APPLICATION D E S I~QUATIONS D'HAMILTON A L ' E L E C T R O N I Q U E

par

Jean ORTUSI *

Ancien 61~ve ,te l@,cole Polytechnique, Docteur ~s sciences

SOMM&IRE.- Dans cet article, l'auteur montre comment l'application des dquations d'Hamilton, relatives d l'dnergie interne d'une particule, conjointement avec la transformation de Fourier, relative au paqaet d'ondes assocides h cette particule, permettent, par des moyens mathdmatiques simples, de retrou,er qualitativement certains aspects de la mdcanique ondulatoire. Ces rdsaltats sont appliquds aux mouvements des dlectrons libres et des lacunes ti l'intdrie ur d'un semi-conducteur dopg en les assimilant ~t la zone de perturbation de l'dnergie du volume oft pgn~trent ces particutes. L'aateur analyse les insuffisances de ces principes, essentiellement en ce qui concerne l'absence d,

rdsultats quantitati[s, obtenus seulement par I'ernploi de la mdcanique statistique.

PLAX.. -- �9 I. Intro4u::tion. �9 -- I I . L e s dqua t ions d ' H a m i l t o n . - - l I . l . 1Equations d'Hamilton. 11.2. ThdorJme fondamental. - 11.3. l~nergie interne et potentielle. �9 111. A s p e c t c o r p u s c u l a i r e des par t i cu les l ibres e t des lacunes. 111.1. Mouvement des dlectrons libres et des lacunes dans les milieux cristallins semi-conducteurs. - - 111.2. Application des dquations d' Ilamilton it l'6chelle microscopique fine. - - 111.3. Application des dquations d ' l tamihon 5 l'~chelle microscopique moyenne. �9 IV . A s p e c t o n d u l a t o i r e des par t icu les i i b re s e t de s l a c u n e s . - I I'./. Ondes rdelles et ondesd ~,anescentes. - - I1 .2 . D@nition des paquets d'ondes. �9 V. Association des aspec t s ondulatoire e t c o r p u s e u l a i r e des particules. - - V.I. Cas des particules libres (ondes rdelles).

V.2. Cas des lacunes (ondes d~,anescentes). �9 VI. Relations d ' i n c e r t i t u d e - - VIA . Cas des particules libres. .... 1"1.2. Cas des lacunes. �9 Conclusion. �9 Annexe du paragraphe IV.2. �9 Bibliographic (11 rd[.).

I. INTRODUCTION.

I,a notion de force, incluse dans la loi de Newton

F = m'~, joue un rble impor tant en 61ectronique, on particulier dans l '6tude du mouvement des 61ec- trons dans le vide.

Toutefois, son int6r6t s'est t rouv6 restreint, dans |es conceptions modernes de l'61ectronique, par deux sortes de consid6ration :

a) en hyper[r~quences, l ' interpr6tation m6cani- que de ta force n'a pas d'applications fi l 'exception du ph~nom~ne limit6 de la pression de radiation ; la notion de champ 61ectrique et magn6tique ne d6coule pas directement de la notion de force mais de la n6cessit6 d' introduire le double aspect de l'6nergie 61ectromagn6tique impos6 par les h)is de la Thermo- dynamique. En effet, l'6nergie d'un syst~me quel- conque dolt ~tre pr6sente sous deux formes dilt6- rentes, poss6dant un caract6re vectoriel et 6chan- geable lots des transformations 6volutives de l'6ner- gie ;

b) aux [r~quences moyennes, le d6veloppement consid6rable de la th6orie optique des r6seaux 61ec- triques (scattering theory) a ~t6 obtenu en estom- pant la notion de tension et de courant (dans les circuits -~ tubes et transistors) et, parall~lement de champ 61ectrique et magn6tique (dans les lignes et les guides). L'analyse des circuits, dans cette th6orie, est men6e en fonction du calcul de la puissance et de I'6nergie en chaque endroit du r6seau, que celui-ci soit d 'extension finie ou non. Les modules des ondes incidentes et transmises dans chaque dip61e du cir- cuit, par une normalisation conservant l 'unit6 de

puissance, mesurent, en effet, directement la puis- sance tandis que les arguments de ces ondes mesu- rent la phase et le temps de transit .

Le sens physique profond, en 61ectronique comme dans les autres sciences, r6side ainsi dans la notion d'l~nergie que, selon les conceptions ac- tuelles, l 'on ne peut dissocier de la notion de mati~re dont elle repr6sente le caract~re transformable. Dans ces conditions, il est de plus en plus opportun, au lieu d'utiliser la loi de Newton liant la force au mouvement , d 'employer les 6quations d 'HamiI ton transcrivant directement le caract~re 6volutif de l'6nergie lots de ce mouvement .

Dans une 6tude ant6rieure It, p. 94 h I08] les 6quations d 'Hamil ton ont 6t6 appliqu6es h l'6nergie 61ectromagn6tique d 'une onde incoh6rente se propa- geant dans un guide d'onde.

On a montr6 que cette onde est 6quivalente h u n fiuide incompressible (caract6ris6 par une masse, au repos ou h vitesse uniforme, ind6pendante du temps) dont la vitesse est la vitesse de groupe de l 'onde et dont l'6nergie interne est 6gale h l'6nergie 61ectromagn6tique de l 'onde.

Ce fluide peut 6tre d6compos6 en un tr~s grand nombre de particules 616mentaires de mgme vitesse et de m~me ~nergie, dont les d imens ions ddpendent du degrd de cohdrence de l'onde guidde. Ces particules ont une probabilit6 de pr6sence uniforme h l'int6- rieur de la section droite du guide et nulle fi l 'ext6- rieur ; la discontinuit6 ainsi pr6sent6e dans Iv r6so- lution de l '6quation de Shroedinger, r6gissant cette probabilit6, permet de re t rouver les modes habituels des guides d'apr~s la forme de la section droite [1 p. 107 et, (en propagation terrestre). 2 p. 359].

(*) Ing6nieur en chef h la Compagnie G6n6rale de T616graphie sans fil {C. S. F.).

- - 235 - -

2/ i0

Les ondes incohdrentes rdelles (de fr6quenee moyenne sup6rieure h la fr6quence de coupure du mode) sent assimil6es h des particules libres.

Les ondes incohdrentes ~,anescentes (de fr6quence moyenne inf6rieure h la fr6quence de eoupure du mode) sent assimil6es h des particules compl6men- taires dites lacunes. L'6nergie cin6tique de celles-ci est n6gative et oppos6e h l'6nergie cin6tique de la particule libre eompl6mentaire (voir formule t0 bis).

La vitesse de circulation de la lacune est 6gale h la vitesse d'6tablissement de l'6nergie de l 'onde 6vanescente ]e long du guide (*).

Dans cet article, apr~s un bref rappel des condi- tions d 'application des 6quations d 'Hamilton, on utiIisera essentiellement ces 6quations h l '6tude des ondes associ6es au mouvement des glectrons et des lacunes qui se d6placent dans les milieux cristallins.

II. L E S ~ . Q U A T I O N S D ' H A M I L T O N .

Cos 6quations lient entre elles trois grandeurs : - - la densit6 d'6nergie E autour d 'un point M de

l'espace ;

- - l e vecteur r repr6sentant le point M. dans l'espace des posi t ions;

- - le vecteur p repr6sentant le point P, extr6mit6

du vecteur OP = p, dans l 'espace des vitesse (~g. 1).

J . O B T U S i [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

du temps ; elle ne d~pend que de ~,2 ou de p~ (fonc- tion paire de la vitesse). On peut 6crire :

(2) rn ~ m(p ~)

off la notat ion p repr6sente IPt"

I I . l . l~quations d ' H a l n i l t o n .

On posera :

E = E(M, P ) = E (r, p).

Dans le cas g6n6ral (milieux ni isotropes ni incompressibles), les 6quations d 'Hamil ton s'6cri- vent ainsi :

V, E = - - , p = [m] v, I

(3) ( avec ~ ~ dr dr v = - - "

Vv E ~ d~' dt

Les op6rateurs V~ et Vv 6rant pris dans les espaces correspondants (p = cst pour V~ et r = cst pour V~).

II.2. Thfior6me fondamental .

[l '" S enonce ainsi : (( La densit6 d'6nergie en tout point de l 'Univers

est un invariant par rapport au temps.

X

hi y Z 9

y

. ace des positions

FIG. t. - - Espaees d'applieation

Le vecteur p e s t le vecteur quanti t6 de mouve-

ment. I1 est li6 au vecteur vitesse v par la relation matricielle :

(i) p = [,.]

[m] et v sent la masse et le vecteur vitesse d 'un pet i t volume V entourant le point M.

Dans les milieux isotropes, la matrice [m] se r6duit h un scalaire m (v, t) off la notat ion v repr6-

sente t l" Darts les milieux incompressibles, par d6finition

de ceux-ci, la masse m ne d6pend pas explici tement

[*) On salt que l'6nergie d'une onde 6vanescente ne se propage pas, la phase restant constante. Elle s'Otablit le long du circuit avec une constante de temps donn6e.

iPz

p Px Py Pz

Py

Espace des vitesses Pn

des 6quations d'Hamilton.

En multipliant, en effet, la premi6re 6quation

de (3) par dr et la deuxi6me 6quation par dp, on obtient :

d E = Vr E.dr + V~ E . d p = O.

Ce th6or6me a une importance capitale dans la notion physique de l'6nergie.

On peut, en effet, concevoir rUnivers , y compris ce que nous appelons le vide naturel lement, comme un immense r&ervoir d'6nergie. Ce r6servoir est form6 par un ensemble de volumes 616mentaires off l'6nergie totale reste constante mais peut subir des transformations internes.

En certains endroits, cette 6nergie se transforme en celle d 'un champ nucl6aire caract6risant la pr6sence d 'une particule mat6rielle (nucleon).

236

t . 21, n ~ 11-12, 1966]

En d'autres endroits, elle se transforme en celle d 'un champ 61ectrostatique caract6risant la pr6- sence d 'un Jlectron ou (lorsqu'elle est retranch6 de l'6nergie du champ nucl6aire) la pr6sence d 'un proton ou d 'un ion.

Le mouvement d'une particule charg6e t ransfcrme une partie de l'6nergie 61ectrostatique en une 6nergie magn6tique d'origine relativiste, d6finie par le champ magn6tique. La propagation de cette ~nergie 61ectromagn6tique dans l'espace caract6rise la pr6sence d 'une partieule, le photon dent la masse au repos dans l 'espace ind6fini (*) et en l 'absence de champ de gravitat ion est nuUe et dent la vitesse, repr6sentant la vitesse de groupe 6gale h la vitessc de phase de l 'onde, est une constante dite vitesse de la lumi~re.

Enfin, le mouvement des particules mat6rielles dfi ~ l 'agitation thermique transforme une partie de l'6nergie nuel6aire en une 6nergie m6canique caract6ris6e par la pr6sence d 'une particule appel6e le phonon.

I I.3. l~3nergie interne et potentielle.

Dans de nombreux cas, on peut s6parer les

espaces r et p e t poser :

C U ( r ) est l'~nergie potentielle et l 'on a :

_ % (;). F =

D'o6 l '6quation de Newton (loi de Newton) :

"+ dp . F = - - Vr E = - - dt

I ( p ) est l'6nergie interne dent la variation est 6gale h la variation de l'Snergie potentielle.

Nous allons d6montrer que, dans les milieux incompressibles, l '6nergie interne ne d6pend que de

p2 (avee p = IP])" On a, en effet, puisque V~ Y = 0 :

V v E = V ~ , l et p = m ( p ~)v.

La deuxi~me 6quation d 'Hamil ton s'6crit :

V~, l = dr ~" _ = v = P . dt m(p~

En multipliant par dp, on a :

d l = Vv l . d p = p . dp . re(p2)"

Or :

p . d p = p ~ d p ~ + p~dp~+ p ,dp~=~d p "

On a donc : i dp 2

(4) d I = ~ m(pa ) .

1 dp 2 I = ,~ m(pZ ) - I(p2).

[*) En partieulier, la masse au repos du photon n'est pas nulle dans les guides d'ondes (oh la pr6sence de la partieule est limit6e par les parois) et sa vitesse y est inf6rieure '~ la vitesse des ondes 61ectromagn6tiques dans l'espace ind6fini.

" 3/10 A P I P L I C ~ T I O N DI~S I~:QUATIONS D ~ H A M I L T O N & L E L E C T R O N I Q U E

On peut d6velopper I(p 2) en s6rie de Mac-Laurin. En prenant les deux premiers termes, on a :

(5) I ~-~- Io+ K p ~ Io+ lc,

I 0 est l'gnergie interne au repos, Kp 2 est l'gnergie cin~tique I~. Elle est du signe de

]a constante K. L'6quation (5) est l '6quation fondamentale per-

met tan t de d6finir, dans un milieu d'6nergie interne I, la pr6sence d 'une particule libre ou d 'une lacune dent on supposera que la masse ne d6pende pas explieitement du temps (*), mais seulement de ~2 ou de p2. C'est le cas, en particulier, lorsque la parti- cule libre est un grain d'6nergie 61ectromagn6tique (photon) ou un grain d'6nergie 61ectrostatique (61ectron).

III. A S P E C T COI:tPUSCULAII:tE D E S PAI:tTICULES L I B B E S

ET DES LACUNES.

Une particule libre et sa particule compl6mentaire (tacune) peuvent gtre d6finies de deux mani~res associ6es.

Elles peuvent ~tre ddfinies par une onde incohd- rente formant un paquet d'ondes dent l '6quation de Shroedinger r6git le mouvement .

Elles peuvent gtre d6finies par un aspect cor- pusculaire dent les 6quations &Hami l ton et la notion d'6nergie interne qui en d6coule, r6gissent le mouvement .

Dans ces deux d6iinitions, ta notion marne de particule est assimilde it une variation de l'dnergie interne du milieu off sa pr6sence est d6cel6e.

i e Lorsque K est positif, l'6nergie interne est augment6e (vague d'6nergie). On dit qu 'une parti- cule libre, d'dnergie cindtique positive, t raverse Ie milieu.

2 ~ Lorsque K est n6gatif, l'6nergie interne est diminu6e (creux d'6nergie). On dit qu'une lacune, compl6mentaire de la particule libre mais d'~nergie cindtique n@ative, traverse le milieu.

3 ~ L'6nergie interne du milieu que l 'on consid~re est celle d 'un volume 616mentaire V entourant le point M (fig. l) o5 l 'on suppose la pr6sence de la particule.

Nous 6tudierons d 'abord (paragraphes IIIA, III.2, III.3.) l 'aspect corpusculaire des particules libres et des lacunes essentiellement dans les milieux cristallins semiconducteurs ; nous 6tudierons en- suite (paragraphe IV) l 'aspect ondulatoire associ6 de ces m~mes particules libres et lacunes.

I I I.l . Mouvement des ~lectrons libres et des laeunes dans les milieux oristalUns semiconducteurs.

Le m6canisme de la circulation, sous l 'aet ion d 'un champ 61ectrique appliqu6, des 61ectrons dans un milieu semiconducteur tel que le germanium,

(*) Dans un milieu incompressible, la masse au repos, ou vitesse constante, ne d6pend done pas du temps.

- - 237 - -

4/10

convenablement dopd, est eonditionn~ par la ndees- sit6 de rdtablir autour d 'une impuret6 la liaison nor- male du germanium par les quatre paires d'61eetrons de covalence.

Le r6tablissement de la liaison normale d6pend de la valence de l ' impuret6.

a) Dans le cas d 'une impuretd de valence einq, un 61ectron dolt qui t ter l ' impuret6 donatrice et p6n&re alors dans le volume voisin suppos~ non dop&

b) Dans le cas d 'une impuret6 de valence trois, une liaison de covalence suppl6mentaire dolt &re r6alis6e autour de l ' impuret6 acceptriee; cette liaison est &ablie au d6tr iment de la rupture ther- mique d 'une autre liaison de covalence dans le volume V voisin suppos~ non dop&

c) Dans les deux cos, le r6tablissement de la liaison normale entralne une modification du mil ieu voisin qui a une double cons6quence.

D'une part , elle modi fie la charge de ce milieu voisin en faisant disparaltre la neutrali t6 de celui-ci, la charge &ant n6gative pour le milieu voisin de l'im- puret6 donatrice, et positive pour le milieu voisin de l ' impuret6 acceptrice.

Cette cons6quence est la seule qui soit int6ressante pour l ' interpr6tat ion du ph6nom~ne de conducti- bilit6.

Dans le premier cas, le milieu voisin Ves t parcou- ru par un 61ectron libre de charge - - e.

Dans le second cas, ce milieu est parcouru par une laeune (*) de charge + e. Nous ne consid6rons pas toutefois ici cette pre- miere cons6quence, mais l 'aspect 6nerg6tique de la seconde cons6quence.

D'autre part , en effet, la liaison normale modifie l'~nergie interne du mil ieu ~,oisin en augmen- tan t celle-ci, dans le cas d 'une impuret6 donatrice, par la p6n6tration d 'un 61ectron libre et en la dimi- nuant , dans lo cas d 'une impuret6 aceeptrice, par l 'expulsion du milieu voisin de l'61ectron accept6 par l ' impuret6.

d) Avant d 'appliquer les 6quations d 'Hamil ton h l'~nergie interne du volume V voisin de l ' impuretg nous aUons pr6ciser les trois 6chelles envisag6es :

l'dchelle macroscopique sera 6gale ou sup6rieure au libre parcours moyen,

- - l'~chelle microscopique moyenne sera eonsid6r6e comme celle d 'un volume V contenant tr6s peu d 'atomes li6s, de telle sorte que son 6nergie interne ne peut gtre modifi6 que par la p6n6tration d'un 61ectron libre, ou la rupture d 'une liaison de cova- lence,

- - l '~che l l e mieroscopique fine sera consid6r6e eomme celle d 'un volume Vt ne contenant aucun atome, mais dent l'6nergie interne peut 6tre modi- fide par la pr6sence d 'un 61ectron fibre.

(~') Nous pr6f6rons l'emploi du mot lacune {hole en anglais) au mot trou pour des raisons d'6tymologie. Un trou est un espace creux communiquant avec l'ext6rieur. Une lacune est un espace creux ne communiquant pas avec l'ext6rieur.

J . O R T U S I [ANNALES DES T(:LI~COMMUNICATIONS

III.2. Application des fiquations d'Hamllton ~t l'fichelle microscopique fine.

L'6nergie interne Ia (p2), contenue dans le volume V1, est constitu6o par la masse m(p 2) de ce volume. En ddsignant par c 2 la constante uni~,erselle de proportionnalitd, on pose d o n c :

(6) I1 (p2) ~ m(p~).c ~.

Le volume V 1 &ant incompressible, comme c'est le c a s h toute 6chelle microscopique fine, on peut appliquer l%quation (4) :

1 dp 2 (4) dla = c2 am(p2)= 2 m(p2)"

L'int6gration de (4) est imm6diate et donne :

e 2 m2(p ~) = K 1 + p2.

2 En posant : K a = m o c 2, off m o d6signe la masse au repos, on a :

Rl 2 = H/~ -~ p 2 / e 2 .

En rempla~ant p par my, on a :

l/Z2 ~,2 /~/0 (7) me= rng + - - in = , .

C2 -~ V t__~ ,2 l c 2

La masse relativiste m &ant r6elle, la vitesse v d 'une particule ~nerg~tique est donc in[~rieure ~ c.

Lorsque v e s t peti t devant c, le d6veloppement en s6rie de (7) donne :

/ m ~ m o ~1 + 2 c2] '

et, par suite :

1 (8) 11 = mc ~" ~- m o c ~ + ~ m o v ~,

_ _ 1 1 ~,~11(0 ) + _ 2 Ii(p ~) ,~ m o e ~ + 2m o p ~ 2m o p "

On trouve l'6nergie d 'un 3leetron libre au coin d 'une zone de Brillouin dans l 'espace des vitesses de la figure i [3 p. 177]. En eomparant (8) avee (5), on volt que l'6nergie cin&ique du miliou V x c'est-~-dire de la particule libre de masse m, est positive et 6gale

i ~ mo v ~.

III.3. Application des 6quations d'Hamilton ~t l'fichelle microscopique moyenne.

A cette 6chelle, il existe, avan t la per turbat ion de l'6nergie interne par l'61ectron libre ou la laeune, un certain nombre N de particules lifies, par d6fini- t ion de cette 6chelle, et que l 'on peut, sans difficult6 de principe, supposer toutes identiques.

L'6nergie interne du volume V e s t modifi6e de deux fa~ons.

1 o Lorsqu'une partieule libre p6n~tre dans ce volume V, l'6nergie interne de celui-ci est augmentde,

-- 238

~. 21, n ot 11-12, 1966]

et devient, puisque les particules li6es ne modifient pas leur 6nergie :

t (9) l = N , . ~ c 2+ m oc 2 + 2 m o ~ ,

que l 'on peut dcrire sous la forme : 1 1

(9bis) I = ( N + l) m oc 2 + 2 m~ I . + ~ m ov], p~

I = I o + 2~oo---- I~ + Iq.

On peut dire qu'une particule libre d'6nergie

interne 11 et de vitesse ~l traverse le volume l" d6finissant ainsi la trajectoire de cette particule don t l 'dnergie cindtique Iex est pos i t ive (fl6che vers la droite de la figure 2).

On retrouve les r6sultats du paragraphe III-2.

v 2

Fro. 2. - - Volume de l'6ehelle microscopique moyenne.

2 ~ L o r s q u ' u n e part icule disparalt de ce volume V pour combler l 'espace adjacent situ6 h gauche, l'6nergie interne du volume V est d i m i n u6e et devient :

(t0) I' = N m o c 2 - m o c - - ~ m ~,~,

que l 'on peut dcrire sous la forme :

t 3 , t (t0 bis) 1 ' = ( N - - 1) m o c ~ - 2 m o ~2 = Io - - ~ mo %,

I ' = I ' o - p ~ / 2 m o = l" o + Ic2.

On trouve l'6nergie d 'une lacune au eoin de la zone de Brillouin [3 p. t79 et 443]. On peut dire

-+ qu 'une particule compl6mentaire de vitesse v z t raverse le volume V d6finissant ainsi la trajectoire de cette particule dont l '~nergie cindtique Ic2 est ndgative (fl~che vers la gauche de la figure 2).

On peut done coneevoir la lacune eomme la partieule eompl6mentaire de l'61eetron libre, eorres- pondant h u n c 6nergie cin6tique 6gale et oppos6e

eelle de l'61eetron libre.

IV. A S P E C T O N D U L A T O I R E DES P A R T I C U L E S L I B R E S

ET DES L A C U N E S .

On peut aussi concevoir la modification de l'~ner- gie interne du volume V voisin d 'une impuret6

APPLICATION DES I~QUATIONS D'HAMILTON A L'I~A.ECTRONIQUE 5 / 1 0

(6chelle microscopique moyenne) ou du volume V 1 (6chelle microscopique fine) comme le r6sultat de la propagation d 'une onde incohdrente le long d'un guide cylindrique dont ]'axe est la trajectoire Oz (fig. 3).

L'6nergie contenue dans cette onJe, h u n instant donn6, est r6partie suivant la loi normale avec une d6viation standard Ax ou Ay transversalement, et 6galement suivant la loi normale avee une d6viation standard Az le long de la trajeetoire.

A~etA u sont 6gales, mais A~leur est tr~s sup6rieur lorsque la vitesse est faible devant c.

IVA. Ondes rdelles et ondes dvaneseentes.

I1 existe deux types d'ondes guiddes selon la valeur de la frbquence v.

Ces ondes sont d6finies h part ir de leur expression math6matique.

tO O n d e r ~ e l l e .

Elle est d6finie par l 'expression :

(1t) a el~U-~lvv~, avec co = 2nv

que l 'on peut 6crire sous la forme :

a e-l~z]Vv e l'~t,

a e - i~ / rp est l 'amplitude complexe,

Vv est la vitesse de phase, v a = c2]Vv est la vitesse de groupe. Elle est

6gale ~ la vitesse de propagation de l'6nergie et, par suite, h la vitesse v d6finie prdc6demment (formule (1)). On pose % = ~,

"A o = c[,~ est la longueur d 'onde dans le vide des ondes 61ectromagn6tiques de fr6quence v,

k ~ = V v [ v = c ~o1% = c ko/V est la longueur d'onde, le long de Oz, de l 'onde r6elle. L 'onde r6elle est caract6ris6e par la propaga t ion de l'6nergie avec la vitesse v, les quantit6s Vv, % et ~, 6rant rdelles et fonction de la frdquence angulaire r

b) O n d e 6 v a n e s c e n t e .

Elle est d6finie par l 'expression :

(12) a e--~] 2t el ~t

obtenue, h part ir de l 'onde r6elle, en donuant h V v une valeur imaginaire pure [1 p. 79]. On voit que l 'ampli tude complexe a e -'12t de l 'onde 6vanes- cente est r~eUe et que la phase reste, par consdquent, constante.

( ~ ~ Z~ 7

x xou y Z o Zo+AZ Z

Fro. 3 . - R6partition de l'6nergie d'un paquet d'ondes.

- - 239 - -

6/ i0

L'onde 6vanescente repr4sente la transformation que subit l 'onde r~elle lorsque la frSquence v de celle-ci devient inf~rieure fi une eertaine valeur ~, dite fr~quence de coupure, done lorsque la longueur d'ondc dans le vide ;~0 devient sup6rieure h la longueur d'onde de eoupure Xr ~ c]v~.

Los fr6quences de coupure et les longueurs d 'onde de coupure sont caractdrgstiques du milieu oh s'effec- tue la propagation (c'est le cas pour la zone d'ap- pauvrissement des jonctions) ainsi que des limita- tions impos6es h ce milieu par la pr6sence d'un milieu diff6rent tel qu 'une paroi (c'est le cas pour les guides d'onde).

On d6montre que la longueur d'onde k: est li6e k o e t h kr par la relation classique dite relation

des ondes guid~es :

(i3) ~.~-- k-~o-- ~"

Dans le cas des ondes 6vanescentes, la relation (13) montre que ),~ est alors n6gative.

X~ est imaginaire pure, V~, = k, ves t imaginaire pure,

c 2 c), 0 v ~ V~, k~

On pose alors :

- - - - est imaginaire pure.

et, en comparant les amplitudes complexes de l 'onde r6elle et de l 'onde 6vanescente (formules 1t et t2) on a :

(t4) 2 l= Vv c 2 ~oc 3 o) oar 2~v"

La phase demeurant constante le long de 0:, on volt qu 'unc onde 6vanescente ne se propage pas.

Elle est earact6ris6e par l 'fitablissement de l'6ner- gie le long de la structure guid6e, celle-ci fonction- nant comme un condensateur que l'on charge en 6nergie 61ectrostatique h travers une r~sistance.

Nous verrons que la valeur r6elle v e s t la vitesse d'dtablissement de l'6nergie le long de Oz. Cette 6nergie, une fois 6tablie, est ind6pendante du temps mais d6cro~t comme e - ' q t le long de Oz.

IV.2. D6f ln i t ion des paquets d'ondes .

I1 est, en r6alit6, impossible d 'admet t re que l 'onde reelle ou 6vaneseente poss~de une fr6quence exaete. Une onde monochromatique exigerait, en effet, une puissance infinie pour gtre cr~6e [1, p. 97].

On dolt admettre que l 'onde est compos6e d'un paquet d'ondes ~ldmentalres incohdrentes entre elles ; la phase et, par suite, la fr~quence de ces ondes, est r6partie selon une loi de distribution normale pour

laquelle la valeur esp6r~e de la fr6quence est v (off co) et la d~viation s tandard est Av(ou Ao)).

A chaque fr6quence v correspond ainsi une onde 616mentaire d 'ampli tude eomplexe

da---~ G(o)) do),

J. ORTUSI [ANNALES DES T~L~-COMMUNICATIONS

correspondant h une densit6 speetrale donn~e par la formule [t, p. 95] :

(15) G(O)) = __ A~ .e-(qz)t(~-~)la'*]'.e-l '~,lrr ~). V2~AO)

Lafrdquence n 'dtant plus discrete, la fonction G(o)) possAde une transform6e de Fourier qui n'cst plus une somme de fonctions sinusoidales du temps.

Le ealcul de cette transformde, reproduit dans l 'annexe, est classique, ll conduit au r~sultat sui- vant :

G(co) +-f(t),

�9 (16) f(t) = Ao.e-tzl~).a',~(t~l;f)'.ef~tt-,Pv),

Darts la formule i6, les notations v v e t Vg, d6si- gnent les valeurs esp6r6es de vget Vvg fonctions de la variable al6atoire 6).

I1 est trhs important de remarquer que le calcul de l 'annexe et, par suite, la formule (16) sont valables

quelles que soient V~ ou %, r6elles ou imagineires

pures, c'est-h-dire aussi bien pour v > ~ (pa-

quet d'ondes r6elles) que pour ~ < v~ (paquet d'ondes 6vanescentes).

a) Gas des ondes rdelles.

% est alors r~elle. On pose encore : % ----- v e t l'on voit que l'on peut consid6rer l 'expression f(t) de (16) comme une onde rdelle de fr6quence angulaire

fixe o) et de vitesse de phase fixe V~ mais dont l 'ampli tude IA[ et, par suite l'6nergie, varient, pour une valeur donnde du temps, le long de Oz selon la loi de r6partition :

(i7) [A(z)l = A o e-~q':A'~'(t--J ~)'.

Lorsque t varie, la distance correspondante au maximum de ]A(z)i, ~gale h v t, se d6place donc avec la vitesse v.

b) Gas des ondes dvanescentes .

q

Dans ce cas, % est i m a g i n a i r e pure. On pose encore :

~ = - - iv,

les termes exponentiels de f(t) de (16) s'6crivent :

( z') 2 _X2r z 2) ./_-X2r z t -- : t 2 - - - f i - - I '7-- v

et e-J~,~lVv = e--zl2t

avee 2l = c2Ir (fornmle (14)). On peut done 6crire f(t) sous la forme :

f(t) = A o e-~l ~ o-~A'~I 3) (~'-~'1r eJC~,-A'~,4 2,),.

On peut ainsi eonsid6rer f(t) comme une onde dva- nescente de fr6quence voisine de ~) mais dont ram- plitude complexe, en dehors de la d6croissante normale e - ' l t varie a v e c l a distance z selon la relation :

(18) tA I = A0 e-,l~t e-ta,~12) (t~-,,/,,) U(t - - z/v).

- - 240 - -

t . 21 , n e t 11-12 , 1966]

La fonction unit6 introduite dans (18) rend ]e terme t 2 - zZ/v 2 positif. Elle correspond au fait que l'6nergie s 'dtabli t avee la vitesse v et, par suite, est nutle lorsque z e s t sup6rieur h vt, (voir fig. 6).

V . A S S O C I A T I O N D E S A S P E I 3 T S O N D U L A T O I B E E T CORPUSEIULAII~E

DES P A B T I C U L E S .

On peut ainsi concevoir une partieule repr6sen- ta t ive d 'un grain d'6nergie 11 de deux fa~ons :

comme un corps matdriel de masse m(v~),

comme une onde de frdquence ,~(v~). En d6signant par c z et par h les coefficients de

proportionnalit6, ees deux aspects sont symbolis6s dans l '6quation repr6sentant l '6nergie interne I x (v z)

ou I~ (v~ 2) sous ses deux aspee t savec%~ = d- v t ( + pour les partieules libres et ~ pour los laeunes).

(i9) I~ = hv = c ~ m.

Aspect ondulatoire Aspect corpusculaire l --

L'6nergie cin6tique I, est 6gale h ~ me v~.

Elle est positive pour les ondes rdelles assocides a u x par t i cu les l ibres.

Elle est n6gative pour les ondes dvanescentes assocides a u x lacunes.

I (z)

l o+A2 o t3:~

Io

A P P L I C A T I O I ~ D E S I ~ Q U A T I O I ~ I S D ' ~ H A M I L T O ! N A L E L E C T B O i N I Q U E ~ / ~ O

renfermant la partieule (voir fig. 2) s'aerit (for- mule (9 bis) et formule (20)).

I = (N + l) m 0 c 2 + I c = I o + IAIL �9 (21) I(z) = 1 o + A~ e--t~'~ 'n'.

La figure 4, repr6sentant I (z) ~ u n instant donn6, montre qu'il existe une zone perturb6e de longueur Az, la per turbat ion maximale ayan t lieu au point z 0 = vt. Ce point se d6plaee le long de Oz avee la vitesse v.

Par ailleurs, le maximum A0 ~ de la per turbat ion est ind6pendant de z.

La valeur Az correspond h IA/AI ~ - - e - q z = 0,6. Elle repr6sente la d6viation s tandard de z dans la zone perturb6e.

F r o n t a v a n t d u s i g n a l (fig. 5) [6, p. 79] (*). La zone perturb6e, dans le sens des z croissants

(et non pour z < %) est arrgt6e (**) au point za = ct repr6sentant le f ront avant du signal. Ce front avan t se d6place avee la vitesse c, ear il correspond aux composantes spectrales de fr6quence infinies dans la r6parti t ion spectrale de G(r (formule (t5)). Ces fr6quences tr~s sup6rieures h % correspondent i~ des ondes pour lesquelles Vt = v = c. Toutefois s i v est pet i t devant c, il y a pra t iquement une ampli tude nulle et, par suite, pas d'6nergie ein6tique JAI ~ au point z a.

~ propagation de la , ~ ~ ~ e 6 " perturbee

I I i I I

! A z ~ i I

Z o = v t Z

FI~. /~. - - l~nergie d'un volume V renfermant une particule libre.

Cette 6nergie cin6tique est 6gale h :

t (20) I c= • ~ mo . ~ = :L JAIL

IAI 6tant donn6e p~r les formules (17) et (18).

l(z)

Cas des particules libres (ondes rfielles).

Lorsque v e s t pet i t devant c, la relation (19) r (avec m = m0) :

I 1 ' ~ I1(0 ) = h~ = h c l k o = m ocL

D'oh l'on tire (formules 11) :

X o = h i m o c,

et X, = c~o/v = h i m o v.

Ce sent les re la t ions de L o u i s de Brogl ie . Par ailleurs, l'6nergie interne d 'un volume V

- - 24i - -

Propaga tmn" d e la ~," ) > / ~ ~ ~ zone perturb6e

) o / / / / / , / i~d , 'Y / ~ > ~ / , / ; ~ ' ~ , ~ ~ c t,,.- propagation

t~ I I d. J ii front a v a n t

i I I l

Z o = vt Z~ + AZ Z 1 = Ct Z

F I G . 5. ~ D 6 f i n i t i o n 6nerg6t;que du front avant de la partleule libre.

V . 2 . g a s d e s l a c u n e s ( o n d e s 6 v a n e s o e n t e s ) .

Dans le cas des lacunes, l'6nergie interne du volume V oh se produit la lacune (voir fig. 2) s'6crit formule (10 bis) et formule (29).

I ' = ( N - - 1) m o c 2 + I c = Ig- - IAIL

�9 (22) l ' ( z ) = I ' o - - A~ e--#~ e-a'~(t"- 'z ' l v ' ) . c ( t - zlv).

(*) Get article donne l'exprossion math6matique et la forme du front avant.

(**} Math6matiquement, cet arret se traduit par l'expres- sion plus exaete I = I o + A~ e-A%(t-z/~) ' U(t - - zle ).

8/10 Sous eette forme, on vol t que la disparition d 'une

particule dans le volume V e s t un accident impr~v i - sibla irr~mgdiable (*) dent ~e parcours total moyen est l et dent le temps de t ransi t moyen est x = l]v.

La figure 6 repr6sentant I'(z) ~ un instant donn6 montre que l '6nergie du volume V est toujours

6gale ~ I 0 sauf pendant le passage d 'une zone per- turb6e dent le f ront avan t eircule avec la vitesse v et qui forme un ereux d '6nergie analogue it u n tourbi l lon c i rcu lan t s u r l 'oc~an (fig. 6). L'6nergie se r6tablit ~ la valeur I 0 apr~s le passage de la zone perturb6e avec une constante de temps 6gale

= I/Ace. La per turbat ion s'affaiblit, par ailleurs, suivant

la loi des accidents impr6visibles

l ' O

re- A~

r (z)

perturbs,

Loi de~ accidents z impr~vis!bles [Ao 2 e "~"

0 Z O --= Yt Z

FIG. 6 . - l~nergie d 'un volume V renfe rmant une lacune.

V I . B E L A T I O N S D ' I N C E R T I T U D E .

[3, pp. 417 et 418.]

Elles sent de deux natures. D'une part , elles donnent les d i m e n s i o n s de la

zone perturbde dans laquelle il est impossible de localiser la particule compte tenu de l'impr6cision Av sur la vitesse de celle-ei.

D'autre part , elles dg terminen t l ' impr~c i s ion sur l '~nergie contenue dans le volume V compte tenu de l'impr6cision A~ sur la phase, c'est-h-dire l'im- pr6cision At sur l ' instant de passage de la particule.

Elles se pr6sentent sous deux formes diff6renles pour les particules libres et les lacunes.

VIA. Gas des partieules libres.

On par t de la relation (19) reproduite iei

t (19) 11 = h~ = mc ~" = m o c z + ~ m o v 2.

Cette relation donne, par diff6rentiation :

(23) A I I = h a y : m o r a y .

Si l 'on consid6re maintenant l '6quation (21) et la figure 4, on volt que les limites ~ Az de la partie

{*) La loi des accidents impr6visibles est la forme con- t inue de la loi de Poisson. Elle joue un tr6s g rand rSle dans la physique corpusculaire r an t sous la forme de la loi des accidents impr6visibles r6m6diables (chocs 61astiques) que sous la forme des accidents impr6visibles irr6m6diables recombinaison des par t icules compl6mentaires) .

J . O R T U S I [ A N N A L E S DES T~T-f~COMMUNICATIONS

centrale de la zone perturb6e sent atteintes pour

t-- = A t = ~ .

D'oh la relation :

(24) 27:At .A~= t.

Par ailleurs, l ' instant de passage 6rant donn6 par la relation z = vt on a :

(25) Az = vAt.

En comparant (23) et (24), on obtient facilement :

(26) AI 1 .A t= h127~.

C'est la quatri6me relation d ' incert i tude. En comparant (23), (24) et (25), on a :

v vh h Az = ] v A t = 2 ~ - - 27~m 0 v A v = 2~m 0 Av'

(27) Az.A(m 0 v)=' f i127: ,

v 6tant la vitesse le long de Oz, on peut g6n6raliser et obtenir les trois premi6res relations d ' incert i tude :

(28) A x . A p , = Ay.Apv = Az.Ap, = h l2~ .

- - 242 - -

VI.2. Cas des lacunes.

S i r o n eonsid6re l '6quation (22) lorsque z est voisin de vt, dans la zone perturb6e, on peut poser :

z 2 2z( z) t a - t - - ;~-- - - ; ~ ,

de sorte que r6quat ion (22) peut s'6crire :

(22 bis) I ' (z) = I ~ - - A~ e - , I t e - (~ t - , ) lA , . U(t- - z[v)

en posant :

(29) A z = v212zA ~ r

Sous cette forme, on volt que Az repr6sente la valeur esp6r6e de la dimension de la zone perturb6e, c'est-h-dire la ~t longueur >> de la lacune, repr6sen- t an t la dimension longitudinale de eelle-ci et qu'il ne faut pas confondre avec le libre parcours moyen de la lacune. Pour calculer Az, on pose :

A 2 z~---- A [ z 2 ] .

Z 2 repr6sentant le baryeent re de la zone perturb6e (fig. 7). La formule (29) peut s'6erire, avee eette d6finition :

A S z ~ = ~ /A~ r o u ."

(30) Az~= vial, r(d

I' o j / /

/ l I

I I i

z 2 Z ~ : v t

Fro, 7. - - ~ Position,> ins tantan6e de la lacune.

t. 21 , n ~ 11-12, 19661

Az 2 repr6sentant l'impr6cision sur la position du baryeentre z2. Or les relations (10 bis) donnent �9

t l ' = Nm o e 2 - hv= I ; - - ~ m o v ~.

D'of l :

APPLICATION DES EQUATIONS D'HAMILTON A L ELECTRONIQUE 9/~0

hay = m 0 vAv.

On a donc, d'apr~s (30) :

r vh h Az2 = A6)-- 2r~m 0 vAv-- 27wn 0 Av ;

c'est-h-dire :

(2 7 bis) Az~.A(m o v)= hl2rc.

On retrouve pour la lacune la m~me relation d'incertitude que pour la particule libre, mais il est alors n6cessaire de considdrer que la laeune est situ~e au barycentre z 2 de la zone perturb~e et non au point z o front avant du signal 6quivalent.

C O N C L U S I O N

Nous avons essay6 de montrer, dans cet article, comment les dquations d 'Hamil ton de la mdcanique classique permettent de prdvoir, au moins qualita- t ivement, certains ph6nom6nes de conductibilit6 61ectronique par des particules chargdes, h l'intdrieur d 'une structure cristalline dopde.

On peut 6galement, grace h la transformation de Fourier, associer h ces particules des ondes incohd- rentes et prdciser ainsi leurs (, dimensions ~ qui sont ~troitement li~es au degr~ d' incohdrence.

I1 est dvident que ce processus d'analyse du mouvement, qui ne t ient pas compte explicitement de la nature discontinue et rdgulibre du milieu cristallin off ces particules se ddplacent, ne peut gtre concevable que dans un champ d'application tr~s limit6.

a) D'une part, il est inapplicable h route parti- cule lide h l 'atome.

b) D'autre part, il ne peut pas fournir quantita- t ivement les dldments caractdristiques du mouve- merit des particules d6pendant de la structure du milieu cristallin.

c) Ces dldments caractdristiques ne peuvent ~tre obtenus que grace h l 'apport de la m6canique quan- tique soit, en m~canique ondulatoire, par des condi- tions aux limites relatives aux fonctions de Bloch dans le cristal, soit, en m~canique statistique, par le calcul des valeurs propres r6elles des matrices hermitiennes r6gissant les probabilit6s de transi- tions.

M~me dans les milieux non p6riodiques, c'est seulement l '6quation de Shroedinger qui permet de d6terminer certaines grandeurs relatives h ces par- ticules (*).

(*) On a vu, dans l ' introduetion, que c'est le cas pour la d6termination des modes des ondes 61ectromagn6tiques guidees lorsque l 'on 6tudie ces ondes en faisant abstraction des 6quations de Maxwell.

d) Toutefois, lorsque les vitesses des particules sont faibles et lorsque l'influence de la nature cris- talline du milieu propagatif est moins marqude, l 'application des dquations de la mdcanique classi- que donne une forme d'explication relativement exacte et qui pr6sente l 'avantage d'gtre beaucoup plus naturelle et repr6sentative h une conception sensorielle.

C'est le cas, en particulier, lorsque le point repr6- sentatif P de la particule dans l'espace des vitesses de la figure I e s t situ6e dans l 'un des coins d 'une zone de Brillouin ;dans c~tte partie de la zone, tout se passe comme si celle-ci est inddfinie et, par suite, la nature cristalline du milieu propagatif a u n e influence r6duite.

I1 faut toutefois consid6rer que c'est sous l 'aspect des 6quations d 'Hamilton, liant directement l'~ner- gie de la particule au mouvement et non sous l 'aspect de la loi de Newton, l iant /a force appliqude ~ ce mouvement, que la m6canique classique peut encore servir de support et d'outil math6matique. Le champ d'application, bien que restreint, couvre le cas des ph6nom6nes de conduction darts un milieu semiconducteur o/~ les impuret6s sont relativement 61oign6es ou mgme dans ]a zone d'appauvrissement des jonctions entre deux milieux semiconducteurs de polarit6 oppos6e.

A N N E X E

Transform~e de Fourier de la fonction :

(15) G(6))= A~ .e-tq~1[~--~la'~ V~2=A6)

Chaque onde 6]6mentaire d'amplitude eomplexe G(6)) dco (voir paragraphe IV.2.) pouvant s'6crire sous la forme :

G(6)) d6).el,ot,

la fonction du temps repr6sentant la transform6e de Fourier est :

f( t)= ~ + _ ~G(to) e '~tdto,

en tenant compte que V v (co) est fonction de 6). Le calcul est effeetu6 en deux phases [l, p. 96].

t re Phase. Expression asymptotique de G(6)). On part de la relation des ondes guid6es (formule

t3) que l'on 6crit, en tenant compte des formules ( i t ) , sous la forme :

60 2 6) 2 ~75 2

= ; c - - f t .

D'ofi par d6rivation :

6) ( ~ ) 6 ) d 6 ) d(6)/V~) t V-v d . . . . = - ~ - "-+ d~ -- vv

Or l 'examen de la formule (15) montre que l'am- plitude de la fonction G(6)) d6crolt tr~s rapidement d~s que l'on a la relation :

i~ - - 6)J >> A~,

- - 243 - -

t0/i0 ACO 6tant une valeur ftxe mais petite devant co, on

peut appliquer, h la valeur variable co, le thdor~mc des accroissements finis, autour de la valeur cons-

tante co, de la fonction de to :

z 6tant consid~r~e comme une valeur constante dans cette fonction :

On a alnsi :

co co -- d(colVv) co V,(co)-- V, + (co-- co) dco -- V~ + qo (co-- ~)"

D'ofl l'expression de G(co), fonction de c o - co

lorsque co est voisin de co :

G(co)---- A~ e - ( q ~ ' ) [ ( ~ 1 7 6 e-J~,,l~'~, " "

2 e phase. Calcul de l'intdgrale par les r~gles de transformation oft 6) et t sont les variables.

On part de la formule tr~s connue donnant la transform~e de la loi normale :

(t IV'~Aco). e-"'l ~ '~ -+ e-A'~ On op~re la translation du temps t ~ z f f , o d'ofl par

la r~gle de translation :

(t /V'2~-E'co). e - ~ "A'~ �9 e-J'~~ --> e-(a 'o) l~)( t -4"~ )~.

On op~re la translation de frdquence co - - co

(1/V'2~X-co). e - ' 11 ~)E(o,-~I~,~1'. e -~ , (~ -~)F~ eltot . e - { A "od ~)(t.~i;,) ' .

En multipliant par la constante :

A o e-J~*lr~, on obtient :

G(co) --~ A o e- |~d-r, , e ~ . e-~'~l*(t- , l~) ' ,

que l 'on peut 6crirb sous la forine de la formule 16 du paragraphe IV.2.

G(co) --> f(t) = A o . e - t # ~)a'o)(t--,l;,)'. ei~(t--dv~,).

On remarque qu'aucune hypoth~se n'est faite

sur les constantes v e et V~ qui peuvent ~tre rdelles ou imaginaires pures.

Manuscrit refu le 28 mai 1965.

Manuscrit rdvisd refu le 28 novembre t966.

J. ORTUSI ~ANNALES DES T~L~COMMUNICATION$

BIBLIOGRAPHIE

[l] ORTU$1 (J.). Propagation des ondes 61ectromagn6- tiques de haute fr~quenc Socidtd Franr de Documentation dlectronique, Paris (i957), 320 p., 30 fig., bibl. (30 rdf.).

[2] ORTUSI (J.). Conditions of analogy between the propagation of electromagnetic waves and the trajectories of particle of same spin with appli- cation to rectifying magnetrons. (Condition d'analogie entre la propagation des ondes 61ee- tromagndtiques et les trajectoires de particules de m6me spin; application aux magn6trons redresseurs.) Inst. Radio Engrs Trans., AP, U. S. A. (juil. i956), 4, n ~ 3, ]pp. 359-367, l0 fig., bibl. (3 r6f.).

[3] SrtOCKLSY (W.). Electron and holes in semi- conductors. (Conduction par exc6s et d6faut d'dlectrons dans les semicondueteurs.) Van Nostrand C ~ New York, U. S. A. (1950), 558 p.

[4] RvBINowIcz (A.). Propagation of a cut-off train of De Broglie waves. (Propagation d'un train

avant d'ondes de de Broglic.) Acts Physics Polo- nica (i959), 10, pp. 000-000.

[5] VAN DER CORPUT (J. G.). Proc. Amst. Acad. Sci. (1939), 42, p. 468.

[6] O~TUSI (J.). Sur certaines partleularitSs des pro- pagations troposph6riques et leurs analogies en mdcanique ondulatoire. Ann. Radiodlectr.~ Fr. (janv. i953), 8, n ~ 31, pp. 81-95, 5 fig.

[7] ORTUSI (J.). La propagation des ondes mdtriques et centimdtriques (longueurs d'onde comprises entre 6 m e t 3 cm) ddtermination de l'6quivalent de transmission. Ann. Radiodlectr., Fr. (juil. 1954) 9, n ~ 37, pp. 227-273, 31 fig., bibli. (t2 rdf.).

[8] ScHIFF (L.). Quantum mechanics. (M~canique quantique.) MacGraw-HiU, New York (1949), 404 p., 30 fig.

[9] DUSHMAN (S.). t~ldments of quantum mechanics. (]~ldments de mdcanique quantique.) J. Wiley (i93S).

[~0] SEITS (F.). On the mobility of electrons in pure non-polar insulators. (Sur la mobilitd des dlec- trons dans les isolants non polaires sans impure- tds.) Phys. Bey., U. S. A. (i5 mars i948), 78, n ~ 6, pp. 549-564, i tabl., blib. (i9 rdf.).

[ti] BRILLOUIN (L.). Wave propagation in periodic structure. (Propagation d'ondes dans les matd- riaux de structure p~riodique.) MacGraw-Hill, New York (1946), 247 p.

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