Applicazione dell’ equazione di Schrödinger

Di seguito saranno mostrati alcuni casi significativi a cui sarà applicata l’ equazione di Schrödinger.

Tuttavia prima di considerare i vari casi, facciamo alcune considerazioni sulla modalità di ricerca

delle soluzioni dell’ equazione di Schrödinger e delle caratteristiche del potenziale V(x).

Cominciamo con il considerare l’ equazione di Schrödinger per la Particella sulla retta. Si osservi

che, per quanto detto per il principio di Heisemberg, non è possibile, in meccanica quantistica,

supporre una particella vincolata a muoversi su una retta. Pertanto consideriamo l’ equazione di

Schrödinger ad una dimensione:

Si osservi che lo spazio in cui si ambienteranno le soluzioni dell’ equazione AES-1) sarà,

naturalmente, lo spazio di Hilbert L2 ( R ) e la condizione di normalizzazione sarà:

Si osservi, e si ricordi, che la quantità │(x,t)│2 dx è interpretata come probabilità che la particella

venga osservata, all’ istante t, nell’ intervallo (x, x + dx). A questo punto, possiamo scrivere l’

operatore nel modo seguente:

Supponiamo, per quanto concerne il potenziale V(x), che esso possieda al più punti di discontinuità

finita, sia inferiormente limitato ed al più a crescenza algebrica. Osserviamo, inoltre, che risulta

essenzialmente autoaggiunto in C0∞( R ), in L( R ) o nel dominio definito da:

AES-1) -(2/2m) ∂2(x,t)/ ∂x2+ V(x) (x,t) =

+ ∞ AES-2) ││ (x,t)││2 = ∫ │(x,t)│2 dx = 1 - ∞

AES-3) = -(2/2m) d2/dx2 + V(x)

AES-4) D0 ( ) = { f L2 ( R ) f C2 ( R ), (-(2/2m) d2/dx2 + V(x)) f L2 ( R ) }

e si suppone esteso per coniugazione hermitiana ad un operatore autoaggiunto il cui dominio

indicheremo con D ( ). Se V(x) risulta limitato anche superiormente D ( ) può essere

individuato anche a priori in modo semplice, ed è dato dall’ insieme degli elementi di L2 ( R ) che

sono continui con la loro derivata prima e le cui derivate prima e seconda L2 ( R ). Pertanto l’

equazione formale agli autovalori può essere scritta come:

le cui soluzioni in senso Generalizzato, sono date da funzioni che coincidono, fuori dai punti

singolari di V(x), con le soluzioni in senso Ordinario di classe C2 e sono continue con la loro

derivata prima Attraverso i punti di discontinuità. Pertanto la Ricerca delle autofunzioni e degli

autovalori propri di in D ( ) si riduce alla ricerca delle soluzioni in senso generalizzato della

AES-5) che appartengono ad L2 ( R ) e quella delle schiere di autofunzioni improprie alla ricerca di

soluzioni uE(x) per cui L2 ( R ) l’ espressione dell’ autodifferenziale

Tale condizione può essere riespressa come:

Inoltre ci si può restringere alla considerazione delle sole soluzioni in senso Generalizzato della

AES-5) che risultino al più a crescenza algebrica.

AES-5) -(2/2m) d2u(x)/dx2 + V(x) u(x) = E u(x)

(Equazione di Schrödinger degli stati stazionari)

E + E

AES-6) u(x) = uE’(x) dE’

E

+l

AES-7) u*E’(x) uE(x) dx quantità fissa (E – E’)

-l l

CONCLUDENDO al fine di fare il punto della situazione ed utilizzando un linguaggio più semplice

e meno formale, possiamo dire che affinché si possa interpretare il quadrato del valore assoluto di

una funzione d’ onda avente significato fisico di funzione di distribuzione di probabilità è

necessario che la funzione d’ onda possegga certe proprietà in modo tale che l’ interpretazione

suddetta sia possibile e non ambigua. Come conseguenza si può dimostrare che una meccanica

ondulatoria soddisfacente può essere costruita a partire dai seguenti postulati ausiliari con

riferimento alla natura delle funzioni d’ onda:

Una funzione d’ onda soluzione dell’ equazione di Schrödinger, deve essere continua, a singolo

valore e finita in tutto lo spazio delle configurazioni ovvero che il sistema può assumere;

affinché possa essere considerata una funzione d’ onda soddisfacente.

Si noti che le suddette condizioni, sono quelle che normalmente vengono utilizzate ed applicate alle

funzioni in generale rappresentanti, però, quantità fisiche.

In generale dato un certo sistema fisico, i valori delle energie caratteristiche En possono esistere

solo come:

a) insieme Discreto ( Spettro Discreto)

b) insieme Continuo (Spettro Continuo)

c) discreto più continuo (Spettro Discreto più Continuo)

Per quanto concerne il discorso riguardo la quantità *(x,t), è importante notare che l’ equazione

d’ onda soddisfatta dalla *(x,t) è la seguente:

[-( /2m) + V*( ) ] *( ,t) = -

ovvero la complessa coniugata dell’ equazione valida per la (x,t)che come è noto vale:

[-( /2m) + V( ) ] ( ,t) =

La soluzione Generale è la seguente:

quest’ ultima equazione altro non è che la complessa coniugata della seguente equazione il cui

significato è ovvio:

Detto questo, ad esempio, la quantità indica la probabilità che il sistema, nella

situazione fisica rappresentata dalla funzione d’ onda (si noti “x” e non ) ha al tempo “t”

la configurazione rappresentata da un punto nella regione “dx” dello spazio delle configurazioni;

quindi rappresenta la probabilità che la particella si trovi nella regione

compresa tra “dx” e “x + dx” (ovviamente siamo in una dimensione) al tempo “t”. L’ estensione al

caso 3D o a più dimensioni è banale. Si osservi, tuttavia, che quanto detto possa essere considerato

valido la deve essere normalizzata all’ unità ovvero . Inoltre è

conveniente che normalizzare anche le quantità uns(x) all’ unità in modo tale che ognuna soddisfi l’

equazione < un’s’ uns > = n n’ s s’ (Condizione di normalizzazione e di ortogonalità). Si può,

inoltre, dimostrare che una funzione d’ onda ad esempio della forma

risulta normalizzata all’ unità quando i coefficienti

“ ” soddisfano la relazione seguente: .

Nel caso ci si ponga la domanda “quale valore medio ci si può aspettare a seguito di una misura al

tempo t” per esempio della coordinata “x” del sistema nella situazione fisica rappresentata dalla

funzione d’ onda ” la risposta risulta: . Nel caso più generale di una

funzione “F” dipendente da “x”, ovvero F(x) si avrebbe: . Nel

caso, invece, di una funzione “G” dipendente non solo da “x” ma anche da “px” (momento della

particella lungo x” è necessario considerare il seguente postulato generale:

“Il valore medio della funzione G(px, x) per un Sistema nella situazione fisica rappresentata

dalla funzione d’ onda (x,t) è dato da: dove l’

operatore “G” ottenuto da G(px, x) effettuando la sostituzione su esposta, agisce sulla funzione

(x,t).”

In generale il risultato della misura di G non sarà data da <G>. Infatti <G> rappresenta la

media su un gran numero di misure fatte su un gran numero di sistemi identici nella situazione

fisica rappresentata da ; oppure da misure ripetute sullo stesso sistema il quale deve essere

nella stessa situazione fisica prima di ogni misura.

PARTICELLA LIBERA

Il caso in questione, è caratterizzato da:

AES-8) V(x) =0

Pertanto la AES-5) assume la forma:

AES-9) -(2/2m) d2u(x)/dx2 = E u(x)

L’ operatore coincide ( a meno della costante -2/2m) con l’ operatore derivata D. L’ equazione

AES-9) possiede due soluzioni linearmente indipendenti del tipo:

uE+(x) = A e[( i/) (2mE) x ]

uE-(x) = A e[(-i/) (2mE) x ]

per E < 0 le due soluzioni divergono esponenzialmente, la prima per x - la seconda per x

+ e non possono, perciò, fornire autofunzioni proprie o improprie. Pertanto nessun punto dello

spettro di cade sul semiasse reale negativo.

Per E > 0 poniamo

AES-12) p = 2mE

pertanto uE+(x) ed uE-(x) possono essere conglobate nell’ unica seguente espressione:

AES-13) up(x) = Ap e[( i/)p x ]

dove

AES-14) - < p < +; E = p2/2m

La funzione up(x, tuttavia, non appartiene mai ad L2 ( R ), ma definisce una autofunzione impropria

V p (-,+). Lo spettro di è puramente continuo e coincide con l’ intervallo 0 < E < +.

Inoltre la condizione di ortogonalità tra autofunzioni, corrispondenti al medesimo valore di E, è

soddisfatta. La condizione di normalizzazione rispetto al parametro “p” risulta anch’ essa

soddisfatta se si pone:

AES-15) Ap = 1/ (2 )

infatti la AES-13) si riscrive:

AES-16) up(x) = (1/ (2 ) ) e[( i/)p x ]

e si ha:

+l

AES-17) <up’ up> = [1/ (2 )] lim e[(- i/)p’ x ] e[( i/)p x ] dx =

l -l

= lim (1/) [sen(p-p’)l/ ]/(p-p’) = (p-p’)

l

La soluzione generale dell’ equazione AES-1) nel nostro caso diviene:

+

AES-18) (x,t) = [1/ (2 )] C ( p) e[( i/)(p x – p2/(2m)) ]t dp =

-

Si osservi che i coefficienti C(p) sono determinati dalla condizione iniziale:

AES-19) (x,0) = 0(x)

si ha:

+

AES-20) C(p) = <up0> = [1/ (2 )] e(- i/)(p x) 0(x) dx

-

La AES-18) è del tutto analoga alla AOM-5). Se C ( p ) è apprezzabilmente diversa da zero solo in

un piccolo intorno del valore “p0” del suo argomento, la AES-18) rappresenta un pacchetto d’

onde che si sposta con una velocità costante pari a:

vg = d/dp (p2/2m)p=p0 = p0/m

cioè si comporta come una particella libera classica di momento lineare p0.

Una soluzione del tipo descritto sarà assunta come definizione di ciò che intenderemo per

particella libera di momento lineare p0 in meccanica quantistica. Dato all’ istante t=0 un pacchetto

(x,0) di forma qualsiasi, indicato con x0 la sua semilunghezza (ossia lo scarto quadratico medio

della posizione), la semilunghezza x al tempo t (xt ) vale:

AES-21) xt = [ (x0)2 + (p t/m)2 ]

Pertanto si possono fare le seguenti interessanti considerazioni :

a) al crescere del tempo il pacchetto si sparpaglia. Tale sparpagliamento è tanto più rapido

quanto maggiore è p, ossia quanto minore è la semilunghezza iniziale x0 (x0 p = /2).

b) A differenza di un pacchetto d’ onde elettromagnetico, un pacchetto d’ onde di de Broglie si

sparpaglia sempre. Per le onde elettromagnetiche lo sparpagliamento avviene solamente

nei mezzi in cui la relazione tra frequenza ed il numero d’ onde k, in formule = (k)

(nota sotto il nome di relazione di dispersione) non è lineare (ovvero mezzi dispersivi). Per

le onde di de Broglie questa relazione (relazione di dispersione) non è mai lineare. Si

osservi che:

________

k = 2/ ed inoltre (x)2 = (x - <x>)2 dove “<x> indica il valore medio di x”

Si osservi che la particella potrà essere descritta come una particella classica, se xt può essere

supposto, per tutto il tempo di interesse, piccolo rispetto alla precisione con cui è osservata la

posizione; in particolare xt dovrà restare piccolo rispetto allo spostamento del pacchetto cioè:

AES-22) xt << p0 t/m

Per t >0 vale, sempre, la relazione :

AES-23) xt p > /2

BUCA DI POTENZIALE RETTANGOLARE

Prevediamo, ora un potenziale del tipo seguente:

formalmente definito nel modo seguente:

AES-24) -V0 per -b ≤ x ≤ +b

0 per x < -b, x > +b

Tale potenziale presenta due discontinuità finite nei punti “-b” e “+b” ed è continuo altrove. Le

atofunzioni proprie ed improprie di , vanno ricercate tra le soluzioni in senso generalizzato

della AES-5). Nel nostro caso occorre suddividere l’ asse reale in tre regioni indicate in figura con

le lettere: I, II, III. Successivamente si deve risolvere l’ equazione in senso ordinario all’ interno di

ciascuna di tali regioni e raccordare, poi, in valore e derivate le soluzioni trovate nei punti “-b” e

“+b”. Nelle regioni I e III, l’ equazione AES-5) diventa:

AES-25) -(2/2m) d2u(x)/dx2 = E u(x)Mentre nella regione II diventa:

AES-26) -(2/2m) d2u(x)/dx2 =(E +V0) u(x)La soluzione generalizzata della AES-5) avrà quindi la forma:

AES-27) u(x) = uI(x) per x < -b

u(x) = uII(x) per -b ≤ x ≤ +b

u(x) = uIII(x) per x > +b

dove uI(x) ed uIII(x) sono soluzioni della AES-25) mentre uII(x)è soluzione della AES-26). Inoltre le

funzioni uI(x), uII(x), uIII(x) dovranno soddisfare le condizioni seguenti:

AES-28) uI(-b)= uII(-b)

u’ I(-b)= u’ II(-b)

uII(b)= uIII(b)

u’ II(b)= u’ III(b)

che esprimono la continuità delle varie u(x) e della sua derivata u’(x) attraverso i punti “-b” e

“+b”. A questo punto, si tratta di ricercare tra queste soluzioni (si ricorda che queste sono le

soluzioni generalizzate) quelle che sono esse stesse di classe L2 ( R ) ( le autofunzioni proprie) e

quelle che divengono di classe L2 ( R ) (autodifferenziale) se integrate su opportuni intervalli di

valori E o di altro parametro ad E collegato (le autofunzioni improprie). Mentre in meccanica

classica con il potenziale considerato sono possibili due situazioni possibili ovvero:

a) –V0 < E < 0 la particella per la legge di conservazione dell’ energia è confinata all’

interno della buca e si riflette alternativamente tra i punti “-b” e “+b”.

b) E > 0 la particella è, inizialmente, fuori dalla buca con momento p = (2mE)

oppure p = -(2mE) (cioè si muove da sinistra verso destra o da destra

verso sinistra), viene istantaneamente accelerata come penetra nella

buca p’ = [2m (E+V0)] e riassume la sua velocità originaria come

ne esce.

c) E < -V0 impossibile poiché l’ energia cinetica è una quantità positiva.

In meccanica quantistica, invece si ha:

a) Nessun punto dello spettro di cade nell’ intervallo (-, - V0), in

accordo con la situazione classica.

b) Nell’ intervallo (-V0, 0) cade un numero finito di autovalori propri E1,

E2, …,En. In tale intervallo l’ energia può assumere solo dei valori

discreti, le corrispondenti autofunzioni si annullano molto rapidamente

fuori dalla buca e rappresentano stati in cui la particella è praticamente

confinata in una regione molto ristretta attorno alla buca (stati legati).

c) L’ intervallo (0, +) appartiene interamente allo spettro continuo che è

duplicemente degenere (nessun punto dello spettro discreto cade nel

detto intervallo). Questo spettro continuo, corrisponde ad una particella

che inizialmente è sufficientemente lontana dalla buca e quindi

praticamente libera. Il fatto che tutti i valori dell’ energia da 0 a +

siano possibili, corrisponde al fatto che in questa situazione l’ energia

della particella può essere predisposta dallo sperimentatore e la

duplice degenerazione corrisponde ai due possibili sensi del moto

iniziale della particella.

d) Esiste in meccanica quantistica una probabilità non nulla che la

particella venga riflessa dalla buca

Ritorniamo al problema della ricerca delle soluzioni dell’ equazione di Schrödinger e poniamo per

comodità:

AES-29) k = (1/) (2mE )

AES-30)

dove k e sono entrambi ≥ 0. Consideriamo, ora, come prima circostanza il caso in cui –V0 < E <

0, ovvero E < 0, E +V0 > 0, si può scrivere:

AES-31) uI(x) = A1 ekx + A2 e-kx

uIII(x) = A7 ekx + A8 e-kx

Si osservi che se A7 ≠0, uIII(x) diverge esponenzialmente per x → + ( e non è pertanto a

crescenza algebrica ) e se A2 ≠0, uI(x) diverge esponenzialmente per x → -. Affinché l’

espressione di u(x) data dalla AES-27) possa essere una autofunzione, è necessario che si abbia:

AES-32) A2 = A7 = 0

Ora, se la AES-32) è soddisfatta u(x) sarà di classe L2 ( R ) e sarà, pertanto, un’ autofunzione

propria. Rimane un’ ultima cosa da controllare e cioè se la AES-32) è compatibile con la AES-28).

Quindi sostituendo le equazioni AES-31) nelle equazioni AES-28), ed utilizzando la AES-32) si

ottiene:

AES-33)

La AES-33) è un sistema di quattro equazioni lineari nelle quattro incognite A1, A5, A6, A8.

Condizione necessaria e sufficiente perché esso ammetta una soluzione non banale è che il

relativo determinante dei coefficienti sia nullo, ovvero:

AES-34)

Tale equazione si spezza nelle dues seguenti equazioni:

AES-35)

AES-36)

Se la AES-35) viene soddisfatta si ottiene per le incognite A1, A5, A6, A8 i seguenti valori:

AES-37) A8 =A1, A6 = 0, A5 = [e-kb/ ] A1

Se è, invece, la AES-36) ad essere soddisfatta si ottiene:

AES-38) A8 =-A1, A5 = 0, A6 = [e-kb/ ] A1

I valori di E che soddisfano l’ equazione AES-35) o la AES-36) sono gli autovalori di che

appartengono all’ intervallo considerato. Le corrispondenti autofunzioni sono date dalle equazioni

AES-27), AES-31), AES-37) o rispettivamente AES-38). E’ importante osservare che le autofunzioni

risultano determinate a meno della costante moltiplicativa A1, la quale a sua volta, va scelta in

modo da soddisfare la condizione di normalizzazione. Si noti che le autofunzioni del tipo AES-37)

sono funzioni pari, soddisfano cioè la seguente relazione:

AES-39) u(-x) = u(x)

Quelle del tipo AES-38) sono funzioni dispari, cioè:

AES-40) u(-x) = - u(x)

Tale comportamento è conseguenza della parità del potenziale, cioè:

AES-41) V(-x) = V(x)

E’ importante notare, infine, che anche se contrariamente a quanto accade in meccanica classica

esiste una probabilità non nulla di trovare la particella al di fuori della buca; la densità di

probabilità |u(x)|2 decresce esponenzialmente per x < -b o x > b. (si vedano i codici in MatLab a

fine capitolo).

Studiamo ora, più in dettaglio, le equazioni AES-35) e AES-36) e poniamo per semplicità:

AES-42) = b

= kb

le equazioni AES-35) e AES-36) diventano rispettivamente:

AES-43) tg() =

AES-44) - ctg() =

si ha quindi:

AES- 45) 2 + 2 = (2m/2) V0 b2

E’ possibile, quindi, sia attraverso l’ ausilio di metodi grafici o numerici rislolvere la AES-45) e

determinare, così, ed . Se n ed n sono le coordinate di una di tali soluzioni, il corrispondente

autovalore è dato da:

AES-46) En = (2/2mb2) 2n

La soluzione dlla AES-43) è una soltanto se è verificata la seguente disuguaglianza :

AES-47) V0 b2 < (2/2m)2

se invece si ha:

AES-48) (2/2m)2 (r-1)2 < V0 b2 < (2/2m)2

con r intero e positivo le soluzioni sono in numero di “r”. In maniera similare, si può dimostrare

che l’ equazione AES-44) non ammette soluzioni se:

AES-49) V0 b2 < (2/2m)(/2)2

ed ammette r’ soluzioni se:

AES-50) (2/2m) (/2)2 (2r’-1)2 < V0 b2 < (2/2m) (/2)2(2r’+1)2

Complessivamente se:

AES-51) (2/2m) (/2)2 (-1)2 < V0 b2 < (2/2m) (/2)22

Il numero di autovalori che cadono tra – V0 ed 0 è .

Se i vari autovalori sono disposti in ordine crescente ad essi corrispondono, alternativamente,

autofunzioni pari ed autofunzioni dispari.

Consideriamo, ora, il caso

AES-52) E -V0

e quindi E < 0, E+V0 < 0. In tale caso si ha:

AES-53) uI(x) = A1 ekx + A2 e-kx

uIII(x) = A5 ekx + A6 e-kx

se si procede in modo similare a quanto fatto per il caso –V0 < E < 0, si arriva alla conclusione

che:

per k, > 0 non vi sono autovalori e per = 0 si ha una autofunzione identicamente nulla.

Pertanto nessun punto dello spettro di cade nell’ intervallo E -V0 .

Terminando con il caso:

AES-54) E > 0

E quindi E 0, E + V0 > 0 si ha:

uI(x) = A1 eikx + A2 e-ikx

AES-55)

uIII(x) = A5 eikx + A6 e-ikx

si può dimostrare che l’ intervallo E 0 appartiene allo spettro continuo di e si ha duplice

degenerazione. Si hanno, inoltre, i seguenti valori di A1, A2, A3, A4, A5, A6:

AES-56)

A titolo di esempio la figura seguente mostra il calcolo delle autofunzioni corrispondenti ad

autovalori di più bassa energia:

Il codice in MatLab 6.5 che permette il calcolo delle suddette autofunzioni è il seguente:

function out_data=sdemo(action,s)

if nargin<1,

action='initialize';

end;

if strcmp(action,'initialize'),

figNumber=figure(...

'name','Esempio di

Risloluzione della Equazione di

Shrodinger Ver 1',...

'handleVisibility','ca

llback',...

'integerHandle','off',

...

'numberTitle','off',...

'Tag','Srodemo');

labelColor=[0.8 0.8 0.8];

yInitPos=0.9;

menutop=0.95;

btnTop=0.6;

top=0.75;

left=0.785;

btnWid=0.175;

btnHt=0.06;

textHeight=0.05;

textWidth=0.075;

spacing=0.019;

frmBorder=0.019; frmBottom=0.04;

frmHeight = 0.92; frmWidth = btnWid;

btnNumber=1;

callbackStr='sdemo(''changedemo'');';

demoHndl=uicontrol( ...

'Callback',callbackStr);

for btnNumber=1:5,

yPos=menutop-(btnNumber-

1)*(btnHt+spacing);

top = yPos - btnHt - spacing;

labelWidth = frmWidth-

textWidth-.01;

labelBottom=top-textHeight;

labelLeft = left;

h = uicontrol( ...

'BackgroundColor',[0.5 0.5

0.5], ...

'ForegroundColor','white');

end

TextStrings={0.067,-

0.4,500.0,100,3,[0 150 350 500],[0 -0.4

0]};

CallbackStr= 'sdemo(''solve'',1)';

for btnNumber=1:7,

yPos=menutop-

(btnNumber-1)*(btnHt+spacing);

top = yPos - btnHt - spacing;

tWidth = frmWidth-

textWidth-.01;

tBottom=top-textHeight;

tLeft = left+labelWidth-

0.01;

tPhys(btnNumber) =

uicontrol( ...

'String',num2str(TextStrings{btnNumber})

, ...

'ForegroundColor','black',...

'Callback',CallbackStr);

end

callbackStr='sdemo(''solve'',1)';

boundHndl=uicontrol( ...

'Callback',callbackStr);

hndList=[tPhys demoHndl

boundHndl];

set(figNumber,...

'Visible','on',...

'UserData',hndList);

POT=sdemo('getpotential');

sdemo('solve',1);

out_data=0;

return

for i=1:length(xnodes)-1,

POT(fix(xnodes(i)*dnode)

+1:fix(xnodes(i+1)*dnode))=ynodes(i);

end

out_data=POT;

return

elseif strcmp(action,'solve'),

hndList=get(gcf,'UserData');

tPhys=hndList(1:7);

boundHndl=hndList(9);

if s==1,

old_xnodes=str2num(get(tPhys(6),'string'

));

Lmax=str2num(get(tPhys(3),'string'));

new_xnodes=

num2str(old_xnodes/max(old_xnodes)*Lm

ax);

set(tPhys(6),'string',new_xnodes);

old_ynodes=str2num(get(tPhys(7),'string'

));

Vmax=-

str2num(get(tPhys(2),'string'));

Vlow=min(old_ynodes);

Vhigh=max(old_ynodes);

num=max(abs(Vlow),abs(Vhigh))*sign(V

max);

new_ynodes=num2str(old_ynodes/num*V

max);

set(tPhys(7),'string',new_ynodes);

end

N=str2num(get(tPhys(4),'string'));

m=str2num(get(tPhys(1),'string'));

states=str2num(get(tPhys(5),'string'));

xnodes=str2num(get(tPhys(6),'string'));

ynodes=str2num(get(tPhys(7),'string'));

dx=(xnodes(end)-xnodes(1))/(N-1);

POT=sdemo('getpotential');

h22m=3.78/m;

H=sparse(N);

dx2=h22m/dx^2;

H=spdiags([-ones(N,1)*dx2

2*ones(N,1)*dx2+POT -ones(N,1)*dx2],-

1:1,N,N);

if get(boundHndl,'Value')==2,

H(1,N)=-dx2;

H(N,1)=-dx2;

end

[v,e]=eig(full(H));

e=diag(e);

[e,index]=sort(e);

v=v(:,index);

scale=max(abs(ynodes))/2;

x_vec=xnodes(1):dx:xnodes(end);

cla;

linetype=['r--';' r-'];

for i=1:states,

if i==2, hold on;end

maxv=find(abs(v(:,i))==max(abs(v(:,i))));

ps=sign(v(maxv,i));

plot(x_vec,v(:,i)*ps*scale+e(i),linetype(1

+mod(i,2),:));

h=line([min(x_vec) max(x_vec)],

[e(i) e(i)]);

set(h,'LineWidth',2,'Color','green');

end

clear HndlV;

W_x=reshape(ones(2,1)*xnodes,[1

2*length(xnodes)]);

W_x=W_x(2:(end-1));

W_y=reshape(ones(2,1)*ynodes,[1

2*length(ynodes)]);

W_y=W_y(1:end);

set(gcf,'handlevisibility','callback');

for i=1:length(W_x)-1,

HndlV(i)=line([W_x(i) W_x(i+1)],

[W_y(i) W_y(i+1)]);

set(HndlV(i),'LineWidth',2,'Color','blue');

set(HndlV(i),'buttondownfcn','sdemo(''dra

g'');');

end

hold off

set(gcf,'UserData',[get(gcf,'UserData')

HndlV NaN length(W_x)-1]);

return

elseif strcmp(action,'changedemo'),

Hndls=get(gcf,'Userdata');

tPhys=Hndls(1:7);

demoHndl=Hndls(8);

switch get(demoHndl,'Value')

case 1,

xnodes=[0 150 350 500];

ynodes=[0 -0.4 0];

set(tPhys(6),'String',num2str(xnodes));

set(tPhys(7),'String',num2str(ynodes));

sdemo('solve',1);

case 2,

xnodes=[0 155 255 275 375

500];

ynodes=[0 -0.4 -0.03 -0.4

0];

set(tPhys(6),'String',num2str(xnodes));

set(tPhys(7),'String',num2str(ynodes));

sdemo('solve',1);

case 3,

xnodes=[0:500];

ynodes=(xnodes/250-1).^2*0.4;

set(tPhys(6),'String',num2str(xnodes));

set(tPhys(7),'String',num2str(ynodes));

sdemo('solve',1);

case 4,

sdemo('Draw',2);

end

return

elseif strcmp(action,'drag')

the_line=gco;

tmp=get(gcf,'UserData');

tmp(end-1)=gco;

set(gcf,'UserData',tmp);

pt=get(gca,'currentpoint');

ptx=pt(1,1);pty=pt(1,2);

set(gca,'units','pixels');

pos=get(gca,'position');

set(gca,'units','normalized');

xl=get(gca,'xlim');

W=get(the_line,'Xdata');

set(gca,'units','pixels');

W_p=get(the_line,'Xdata');

set(the_line,'Color','red');

if abs(W(1)-W(2))<10,

ClbStr1='sdemo(''dragHoriz'',2);';

ClbStr2='sdemo(''dragHoriz'',3);';

else

ClbStr1='sdemo(''dragVert'',2);';

ClbStr2='sdemo(''dragVert'',3);';

end

set(gcf,'windowbuttonmotionfcn',ClbStr1);

set(gcf,'windowbuttonupfcn',ClbStr2);

return

elseif strcmp(action,'dragVert')

tmp=get(gcf,'UserData');

the_line=tmp(end-1);

N=tmp(end);

tPhys=tmp(1:7);

all_lines=tmp(end-N-1:end-2);

the_line_index=find(the_line==all_lines)

;

status=s;

if status==2,

pt=get(gca,'currentpoint');

new_y=pt(1,2);

set(the_line,'erasemode','xor');

set(the_line,'Ydata',[new_y

new_y]);

if the_line_index>1,

old_y=get(all_lines(the_line_index-

1),'Ydata');

set(all_lines(the_line_index-

1),'Ydata',[old_y(1) new_y]);

end

if the_line_index<N,

old_y=get(all_lines(the_line_index+1),'Y

data');

set(all_lines(the_line_index+1),'Ydata',

[new_y old_y(2)])

end

elseif status==3,

st='';

for i=1:N,

tmp=get(all_lines(i),'Ydata');

tmp=tmp(1,2);

if (fix(i/2)-i/2)~=0,

st=[st num2str(tmp) ' '];

end

end

set(tPhys(7),'String',st);

sdemo('solve',0);

set(gcf,'windowbuttonmotionfcn','');

set(gcf,'windowbuttonupfcn','');

end

elseif strcmp(action,'dragHoriz')

tmp=get(gcf,'UserData');

the_line=tmp(end-1);

N=tmp(end);

tPhys=tmp(1:7);

all_lines=tmp(end-N-1:end-2);

the_line_index=find(the_line==all_lines)

;

status=s;

if status==2,

pt=get(gca,'currentpoint');

new_x=pt(1,1);

set(the_line,'erasemode','xor');

x_left=get(all_lines(the_line_index-

1),'Xdata');

x_right=get(all_lines(the_line_index+1),'

Xdata');

if new_x<x_left(1)+10,

new_x=x_left(1)+10;

elseif new_x>x_right(2)-10,

new_x=x_right(2)-10;

end

set(the_line,'Xdata',[new_x

new_x]);

if the_line_index>1,

old_x=get(all_lines(the_line_index-

1),'Xdata');

set(all_lines(the_line_index-

1),'Xdata',[old_x(1) new_x]);

end

if the_line_index<N,

old_x=get(all_lines(the_line_index+1),'X

data');

set(all_lines(the_line_index+1),'Xdata',

[new_x old_x(2)])

end

elseif status==3,

st='';

for i=1:N,

tmp=get(all_lines(i),'Xdata');

tmp=tmp(1,1);

if (fix(i/2)-i/2)~=0,

st=[st num2str(tmp) ' '];

end

end

tmp=get(all_lines(N),'Xdata');

tmp=tmp(1,2);

st=[st num2str(tmp)];

set(tPhys(6),'String',st);

sdemo('solve',0);

set(gcf,'windowbuttonmotionfcn','');

set(gcf,'windowbuttonupfcn','');

end

elseif strcmp(action,'Draw')

helpstr=['Left button to locate a

point,'

'Right button to end. '];

tmp=get(0,'Currentfigure');

pos=get(tmp,'position');

hndl=helpdlg(helpstr,'Drawing

mode');

pos2=get(hndl,'position');

set(hndl,'position',[pos(1) pos(2)-

pos(3)/2.5 pos2(3) pos2(4)]);

set(0,'Currentfigure',tmp);

tmp=get(gcf,'UserData');

tPhys=tmp(1:7);

cla;axis([0 1000 -0.5 0.5]);

set(gca,'buttondownfcn','');

set(tPhys(6),'String','');

set(tPhys(7),'String','');

key=1;

while key==1,

set(gca,'units','normalized');

[x,y,key]=ginput(1);

set(tPhys(6),'string',

[get(tPhys(6),'string') ' ' num2str(x)]);

set(tPhys(7),'string',

[get(tPhys(7),'string') ' ' num2str(y)]);

sdemo('Draw_lines');

end

sdemo('Draw_finish',s);

elseif strcmp(action,'Draw_lines')

tmp=get(gcf,'UserData');

tPhys=tmp(1:7);

x=str2num(get(tPhys(6),'String'));

y=str2num(get(tPhys(7),'String'));

if length(x)>1,

for i=1:length(x)-1,

line([x(i) x(i+1)],[y(i) y(i+1)]);

end

end

elseif strcmp(action,'Draw_finish')

tmp=get(gcf,'UserData');

tPhys=tmp(1:7);

N=str2num(get(tPhys(4),'string'));

x=str2num(get(tPhys(6),'String'));

y=str2num(get(tPhys(7),'String'));

sz=length(x);

x=x-min(x);

for i=1:N,

tmp=find(x>max(x)/N*i);

if isempty(tmp), break;end

j=tmp(1)-1;

xn(i)=max(x)/N*i;

yn(i)=y(j)+(y(j+1)-y(j))/(x(j+1)-

x(j)+1e-10)*(xn(i)-x(j));

if i>1,

if xn(i)<=xn(i-1), xn(i)=xn(i-

1);end

end

end

if s==2,

set(tPhys(7),'string',num2str(yn));

set(tPhys(6),'string',['0'

num2str(xn)]);

end

sdemo('solve',1);

end;

Coefficienti di riflessione e di trasmissione

Prendiamo in considerazione, ora, il gradino di potenziale unidimensionale (per semplicità)

descritto dalla seguente relazione

AES-57) 0 x < 0 “Regione I”

V0 x > 0 “Regione II”

così raffigurato:

Introducendo l’ espressione della densità di corrente J che vale:

AES-58) j= (-i/2m)(* - *)

si definisce il Coefficiente di Riflessione R che vale:

AES-59) R = jriflessa/jincidente = jriflessa/jincidente

ed il Coefficiente di Trasmissione T che vale:

AES-60) R = jtrasmesso/jincidente = jtrasmesso/jincidente

Consideriamo, ora, stati ad energia definita, ovvero E > V0. La dipendenza temporale della

funzione d’ onda è, come si è visto, data da una relazione del tipo e-(i/)Et. Nella regione “I”, il

fattore spaziale della funzione d’ onda è del tipo:

AES-61) uI(x) = A eikx + B e-ikx

K = (2mE/2)

Il primo termine della AES-61), descrive l’ onda incidente sul gradino, nota anche come onda

progressiva, il secondo termine della medesima equazione, invece, descrive l’ onda riflessa.Nella

regione “II”, escludendo onde regressive, si può scrivere:

AES-62) uII(x) =

= [2m(E-V0)/2]

si hanno, allora, per la densità di corrente ( modulo della AES-58)) incidente, riflessa e trasmessa

le seguenti equazioni:

AES-63) Jincidente = A2 (/m) (2mE/2)= A2 (2E/m)

Jriflessa = B2 (/m) (2mE/2)= B2 (2E/m)

Jtrasmessa = C2 (/m) [2m(E – V0)/2]= C2 [2(E – V0)/m]

Dalle condizioni di continuità in x = 0, si ottengono i coefficienti B,C in termini di A e di qui, i

coefficienti di riflessione e trasmissione; possiamo così scrivere:

AES-64) A + B = C

k (A-B) = C

posto = / k

B = ( 1 - / 1 + ) A con < 1

C = 2 A /( 1 + )

da cui si ha:

R = B2/ A2 = ( 1 - )2/( 1 + )2

T = C2/A2 = 4 / [k (1 + )2]

Si osservi che si ha sempre sia riflessione sia trasmissione. Consideriamo, ora, stati ad energia

definita con E < V0. Il valore di assume, ora, la forma:

AES-66) = i [2m(V0 - E)/2]

e si ha per uII(x) l’ espressione:

AES-67) uII(x)=

e la densità di corrente nella regione II è nulla.

Questo comportamento, avviene tutte le volte che la funzione d’ onda spaziale è reale e corrisponde

all’ assenza di carattere propagatorio. Si può dimostrare che il coefficiente T è nullo ed R vale 1.

Per E < V0 si ha una densità di probabilità di posizione diverso da 0 a destra del gradino, che è

una regione Classicamente Proibita.

Effetto tunnel

Si consideri, ora, la seguente Barriera di Potenziale Rettangolare:

la cui espressione sotto il profilo matematico risulta:

AES-68) 0 per x < 0, x > a

V0 per 0 < x < a

Consideriamo stati ad energia definita in cui E ≷ V0. Nelle regioni I, II, III la parte spaziale della

funzione d’ onda vale rispettivamente:

AES-69) uI(x) = A eikx + B e-ikx k = (2mE/2)

= [2m(E - V0)/2]

uIII(x) = E eikx (Escludendo Onde Regressive)

si hanno inoltre per R e T le seguenti espressioni:

AES-70) R = B2/A2

T = E2/A2

Le condizioni di continuità sono:

AES-71) A + B = C + D con = / k = [1 – (V0/E)]

A – B = (C – D) in x = 0

si ha pertanto:

AES-72) A = ½ ( 1 + ) C + ½ (1 - ) D

mentre si ha:

AES-73) in x = a

si ha pertanto:

AES-74) C =[(1 + )/2] E e i(k - ) a

AES-75) D =[( - 1)/2] E e i(k + ) a

si osservi che la AES-72) diviene:

AES-76) A = E ¼ e ik a[(1 + )2 e-i a - ( - 1)2 e i a ]

pertanto si ha:

AES-77) 1/T = A2/E2 = 1/(162 ) [(1 + )2 e-i a - ( - 1)2 e i a ]2

Consideriamo, ora, diversi casi operativi caratterizzati da un diverso rapporto E/V0. Cominciamo

con il considerare il caso in cui E >V0 in tal caso sia hanno sia sia Reali. Si può, ora,

facilmente ricavare il valore di 1/T che vale:

AES-78) 1/T = 1 + (V20 sen2 a)/[4E(E – V0)]

Come si può ben notare, il coefficiente di trasmissione T, mostra un andamento oscillante con l’

energia E.

Consideriamo, come ultimo caso, la situazione caratterizzata dalla seguente disuguaglianza: E <V0

In tal caso si hanno sia sia Immaginari. Procedendo al calcolo di T, si ottiene:

AES-79) 1/T = 1 + (V20 Sh2 i a)/[4E(V0 - E)]

In conclusione si hanno le seguenti circostanze per quanto concerne la parte spaziale della

funzione d’ onda:

E’ importante notare che T risulta ≠ 0 anche per E < V0, in quest’ ultimo fatto consiste l’ effetto

TUNNEL. L’ effetto tunnel è un fatto realmente osservato e di notevole importanza, ad esempio in

fisica nucleare. Infatti un protone per penetrare in un nucleo e dar luogo ad una reazione nucleare,

deve superare la barriera di potenziale che risulta dalla combinazione della repulsione

Colombiana Ze2/r con il campo attrattivo delle forze nucleari di intensità molto più elevata ma di

raggio d’m azione estremamente breve, circa 10-13 cm. Si sono osservate reazioni nucleari prodotte

da protoni, oppure altre particelle cariche, di energia inferiore all’ altezza della barriera suddetta.

Inoltre a titolo puramente informativo, si fa presente che un’ altra circostanza controllata dallo

stesso fenomeno si osserva nella radioattività .

BUCA con profondità infinita

Per trattare il caso limite della buca con profondità infinita ovvero V0 , è conveniente contare

l’ energia a partire dal fondo della buca stessa come mostrato nella figura seguente:

Il valore nullo dell’ energia potenziale si ha, ora, sul fondo della buca mentre il valore esterno è

V0; ovvero possiamo scrivere:

V( r ) = 0 per r < a

V0 per r > a

Si può dimostrare che la soluzione interna vale:

uI( r ) = A Jl (kr)

k = (2mE/2) E > 0

invece la soluzione esterna vale:

uII( r ) = B hl(+) (ir)

= (2mE – V0/2) E – V0 > 0

Si faccia attenzione che con Jl () si indicano le funzioni Sferiche di Bessel regolari nell’ origine,

mentre con nl() si indicano le funzioni Sferiche di Bessel irregolari nell’ origine,inoltre con hl()

() = nl() i Jl (), si indicano le funzioni di Hankel.

Per V0 , e la soluzione esterna diviene identicamente nulla.

La condizione di continuità in “r=a” è allora, semplicemente quella di annullamento della

funazione d’ onda interna in formule si ha:

uI( a )= Jl (ka)=0

da cui seguono i livelli energetici. Si ricordi che essi sono valutati a partire dal fondo della buca.

Per ottenere il valore dei livelli basta, pertanto, conoscere gli zeri delle funzioni di Bessel regolari

Jl () che si trovano tabulati.

Potenziale periodico

Consideriamo una particella soggetta ad un potenziale periodico che soddisfi, cioè, una realzione

del tipo:

AES-83) V( x + l) = V( x)

Caratteristica particolare di questa tipologia di potenziali è che lo spettro di risulta puramente

continuo ed è formato da un insieme di intervalli tra di loro separati detti bande di energia. L’

insieme di queste bande, si estende da un valore minimo dell’ energia fino all’ infinito. In generale,

la larghezza delle bande cresce al crescere dell’ energia, mentre la loro separazione diminuisce

rapidamente. In un potenziale periodico nelle bande di energia permessa, la particella è libera di

muoversi senza restrizioni. E’ utile lo studio di tali tipi di potenziali al fine di predire il moto degli

elettroni in seno ad un metallo.

Potenziale centrale

Prima di continuare, diamo una definizione esplicita di questi potenziali. Per potenziale centrale, si

intende un potenziale che dipende soltanto dalla distanza della particella da un punto fisso. Se si

assume questo punto come origine delle coordinate il potenziale avrà una forma del tipo:

AES-84) V = V (r)

r = (x2 + y2 + z2)

Ad un tale tipo di potenziale, ci si riferisce anche come ad un potenziale a simmetria sferica. Per la

ricerca delle soluzioni dell’ equazione di Schrödinger, degli stati stazionari, è conveniente usare le

coordinate polari sferiche r, , si ha infatti:

AES-85) x = r cos sen 0 r

y = r sen sen 0

z = r cos 0 2

tenuto conto delle relazioni seguenti, che permettono di passare dalle coordinate cartesiane alle

coordinate polari sferiche per quanto concerne la gestione delle derivate parziali, ovvero:

AES-86) ∂/∂x = cos sen ∂/∂r + (1/r) cos cos ∂/∂ - (1/r) (sen/ sen)∂/∂

∂/∂y = sen sen ∂/∂r + (1/r) sen cos ∂/∂ + (1/r) (cos/ sen)∂/∂

∂/∂z = cos ∂/∂r - (1/r) sen ∂/∂

l’ operatore di Laplace in coordinate sferiche diventa:

AES-87) 2 = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2 = (1/r2) ∂/∂r(r2 ∂/∂r) + [1/(r2 sen)]∂/∂( sen ∂/∂) + [1/(r2 sen2)]∂2/∂2

e l’ equazione degli stati stazionari si presenta in tale maniera:

AES-88)

(1/r2) ∂/∂r [ r2 ∂u(r,,) /∂r] + [1/(r2 sen)]∂/∂( sen ∂ u(r,,) /∂) + [1/(r2 sen2)]∂2 u(r,,) /∂2 + (2mp/2) [ E –

V( r )] u(r,,) = 0

dove “mp” denota la massa della particella. Per risolvere l’ equazione AES-88) conviene utilizzare

la tecnica di separazione delle variabili, ovvero separiamo la variabile “r” da e ponendo:

AES-89) u(r,,) = R( r ) Y (,)

Se, ora, sostituiamo la AES-89) nella AES-88) e moltiplichiamo il tutto per “r2/RY” si ottiene:

AES-90) (1/R) d/dr( r2 dR/dr) + (2mp/2)[E – V( r )] r2 + [1/(Y sen)] ∂/∂( sen ∂ Y /∂)

+ [1/(Y sen2)]∂2 Y /∂2 = 0

La AES-90) può essere scissa nelle due seguenti equazioni (questo grazie alla separazione delle

variabili), ovvero :

AES-91) [1/(Y sen)] ∂/∂( sen ∂ Y /∂) + [1/(Y sen2)]∂2 Y /∂2 = -

AES-92) (1/R) d/dr( r2 dR/dr) + (2mp/2)[E – V( r )] r2 =

essendo una costante.

La AES-91) non contiene V ( r ) ed è quindi comune a tutti i problemi riguardanti una particella in

un campo di forze centrali. Si possono in essa separare le variabili e ponendo:

AES-93) Y (,) = ( ) ()

L’ equazione AES-91) si scindi, quindi, nelle seguenti due equazioni:

AES-94) d2/d2 + = 0

AES-95) [1/(sen)] d/d( sen d /d) + ( - / sen2) = 0

Si può dimostrare che la soluzione della AES-94) soddisfacente la condizione di normalizzazione

seguente:

2

AES-96) ∫m2 d = 1

0

vale:

AES-97) m() = [1/(2)]eim

e si ha:

2

AES-98) ∫*m() m’() d = mm’

0

Si può, inoltre, dimostrare che la soluzione della AES-95) è:

AES-99) ( ) = Clm Pl

m ( ) con l = m, m+1, m+2, …,

avendo posto:

AES-100) Plm ( ) = (-1)m (1-2)m/2 (dm/dm)Pl( )

Le funzione Plm ( ) prendono il nome di Funzioni Associate di Legendre. Inoltre per Pl ( ) si ha

la seguente espressione:

AES-101) Pl ( )= (-1)l [1/(l ! 2l)](dl/dl)(1 - 2)l

tale equazione è nota come Formula di Rodriguez.

Infine se conveniamo di scegliere i coefficienti Clm in modo che sia:

+1

AES-102) ∫lm

( )2 d = 1

-1

otteniamo (a meno di un fattore di modulo 1)

AES-103) Clm = [(2l +1)/2][(l- m)!/(l + m)!]

Le funzioni Ylm (,) = lm

(cos ) m () con “m2 = ” sono chiamate Funzioni di Superficie.

Esse formano un sistema ortonormale completo nello spazio L2( ) delle funzioni di classe L2 sulla

sfera di raggio 1, sia ha:

2

AES-104) ∫d ∫ Y*l’m’(,) Ylm (,) d = mm’ ll’

0 0

Per quanto concerne la risoluzione della AES-92), è necessario specificare la natura del potenziale

V( r ). Facciamo, ora, una precisazione sull’ equazione AES-92). Ponendo = l(l+1), la AES-92)

diventa:

AES-105) (1/R) d/dr( r2 dR/dr) + (2mp/2)[E – V ( r ) -(2/2mp) l(l+1)/r2 ] R = 0

Si noti che formalmente il problema della ricerca degli autovalori e delle autofunzioni proprie ed

improprie dell’ operatore Hamiltoniano per una particella in un potenziale centrale, si riduce al

corrispondente problema per una particella sulla retta sotto l’ azione di un potenziale efficace

Veffl ( r ) dato dalla seguente equazione:

AES-106) Veffl ( r ) = V( r ) + (2/2mp) l(l+1)/r2 per r > 0

per r 0

L’ analogia con la descrizione classica del moto di una particella in un campo centrale suggerisce

di interpretare la quantità 2 l(l+1) come quadrato del momento angolare della particella e del

termine (2/2mp) l(l+1)/r2 come potenziale centrifugo (si veda rif. 1 in Appendice per una

dimostrazione del caso).