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ANNEXE
TENSEUR : NOTIONS RÉSUMÉES
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271
L’avènement de la notion de tenseur La prodigieuse histoire de la Physique, au cours des siècles, est une succession de concepts en correspondance étroite avec l’observation des lois de la Nature. Par exemple, mécanique, chaleur, lumière, ont été les trois premiers concepts en tant que traduction sensible de notre environnement. La Physique est née, ainsi, de conceptualisations, c’est-à-dire la mise en forme, la systématisation d’actes de pensée aboutissant à une représentation générale et abstraite du phénomène étudié. C’est ainsi que, mouvements, déplacements, masses, forces et énergies ont constitué les premiers éléments du terme mécanique, concept concret et que chacun de nous saisit aisément. Le concept abstrait apparaît lorsque le besoin de généralisation se fait sentir : la mathématique représentative devient alors indispensable car elle va permettre l’énoncé de lois précises que l’observation sensible et sa description littéraire ne permettraient nullement. Dans le mot tenseur, il y a tension qui signifie « force qui agit de manière à écarter, à séparer les éléments, les parties constitutives d’un corps » (le grand Robert). La tension est ainsi un potentiel terme général dune grande partie de la physique et qui s’applique autant à la chaleur (son potentiel est une température) qu’à l’électricité (son « voltage » est une « disponibilité » d’action électrique par le passage du courant électrique (« ampérage ») dans un conducteur. C’est au physicien Woldemar Voigt que l’on doit la naissance du concept abstrait tenseur qu’il appliqua, sur le plan mécanique, à la physique des cristaux (cristallographie), à laquelle s’intéressa Pierre Curie, à la fin du dix-neuvième siècle avant qu’il s’allia à la Polonaise Maria Slodovska (qui devint dès lors Marie Curie). Celui-ci a contribué à la cristallographie (effet piézoélectrique). Voigt a eu le mérite d’identifier les identités constituant les groupes de forces mécaniques qui agissent sur les cristaux en provoquant de faibles déformations. Ce n’est que plus tard, avec l’élaboration de la théorie de la relativité générale qu’Albert Einstein donna ses lettres de noblesse à la théorie mathématique que Voigt avait « mise en route ». La difficulté pédagogique du calcul mathématique tensoriel réside dans les indices « directeurs » qui entoure le symbole censé représenter un tenseur. Les travaux de la relativité générale ont montré que le calcul tensoriel s’applique essentiellement à la géométrie de Riemann, ce qui constitua une difficulté supplémentaire. Si j’évoque ce dernier détail, c’est que la Physique Noétique, en tant que représentation abstraite de la Fusion Espace←temps, « évolue » également dans les « milieux » riemanniens (il devient difficile, conceptuellement, d’utiliser dès lors le terme géométrie, inapproprié à un « domaine » subtil, donc hors dimension physique.
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Scalaire, vecteur, tenseur Le scalaire est un nombre pur représentant la valeur absolue de la grandeur qu’il représente. Le scalaire est un invariant au sens que sa grandeur n’est pas changée lorsque l’on procède à des changements d’axes de coordonnées. Il est « insensible » au référentiel dans lequel il opère. Le scalaire est, ainsi, un tenseur d’ordre zéro. Le vecteur, au contraire, entraîne la notion d’orientation, de direction. Il est donc directement lié au système de coordonnées dans lequel il est plongé. Dans l’espace-temps classique, un vecteur possède 3 composantes spatiales. Le concept abstrait de généralisation à un nombre r quelconques de directions devient ainsi possible dans un espace (abstrait) à r dimensions. Un vecteur est donc défini a priori par r composantes. Le vecteur (polaire ou axial) généralise son propre concept en géométrie d’Euclide mais, dans le cas axial, dissimule une grandeur plus compliquée que le vecteur classique à trois dimensions et qui ne lui est identique que dans des cas spécifiques. On dit qu’un vecteur est un tenseur d’ordre un. Cette expression trouve sa signification théorique dans l’exemple de la noétique des « fusions » subtiles de spin quantiques orientés de première espèce (que je désigne par 1n =& ). Pour généraliser le problème et ne plus invoquer nécessairement des « cas spécifiques » liés aux vecteurs, le terme tenseur (introduit par W. Voigt en cristallographie et ses aspects « élastiques » associés) permet de considérer des grandeurs nouvelles et plus complexes. En effet, les efforts (tensions) à l’intérieur d’un solide déformé (aussi faible soit la déformation), c’est un ensemble de 6r = (nombres) inséparables les uns des autres, se comportant comme 6 composantes d’une grandeur nouvelle que Voigt appela, à propos, tenseur. Le tenseur classique est ainsi une grandeur d’ordre deux, élégamment et remarquablement instruite par la fusion noétique du spin quantique 2n =& . Tenseur axial et produit vectoriel Les notions arithmétiques fondamentales somme et produit (dès lors différences et divisions) sont profondément modifiés dès l’instant que ces opérations élémentaires sont rattachées aux modifications de repères spatiaux évoqués. Dans tous les changements d’axes cartésiens, un vecteur polaire se transforme comme les coordonnées rattachées aux axes. Le vecteur axial est, ainsi, sensible au sens de rotation des axes. Tant que le sens n’est pas modifié, le vecteur axial demeure un vecteur, mais si l’on passe d’un système d’axes gauche→droite (ou l’inverse) le vecteur polaire situé dans l’un des deux systèmes, en subissant la modification mentionnée, il y a changement de signe. Celui-ci implique alors un produit vectoriel (symbole
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× par changement d’un produit algébrique (arithmétique) symbolisé par un point ou rien du tout : bb. aa = , mais bb aa ≠× ). Ce produit vectoriel est alors le type même d’un tenseur axial. Géométrie des vecteurs et définition des tenseurs. Covariance et contravariance Les explications précédentes constituent un minimum « vital » mais très insuffisants pour bien maîtriser tous les calculs. On peut, cependant, s’en passer si l’on n’étudie ni l’électricité, ni le magnétisme, ni la cristallographie ou la thermodynamique. C’est bien notre cas. Essayons alors d’aller « au plus pressé » en généralisant. L’espace vectoriel est associé à une (ou des) métrique(s) et vice versa. Un espace à r dimensions comporte donc r vecteurs de base indépendants décrits pas :
r21 e,...e,e avec la flèche qui désigne (selon la méthode ancienne) la notion de vecteur.
Les { }ke donnent les unités de mesure suivant les k axes de coordonnées.
Un vecteur quelconque x est ainsi décomposé suivant les différents axes ®
et ses composantes sont notées : 1x , 2x ,…, rx (attention : les nombres 1 ; 2 ; … ; r, ne sont pas des puissances au sens algébrique, et ne sont pas des vecteurs). En effet, la forme vectorielle définie s’écrit alors sous la forme :
∑=
=+++=r
1kk
kr
r2
21
1 ee...ee xxxxx (A1)
La position des indices répond alors à la convention suivante :
l’indice est en bas pour la désignation des vecteurs unités (ke ),
l’indice est en haut pour la désignation des coordonnées kx . Ces deux désignations introduisent selon, respectivement, la covariance et la contravariance. La sommation (A1) est addition vectorielle (non
algébrique). Par exemple, deux vecteurs a et b formant c selon :
cb =+a
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représente un système de r équations par :
kkk cb =+a (A2) Les règles de commutativité, d’associativité et distributivité s’appliquent
classiquement. Par exemple, si un scalaire ρ multiplie le vecteur a , pour retrouver b, on a :
b=ρa d’où :
kk b=ρa (k = 1 ; 2 ; … ; r) et la distribution se fera selon :
( )( )( ) ( )
σρ=σρ
ρ+ρ=+ρ
σ+ρ=σ+ρ
aa
aa
aa
,,
;bb
;b
distributivité associativité (A3)
Précisons, maintenant, le propos et utilisons les indices (i,j) (utilisés aujourd’hui). Soit un espace euclidien E rapporté à la base évoquée ci-
dessus : r21 e,...e,e par un vecteur de base je . Il vient :
( ) ( )jii
jii
j xxx e.eeee. =⋅=
que l’on contracte par :
iji
jj xxx ge. == (A4)
Le produit scalaire jx représente les composantes covariantes dans la
base ( ie ) du vecteur x que l’on écrit :
jj xx e.= (A5),
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dont la notation indicielle est inférieure. Cette composante est essentielle pour les tenseurs. Or, la relation (A4) révèle des composantes contravariantes par ix . Elles sont décrites par :
jixx e= (A6),
indices supérieurs. Il s’ensuit un résultat fondamental : dans une base orthonormée, on a :
jj xx e.=
(covariance) que l’on peut écrire :
( ) ( )jji
jji xx e.ee.e = .
En posant : jjij e.e=δ , il vient :
iji
j xx δ=
( ijδ étant un scalaire), que l’on écrit :
jj xx = (A7)
Dans une base orthonormée, les composantes covariantes et contravariantes sont identiques. Il n’en est plus de même lorsque la base orthogonale n’est pas orthonormée. Poursuivant les relations dans une base normée, on rappelle (A4) soit :
iijj xx g= (A8),
ijg étant un produit scalaire matriciel sur un espace vectoriel, dont le
déterminant
0gg ≠= ij (A9)
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La règle de Cramer relative à la matrice [ ]ijg permet de poser :
ijij xx g= (A10)
Puisque la commutativité jiij gg = , son déterminant ijg est symétrique,
d’où ijji gg = également.
Soit maintenant sur une base quelconque, le produit de deux composantes ii xx 21 , on déduit de ce qui précède le produit scalaire à composantes
contravariantes :
iiij
ii xxxx 2121 g= (A11)
Or, d’après (A8), on déduit les composantes covariantes par :
jij
j xxxx 212121 xx ==⋅ ,
on définit alors la norme :
ii xx 2121 xxx =⋅= (A12)
En substituant (A12) dans (A14), la norme s’écrit :
jiji xx 2121 gxx =⋅ (A13),
et avec 21 xx ⋅ :
iiji xx 21gx = (A14)
Matrice carrée de tenseurs à r dimensions covariantes Elle s’écrit :
277
=
rr2r1r
r22221
r11211
g...gg
............
............
............
g...gg
g...gg
gij
Il s’agit d’un tableau matriciel à r dimensions tensorielles. Contraction des indices appliquée aux tenseurs d’ordre r
Soit le produit tensoriel T de deux vecteurs ix et jy , donc de variances
opposées. Les composantes mixtes de T s’écrivent :
jii
j x yt = ,
t étant un scalaire ou tenseur d’ordre zéro : l’addition sur les indices de variance différente s’appelle opération de contraction des indices du tenseur T. Ici, cette contraction (ordre zéro) permet l’écriture de T sans indices (zéro indice). En généralisant à l’ordre r, un tenseur euclidien T de composantes
contravariantes r21 ...iiix , et en abaissant à la position covariante (par exemple) l’indice 1i , on écrit :
( ) ( )r21
11
r2
1tgt ...i
j...i
jii
ii = (A15),
puis en abaissant (par exemple) l’indice 2i , la contraction s’opère avec
l’indice 1j en posant : kji == 12 . Il vient alors :
( ) ( ) ( )r31
1
r3r43 tgt ...ik
...ik
...i kii
ik
iii ==τ (A16),
qui est un tenseur d’ordre ( 2r − ). Prenons l’exemple d’un ordre trois (indices i, j, k), soit :
278
jkijk vuw i=
En effectuant une contraction sur les indices i et j (par exemple) on écrit le tenseur :
jkk vut i= .
On a bien pour le tenseur t, l’ordre abaissé ( ) 1232r =−=− composante k. Le tenseur de base. Symétrie, antisymétrie et mixité tensorielles
L’expression (A5) avait fait apparaître le vecteur de base je . De même,
on peut écrire la composante ji xx e.= . On définit alors les composantes
covariantes ij
g comme produit des bases ji ee ⋅ par :
ji eeg ⋅=ij
(A17)
C’est le tenseur de base qui intervient perpétuellement dans l’expression du produit scalaire de deux vecteurs
ii xx 2121 gxx ij
=⋅ (A18)
Le caractère tensoriel des i
jg est le résultat d’un produit contracté des
quantités ij
g avec les composantes contravariantes ii xx r1 d’un tenseur
arbitraire. On forme de même, les quantités :
jiij eeg ⋅= .
On définit la symétrie tensorielle par :
ji
ij gg = (A19)
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La mixité tensorielle est notée par : ijg qui sont les composantes mixtes du
tenseur de base. La mixité d’un tenseur est exprimée en fonction de ses composantes contravariantes par :
jkiki
j ggg = (A20)
La mixité covariante-contravariante résulte d’une contraction 2r − avec, ici,
2r = . Pour terminer avec les définitions essentielles, l’antisymétrie
s’exprime pour deux composantes contravariantes ijx par :
jiij xx −= (A21) Distance de deux points en espace ponctuel pré-euclidien Soient deux points P et P′ d’un espace ponctuel pré-euclidien (ou
pseudo-euclidien) de coordonnées respectives ix et ix2 par rapport à un
repère (O, ie ). On définit une métrique par :
( )( )jjiiij xxxx 1212
2 gPP −=′ .
En notant selon la convention habituelle, la métrique par 2PP ′ (ici, c’est un terme au carré), on écrit la relation différentielle fondamentale (avec
iii xxx 12d −= et jjj xxx 12d −= ) :
jiij xx ddgds2 = (A22)
les deux points P et P′ étant infiniment proches l’un de l’autre. Lorsque
l’espace est euclidien pur (rigoureusement plat), on a : 1g =δ= ijij et on
retrouve la métrique classique :
ii xx ddd 2 =σ (A23)
280
Différentielle absolue des composantes du tenseur de base et théorème de Ricci Récrivons le tenseur de base (A17) :
ji eeg ⋅=ij
et différentions-le, il vient :
jkkiik
kj ggdg γ+γ=i
j (A24) ;
les composantes kjγ et kiγ étant celles fonctions des symboles de Christoffel,
soit :
kjij dtgg l
l
l
l k ij i Γ=γ=γ (A25)
Or :
Γ=Γ
Γ=Γ
iij
i
l
l
l
l
k j
k
k jkj
i g
g avec inversement : (A26)
L’expression (A24) s’écrit alors :
h2h
kjk
h2h
kik
h2h xxx d gd gdgdg jji
ji
jΓ+Γ=∂= (A27)
On en tire :
g gg hk
jkh
kikh iji
jΓ+Γ=∂ (A28)
La relation essentielle (A28) est constituée par les identités de Ricci. Ecrivons la différentielle absolue des composantes i
jg par :
jkk
ikkj ggdgDg ii
ji
jγ−γ−= (A29)
Or (A24) s’écrit :
281
jkkiik
kj ggdg γ+γ=i
j.
En remplaçant dans (A29) on constate : 0Dg =i
j (A30)
qui constitue le théorème de Ricci : la différentielle absolue des composantes du tenseur de base est nulle. La contraction des symboles de Christoffel Il est important d’établir la relation donnant les composantes covariantes de la dérivée covariante du tenseur i
jg (ordre deux) et de l’annuler selon le
théorème de Ricci. En écrivant la dérivée absolue du tenseur i
jg par i
jkg∇ selon le
gradient :
l
l
l
l
ij ji
ij
ij
k ggggkkk Γ−Γ−∂=∇ (A31)
et en l’annulant selon le théorème de Ricci, on effectue la contraction par ijg
selon l
l ijij δ=gg . Il vient alors en annulant :
0gg =δΓ−δΓ−∂ jjii
i
jl
lll
kkkij (A32)
soit :
0gg =Γ−δΓ−∂kkk
ij jji
ii
i
j
l (A33)
Les quantités kiiΓ et
k
jjΓ sont identiques par rapport aux indices muets i ou
j, si bien que (A33) devient :
ik
ij
Γ=∂ 2gg kij (A34)
Considérant que g est le déterminant de la matrice [ ]i
jg , sa dérivée
s’écrit :
282
ij
i
jgggg kk ∂=∂ (A35)
On déduit alors de (A34) et (A35) :
gg2
1kk ∂=Γi
i
d’où la relation fondamentale des symboles contractés de Christoffel :
gg
1kk ∂=Γi
i (A36)