dilatation thermique (Y sont donnes en fonction des coefficients microscopiques de dilatation thermique cy et des autres caracteristiques elastiques du materiau, par la relation : cy = (BTa).

6.2.3. Cas du probEme thermoklastique couple

Parmi toutes les conditions en deplacement possibles, on choisit habituellement les conditions aux limites dites de type homogene qui, pour l’exemple precedent, s’ecrivent u,(x) = Et3(X) x3, Vx E JY. Pour un probleme & contrainte macroscopique imposee Z, il s’;gF;$.‘imposer au bord de Y, u2? (x) n5 = C,, (X) n3,

En thermoelasticite, on choisit la temperature et la deformation comme variables d’etat. Pour un tel comportement, la dissipation intrinsbque di est nulle et le couplage entre variables mecaniques et thermiques in- tervient dans l’equation de la chaleur (equation (2)) par le terme de couplage thermoelastique et dans la decomposition cinematique (equation (5b)) oh apparaissent les effets de la dilatation thermique. Pour plus de details concernant l’obtention des lois de comportement thermoelastique, nous renvoyons le lecteur a la reference [33].

6.2.2 Cas thermique

De facon analogue au cas elastique, les caracteristiques macroscopiques de conduction de la chaleur sont dkduites des donnkes microscopiques par operation de moyenne sur les gradients de temperature et sur les flux de chaleur. Le gradient de temperature microscopique se derive du champ de temperature microscopique :

g = grad(r) (16)

La meme demarche que celle utilisee pour les cas purement thermique et purement elastique peut etre employee. Cependant , afin de dresser un panorama aussi large que possible des methodes d’homogeneisation, nous suivrons ici, saris developper aucune demonstration theorique, la demarche de la methode dite asymptotique pour les milieux periodiques [34].

La seule hypothbse supplementaire qu’il faille ra- jouter est celle de la periodicit du milieu au niveau

595


microscopique. Le v.e.r. est alors confondu avec la cellule de base du r6seau pkriodique, et on notera de plus w le rapport entre les kchelles microscopiques et macroscopiques.

Au niveau microscopique, le systkme d’kquations qui r6git les variables thermom&aniques est le suivant :

{

fY = CW(Ed - aUOdI,)

pd Cz & = div(k” grad &“) ~ TO cw a? i” (21)

oti l’exposant w identifie les valeurs microscopiques et oti 8” = T” - To est l’&art de tempdrature par rapport & une tempkrature de rkf&ence TO.

Rappelons simplement que. dans 1’6quation (21), cd est le tenseur de rigidit& ~11~ le coefficient de dilatation thermique, pw la masse volumique et k” le tenseur de conduction. non isotrope a priori.

Pour homog&&ser ce probEme, la m&hode asymptotique propose de s’intkresser au devenir des champs microscopiques flw. EW et 0”. lorsque le petit paramktre LJ tend vers z&o. On montre alors [34,35] que les champs microscopiques admettent des limites CT’, E’ et 0’, et que ces dernikres sont de bons repr&entants des valeurs macroscopiques.

11 est 6galement montr6. et c’est peut-6trc l& lc rksultat le plus inGressant, que ces champs macroscopiques vgrifient un systkme d’kquations (22) de structure identique & (21). et qui donne les relations entre caractkristiques microscopiques et macroscopiques :

i

c7O = cw (&” - a0 80 Id)

p” Ci 4” = div(k’ grad 0’) - TO co 0’ go (22)

Un mCllange de mat&iaux thermof%stiques est doric

un matkriau thermo6lastique. Sans entrer trop dans le d&ail. les caract&istiques

macroscopiques se dkduisent, de leurs homologucs microscopiques par des relations de moyenne analogues & celles vues dans les paragraphes p&&dents. et dont 1‘6valuation se fait lk aussi par la &solution de probl&es unita.ires appropri6s sur la cellule de base (voir application au 5 7.4.).

6.3. Quelques techniques de rksolution

L’obtention ties tenseurs de localisation est la cl& du probl&me d’homog&&isation. Suivant la nature du probl&ne envisagk, mais surtout suivant la complexitd g6omBtrique du v.e.r.. diff&entes n&thodes peuvent 6tre utiliskes. Les plus simples sont fondles sur des hypothkses simplificatrices sur la forme des champs microscopiques et concernent des g6om6trie de v.e.r. simples. Les plus complexes. mais aussi les plus prkcises. concernent des v.e.r. riches en informations et ne peuvent t%re traitkes. le plus souvent. que par des mkthodes de type 6Ements finis. Signalons enfin que

596

tout url pan de la recherche en homog&~Cisation ne se contente pas d’obtenir des solutions approchees. mais tente d’aboutir B des encadrements de la solut,ion exacte, le plus souvent par des mkthodes knergktiques d6bouchant sur des approches variationnelles. Lcs bornes obtenues sont en effet plus riches d’enseignement, qu’une solution approch6e dont on nc sait pas 6valuer la pr&ision.

6.3.1. Mkthodes de Reuss et de Voigt

Ces dcux mitthodes [36. 371, relativement anciennes. se fondent sur des approximations <c fortes)’ des champs microscopiques.

Pour Voigt, le champ de d6formation rnicroscopiqilc induit par un champ de d6formation macroscopique E est en premikre approximation homog&ne dans tout, 1~ v.c>.r. clt 6gal k E. vx E Y. E(X) = E. On dkduit de l’kquation (12) que le tenseur de localisation dcs dCformations A est partout +a1 au tenseur identitb. vx t Y. A(x) = 4, d’oil, par la relation (13). WI

obt,icnt :

C Vmgt = (c) (23)

Pour Reuss, Ic champ de contraintes microscopiques c; induit, par un champ de contraintes macroscopiqucs C: est en premikre approximation homog&ne dans tout le v.e.r. ct irgal & S. Le tenseur de localisation dcs contraintes B est alors partout &al B l’identith et done. tl’apr&s la relation (15) :

SFkliS = (s) (24)

Ces deux m&hodcs fournissent des lois dites dcx m6lange sur les tenseurs de rigidit ou de souplesse. 11 s’agit bien ici de deux approxirnations diff&entes conduisant & des tenseurs Cvoigt et ,!&uss qui ne sont pa.s inverses l’m1 de l’autre (Cv”i,+ # (SR~“~~)-‘). On peut 6galement 6crire des kquations analogues concernant le probl&me thermique en considkrant des champs microscopiques de gradient de tempkrature et de flux clc

chaleur homog8nes et 6gaux aux valeurs macroscopiqiirs impo&es. On aboutit alors & des estimations de l;L conduction macroscopique qui sont les moyennes. soit des conductions rnicroscopiques. soit de leurs inverses.

6.3.2. HomogCnkisation pkriodique par Cl4ments finis

Dans lc cas de matdriaux p&iodiques, lc v.c.r. SF rkduit B la cellulc de base Y du rkseau. Les champs

microscopiques de d6placement ou de tempdrature, de d6formation ou de gradient. et enfin de contrainte 011 de flux thermique. sont des champs pkriodiques. I,(1 probl&me d’homog6n&sation sur Y consiste B rechercher ces champs lorsqu’on impose des valeurs macroscopiqws de d6formation, de contrainte, de gradient ou de flux. On utilise alors comme conditions aux limites une variant,e des conditions de type homog8nr. permettant d’assww la p&iodicitk des champs.

Analyse experimentale et modklisation numkique des couplages thermomecaniques dans les matkiaux solides

Prenons l’exemple d’un probleme d’elasticite & deformation macroscopique E imposee. Soit u le champ de deplacement microscopique periodique recherchk. On peut toujours decomposer le tenseur de deformation E(U) en la somme de sa moyenne E et d’un terme de fluctuations E(V) par E(u) = E+E(V). On notera ici que est aussi un champ de deplacement periodique sur Y. En prenant en compte la loi de comportement elastique, l’equation d’equilibre quasi statique devient :

div(ca(v)) = -div(cE) (25)

On se ramene done a un probleme d’elasticite annexe consistant a trouver le champ v periodique sur Y et verifiant l’equation (25). Les conditions aux limites de ce nouveau probleme sont des conditions de periodicite sur Y. Une fois v determine, le champ u se construit par u = Ex + v et se trouve determine, & un champ de deplacement de solide rigide p&s.

La methode numerique la plus utilisee qui prolonge cette formulation du problitme d’homogeneisation est la methode des elements finis, qui donne des resultats precis. autant en terme de caracteristiques macroscopiques, qu’en terme d’evaluation des champs microscopiques, pour peu que la cellule de base ne soit pas trop compliquee a decrire; et done & mailler [32, 38, 391.

La prise en compte des conditions aux limites de type periodique consiste a imposer l’egalite des degres de liberte de nceuds appartenant & des faces en vis-a-vis (figure 171, que l’on appelle neuds homologues (A et A’. B et B’).

Figure 17. Maillage Gments finis 3D d’une cellule de base pour un composite a fibres courtes.

Figure 17. 3D finite element mesh of a unit cell in the case of a short fibre composite.

Plusieurs strategies numeriques existent pour cela. La methode la plus simple a mettre en ceuvre est

une methode d’elimination des degres de liberte. On ne garde alors qu’un degre de liberte pour chaque couple de nceuds homologues. L’inconvenient majeur de cette methode est qu’elle detruit la nature bande de la matrice elements finis et impose un stockage specifique de ses

composantes (ligne de ciel ou morse). Le temps de calcul en sera augment6 dans des proportions non negligeables. Par contre, cette methode presente un gros avantage, au sens oti elle ne modifie pas la structure numerique classique de la methode d’elements finis, et s’implante done aisement

Deux autres methodes peuvent etre employees, mais elles sont d’une mise en ceuvre numerique plus delicate. L’une est en fait une methode de penalisation et l’autre est basee sur l’utilisation d’un multiplicateur et d’un lagrangien. Ces deux methodes necessitent une refonte de l’architecture numerique du probleme, mais s’averent performantes c~ une fois implant&es )a.

6.3.3. Autres techniques d’homogCn&sation Enfin, et pour clore ce paragraphe, il faut evoquer

tous les developpements thkoriques actuels autour de l’homogen&sation, qui font souvent appel a des outils mathematiques complexes, mais qui fournissent des garde-fous interessants pour l’utilisateur de passages micro-macro. On pourra titer ici notamment tous les travaux bases sur l’utilisation de principes variationnels debouchant sur des bornes du comportement macroscopique [40, 411, ceci pour des comportements microscopiques complexes et non lineaires. D’autres etudes [39], ont par exemple montre qu’un melange de materiaux viscoelastiques de type Maxwell n’etait pas equivalent au niveau macroscopique & un materiau viscoelastique de type Maxwell. Enfin, des techniques plus originales sont en train de se developper, comme l’homogCnCisa- tion stochastique, ou l’homogt%isation par decomposition en serie de fonctions (Fourier, ondelettes, etc.) [39, 421.

7. QUELQUES APPLICATIONS ET RkSULTATS NUMiRlQUES

Dans cette partie sont presentees quatre applications qui concernent toutes des problemes thermomecaniques couples. L’integration de ces couplages dans un code de calcul par elements finis est abordee. Les deux premiers exemples sont exclusivement macroscopiques et concernent des materiaux thermosensibles comme les polymeres et les alliages a memoire de forme. Les deux dernieres applications sont des approches micro- macro de problemes couples. On reprend B l’echelle du cristal la modelisation thermomecanique des AMF. Enfin, le probleme des contraintes d’origine thermique dans un composite fibre-matrice est aborde dans un cadre anisotherme.

7.1. Localisation de la dkformation dans des matkriaux thermosensibles

Cette etude de la localisation de la deformation a et6 motivee par des resultats d’experiences effect&es sur

597


des materiaux polymeres. Notre analyse du probleme consiste & Bvaluer dans quelle mesure les couplages thermomecaniques, associes & une sensibilite & la temperature des materiaux polymeres, peuvent provoquer le phenomene de localisation de la deformation (initiation et propagation des bandes). Les paragraphes suivants presentent comment ces couplages sont tout d’abord mis en evidence au travers d’essais experimentaux, puis sont intkgres dans une loi de comportement thermoviscoelas- tique a coefficients dkpendant de la temperature.

7.1.1. Presentation des essais expkrimentaux effect&s

Des essais de compression monotone ont 6th effect&s sur des plaques de PVC (10 x 32 x 50 mm3) trouees (0 = 5 mm) en leur centre. Au tours du chargement, des bandes <c thermiques w et (< dissipatives )a naissent au bord du trou, puis se propagent dans des directions voisines de 45”. Sur le plan mecanique. ces bandes se trouvent Bgalement correspondre a des regions qui sont le siege d’importantes deformations (figure 18).

Figure 18. a. Photographie de I’eprouvette trouee de PVC soumise a une compression verticale; les bandes de localisation sont signalees par les fleches. (plaque de 50 mm sur 32 mm, trou de 5 mm de diametre). b. Image infrarouge (zoom autour du trou) en tours d’essai. La difference de temperature entre zones blanches et zones noires est de 4 OC.

Figure 18. a. Photograph of a plate with a hole subjected to a vertical compression: localization bands are indicated by arrows (plate dimensions: 50 mm over 32 mm, hole: 5 mm diameter). b. Infrared image (zoom around the hole) during the test. Temperature gap between white and black zones is 4 oc.

L’analyse expdrimentale like a l’apparition des bandes ainsi qu’a leur propagation permet de donner uric certaine validite & ce que les polymeristes nomment cycle auto-catalytique ou autoechauffement [43] : les concentrations des champs mecaniques qui apparaissent au debut de l’essai au bord du trou induisent, par

couplages thermomecaniques, un echauffement localise. Cet echauffement peut alterer les proprietes mecaniques du materiau, provoquant un adoucissement local qui a son tour favorise l’ecoulement du materiau. Le cycle auto-catalytique est alors amorce.

7.1.2. equations de comportement

Pour tenter d’integrer ce phenomene dans le modele de comportement du materiau, il convient de traduire correctement deux effets : les couplages thermomecaniques et la dependance des proprietes mecaniques en fonction de la temperature.

Dans cette premiere etude, un modele de thermoviscoelasticite de type KelvinVoigt a et6 choisi, plus pour des raisons de simplicite d’ecriture que pour son adequation au comportement reel. Le comportement du materiau est regi, dans ce cas, par le systeme d’equations couplees suivant :

Le tenseur C est un tenseur de rigidite elastique deduit d’un module d’elasticite E et d’un coefficient de contraction v pour un materiau isotrope. Le tenseur C” lie & la viscosite se construit de man&e analogue au tenseur C. & partir d’un module E” et d’un coefficient wl’. En ce qui concerne la dependance en temperature. seuls les tenseurs C et C sont affect&. La methode numerique adoptee propose une discretisation en temps par schema implicite et une discretisation spatiale par elements finis utilisant des fonctions affines par morceaux. La discretisation spatiale repose sur la formulation variationnelle des equations couplees dc la dynamique et de la chaleur. Les inconnues du probleme sont les deplacements U, la temperature 0 et leur d&iv& par rapport au temps en chaque nceud du maillage.

Si on appelle Xk le vecteur rassemblant toutes les inconnues nodales pour le pas de temps Ic, soit X” = [vii. Ui, 0’,. ,F, y, 8”/,. .], on aboutit h la

nceud n formation d’un systeme non lineaire donnant le vectcur X”+’ par : Fx”+’ + tp+1 DX”+’ = S(X”)

+(forces surfaciques et flux) (27)

11 est important de rioter qu’en raison du COLI- plage thermoelastique, la matrice F est une matrice non symetrique; qui necessite un stockage particulier (stockage ligne de ciel). A chaque pas de temps, la non-linearite est traitee par une methode de point fixe. La resolution proprement dite de ce systitme se fait. a chaque iteration en temps, par une methode de pivot de Gauss.

598

Analyse experimentale et modklisation numkrique des couplages thermomkcaniques dans les matkriaux solides

7.1.3. Simulations numkriques

Les caractkristiques thermoviscoklastiques retenues pour les simulations sont prksentkes dans le tableau.

TABLEAU / TABLE Coefficients thermoviscoelastiques retenus

Selected thermoviscoelastic coefficients

E [GPa] / 2 1 E” (lo3 GPa.s] 1 50

I a P-l1 I 0.35 1 p [kg.mp3] I 1450 I

I K [W.rn-l.K-l] 1 0,Ol I C, [J.kgp’.Kel] / 148 1

j H [W.me2.Kp1] I 25 I Text [K] 1 30 1

Les calculs ont 6t6 effect&es sur un quart d’kprouvette trot&e (figure 19) [44].

Figure 19. Maillage elements finis du quart de I’kprouvette (klbments linkaires a trois nceuds, 291 nceuds, 5 16 Gments). Figure 19. Finite element mesh of a quarter of the plate (linear 3 nodes elements, 291 nodes, 516 elements).

Le chargement est un dkplacement vertical im- post! U(t) en tirte d’kprouvette et les conditions aux limites thermiques sont de type mixte -KaT/an = H (T-Text), caractkiskes par un coefficient d’kchange H, et par une tempkrature extkrieure Text. La dependance en tempkrature de E et de E” est illustrke sur la figure 20. Elle traduit une chute brutale de la rigidit du matkriau autour d’une tempkrature de transition, ceci sur un intervalle de tempkrature de 10 “C.

Sur le plan numkrique, la prise en compte de cette dkpendance des coefficients alourdit quelque peu la gestion informatique de la simulation. En effet, la variable thermique utiliske dans le calcul est l’kcart de tempkrature par rapport & une tempkrature de rkfkrence. L’kquation de la chaleur: telle que nous l’avons &rite,

10.:E Y(GPa.s) -

EY= 0.1 MPas - ‘I,-, E=lMPa _

38 43 48 53 58 63 68

TempCrature (“C)

Figure 20. Dkpendance en temperature des modules E et E”. Figure 20. Temperature dependance of the moduli E and E”.

est valable pour des petites kvolutions en tempkrature autour de cette tempkrature de rkfkrence. Des Cvolutions plus conskquentes, telles que l’on souhaite en obtenir, nkcessitent done une rkactualisation, non seulement des modules de rigidit& mais aussi de la tempkature de rkfkrence, et ceci pour chaque 616ment.

Le premier rkultat intkressant est la prise en considkration des couplages thermomkcaniques. La dkpendance en tempkrature des modules de rigiditk permet de gtktker, puis de propager des zones de fortes dkformations. On retrouve kgalement dans ces zones des 616vations de tempitrature cornparables & celles observkes dans les essais (figure 21). Les formes et les directions des bandes de dkformation peuvent i?tre elles aussi respectkes (figure 22). De plus, l’@volution des bandes au tours de l’essai numkrique traduit bien le phknomkne d’autokhauffement tel que nous l’avons dkcrit pr&demment .

La forme donrke au terme dissipatif dl dans l’kquation de la chaleur dkpend du tenseur C”. On a.

Figure 21. lsovaleurs en temperature aux instants 5 s et 30 s. Figure 21. Temperature isovalues at time 5 s and time 30 s.

599


de deformation verticale aux instants

Figure 22. Vertical strain isovalues at time 5 s and time 30 s.

pour une approximation bidimensionnelle du probl&mc :

dl = Cz”, IL?, h, pour (i,j) = 1,2.6 avec El = E11, Ez = E22, Eg = El2 (28)

En choisissant certains termes du tenseur c” nuls. on peut mettre dl sous la forme :

cl1 = p Ct, (I?: + I?::,“, + (1 - p) C& I?: pour p E [O.l] --

sphkrique risaillement (29)

Cette nouvelle expression de dl permet, par lc choix du paramktre p: de privilggier l’effet dissipatif dfi aux contraintes de cisaillement ou celui cr& par la pression hydrostatique. On arrive alors. en ajustant p, & obtenir des bandes qui s’initient entre le p61e Est et le point SI 45”, puis prennent diffirentes orientations (30 & 70”). Pour l’expkrience relatke plus haut, la valeur de p qui donne les meilleures simulations est de 0,075, ce qui montre les effets prkpond&ants du cisaillement dans le processus de localisation.

Bien que l’ktude p&sent& ici soit purement macroscopique. le lien avec le niveau microstructural du matkriau est sous-jacent. Les Gvations de tempkrature mesurkes, dkjj& significatives dans une bande de quelques millimittres de large, sont en fait des moyennes de phknombnes hktkrogknes intervenant sur une plus petite kchelle, et done d’une intensitk beaucoup plus grande.

7.2. Approche macroscopique du comportement des AMF

Comme cela a dkj& ktk indiquk dans la premikre partie. les AMF ont un comportement pseudo-ilastique, ceci au-dessus d’une certaine tempkrature de transition. Les dkformations rkversibles importantes (plusieurs pour cent,) produites sous l’effet d’un <<petit )j chargement thermique 011 mkanique sont attribukes & la transformation dc phase martensitique (passage d’une phase austknite k une ou plusieurs phases de martensite).

600

Les expkriences relatkes prkckdemrnent ont permis de montrer le r61e fondamental jouk par les variations de tempkrature induites par le processus de dkformation. Ces variations sont essentiellement dues & la chaleur latente de changement de phase. et une analyse dktaillirc des bilans d’knergie correspondants montre que l’itnergie associke B la dissipation intrinskque reste trks petite devant la chaleur latente de changement de phase.

En se basant sur ces rksultats, et en s’inscrivant dams le cadre thermodynamique proposk plus haut, 1111

modkle de comporternent a &Z ktabli. en supposant la transition de phase non dissipative et anisotherme. Ce modkle [45]: brikvement dtkrit dans la suite. prend en

considkration les couplages thermornkaniques et utilise deux variantes de martensite auto-accommodantes.

7.2.1 Les Cquations du modi$le

Les variables d’ktat choisies sont la tempkrature T. le t,enseur de deformation E et les deux proportions de rnartensite formkes 61 et @J.

La dkforrnation E peut alors se d&zomposer en trois parties correspondant aux effets thermoklastiques (kquation 5b) et de changement de phase (kquation (7)) :

E=E,+aYBd+[y&: v=1,2 (30)

Les lois regissant le comportement sont la loi d’@tat et l’kquation de la chaleur :

x= c(E-aB&-~,p”) (31)

pc~B-kne=ToC~u++pL(il+i.L) (32)

oti L est la chaleur latente de changement de phase. De plus. pour traduire l’auto-accommodation des deux variantes et le caractkre supposG isovolumique de la transformation. nous choisissons /3, +& = 0 TQ,) = 0 et notons p = p1 = &.

En plus de ces kquations, l’analyse thermodynamique portant sur l’analyse de la dissipation du probkme fournit lme relation supplhmentaire entre [. II et T, prkcisant la forme d’un diagrarnrne de changement de phase.

7.2.2. Exemples de calcul

En se plaqant au plus p&s des conditions expkri- mentales, notamment en ce qui concerne les Bchanges thermiques par conduction avec les mors de la machine et les .&changes par convection avec l’air ambiant (figure 23): nous avons rkalisk un premier calcul visant & contrhler la validiti! de l’interprktation classique des mesures mkcaniques faites en traction simple. L’objectif est de vkrifier si la prksence de forts couplages thermomkcaniques al&e ou non l’homog&Git~ des charnps de contrainte et de d6formation dans la partie utile de l’@chantillon.

Analyse expkrimentale et modklisation numkique des couplages thermomkcaniques dans les matkiaux solides

1 - 1 Zones de conduction avec les mors de la machine

Figure 23. Maillage de I’kprouvette et conditions aux limites.

Figure 23. Mesh of the sample and boundary conditions.

Les rksultats des simulations (figure 24) montrent que la contrainte de traction reste bien uniforme dans chaque section droite, et que la d&formation longitudinale est constante dans la zone de mesure de l’extensomktre.

On peut bgalement modkliser le comportement de structures en AMF. Un cas simple est celui d’un anneau auto-serrant, oti l’on utilise l’aptitude des AMF & se dkformer fortement sous effet thermique pour produire une contraction importante de l’anneau lors d’un rkchauffement. La pression de serrage est importante, car directement produite par une &action Blastique.

7.3. Approche multi-khelle coupICe du comportement des AMF

Dbs lors que l’on s’inkesse aux causes qui peuvent ghnkrer le changement de phase solid+solide et aux phknomitnes qui accompagnent sa propagation, il semble indispensable de raisonner $ une kchelle proche de la cristallographie du matkriau. A la base, l’apparition de martensite est like B un changement de rkseau cristallin, et ceci dans des zones parfois t&s localiskes (paillettes de martensite). Puis le phknomkne s’ktend sur les diffkrents grains du polycristal, chacun d’entre eux rkagissant en fonction de son orientation cristallographique. Tous ces phknomknes locaux se moyennent done pour donner

finalement le comportement macroscopique. Dans ce qui suit, le niveau microscopique choisi est celui du grain dans un polycristal [44]. Notons que les dkveloppements thkoriques en homo&n&sation ne permettent pas de dkboucher, pour ce type de comportement, sur des coefficients macroscopiques aussi simplement que pour le cas thermoklastique. La dknarche proposke consiste alors B rkaliser des essais numkriques sur un kchantillon poly- cristallin, et & regarder comment kvoluent les variables macroscopiques. Le volume Gmentaire reprbentatif est done ici un assemblage d’un certain nombre de grains uniquement diffkrencik par leur orientation cristallographique (figwe 25). Chaque grain dans son rep&e local, a une loi de comportement identique & celle prksentke plus haut et va interagir avec les grains voisins.

Lorsqu’on impose & ce v.e.r. une dkformation macroscopique de traction, on peut suivre l’kvolution des proportions de martensite formke dans chaque grain (figure 26). Les grains dont l’orientation est la plus favorable se transforment; bien stir, en premier et les interactions dues & ces deformations de changement de phase g&krent une importante h&krog&W des champs thermomkcaniques.

Les champs macroscopiques resultant sont alors dkduits par opkration de moyenne. En multipliant les cas de chargement, on peut espkrer construire la loi de comportement macroscopique du polycristal.

7.4. Approche micro-macro des contraintes d’origine thermique dans les matkriaux composites

7.4.1. C~n&alit~s

Dans cette partie, nous nous intkressons aux contraintes d’origine thermique qui apparaissent lors du refroidissement de matkriaux composites, ceci tant au

c

8 (“C) 011 (MW { (%)

5.8 120 0.54

4.8 53 0.27

3.8 14 0.00

Figure 24. lsovaleurs en temperature (a), contrainte longitudinale (b), et fraction volumique de phase transformee (c), pendant un essai de traction. Figure 24. lsovalues of temperature (a), longitudinal stress (b), and volume proportion of transformed phase (c), during a traction test.

601


0"

10”

30 O

45 O

-60 O

Cellule de base Orientation

Figure 25. Volume elementaire representatif du polycristal et orientations cristallographiques des differents grains. Figure 25. Representative unit cell of the policrystal and crystallographic orientations of the different grains.

5 max = 0.6 5 max = 0.9

Figure 26. lsovaleurs de martensite transformee et proportion maximum atteinte a differents instants de I’essai. Figure 26. lsovalues of transformed martensite and maximum proportion reached at different stages of the test.

niveau macroscopique que microscopique. La connaissance de ces contraintes est primordialc pour compren- dre et prevoir des phenornbnes tels que la formation de microfissures et leur propagation, ou l’apparition d’endommagement sous cyclages thermiques.

Les applications rnotivant de telles etudes sont cent&es sur la conception et l’utilisation de matcriaux composites & matrice metallique ou cerarnique qui, lors de leur elaboration, puis en tours d’utilisation. subissent de fortes variations de temperature. Les differences de

proprietes therrnoelastiques des materiaux constitutifs induisent d’importants niveaux de contrainte aux interfaces fibre-matrice. Une cormaissance detaillee de ces champs permet de prevoir les phenomenes de fissuration ou d’endomrnagement aux echelles micro- puis macroscopiques. Sur un plan pratique, l’outil de simulation permet d’optimiser le comportement du materiau en jouant sur les constituants, leur proportion, en rnodifiant les interfaces (troisieme corps), au sens air l’on minimise l’effet des contraintes d’origine thermique.

7.4.2. 6valuations des contraintes d’origine thermique dans un composite au tours d’un refroidissement

Classiquement,. les contraintes d’origine thermique sont estirnees en faisant l’hypothese qu’au tours du refroidissement: la temperature reste uniforme dans tout le rnateriau. Puis, connaissant la difference dcs coefficients de dilatation thermique des materiaux et l’arnplitude du refroidissement. on obtient une valeur de contrainte qualifiee de residuelle. LJne approche thermoelastique couplee permet de raffiner ce calcul. par la connaissance des champs microscopiques dc temperature et de leur evolution.

Sur WI composite aluminium renforcd par dcs fibres de carhure de silicium, on a ainsi pu rnontrer que les contraintes maximales endurees par l-interface fibre matrice ne sont pas les valeurs residuelles! obtenues lorsque la temperature s’est homogen&see, mais bien des valeurs qui resultent de la diffusion de la chaleur dans le rnateriau heterogene. Ces valeurs peuvent depasscr de 20 B 30 7% les valeurs residuelles et peuvent Etre dommageables pour le materiau, car sit&es a l’intcrface fibreematrice, zone rkputee fragile.

Comraissant la distribution d’effort & l’interface, on peut etablir un critere d’endommagement simple base sur un seuil en effort normal. Lorsque celui-ci atteint en ml point la valeur seuil. il y a decohesion. Sur ml plan numerique, cette idee a et; mise CII ceuvre dans la m&hode de resolution par elements finis en supposant qur tous les nceuds de l’interface sont dtirdoubles d&s le depart. La. cohesion avant endommagement se traduit par une relation egalant les degres de liberte cn deplaccment des deux nceuds homologues. Lorsqu‘on cndommage la. liaison, cettr condition cst annul& et remplacee par des conditions de contact unilateral. On peut alors modeliser des essais de cyclage thermiqw et (ou) mecanique. et observer ainsi l’evolution tic l‘endomma.gement dc l’interface sous differents points macroscopiques.

On presente sur la fiywe %7 ml &at endommage tlu materiau & l’echelle microscopique lors d’un chargement m&aniquc.

I1 u‘y a alors aucune difficult6 conceptuelle B rcfairc des passages micro macro pour evaluer l’influence de l’endornmagement microscopique au niveau macroscopique% et definir ainsi un endommagement macroscopique.

602


Figure 27. Materiau micro-endommage apres d&oh&ion dune partie de I’interface.

Figure 27. Micro-damaged material after a partial debonding of the interface.

Par contre, on a bien conscience de la taille des calculs a realiser et done de leur caractere improbable en l’etat actuel des puissances des machines.

7.4.3. Influence d’un troisi&me corps

On considere ici une interphase (ou troisieme corps) de faible epaisseur (0,25 mm) intercalee entre la fibre et la matrice (figwe 28).

Figure 28. Maillage de la cellule de base du composite fibre- interphase-matrice.

Figure 28. Mesh of the unit cell of the fiber-interphase-matrix composite.

Les proprietes thermomecaniques de ce troisieme corps peuvent Btre optimisees pour diminuer au mieux les niveaux de contraintes thermiques. Un compromis est a realiser, car ce troisieme corps peut faire chuter les caracteristiques irlastiques macroscopiques. Ce procede d’enrobage est assez couramment utilise dans les composites ceramique-ceramique pour jouer le role de

barriere thermique. Les simulations effect&es montrent qu’avec un troisieme corps ayant un coefficient de dilatation thermique proche de celui de la fibre et un module d’lloung proche de celui de la matrice, on peut diminuer d’un facteur deux les niveaux de contraintes atteints.

8. PERSPECTIVES

A plus long terme l’enrichissement des lois de comportement des matkriaux passe saris doute par une meilleure description des phenomenes physico-chimiques agissant au niveau de leur microstructure. Les approches couplkes d’une part et les techniques d’homogeneisation d’autre part permettent d’envisager l’introduction de tels phenomenes dans les lois macroscopiques. Leur mise en ceuvre numerique pose certes des problbmes (theoriques, numeriques ou de gestion informatique), mais permet une confrontation systematique entre les don&es experimentales et les predictions theoriques des modeles.

On peut aussi esperer aborder les problemes de modelisation du comportement en (< haute>> tempkrature et les problemes lies au comportement dynamique. Lors de traitements metallurgiques (trempe. recuit, etc.) ou lors d’un processus de soudage (fusion, solidification), les phenomenes de couplages t hermomecaniques (changement de phases, cinetiques de precipitations) sont p&pond&ants. 11s devraient devenir un domaine pri- vilegie d’application de ces techniques. Par ailleurs, le developpement constant de cameras infrarouges plus rapides devrait permettre au thermomecanicien d’aborder le comportement des materiaux en dynamique oti, la encore, les couplages jouent un grand role dans le mode de propagation des instabilites (phenomene d’emballe- ment).

En conclusion, les domaines a aborder representent un champ d’investigation considerable. Le comportement thermomkcanique des materiaux sous chargement mecanique et thermique est presque toujours trait6 en identifiant la temperature du materiau a celle de consigne. Cette approximation cache a coup siir des phenomenes importants, qui pourront etre mis en evidence en suivant une veritable approche thermomecanique.

RtFiRENCES

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Abridged English Version

Experimental analysis and numerical simulation of thermomechanical couplings in solid materials

Working parallel to many research laboratories making constant efforts to increase theoretical and experimental knowledge of solid material behaviour, this paper describes a simultaneous analysis of the thermal and energetical responses accompanying the mechanical transformations. This dual approach of behaviour modelling is not only original but goes against certain habits which are still generally prevalent. For instance: in the case of low strain rates (quasi- static tests), as the volume heat of solid materials is very high (compared with gas), lit,erature very often considers the thermodynamic processes associated with the mechanical transformations as isothermal processes. This attitude, while natural from a strictly thermal viewpoint; at the same time deprives mechanics of any control over the energetical validity of its behaviour modelling. Neglecting temperature variations induced by the deformation processes, it eliminates the possibility of establishing complete energy balances. The aim. here, is the development of experimental and theoretical analysis of the behaviour of materials from a mechanical and energetical viewpoint. By systematically taking into account thermomechanical couplings, the formulation of the constitutive behavioural equations must be improved.

In a first part, the theoretical and experimental frameworks used to present the thermomechanical behaviour of solids is briefly recalled. The Generalized Standard Materials (GSM) formalism is used. It belongs to the wide domain of Irreversible Processes Thermodynamics (IPT), Classica,lly, the behavioural constitutive equations can be split up into two sets named states laws and complementary laws. These two sets are respectively derived from the chosen thermodynamic potential and from a convex dissipation potential. The use of internal state variables allows to take into account the resulting effects of microstructural transformations at a macroscopic scale.

The main feature of the experimental approach relies on the use of thermography techniques. The aim of infrared data processing is to pass back from temperature to heat sources. Using the discrete and noisy thermal data, the left hand member of the local heat equation [equation (2)] is determined to obtain the heat sources distribution on the sample surface. The image processing is made of low-pass convolutive filtering by the way of the Discrete Fourier Transform. To avoid apparition of high spatial frequencies due to the non-periodicity of images, a periodic extension of the data is first done. Numerical tests underlining the consistence of the method are shown (figures 1 ~4). We observe that the derivation of heat sources from ternperatures (inverse problem) is numerically unstable because of the regularizing effects of the diffusion phenomena (direct problem).

In the particular case of homogeneous thermomechanical tests. energy balance can be performed and used to derive the behavioural constitutive equations. Examples are shown dealing with metallic materials. Experiments on common steels: braths and aluminium alloys have shown that the mechanical validity of a behaviour model does not systematically imply its thermomechanical validity. Particularly, during monotonic tensile tests, phenomena such as: (i) a limited evolution of the (internal) stored energy (asymptotic saturation). (ii) a decrease of the stored energy ratio (i.e. the stored energy over the anelastic energy given to plastically de- form the sample), (iii) a large percentage of this ratio at the begimling of the strain hardening (50 ‘8~)~ cannot be accounted for by classical models (Prandtl -Reuss isotro- pic hardening. Prager linear kinematic hardening). MO- reover, for several materials (duraluminium, brath). we observed that classical and basic hypotheses of the tirne rate independent elastoplasticity, thoroughly justifiable from a mechanical viewpoint, are not so urldisputed

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frorn a thermomechanical viewpoint. For instance, we measured: (i) dissipated energy amounts during elastic returns (figure 5): energy release amounts after the mechanical solicitation stops (figure 6).

In our opinion, another outstanding exarnple for underlining the importance of experimental thermomechanics in the construction of constitutive behavioural equations, was recently given by testing shape memory alloys (SMAs). The experiments showed that marten- sitic transformations are accompanied by very small energetical dissipative effects in comparison with those due to the latent heat of phase change (figure 10). This result is important, for it leads to a quasi-reversibility of the microstructural transformations associated with the austenicmartensitic phase change and it has been used to propose new thermomechanical models capable of undergoing phase transition. In contrast with the classical theory of the first order phase transition, the phase change is not introduced here by putting forward an assumed nonconvexity of the thermodynamic potential but by using the observed properties of the dissipation. The concept of transition lines is then ‘naturally’ found again; these lines are in our case dependent on the order parameter (i.e. the martensite volume proportion) (figure f 1). Note that the intensity of thermomechanical couplings due to stress-induced phase change is mainly responsible, because of the thermal dissipation of the presence of the mechanical hysteresis phenomena (figure 9). The reader can also observe on figure 12 the non-negligible temperature variations during a complete phase change.

When heterogeneities occur, the infrared irnages facilitate the analysis of localization mechanisms. The research field related to localization phenornena is very active. Many authors have worked and still work today on the experimental, theoretical and numerical aspects of such deformation mechanisms. In figure 14: the dissipation chart deduced from temperatures (figure 13) is plotted. We observe at the beginning of the strain hardening a quite uniform dissipation field. Then. zones of stronger dissipation appear and concentrate progressively until the maximum load is reached. During the strain softening, the dissipative effects of localization run away and a crack appears and grows. This space-time progressiveness is interesting inasmuch as the two main theoretical approaches of localization invoke spatial discorninuity of strain rate (bifurcation method) for time independent behaviours or time instability of solutions (perturbation method) for viscous or temperature dependent behaviours.

In the second part, basic aspects of homogenization techniques are reiterated. Related to thermomechanical couplings, homogenization improves the description of the behaviour of materials and structures in which microstructural phenomena have a significant influence at the macroscopic scale. The basic tools of homogenization are introduced through classical situations: elastic. thermal and coupled thermoelastic problems are suc- cessively detailed. These examples stress the rnain role played by the localization tensors, keystones for the micro--macro transitions. Solving techniques are evoked (Voigt and Reuss models, periodical homogenization using a finite element method). Several applications of these tools are then reported, concerning the thermoviscoelasticity of polymers, the pseudoelastic behaviour related to solid-solid phase change of shape memory alloys and the thermoelasticity coupled with damage in composites. In the case of thermoviscoelasticity of polymers, a comparison between experimental results and numerical simulations has been performed. The experiments concerned a perforated plate of PVC sub- rnitted to a compression test. The existence of thermal and dissipative bands, raising from the edge of the hole and propagating at 45”; is related to the so-called auto- catalytic cycle (figures l&-b). In order to integrate this phenomenon in the constitutive equations, we took into account the thermomechanical couplings and the dependance of the rigidity tensors as a function of temperature [equation (as)]. The numerical simulations (by a finite element method) show localized bands initiating and propagating in good agreement with the experimental data (figures 21 and 22). The next application deals with the pseudoelastic behaviour of shape memory alloys in which important reversible strains are generated by a solid-solid phase transformation between the aus- tenitic and the martinsitic state. In accordance with the related tests, an anisothermal model was derived assu- ming a non dissipative phase transformation [equations (31) and (32)]. The first results concern the simulation of a macroscopic t,ension test in which we proved the homogeneity of the thermomechanical fields. Therefore, we present the basis of a multiscale approach in order to derive macroscopic constitutive equations for a shape memory alloy polycristal. The last application is concerned with thermal stresses in a composite material subjected to a thermal test. Taking into account the diffusion of temperature allows a better prediction of the level of the stresses during the cooling. Coupled with interfacial damage, this modelling makes it possible to predict damaging and cracking at both microscopic and macroscopic scales.

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Documents

Analyse expérimentale et modélisation numérique des couplages thermomécaniques dans les matériaux solides