*Application des lois de probabilit-Variable alatoire discrte-Facult de Mdecine dOranLaboratoire de BiostatistiqueBOUKERMA AMEUR

*Une v. a. de Bernoulli est une v. a. qui ne prend que deux valeurs possibles notes 1 , associe une probabilit p et 0 , avec une probabilit 1 p (vnement contraire)-Sa loi de probabilit dfinit la loi de Bernoulli de paramtre p-Moyenne : p-Variance : p(1 p)=p q-Concerne toutes les preuves binaires : succs/chec, prsence/absence, oui/non, vrai/faux, malade/non maladeLoi de Bernoulli:

*La loi de BernouilliUne variable alatoire de Bernouilli a deux ralisations possibles :Succs X=1, Probabilit de succs : pchec X=0, Probabilit d'chec : 1-p =qCalcul de la Moyenne et la variance:Var (X) = pi(Xi) Xi 2 - [E(x)]2 = p -[p]2 = p(1-p) = p q

E(X) = p

Var(X)= p q

Xp(X)Xipi(Xi)pi(Xi) Xi 2 01-p=q001pppSomme1pp

*La loi binomiale Cest une exprience alatoire constitue dune suite dpreuves de Bernoulli indpendantes o chaque preuve ne peut conduire quaux 2 mme rsultats possibles (succs, chec) et o chacun de ces rsultats a la mme probabilit de ralisation dune preuve lautre

*Processus Bernoulli et exprience binomialeProprits:

1-Lexprience est une srie de n tirages identiques2-Deux vnements sont possibles chaque tirage: succs et chec3-La probabilit de succs, note p, ne se modifie pas dun tirage lautre. La probabilit dchec q=1-p ne se modifie pas non plus4-Les tirages sont indpendants

Lorsque les proprits 2,3, et 4 sont satisfaites, on dit que les tirages sont gnrs par un processus de Bernoulli. Si la proprit 1 est galement satisfaite, il sagit dune exprience binomiale

*La loi binomialeSi une variable alatoire X reprsente le nombre de succs lorsquon effectue n preuves de Bernoulli, alors X obit une distribution binomiale.

X Bi (n, p)Ce qui se lit X obit une loi binomiale de paramtres n, pLintrt est de connatre le nombre de succs aprs n tirages

*La loi binomiale n = le nombre dpreuves de Bernoulli p = la probabilit de succs

Dfinition mathmatique dune v. a. binomiale :Une v. a. X qui prend les valeurs entires x telles que x = 0,1,2,n pour n entier positif, 0 p 1, q=1-p, avec les probabilits :

sappelle une v. a. binomiale de paramtres n et p.

*Distribution binomialeSi X est une v. a. binomiale alors :

Paramtres dune distribution binomiale

*Exemples dapplicationExemple 1: On lance 7 fois une pice de monnaie bien quilibre. 1- Quelle est la probabilit davoir 4 fois face? 2- Calculer lesprance mathmatique E(x) et la variance V(x)1-Solution: 1- Cette variable suit une loi binomiale de paramtres B(7,1/2). -a. n=7 (nombre d preuves avec remise) -b. les 2 ventualits: P=(succs) q=(chec) p=1/2 (avoir face) q=1-p=1/2(ne pas avoir face. Avoir pile) p(x=4)= C7 4 (0.5)4 (0.5)3 = 0.27342- Solution: E(x)=n p=7.0,5=3,5 V(x)=n p q=3,5 0,5=17,5

*Dans une population, il y a 49% de filles et 51% de garons. Quelle est la probabilit que dans une famille de 5 enfants, il y ait au moins 3 garons?Solution: Nombre dpreuves=5 =n les 2 issues: Succs: p= 0,51 (avoir un garon) chec : q= 0,49 (avoir une fille)la variable x suit une loi binomiale de paramtre B(n,p) B(5;0,51) P(x)= Cxn Px q n- x P(x 3)= P(x=3) + P(x=4) + P(x=5)

P(x 3)= C35 (0,51)3 ( 0.49)2 + C45 (0,51)4 ( 0.49)1 + C55 (0,51)5 ( 0.49)0 = 0,319 +0,162 +0,035 = 0,516 P(x 3)= 1 - P(x < 3)= 1 - [ p (x=0) + p (x=1)+ p (x=2) ] =1-[C05 (0,51)0 ( 0.49)5+ C15 (0,51)1 ( 0.49)4+ C25 (0,51)2 ( 0.49)3] =1-[ 0,028 +0,148 +0,307 ]= 1-0,4083 =0,517Exemple 2:

*Exemple 3: Dans les familles de 3 enfants, quelle est la probabilit davoir 2 filles?. La probabilit de naissance dune fille est p=0.48 Solution: n=3, x=2, p=0.48 et q=1-p=0.52Quel est le nombre moyen de filles et la variance?Solution: E(X) = n p = 3 (0.48) = 1.44Var(X) = n p q = 3 (0.48) (0.52)= 0.75

*Exemple 4:

En moyenne, un tudiant sur 20 est daltonien. 1.Quelle est la probabilit quil y en ait deux dans une classe de 25 tudiants? 2.Quelle est la probabilit quil y en ait au moins deux dans une classe de 25 tudiants? 3.Quelle est la probabilit quil y en ait au plus deux dans une classe de 25 tudiants?

Solution:

Dsignons par X le nombre dtudiants daltoniens, cest une variable alatoire de paramtres B (n, p) = (25, 1/20 )La probabilit cherche est simplement: 1- p (X = 2) = C225 (1/20)2 (19/20)23 = 0,2305

2- p (X 2) = p (X = 2) + p (X = 3) + p (X = 4) + p (X =5)

3- p (X 2) = p (X = 0) + p (X = 1) + p (X = 2)

*Exemple 5:Soit une tude portant sur des familles de 10 enfants. On sait que la probabilit davoir une fille ou un garon est identique.1-La probabilit que 2 des enfants dune famille soient des filles 2-Quune famille ait au moins deux filles

3-Quune famille nait pas plus de deux garonsP(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = 0.0547

*Dfinition mathmatique dune v. a. de Poisson :

Une v. a. d. X qui prend toutes les valeurs entires x telles que x = 0, 1, 2, avec les probabilits :

sappelle une v. a. de Poisson de paramtre Dfinition mathmatique dune v. a. de Poisson :

Une v. a. d. X qui prend toutes les valeurs entires x telles que x = 0, 1, 2, avec les probabilits :

sappelle une v. a. de Poisson de paramtre

Loi de Poisson (distribution des vnements rares)

*On dit quune Variable Alatoire X suit une Loi de Poisson:

1- Si sa distribution est discontinue ( V.A. Discrte) pouvant prendre toutes les valeurs possible {0, 1, 2, i, ... n}

2-Si les probabilits de ralisation de X sont trs faibles

La raret du phnomne dans une Distribution de Poisson ne peut tre dfini que lorsque leffectif tudi est trs lev.

I- Dfinition:

*II- Paramtres dune distribution de Poisson:

La raret du phnomne (p trs petit, et q tend vers 1, nous conduit une valeur moyenne

E(x)=n p

V(x) =n p

*Sachant que dans un service durgences on accueille en moyenne 5 entorses par week-end, quelle est la probabilit dobserver 3 entorsesau cours du prochain week-end? Loi de Poisson, avec =5 et x=3P(X = x) = e. - x /x!P(X = 3) = e-5 53/3!= 0.14Exemple2:Sachant quun service durgence accueille en moyenne 3 fractures du membre suprieur par week-end (vnement rare), quelle est la probabilit pour que ce service accueille le prochain week-end :1) exactement 3 fractures2) aucune fracture

Application de la loi de PoissonExemple1:Rep: P(x=3) = 0,224Rep: P(x=0)= 0,049

*Dans un atelier, le nombre daccidents au cours dune annesuit une loi de Poisson de paramtre 5. Calculer la probabilit des vnements suivants :1. Il ny a pas daccidents au cours dune annee2. Il y a exactement 4 accidents au cours de lanne3. Il a plus de 6 accidents au cours de lanne

Exemple 3:

*Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson

La loi de poisson est considre comme la limite de la loi binomiale lorsque le phnomne est trs rare et leffectif est trs lev. Dans ce cas =n p et n tend vers linfini.X Bi (n, p) X P() avec ( =n p)

En gnral lapproximation est valable si:1- n 30 ( grands chantillons) 2- p 0,10 (probabilit faible au voisinage de zro) 3- = n p5

*

Suite `a une vaccination contre le paludisme, dans une population risque, on estime 2%, compte tenu du dlai dimmunisation, la proportion de personnes qui seront pourtant atteintes de la maladie. En utilisant la loi binomiale puis la loi de Poisson, quelle est la probabilit de constater, lors dun contrle dans un petit village de 100 habitants tous rcemment vaccines, plus dune personne malade ? (on supposera lindpendance des ventualits).

Compte tenu des hypothses, le nombre de malades est ici rgi par une loi binomiale de paramtres n = 100 et p = 0,02. B(100;0,02)Exemple: Approximation de la loi binomiale par la loi de poisson

*Solution:

les conditions dapproximation par une loi de Poisson sont vrifis. n 30 100 >30 ( la taille est grande)- P = 0.02 (la probabilit est faible ).- = n p = 100 0.02 = 2 < 5 Prob (X > 1)= 1- Prob (X 1) = 1- [Prob (X = 0)+Prob (X = 1)] = 1- [e-2 20/0! + e-2 21/1! ] = 1- [ 0,1353 +0,2707 ] = 1- 0,406 =0,594

Prob (X > 1)= 0,594