IdVchani~n and Machine Theory VoL 13, pp. 437-450 0094-114X/7BI0801-04371502.0010 Pergamon Prom Ltd., 1978. Printed in Grxt Britain

Analyse Structurelle des M6canismes par Groupe des D6placements

J. M. Herv6~

Regu le 25 mars 1977

R6sum6 Le probl6me de la d6termination syst6matique et rationnelle du degr6 de libert6 des rn6canismes est envisag6 en associant ~ tout ensemble de positions susceptibles d'6tre prises par un corps rigide, un sous-ensemble non vide du groupe des d6placernents. Ainsi 1'6tude de la structure alg6brique de groupe de I'ensernble des d~placements permet de d~finir les liaisons m6caniques et d'en donner les propri6t6s principales. Les r6sultats obtenus conduisent ~ distinguer trois grandes families de m6canismes. La description des deux prerni6res qui correspondent aux rn6canisrnes les plus importants du point de vue des possibilit6s d'applications est aussi une m6thode pour trouver par voie d6ductive tousles m~canismes de ce type.

1. Introduction

LE PROBLI~ME de la d6termination syst6matique et rationneUe du degr6 de libert6 d'un m6canisme a pr6occup6 de nombreux savants depuis le d6but de rhistoire des sciences et des techniques. Parmi les travaux contemporains, on peut remarquer les "Leqons de cin6matique" de Bricard [1] qui proposent deux types de m6thodes conformes aux principes 6nonc6s auparavant par Koenigs [2], susceptibles de permettre ranalyse d'un m6canisme constitu6 uniquement par des corps rigides, certains couples 6tant associ6s par contact permanent en couples cin6ma- tiques.

Une premi6re m6thode fait appel h la repr6sentation pluckerienne des droites pour 6tudier les configurations g6om6triques des axes de rotation des corps d'un m6canisme articul6. En fonction de la d6pendance lin6aire des coordonn6es pluckeriennes des axes, on obtient des conditions n6cessaires de d6formabilit6 des m6canismes ~ articulations roto~'des. Mais ces conditions n'ont qu'une valeur locale: le m6canisme ob6issant ~ ces conditions peut conna~tre une d6formation infiniment petite qui, en g6n6ral, ne peut passe poursuivre jusqu'/t I'obtention de mouvements d'amplitude finie. Cette m6thode a 6t6 g6n6ralis6e par Voinea et Atanasiu[3] qui consid6rent, non plus des ensembles de droites, mais des ensembles de vis (on dit aussi: torseurs).

En effet tout mouvement d'amplitude infinit6simale est un vissage infinit6simal. Mais cette m6thode, malgr6 ses extensions remarquables[4, 5], a un champ d'applications restreint en raison de son inad6quation pour la d6termination de possibilit6s g6om6triques de mouvement d'amplitude finie.

Afin de trouver des crit6res de d6formabilit6 d'amplitude finie, on est conduit/t consid6rer une g6om6trie des positions: c'est la seconde m6thode propos6e par Bricard qui mentionne dans la note 1 du premier volume de son ouvrage de cin6matique les travaux de Study et de Saussure relatifs h une g6om6trie dont l'616ment fondamental est la position que peut prendre un corps rigide libre darts l'espace. "Comme cette position d~pend de 6 param6tres, on obtient une g6om6trie /L 6 dimensions". Cette g6om6trie "6tudie les vari6t6s obtenues en associant des positions d6pendant de 1,2 . . . . param6tres, en recherchant dans chaque cas les vari6t6s les plus

tMaftre-Assistant, Laboratoire de G~nie M~canique, F~ole Centrale des Arts et Manufactures. Grande vole des vignes, 92 290, Chatenay-Malahry, France.

4,37

simples, analogues h ce que sont en g6om6trie ponctuelle la droite et le plan; en g6om6trie r6gl6e, le faisceau, le systi~me plan de droites, la congruence et le complexe lin6aire". On est ainsi amen6 ~ 6tudier de nouveau les formules de mobilit6[6] car elles font intervenir la dimension de la g6om6trie des positions, et hen rechercher une interpr6tation plus pr6cise afin de savoir pourquoi et comment elles admettent des exceptions. La g6om6trie de Study et de Saussure n'est pas appropri6e h l'61aboration d'une th6orie des m6canismes. En effet, les vari6t6s qu'elle 6tudie sont obtenues en faisant varier 1,2 . . . . param6tres explicites de ia repr6sentation choisie de la position d'un corps rigide. Il est clair que I'on aura une th6orie plus f6conde si l'on peut se rattacher ~ une structure alg6brique. Par exemple, la g6om6trie ponctuelle est attach6e h une structure alg6brique qui peut 6tre celle d'espace projectif ou bien celle d'espace affine... Les vari6t6s les plus remarquables sont les sous-espaces projectifs ou bien les sous-espaces attines.

On sait que I'ensemble qui repr6sente les points mat6riels de la m6canique classique est I'espace afline euclidien de dimension 3. Une figure g6om6trique donn6e de points appartenant ce dernier espace correspond du point de vue de la m6canique hun corps rigide fixe. Le passage d'une figure h une figure 6gale est d6fini h l'aide d'une transformation appel6e d6placement. L'ensemble des d6placements poss~de la structure alg6brique de groupe continu de dimension finie 6: c'est la structure alg6brique recherch6e pour la construction d'une th6orie moderne des positions. L'essentiel de la m6thode expos6e par la suite sera d'associer ~t tout ensemble de positions susceptibles d'&re prises par un corps rigide, un sous-ensemble non vide (complexe) du groupe des d6placements.

2. L'Ensemble des Dbplacements 2.1 G(n(ralit(s et notations

2.1.10p~rateur de d~placement. Un rep~re orthonorm~ et direct R = (0, i, j, k) de l'espace afline euclidien ~tant donn~, un op~rateur de d~placement agit sur les coordonn~es x °, y0, z o d'un point quelconque M °. On ~crit, d'une faqon classique, sous forme matricielle

= . yO yt /a2, a22 a23 / + z n La31 a32 a33_1 o

On 6crira sous une forme plus symbolique

(M~)/R = A.(M°)IR + t.

A est une matrice (3x 3) orthogonale et directe (d~terminant A = +1); t est une matrice colonne repr6sentant un vecteur t quelconque; (Mt)IR est le vecteur colonne des coordonn6es x L, yZ, z t du point M I transform6 du point M ° par ie d6placement consid6r6. D'une mani~re plus condens6e, on utilisera une notation op(~ratorielle

(M ' ) /R = D(O , l / R ) . (M°)IR

D(O , l /R) = {A, t}

2.1.2 Representation du m~me d~placement dans un autre rep~re. Soit T u n second rep~re orthonorm~ et direct: T = (0', i', l', k'). On sait qu'un op~rateur de d~placement fait aussi passer des coordonm~es d'un point quelconque M dans le rep(~re T aux coordonn(~es du m(~me point dans le premier rep~re R

(M) /R = D(R , T/R)" (M) IT

(M) IT est la matrice colonne des coordonn(~es du point M dans le second rep6re T; (M)IR repr6sente M dans le premier rep~re R. On a

D(R > TIR) = {P, p}.

439

P e s t la matrice (3 × 3) du changement de base

(i', j', k') = (i, j, k). P

p est la matrice colonne des composantes du vecteur 00' dans le premier rep~re R. Tout d6placement 6tant inversible, on obtient ia relation de conjugaisbn

D(O ) l/T) = D-'(R , T/R)I D(O ) l/R). D(R ) T/R).

II est utile de remarquer les relations suivantes

D-t(R , T/R)= D(T , R/R)

D(T )T /R)=E={1 ,O}

avec la notation

Ii°i] I!l I = 1 0 = 0

2.1.3 Egalit~ de deux figures g~om~triques. On rappeile que deux figures g6om6triques sont 6gales si et seulement si elles sont homoiogues par d6placement. On connait la propri6t6: si l'une des deux figures 6gales comprend au moins trois points non align6s, alors il existe un d6placement et un seul qui applique l'une des figures sur I'autre. ".

2.2 La Structure de Groupe de/'Ensemble des D~placements 2.2.1 Lois de composition des d~placements, l'Ensemble des d6placements {D} poss~de les

propri6t6s caract6ristiques d'un groupe continu de dimension fini 6. On remarquera les formules suivantes

(1 °) 02. D, = {A2. A,, t2+ A2. t,} ~{D}

YD, = {At, t,}~{D}

VD2 = {A2, t2} ¢{D}

(2 °) E.D = D.E = D VDclD}

(3 °) D-' = {A=', -A- ' . t } YD = {A, t}E{D}.

2.2.2 Sous-groupes du groupe {D}. i'Utilisation des m6thodes classiques d'6tude des groupes continus de dimension finie (du type groupe de Lie) permet de faire la classification exhaustive des sous-groupes du groupe {D} en un certain nombre de classes de conjugaison. A chaque classe de conjugaison de sous-groupes du groupe {D} correspond un type de possibilit6s g6om6tdques de mouvement, qui, dans la majorit6 des cas, a 6t6 remarqu6 par l'empirisme des soci6t6s et est d6sign6 par un mot ou une locution tel que rotation autour d'un axe, translation, e t c . . . (Tableaux 1,1 bis et 2).

3. G6om6tr le des Liaisons Mbcaniques 3.1 G~om~trie du mouvement

3.1.1 Corps rigide. Un corps rigide (ou corps solide) est du point de rue de la g6om6trie un ensemble de points donn6s par rapport ~ un certain rep~re. Cet ensemble de points doit 6tre limit6 par une surface. Autrement dit, un corps rigide est repr6sent6 par une figure g6om6trique p.oss6dant certaines propri6t6s de continuit6. On suppose que cette figure comprend au moins trois points non align6s: ~ ce titre, une droite ne correspond pas ~ un corps rigide,

3.1.2 ~ossibilit~s g~om~triqaes de mouvement d'un corps rigide. Lorsque ie corps rigide S consid6r~ est susceptible de se mouvoir, le mouvement de S est ~tud~ par rapport ~ un rep~re

MMT Vot 13, No. 4--C:

44O

Tableau 1. Classes de conjugaison des sous-groupes du groupe {D}

l~nomination Dimension Notation d'un 61~ment

0 {E} Transformation identique

{ T o } Translation rectiligne

1 {RJ Rotation autour d'un axe

{H=.p} Mouvement hElico~'dal

{ Te } Translation plane

{C .} Mouvemimt de verrou

{ T} Translation spatiale

(Ge} Glissement plan

{So} Rotation sph~rique

{ Y~.t,} Mouvement Y

4 { X . } Mouvement X

6 {D} D6placement

Elements g~om~triques de d6finition

Une droite D d~finie ~ un parallglisme prgs

Un axe d6termin~ par un vecteur unitaire glissant u Un axe dEterming par le vecteur glissant u et un

pas de vis p Un plan P d6fini ~ un

parallElisme prgs Un axe dgtermin~ par le

vecteur glissant u

Un plan P d~fini hun parall*lisme pros

Un point 0

Une direction de droite donn6e parle vecteur libre

ve t le pas de vis p Une direction de droite donn6e par le vecteur

libre v

Association un couple

d'emboitement Couple rigide

Couple prismatique ou tiroir

Couple rotoi'de

Couple vis

Couple verrou ou articulation

cylindrique

Couple plan

Couple sph~rique ou rotule

Examples do possibilit6s g6om6triques de mouvement r(~gies par un sous-groupe d'une clause donn~. {'E}: mouvement d'un corps rigide par rapport k un Second auquel il est assembli: rigidement. {To}: {e.}: {H...}: {Tp}: {C.}: {r}:

{Op}: {So}: { Y,.o}:

{x J:

{o}:

mouvement d;un coulisseau par rappor t ~ un b,~ti auqud il est uni par uric glissi~re. mouvem.ent d'une porte mont~e sur des gonds par rapport/t un tour. mouvement d'une vis par rapport ~ son ~crou. mouvement d'un appareit ~ dessiner par rapport ~ la table. mouvement d'une piece en torme de cylindre de r~volution darts un al~sage conjugu~. mouvement d'une table de machine par rapport au bfiti auquel elle est r~unie par trois

glissi~res dont les directions ne sont pas toutes les trois parrall/:les ~ un mEme plan. mouvement d'un objet rigide restant en contact avec une table plane. mouvement d'un corps rigide par rapport ~ un second auquel il est uni par une rotule. mouvement d'une vis dont r6crou est susceptible de se translater parall~lement ~ un plan

donn6 P, P±v. mouvement d'un corps solide comportant des-tourillons coaxiaux pouvant tourner sur des

coussinets susceptibles de se translater darts tout respace. mouvement d'un corps rigide libre dans respace.

Tableau 2. Sou6-groupes de sous-groupes du groupe {D}

Groupes Sous-Groupes

{To} {R=} (H=,} {rp} {C.} {T} {Op} {So} {Y.,} {X.} I I p"O1 2 2 3 3 3 3 4

{T,,} D / P {Q} D/u' u'§u u'§u

Vp ER {T} VD VP

{Gp,} D~/P. ' u.LP' P/ /P ' {So} O'E axe u

{ Y,,.} D.Lv u = v P.Lv p'=~O p = p ' ix,,} VD o//v' u//v' VP

Vp E R {D} VD Vu Vu, Vp VP

u//v' oui P±v' v//v'

Vu oui VP VO Vv, Vp Vv

D~P, se lit, droite D paral'~ifle au plan P; u'§u, se lit, vecteur glissant u' colim~dre au vecteurglissam u. P±v, se lit, plan P perpendiculaire au vecteur lib~'e v. ¥p E R, pour tout pas de vis p appartenant ~ I'ensemble R des uombres r~els.

441

donn6 de Fespace affine euclidien de dimension 3. Ce rep~re est appel6 r6f6rentiel du mouvement. Le corps S vient occuperdiverses positions par rapport ~ ce r6f6rentiei. A l'ensemble des positions de S correspond un ensemble de figures g6om~triques 6gales entre elles. Ces figures seront donc les transform6es de l'une quelconque d'entre elles par un sous-ensemble non vide du groupe {D}. Autrement dit, les possibilit~s g6om6triques de mouvement d'un corps rigide S sont caract6ris6es dans un r6f6rentiel par un complexe {L} du goupe {D}:{L} C_ {D}. Pour des raisons m6caniques, {L} devra satisfaire h des conditions de continuit6. {L} doit aussi toujours contenir 1'616ment identit6 E. En r6sum6, {L} est un voisinage connexe de E. Si on choisit un autre rep~re de r6f6rence, ies m~mes possibilit6s de mouvement seront caract6ris6es par un complexe conjugu6 du pr6c6dent. Le corps S sera dit libre si l'on a

{L} = {D}

il sera li6 (ou immobile) si ron a {L} = {E}. Si le rep6re de r6f6rence est attach6 h u n corps rigide T, on dira qu'il y a une liaison

m6canique de T h S; on la notera .~(T, S). Le complexe {L} et ses conjugu~,s d6pendent de n param6tres ind6pendants. Le nombre entier n (0 ~< n ~< 6) est appel~ dimension de {L} et degr6 de libert6 de la liaison ~(T, S).

3.1.3 Description du mouvement. On suppose que S vient occuper des positions S a, S °, SO,... par rapport h u n r6f6rentiel 7: Le passage de la position S a ~ la position S o sera repr6sent6 par le d6placement D(a ~ b/T). On aura

D(a , C/T) = D(b , c/T). D(a , biT)

I! est int6ressant de remarquerles 6galit6s suivantes

D(a ~ c/a) = D(b > c/a). D(a ~ b/a)

= D(a , b/a). D(b ) c/b)

Cette derni~re 6galit6 est obtenue h partir de la premiere en utilisant la relation de ccajugaison

D(b ~ d a ) = D(a ~ bIa). D(b ~ c/b). D-l (a > b/a)

On montre de fa~on analogue

D(a ~ b/a) = D-l(b ~ a/b).

3.2 Analyse des liaisons m~caniques

3.2.2 Principes g~n#raux. Une liaison m6canique entre deux corps rigides S; et S t d'un m6canisme (ou chaine cin6matique) ob6issant aux hypotheses de cette 6tude ne peut r6sulter que d'une certaine association de couples cin6matiques (ou contacts permanents entre ies surfaces de couples de corps) faisant intervenir parfois des corps interm6diaires. Pour 6tudier une telle liaison, il sera commode de consid6rer le graphe associ6 au m6canisme [7, 10]. Ensuite, on ufilisera deux types d'op6rations entre les liaisons m6caniques: l'intersection de deux liaisons; la composition de deux liaisons.

La premiere operation remplace un graphe partiel associ~ h une partie du m~canisme, du genre

s, s, ~:(i, j)

par le graphe

~l t q ~ S,

442

La deuxi~me op6ration remplace un graphe partiel du genre

S~ ~(i, j) S~ ~(j, k) Sk

par le graphe

S~ ~(i, k) S~

I1 est clair que par it6ration de ces deux opgrations, on saura d6terminer toute liaison entre tout couple de corps d'une cha~ne cin6matique si l'on connait les liaisons mgcaniques correspondant aux divers couples cin6matiques.

3.2.2 Intersection des liaisons 3.2.2.2 Principe. S'il y a plusieurs liaisons entre deux corps S~ et S i, par exemple des liaisons

~ et ~2, les d6ptacements L permettant de passer d'une position Si ° ~ une position quelconque Si ~ par rapport ~ un rn6me r6f6rentiel 1i4 ~ Si devront v6rifier ~ la fois les conditions suivantes

L ff {/z'} L ~ {L~},

Ceci 6quivaut ~: L E {L ~} f~ {L 2} et on pourra appeler {L} l'intersection {L ~} A {L2}, mais on ne devra consid6rer dans {L ~} tq{L ~} que la partie connexe qui contient l'op6ration identique E.

3.2.2.2 Diff&ents cas d'intersection lorsque {L ~} fq {L 2} ne se r~duit pas ~ {E}. 1 ° cas: soient {G ~} et {G ~} les groupes (sous-groupes de {D}) de dimensions g e t g' engen~r6s par les complexes {L ~} et {L 2} de dimensions g-e et g'-e' (0 <<. e < g, 0 <~ e'< g'). Soit {Q} le groupe {G ~} ~{G 2} suppos~ distinct de {E}, de dimension q. Si l'on a: q-e-e'>O, {L ~} n{L :} est obtenu par restriction du degr6 de libert6 de liaisons fictives repr6sent6es par {G ~} et par {G2}, et est un complexe de dimension q-e-e' du groupe {Q}.

2 ° cas: en proc6dant comme on l'a fait pour le premier cas, on trouve: q<~e+e'. L'intersection {L ~} ~ {L:} suppos6e maigr6 tout distincte de {E} ne peut alors provenir que d'une configuration remarquable d'une r6alisation particuli6re des liaisons. Cela se produit notamment lorsque l'intersection est tr0uv6e comme dans le cas pr6c6dent mais est relative deux complexes {M~} et {M ~} contenus dans {L ~} et {L ~} l'inclusion &ant stricte au moins une fois. L'existence d'une intersection distincte de {E} est al0rs propre ~ au moins une valeur donn6e ~ un param6tre de {L ~} ou {L 2} sans quoi on serait n6cessairement dans le premier cas.

3 ° cas: lesdeux premieres m6thodes ne permettent pas de conclure mais on peut en dormant 6ventuellement des valeurs constantes ~ certains param4tres de {L t} et de {L ~} trouver deux complexes {M t} et {M 2} identiques mais dont les r6alisations m6caniques sont distinctes. Ces cas seront dits paradoxaux.

3.2.3 Composition des liaisons 3.2.3.1 Representation d'uneliaison compos~e. On consid/~re trois corps rigides Si, Si, Sk r6unis

en s6rie par deux liaisons L~(i, j) et ~(j, k), c'est h dire tels qu'il existe une liaison Z;(i, j) entre S~ et S i et une liaison Ze(j, k) entre Si et Sk. On appelle liaison compos6e la liaison ~(i, k) qu'il y a entre S~ et "Sk en raison de l'existence de ~(i, j) et ~(j, k). On suppose pour simplifier le probl6me, que trois rep~res orthonorm6s et directs R~, Rj, Rk li6s ~ Si, St, Sk occupent des positions Ri °, R °, Rk ° pour une configuration donn6e de l'ensemble {Si, Sj, Sk}, compatible avec, les liaisons Le(i, j) et ~(j, k), qui v6rifient: R ° = R~ ° = Rk ° (ceci pourra touiours ~.tre r6alis6 par un choix appropri6 des rep~res). On d6compose tout fonctionnement de la liaison compos6e en deux 6tapes;

1 i6re 6tape: ~(i, j) a fonctionn6e; ~(j, k) est restde bloquee, c'est h dire l'ensemble des deux corps St et Sk s'est comport6 comme un seul et m~me corps rigide;

2 i~me ~tape: ~(i,/') est rest6 bloqu6e; ~(j, k) a fonctionn4e. I1 est clair que, puisque le probl~me ~tudi~, ressortit h la g~om~trie pure, on obtient le m~me

r~sultat que lorsque les deux liaisons .~(i, ]) et ~(j, k) fonctionnent simultan6ment. A l'issue de

la premi6re 6tape, les rep6res occupent les positions

443.

R; • = R o

R7 Rk ~ = R[.

Les coordonn6es d'un point quelconque M li6 au corps Sk par rapport ~ R ° = R ° = Rk ° ont vari6 selon la formule

(M~)/O = D(Rk° - - -~ RkX/Rk°). (M°)[O.

A la deuxi6me 6tape, les rep6res occupent les pgsitions

Ri y = R °

R/= R?

Rk y

Les coordonn6es du m~me point M li6 h Sk ont de nouveau vari6

(MO/O = D(Rk x

On a donc

RkY/ Rk°). ( M~)IO

(MO/O = D(Rk x ' ~ RkY/Rk°). D(Rk °

= D(Rk ° ~. RkX/Rk°). D(Rk x

, RkX/Rk°). (M°)/O

RkY/ RkX). ( M°)/O

On remarquera

D(Rk ° , Rk"/Rk °) = D ( R ° - - - ~ R[ /R°) .

D ( R ° - ~ R [ / R °) appartient/t un complexe {L(i, j)} caract6risant la liaison Le(i, j) par rapport h R;; D(RkX~RkY/RkX) = D(RkX-~RkY/R[) appartient h u n complexe {L(j, k)} caract6risant la liaison Le(j, k) dans le rep6re R i. La liaison compos6e sera doric repr6sent6e par le complexe {L(i, k)} = {L(i , j)}. {L(j, k)} pourvu que tous les diplacements relatifs soient repr6sent6s dans des rep6res susceptibles d'etre confondus pour une configuration donn6e des trois corps, compatible avec les liaisons de composition. D6sormais, on travaillera toujours en v6rifiant cette hypoth6se.

3.2.3.2 Reprdsentation rdgulidre d 'une liaison composde. Le degr6 de libert6 de la liaison compos6e sera obtenu ~t l'aide de ia formulet: dim{L(i,k)}=dim{L(i,j)}+ dim {L(j, k)}- dim {L('i, j)} N{L(j, k)}. Lorsqu'on aura: {L(i, j)} Iq {L(j, k)} = {E} les deux liaisons .T(i , j ) et Le(j, k) seront dites ind6pendantes. L'expression {L( i , j ) } . {L( j , k )} repr6sente la liaison compos6e sans qu'interviennent des param6tres surabondants. Cette repr6sentation sera dfte r6guli6re. En g6n6ral rexpression {L(i, j)}. {L(j, k)} n'est pas r6guli6re mais il est possible de trouver une repr6sentation r6guli6re de la liaison compos6e. On aura alor~: {L(i, j)} N{L(j, k)} = {/U)} # {E}, rexistence de {/~j)} n'6tant pas sp6cifique d'une connguration particuli6re du syst6me m6canique considir6.:~ On consid6re les groupes (sous~ groupes du groupe {D}) "{G(i, j}, {G(j, k)} et {H(j)} de dimensions g, g' et h, engendr6s par ies complexes {L(i, j)}, {L(j, k)} et {l(j)}. On aura {G(i , j )} N {G(j, k)} = {H(j)}. Si les dimensions des complexes {L(i, j)} et {L(j, k)} sont g-e et g'-e' (0 <~ e < g, 0 <~ e' < g'), alors la dimension du complexe {l(j)} sera h-e-e ' (h > e + e'). La dimension de la liaison composie sera donc

(g-e) + (g'-e') - (h-e-e ') = g + g' - h.

Mira {L(i, j)} signifie: dimension du complexe {L(i, ./)}. :~On est alors n6ccssairement dans le premier cas d'intersection (Section 3.2.2.2).

444

D'autre part, un groupe admettant un sous-groupe peut toujours &re obtenu sous la forme du produit du sous-groupe et d'un complexe ind6pendant du pr6c6dent. On pourra donc toujours 6crire

{G(i, j)} = {K (i, j)}. {H(j)}

{G(j, k)} = {H(j)}. {K(j, k)}.

{K(i, j)} et {K(j, k)} sont deux complexes de dimensions g-h et g'-h respectivement de {G(i. j)} et de {G(j, k)}. La liaison compos6e sera repr~sent6e par une partie det

{G(L j)}" {G(j, k)} = {K(L j ) } - {H ( / ) } • {H ( / ) } - {K(j, k)}

= {K(i, j ) } - {H ( j ) } • {K(j, k)}.

Mais, puisque {K(i, j)}. {H(j)} • {K(j, k)} a pour dimension

g + g ' - h = (g-h)+ h + (g'-h)

= dim {K(i, j)} + dim {H(j)} + dim {K(j, k )}

la liaison compos~e est repr6sent6e exactemend; et de faqon r6guli~re par {K(i, j)}. {H(j)} • {K(j, k)}.

Si ie corps Sk est assujetti ~ rester immobile par rapport ~ Si, on peut consid~rer que Si et Sk ne constituent plus qu'un seul et m~me corps rig±de (S~ + Sk). Le corps interm~diaire S i poss~de alors des possibilit~s g6om6triques de mouvement r6gies par {L(i,./)} fq {L(k, j)} par rapport Ri o = Rk °. Puisque l'on a: {G(j, k)} = {G(k, j)} = {G(j, k)} -~ cette derni~re intersection est encore un complexe de dimension h-e-e' de {H(j)}. Ces possibilit~s g6om6triques de mouvement sont passives dans ia liaison ~(i, k) (Tableau 3).

Tableau 3. Liaison compos6e repr6sen t6e par {G(L ] ) } . {G(L j ) } I o r squ 'on a: {G(i, j ) } A{G(j, k)} = {H( j ) } ; {H( j ) } C {G(i,/)}, {H( j ) } c {G(/, k)}

{G(i, j)}. {G(j, k)} {H(j)} Representation r~guli~re {TP}" (rp,} {To} D = e A P' {T} {Tp}. {Gp,} {To} D = P n P' {X,/ ,.LP' {C~}.{G,,} {To} D=P riP' {R./.{T}.{R..} u.LP, u'±P' W,,,}.{Tp} ,ZP {To} D//P, D.L, {X,} {V,,p}.{Gt,} vXP {To} D/~P, D . L v {X,}.{R.}u.LP {Y,.p}.{Y¢,~,} v~v' {To} Dlv, D.Lv' {R.}.{T}.{R.,} u/~v, u'/~v' {Y,.J. {c.} ,.Lv {T.} {Y,.J. {R.} {c.}. {c.,} ,//u' {T.} {C.}-{R.,} {r,}. {CJ u : P {7".} {rp}. {R.} { r l . {C.} {r.} {x,} v :u ' {O,,} • {c.J u : P {r.} {a,,}. {R.} {X,}-{C.} -; : , , {r,} (X,}-{RJ {Y,,p} • (C,,} u/~v {H..,,} (X,} {s,,}. {c.} u.LV {R.} {X,} v.LP {So}" {C.} 0 (E axe u {R.} {So}' { T.} {So}" {ap} {R~} 0 E axe u,u.LP {So}. {Te} {So}" {X,} {R.} 0 E axe u,u:v {D} {So}' {So,} {R,} 00' {So}" {R.}. {R.,} 0' E axe u

u = ~ 0' (E axe u' {Y,.j-{Y,,,,.} v / , , ~ {T,,} P.Lv {X,} {Y...}. {X¢} v~v' {T,} PLy {X.}. {R..}u'//v' {Gp} '{Y...} vºLP {T,} {X.} {Gp}.{X,,}v,~ep {Tp} {R.} . {T } . {R.,} u.LP, u'/~v {Gp}. {r} {T~} {x,t v.LP { Y,.p}. {T} { rp} {X,} {x,}. {x,.} v~v { r / {R.}. {r}. {R..} u//v, u'::,'

tTout gr0upe {H(j)} v~rifie: {H(j)} 2 = {H(j)}. ton n¢ tient pas compte du probl~rne des frontioes du domain¢ de variation des paramEtres.

446

4. Classiflcstion des M#canismes 4.1 Introduction

La recherche d'une m6thode de d6termination syst6matique du degr~ de libert~ d'un m6canisme conduit h une classification en troisfamilies principaies des chaines cin6matiques selon les conditions de rinterpr~tation: les chaines cin~matiques banales, les chaines cin6matiques exceptionelles et les chaines cin~matiques paradoxales.

4.2 Les cha?nes cinimatiques banales 4.2.1 D~linition. On appellera chaines cin6matiques banales, celles qui peuvent 6tre associ6es

un sous-groupe donn6 {G} du groupe {D}/~ l'instar des cas classiques des m6canismes plans (associ6s /L {Gp}), des m6canismes sph~riques (associ6s A {So}) et des m6canismes spatiaux (associ~s/i {D}).

4.2.2 Formule de mobilitd. Avec cette hypoth6se, le degr6 de libert6 du m6canisme, F, peut 6tre calcul~ par un compte simple de param6tres et de conditions, c'est h dire par une formule de Tchebychev g6n6ralis6e. On suppose que tousles couples cin6matiques sont associ6s ~ des. complexes {L(i, j)} inclus (au sens large) dans un certain sous-groupe donn6 {G} de dimension d du groupe {D}. On en d6duit que toute liaison entre tout couple de corps est aussi associ6e A un complexe {L(k, p)} indus dans {G} en it6rant autant de fois que Cela est n6cessaire les operations de composition ou d'intersection des liaisons. Ceci signifie que chaque corps ne d6pend en fair que de d param6tres. On a doric besoin de connaitre la valeur de d. (n- I)param~tres pour d6terminer la position de n - I corps rigides par rapport ~ un corps de r6f~rence. Ces d. (n - I) param~tres v6rifient d- fi relations scalaires chaque fois qu,il existe un couple cin6matique dc degr6 de libert6/~. Le hombre F de param6tres restant ind~termin6s sera donc

F = d. (n - l)- ~i (d -fi).

On ne doit se tier ~ cette formule qu'avec prudence. En effet, il faut d'abord observer qu'eile ne s'applique que s i ron a bien identifi6 le s0us-groupe {G} de dimension d, non pas un sous-groupe {H} de {G} de dimension e (e < d). D'autre part, F peut prendre des valeurs qui ne sont pas le degr6 de libert6 de liaisons entre couples de corps: on peut trouver F tr6s sup6rieur /~ d. En r6sum6, maigr6 son int6r6t pratique ~vident, cette formule est trop g6n6rale aussi bien dans l'hypoth6se de son 6tablissement que dans les conclusions que l'on peut en tirer.

4.2.3 G~n~rateurs m~caniques des sous-groupes du groupe {D}. Si dans une chalne cin6ma- tique, deux corps rigides sont unis par une liaison associ6e/~ un sous-groupe {G} du groupe {D}, on dira que i'on a r6alis6 un g6n6rateur m6canique du sous-groupe {G}. On consid6re le cas particulier de n corps S~, $2 . . . . . Sn tels que Si et $2 . . . . . Si et Si+s . . . . . Sn-m et $, forment les seuls couples cin~matiques du m6canisme. On parlera alors de chaine cin6matique simple ouverte. On se propose d'6tudier la liaison .if(l, n) de S, par rapport/~ S~, lorsqu'on admet clue tout couple cin6matique est associ6/l un complexe d'un sous-groupe donn6 {G}

{L(j,j+I)}C_{G} j (E {1,2 . . . . . n - l }

dim {L(],j+ I)}= h dim{G}= d.

On sait que ron aura

{L(l, i)} = {L(1, 2)}. {L(2, 3)}.. . { L ( i - 1, i)}

On en d6duit

{L(l, i)} C {G}.

Si {L(I, i)} a pour dimension d, c'est un voisinage connexe de E inclus (au sens large) dans {G} et de m~me dimension d . {L(I, i)} et {G} ne .peuvent alors diff6rer que par les fronti6res du domaine de variation des param6tres dont d6pend (G}. Par extension du langage, on dira que

446

{L(1, i)} est 6gal ~ {G} et le mecanisme unissant S,. ~ S~ sera un g~n6rateur m6canique de {G}. Si l'expression {L(1, 2)}. . . {L(i - 1, i)} est r6guli6re, ie g6n6rateur m6canique de {G} sera aussi dit r6gulier. On aura

j=i

d=Z/, j = l

I1 est utile de remarquer que, si l'on a: {L(I, i)} = {G} et si l'on a: {L(i, n)} _C {G}, aiors on aura n6cessairement

{L(1, i)) n{L(i,n)}={L(i,n)} et{L(l,n)}={G}.

On peut obtenir ainsi autant de g6n6rateurs non r6guliers de {G} que l'on veut. 4 .2 .40btent ion de syst~mes m~caniques r~guliers. Si la liaison L~(1, i) correspond h u n

syst~me m6canique r6gulier, on doit v6rifier que toute liaison interm6diaire ~(k, l) (1 ~< k < l ~< i) correspond aussi h u n syst~me r6gulier. En effet, avec l'hypoth~se contraire, on ne pourrait

i pas r6aliser: dim {L(1, i)} = Y. [i. Lorsqu'on choisit pour valeurs de k et l respectivement 1 et i,

I

on a le th~,or~me r6ciproque. Si I'on consid~re un syst~me m6canique non r6gulier, on pourra toujours y trouver au moins une s6quence m6canique interm6diaire non r6guli~re. Soit Le(k, I) la liaison correspondant h une telle s6quence. On aura, par exemple

{L(k, I - 1)} f~ {L(l- 1, I)} = {i} ¢ {E}.

Les sous-groupes engendr6s par les complexes {L(k, l -1)} , {L(l-1, l)} et {I} seront not6s respectivement {Gi}, {G2} et {H}. On aura alors {Gi} A{G2}={H}, {G~} C_ {G}, {G2} C_ {G}, {H} C_ {G}. I1 existe trois genres de circonstances r6alisant une telle 6galit6

(1 °) {G,} = {G}, {H} = {62};

(2 °) {G,) C {G}, {G2} C {G,}, {H} = {Gz};

(3 °) {H} C {G,} et {H} C {G2};

ceci implique

{GI} C {G} et {G2} C {G}.

Le premier cas correspond aux m6canismes qui sont associ6s au seul sous-groupe {G}. Le deuxi/',me est analogue au pr6c6dent, mais il faut associer h la partie consid6r6e du m6canisme le sous-groupe {G1}. Le troisi~me cas ne correspond pas h une chaine banale.

4.2.5 Chafne cin~matique en cycle simple fermi. On suppose maintenant que l'on a: {L(1, n)}= {G} et que {L(I, i)} et {L(i, n)} repr6sentent deux syst~mes m6caniques r6guliers. On aura

i n

Z f i n d etZfj<~d. j=l I=1

La ioi de composition permet d'6crire

, dim{L(1, n)} = dim{L(1, i)}+ dim{L(/, n )} -d im{L( l , i)} n {L(i, n)} i n

j=l I=t

F est le degr6 de libert6 du corps Si par rapport au corps St lorsqu'on unit rigidement St h S,. L a cha~ne obtenue est alors une chalne simple ferm6e dont le degr~ de libert~ est donn6 par la

formule: F = Y, f / - d qui est un cas particulier de ia formule g~n~rale de mobilit6 des chaines i = i

cin~matiques banales.

447

4.3 Les chafnes cin~matiques exceptionnelles 4.3.1 D~nition. On appellera chaine cin6matique exceptionnelle, tout m6eanisme qui n'est

pas associ6 hun seul sous-groupe du groupe {D} et fait ainsi exception h toute formule g6n6rale de mobilit6 et dont ia d6formabilit6 s'interpr~te dans le cadre des deux premiers cas d'intersection des liaisons (Section 3.2.2.2).

4.3.2 Chafnes cin~matiques [ondamentales. On consid6rera d'abord les m6canismes en chalne simple ouverte. On repr6sentera la liaison LP(1;n) par un produit de complexes {L(I, 2)}. {L(2, 3)}-. • {L(n - 1, n)} chacun des complexes {L(i, i + 1)} 6tant directement associ6

un couple cin6matique. On recherchera ensuite une repr6sentation r6guli~re de L¢(1, n) en travaillant d'abord sur {L(I, 2)}. {L(2, 3)} puis sur {L(1, 3)}. {L(3, 4)} . . . . La diff~rence

n - I

m = ~ dim{L(/, i+ 1)}-dim{L(l, n)} i = 1

sera le degr6 de libert6 global des possibilit6s g6om6triques de mouvement qui sont passives dans la liaison Le(1, n). Si ron assemble rigidement $1 et S, on obtient une chaine simple ferm6e dont le degr6 de libert6 sera, en g6n6ral, 6gal ~ m.

4.3.3 Chafnes cin~matiques d~riv~es. Dans une chaine simple ferm6e, on peut obtenir une d6formabilit6 sp6cifique de la position de S, par rapport h $1 lors de leur assemblage rigide. On envisage ici le cas oil la d6formabilit6 d6rive des cas pr6c6dents ce qui signitie que le m6canisme peut ~tre 6tudi6 comme au paragraphe 4.3.2 lorsqu'on donne ~t certains param6tres des valeurs particuli~res constantes. Pour obtenir ce genre de m6canismes, une m6thode consistera ~ substituer dans un m6canisme du type pr6c6dent, h une liaison associ6e ~ un complexe {M}, une liaison associ6e ~ un complexe {L} de telle faqon que l'on ait: {M} C {L}, et que les degr6s de libert6 suppl6mentaires ainsi introduits conservent une valeur constante. Sachant que {L} peut toujours 6tre repr6sent6 sous la forme d'un produit: {L} = {K}. {M}, on devra v~dfier: {K} tq{Gi} = {E} oil {G~} repr~sente un des groupes intervenant dans la recherche de la d6formabilit6 du m6canisme selon la m~thode pr6c6dente (4.3.2). I1 faut aussi s'assurer que ron obtient ainsi une cha[ne cin6matique qui n'appartient pas ~ la famille pr6c6dente des cha~nes cin6matiques fondamentales.

4.3.4 Exemples 4.3.4.1 Premier exemple. Le m6canisme sch6matis6 par la Fig. 1 comprend 6 corps rigides

num~rot6s de i h 6. Un.syst~me de rep~res 6tant choisi selon les m6thodes expos6es au paragraphe 3, la vis L¢(1, 2) est repr~sent6e par le sous-groupe {Ho,p}, la vis L¢(2, 3) par {H,,q} (qg p), la vis Ze(3, 4) par {H,,.¢} le couple rotoide Le(4, 5) par {R,,}, le couple rotoide .Le(5, 6)

I° I°'

3 - i .

i J

2

I' I 4

• " 6

I Figure 1.

Figure 2.

par {R~} et la vis Le(6, 1) par {Hr,t}" On a: u//u ' / /r /~s. La liaison ~(1, 3) via 2 qui est repr(~sent6e par {H.,p} • {H.,q}, est un g6n6rateur r6gulier du

sous-groupe {C.}. On v6rifie en effet:

(n . , ,} c {C J , (H.,,} c (c.}

(H.,,} n (n.,~} = {E} (q-, p)

dim {H.,,}. {H.,q} = 2 = dim {6'.}.

De la m~me faqon, s'aperqoit que la liaison &e(3,5) via 4 est un g6n6rateur r6gulier du sous-groupe {6'.,}. La liaison Le(1, 5) via 3 qui est obtenue par la composition des deux liaisons d6pendames Le0, 3) via 2 et Le(3, 5) via 4, est repr6sent(~e par {C.}. {C.,} (u'/~u) dont une repr6sentation r6guli6re est {C.}. {R.,} (Tableau 3). Queile que soit la position relative donn6e des corps Ie t 5, le corps 3 peut subir des translations rectilignes parall61ement ~ a, repr6sent6es par {T.}, par rapport ~ l'ensemble suppos(~ rigide (1 +5). Ces possibilit6s g6om(~triques de mouvement du corps 3 ne jouent aucun r61e dans la liaison Le(1, 5) via 3. La liaison Le(l, 6) via 3 est repr~sent~e r~guli~rement par {C,}. {R.,}. {R.} qui est ~gal ~ {X,}, le vecteur libre v 6tant parafl~le au vecteur glissant u. On a: {Hr.t} C {X,}; la liaison .~(1, 1) via 3 est repr6sent6e encore par {X,} et on obtient une d6formabilit6 de degr6 de libert6 I propre h une cha;ne banale associ6e au sous-groupe {X,} pour les corps 5, 6, 1 qui ne sont pas concern6s par les possibilit6s passives de mouvement du corps 3.

4.3.4.2 Deuxi~me exemple. Le m6canisme de la Fig. 2 comprend 3 corps rigides r6unis en cha[ne simple ferm6e par trois couples prismatiques repr6sent6s par {To}, {To,} et {To~}. On a choisi les directions de droite D, D', D" parali/~iles h un m6me plan P. On obtient ainsi une cha~ne banale associ6e au sous-groupe {Tp}, de degr6 de libert6 l, Le m6canisme de la Fig. 3 est

448

u" J 7

u'

Figure 3.

449

diriv6 du pr6c6dent par substitution de couples verrous repr6sent6s par {C.}, {C.,} et {C.°} aux couples prismatiques. On impose

u//D. u ' / /D' , u"//D".

Les possibilit6s de mouvements relatifs des corps 1, 2 et 3 restent les m6mes. En effet, on peut 6crire

{ c . } : {R.}. {7"o}

{C.,} = {R.,}. {TD,}

{q,,} = {R.,,}. {T=,}

et {R.} n {T,,} = {E}

et {Ro,} n {7",,} = {E}

et {Ro,} n iT,,} = {E}.

Le syst6me obtenu n'est pas non plus une chaine cin6matique fondamentale; si l'on intro- duisait un degr6 de libert6 suppl6mentaire, ce ne serait plus vrai: on aurait une cha~ne banale spatiale.

4.4 Les cha[nes cin~matiques paradoxales 4.4.1 D~llnition. On appellera cha~'ne cin6matique paradoxale celles qui r6sistent aux

analyses pr6c6dentes. Ce genre de m6canisme existe et on peut en cr6er ~ volont6 en ajoutant dans tout m6canisme non paradoxal des liaisons redondantes. La liaison redondante peut, par exemple, ~tre obtenue en assurant le contact mat6riel d'un corps avec son enveioppe par rapport ~ un autre corps. Les cas les plus remarquables sont ceux ofl il y a double g~n6ration (parfois multiple g6n6ration) d'un m~me complexe du groupe {D} par deux (parfois plusieurs) m6canismes de m~me structure et de dimensions g6om6triques distinctes.

4.4.2 Premier exemple. Le th6or~me de Roberts [8] stipule qu'il y a triple g~n~ration de la courbe de la bielle d'un quadrilat6re articul6. Ainsi, le complexe du sous-groupe {Gp} obtenu en articulant un corps sur un point de la bielle d'un quadrilat6re articul6 peut &re obtenu de la m~me fagon h partir de deux autres quadrilat~res articul6s.

4.4.3 Deuxibme exemple. Le m6canisme de Bennett[9] qui comprend 4 membres rigides unis par 4 couples roto'~des admet pour chacune de ses configurations un axe de sym6trie. Si l'on ajoute ~t ce m6canisme, deux corps rigides articuMs sur celui-ci selon deux axes confondus avec deux axes sym6triques du m6canisme de Bennett, ces deux corps seront unis par une liaison associ6e ~t un complexe de dimension 3 du groupe {D} dont on conna~tra deux r6alisations m6caniques distinctes, chacune 6tant constitu6e par la mise en s6rie de trois couples roto'{des.

Remerciement--Je remercie tr6s vivement Monsieur le Professeur R. Siestrunck qui a dirig6 rues travaux et les a ainsi enrichis par ses conseils 6minents.

R6f6rences I. R. Bricard, Lefons de Cin~matique. Gauthier-Villars, Paris (1927). 2. G. Koenigs, Introduction ~ une Nouvelle Th~orie des M~canismes. Gauthier-Villars, Paris (1905). 3. R. Voinea et M. Atanasiu, Th6orie g~om6trique des vis et quelques applications ~ la th6orie des m6canismes. Revue de

M~canique Appliqu~e, 7, 845 (1962). 4. K. H. Hunt, Screw axes and mobility in spatial mechanisms via the linear complex. J. Mechanisms 2, 3 (1967). 5. R. Siestrunck, Applications r6centes de la tli~orie des graphes ~ I'analyse ct ~ la conception des m~canismes. Revue

Fran¢aise de M~canique, No. 45, pp. 5-12 (1973). 6. N. Manolescu et Manafu, Sur la d6termination du degr~ de mobilit6 des m~canismes. Buletinul lnstitutului Politehnic

Bucuresti, Tome XXV, fascicule 5, pp. 45-63 (1963). 7. Dobrjansky and F. Freudenstein, Some applications of graph theory to the structural analysis of mechanisms. J. Engng

Ind., Trans. A.S.M.E., pp. 153-158 (1967). 8. S. Roberts, On three-bar motion in plane space. Proc. London Math. Soc. 7, 14 (1875). 9. G. T. Bennet, A new mechanism. Engineering, 777 (1903).

IO. C. Pelecudi, Teorie mecanismclor spatiale. Ed. Acad. Rep. Soc. Rom. Bucuresti (1972). I I. O. Bottema and F. Freudenstein, Kinematics and the theory of mechanisms. Appl. Mech. Rev., 19, 287 (1966).

Abstract - The problem of a systematic and rational determination of the number of degrees of free-

dom of motion for mechanisms which are constituted only of rigid bodies is presented by a new method

which represents any set of rigid body Dositions by a nonempty subset (complex) of the set (group)

of displacements. The study of the algebraic structure of the group for the set of displacements

450 ¸

fD} serves to define mechanical connections and leads to the main properties of these• Two kinds

of operations between mechanical connections, the intersection and the composition, allow characteri-

zation of any connection between any pair of rigid bodies of any given mechanism from the complexes

which can be directly associated with the kinematic pairs. One can distinguish three main families

of mechanisms according to the method of interpretation. The first family, the banal kinematic chains,

obeys a mobility criterion which is a generalization of the Chebychev formula: F = d. (n - I) - Z i

f~) where F is the number of the degrees of freedom of the mechanism, n the number of (d rigid bodies,

fi the number of the degrees of freedom of the kinematic pair number i, and d is the dimension of ,i

subgroup of [D} which can be associated with a mechanism of this kind. The exceptional kinematic chains

(second family) disobey such a formula because they are not associated with only one subgroup of IDa,

but the deformability is easily deduced from the general laws of intersection and composition. Only

kinematic chains with redundant connections are said %0 be paradoxical (third family).

This methodpermits one to find exhaustively, in a deductive way, all mechanisms of the first two

families which are the more important for technical applications.