ASSERVISSEMENT – I1.1 SI1 CHAPIT RE 3 : …si-icam-paris-senart.e-monsite.com/medias/files/module-i1-1-si1... · → SYSTEMES NON BOUCLES: systèmes commandés ... CHAPIT RE 3 :

ASSERVISSEMENT – I1.1 SI1 Cours

CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS

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Icam Paris Sénart I1 Sciences Industrielles

1. INTRODUCTION

a. Les systèmes automatisés Un système automatisé est un système qui réalise, de manière autonome, des opérations du processus

de transformation de la matière d’œuvre. L’intervention de l’homme est alors limitée à la

programmation, la mise en marche et aux réglages de certains paramètres.

Les buts d’un système automatisé sont :

- De réaliser des tâches complexes ou dangereuses pour l’homme ;

- D’effectuer des tâches pénibles ou répétitives ;

- De gagner en efficacité et en précision.

Parmi les systèmes automatisés, on distingue :

Les SYSTEMES LOGIQUES COMBINATOIRES : la grandeur de sortie du système

est élaborée à partir d’une combinaison des grandeurs d’entrées.

Les SYSTEMES LOGIQUES SEQUENTIELS : la grandeur de sortie est élaborée à

partir d’une combinaison des grandeurs d’entrée, mais prend également en compte

la chronologie des évènements et l’état précédent du système.

Les SYSTEMES CONTINUS : les grandeurs d’entrée et de sortie évoluent de manière

continue en fonction du temps.

Ce dernier type de système offre en sortie une réponse à la demande faite en

entrée. Lorsqu’on demande à un four de chauffer à 200°C, on attend en sortie qu’il

respecte cette consigne, en étant le plus performant possible. Une question se pose : comment ?

b. Qu’est-ce que l’automatique ? Historique Le mot AUTOMATIQUE provient du mot automate apparu au XVIIIème siècle. Le Nouveau Petit Robert

définit l’automatique comme :

L’ensemble des disciplines scientifiques et des techniques utilisées pour la conception de la

commande et du contrôle du processus.

Le développement de l’automatique s’est fait par étapes successives. Tout d’abord les ingénieurs ont

cherché des formes d’énergie pour remplacer les tâches les plus fastidieuses. Par exemple, l’énergie

hydraulique ou éolienne ont permis l’invention des moulins. Cette énergie transformée en énergie

mécanique peut alors être utilisée pour moudre du blé, scier du bois, etc.

La partie dite « opérative » n’est plus d’origine musculaire, mais c’est toujours l’homme qui a la

responsabilité de la partie commande.



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Les ingénieurs ont ensuite cherché à s’affranchir de la tâche de l’homme pour la partie commande. Par

exemple, l’évolution de la scie permet de limiter aujourd’hui le rôle de l’homme à l’approvisionnement,

à la programmation et à la maintenance de la machine.

Aujourd’hui, l’automatisation est dans une situation paradoxale.

→ Les systèmes automatisés occupent et contrôlent l’ensemble des secteurs de l’économie à

travers les industries : une défaillance du système de contrôle d’un quelconque procédé peut

entraîner la mise hors service de toute la chaîne.

→ En même temps, l’automatique génère une image négative, puisqu’elle est associée à la mise

hors circuit d’un certain nombre d’opérateur.

Buts de l’automatique Dans de nombreux processus industriels, il est indispensable de maîtriser un certain nombre de

grandeurs physiques :

- Le courant ou la tension en sortie d’une source

- La vitesse de rotation d’un moteur

- La température d’un local

- Etc.

On rencontre deux types de systèmes :

→ SYSTEMES NON BOUCLES : systèmes commandés

→ SYSTEMES BOUCLES : systèmes asservis



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Exemple : Prenons l’exemple du contrôle de la température d’un four à gaz.

Un utilisateur règle la température en tournant un

potentiomètre gradué. Ce potentiomètre agit

directement sur le débit de gaz dans le four. Il est très

difficile de contrôler précisément par cette méthode

la température, car l’utilisateur n’a aucune

information sur la température réelle dans le four

(aucune mesure n’est effectuée).

Pour certaines applications, il est important

de contrôler précisément la température.

Une autre méthode consiste alors à mesurer

la température dans le four, puis à

comparer cette mesure à la consigne et agir

ensuite sur le débit de gaz. On parle de

SYSTEME BOUCLE ou de SYSTEME A RETRO-ACTION.

L’objectif de l’automatique est de s’affranchir de la tâche de l’homme (qui n’a plus qu’à indiquer la

consigne), et de remplacer l’homme par

un système.

L’automatique aujourd’hui L’automatique intervient aujourd’hui dans

tous les domaines de notre quotidien. Il

serait impossible de citer tous les

exemples de développements de ces

dernières années.

Boucle ouverte

Système bouclé



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Mais c’est sans doute dans le domaine de l’automobile que la régulation s’est le plus imposé ces

dernières années. En 1980, l’électronique représentait 0,5% du prix de la voiture. En 2010, il représente

le quart du prix de la voiture.



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CHAPIT

Icam Paris Sénart I1

2. PERFORMANCES DES SYSTEMES CONTINUS

Afin de répondre aux mieux aux besoins de l’utilisateur, un système continu doit présenter des

performances (précision, rapidité, stabilité) les plus proches possibles de celles définies dans le

des charges.

Pour vérifier ces performances et déterm

différents critères (erreur, temps de réponse, dépassement).

La PRECISION, caractérisée par l’erreur statique ou l’erreur de poursuiteLa précision qualifie l’aptitude du système à

atteindre la valeur visée.

On définit l’erreur ou écart à l’instant �� par : ��

Avec �� l’entrée, et �� la sortie.

La précision est alors caractérisée en régime

permanent par :

��∞� ��∞� ��

On parlera d’ERREUR STATIQUE

position), l’erreur en régime permanent pour une

entrée en échelon.

On parlera d’ERREUR DE POURSUITEde suivi), l’erreur en régime permanent pour une

entrée en rampe.

La RAPIDITE, caractérisée par La rapidité caractérise la vitesse avec laquelle le

système peut passer d’une position à une autre.

La rapidité est caractérisée généralement par

temps de réponse à 5% noté ��%.

Le temps de réponse à 5% est le temps mis par la

sortie pour atteindre la valeur finale à

→ Ce n’est pas le temps mis pour atteindre la valeur souhaitée (consigne) à 5% mais bien la valeur finale.

→ Le temps de réponse à 5% est atteint lorsque la sortie rentre dans le « tube des 5%plus !

→ Le temps de réponse à 5% peut être déterminé uniquement pour une entrée en échelon.


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Sciences Industrielles

PERFORMANCES DES SYSTEMES CONTINUS


performances (précision, rapidité, stabilité) les plus proches possibles de celles définies dans le

Pour vérifier ces performances et déterminer les réglages permettant de les optimiser, on utilise

(erreur, temps de réponse, dépassement).

, caractérisée par l’erreur statique ou l’erreur de poursuiteLa précision qualifie l’aptitude du système à

à l’instant � notée

La précision est alors caractérisée en régime

�∞� (ou erreur de

), l’erreur en régime permanent pour une

ERREUR DE POURSUITE (ou erreur ), l’erreur en régime permanent pour une

, caractérisée par le temps de réponse rapidité caractérise la vitesse avec laquelle le

système peut passer d’une position à une autre.

La rapidité est caractérisée généralement par le

Le temps de réponse à 5% est le temps mis par la

a valeur finale à ±5%.

Ce n’est pas le temps mis pour atteindre la valeur souhaitée (consigne) à 5% mais bien la valeur

Le temps de réponse à 5% est atteint lorsque la tube des 5% » et n’en sort

à 5% peut être déterminé uniquement pour une entrée en échelon.

MODELISATION DES



performances (précision, rapidité, stabilité) les plus proches possibles de celles définies dans le cahier

permettant de les optimiser, on utilise

, caractérisée par l’erreur statique ou l’erreur de poursuite


CHAPIT


La STABILITE, caractérisée par premier dépassement Pour la grande majorité des systèmes, il est

nécessaire qu’à consigne constante et en

absence de perturbation la grandeur de

sortie converge vers une valeur constante.

La stabilité est caractérisée généralement

par le nombre de dépassements

valeur du premier dépassementcritique), noté �� par rapport à la valeur

finale.

On définit le dépassement absolu

par :

�� |�� ∞�|

On définit le dépassement relatif par

��% � ��∞��

→ Ce ne sont pas les dépassements par rapport à la valeur souhaitée (consigne), mais bien par rapport à la valeur finale. Lors d’une étude de stabilité, il faut faire abstraction de l’entrée

L’analyse d’un système continu est menée en deux étapes

1ère étape : observation des CRITERES2ème étape : conclusion sur les PERFORMANCES

Etudier les systèmes continus, c’est essayer d’améliorer ces différentes


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, caractérisée par le nombre de dépassements et/ou la valeur du

Pour la grande majorité des systèmes, il est

nécessaire qu’à consigne constante et en

absence de perturbation la grandeur de

sortie converge vers une valeur constante.

La stabilité est caractérisée généralement

et/ou la (le plus

par rapport à la valeur

d’ordre k

par :

d’une étude de stabilité, il faut faire abstraction de l’entrée !

L’analyse d’un système continu est menée en deux étapes :

CRITERES tels que l’erreur, le temps de réponse, le dépassement, etc.PERFORMANCES que la précision, la rapidité et la stabilité.

Etudier les systèmes continus, c’est essayer d’améliorer ces différentes caractéristiques !

MODELISATION DES


le nombre de dépassements et/ou la valeur du

tels que l’erreur, le temps de réponse, le dépassement, etc. que la précision, la rapidité et la stabilité.

Etudier les systèmes continus, c’est essayer d’améliorer ces différentes



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3. MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS

a. Consigne, réponse et modèle Pour répondre correctement au besoin pour lequel il a été conçu, un système doit « produire » une

réponse (sortie) qui respecte au mieux la consigne (entrée).

Exemple : étuve thermique

Ces deux grandeurs sont liées entre elles par une loi physique, traduite par une équation mathématique

plus ou moins complexe, qui est le MODELE du système :

On parlera de :

MODELE DE CONNAISSANCE lorsque le modèle est théorique

MODELE DE COMPORTEMENT lorsque ce dernier est déterminé expérimentalement.

Etant donné que le modèle traduit la relation entre l’entrée et la sortie, la connaissance de deux d’entre

eux doit permettre la détermination du troisième.



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L’étude des systèmes continus peut donc conduire à rencontrer 3 types de problèmes :

b. Limites d’études : systèmes linéaires, continus et invariants (SLCI) Nous nous limiterons à l’étude des systèmes pour lesquels les grandeurs d’entrée et de sortie évoluent

de manière continue dans le temps.

Nous ferons l’hypothèse que le modèle, qui traduit la manière dont se comporte le système, est

invariant, c’est-à-dire qu’il reste identique et valable à chaque instant.

Enfin, nous restreindrons nos études aux cas des systèmes linéaires.

Un système est LINEAIRE s’il possède les propriétés suivantes :

Si �� est la sortie obtenue en appliquant �� et �� celle obtenue en appliquant ��, alors ∀� ∈ ℝ, ∀� ∈ ℝ, en appliquant à l’entrée �� , le système

génère la sortie �� .

Dans la majorité des cas, le modèle de connaissance du système est alors une équation différentielle à

coefficients constants de la forme : ! "!��"�! � !#� "!#��"�!#� �⋯� � "��"� � %�� &' "'��"�' � &'#� "'#��"�'#� �⋯� &� "��"� � &%��

Une équation différentielle est un outil mathématique puissant pour la modélisation et la simulation

d’un système monovariable : lorsque l’entrée �� et les n conditions initiales sont connues, elle permet

de calculer la sortie ��. Les systèmes réels étudiés impliquent ( ≤ * ; * est appelé ORDRE DU SYSTEME.



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Avec �� la tension, +�� l’intensité,- la résistance,. l’inductance et / la capacité.

Dans certains cas, en général des constituants des systèmes, il existe simplement une relation de

proportionnalité entre la sortie et l’entrée.

Ce coefficient de proportionnalité sera appelé GAIN du constituant.

Lors de l’étude des Systèmes Linéaires Continus Invariants (SLCI), en particulier pour les problèmes de

prédiction, on sera amené à manipuler et résoudre ces équations.

Même si les équations différentielles à coefficients constants (d’ordre 1 ou 2) figurant parmi les plus

simples à appréhender, il est intéressant de disposer d’outils adaptés permettant d’effectuer

rapidement et efficacement les études systématiques : le plus efficace dans les cas étudiés est la

TRANSFORMATION DE LAPLACE.

c. Résolution de l’équation différentielle par la transformée de Laplace Techniques de résolution de l’équation différentielle



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Définition mathématique de la transformée de Laplace

La transformée de Laplace 0�1� de la fonction 2��, est : .32��4 0�1� 5 2��. �#78. "�9:#:

La variable 1 appartient au corps des complexes ℂ.

Fonctions causales La cause précède l’effet. L’ingénieur a pour pratique d’étudier l’effet d’une cause qu’il situe à la date � 0. En automatique, on utilisera donc la transformée de Laplace restrainte : 0�1� 5 2��. �#78. "�9:

%#

Qui ne s’applique qu’aux FONCTIONS CAUSALES.

Pour rendre une fonction mathématique 2�� qui n’est pas nulle quand � < 0 causale, on la multiplie

par la fonction d’Heaviside ��: �� >0si� < 01si� ≥ 0C

Propriétés de la transformée de Laplace

D�� E�F� Linéarité �. 2�� . G�� . 0�1� � �. H�1�

Dérivation 1ère

2I�� 1. 0�1� 2�0�� Par itération, cette formule peut être étendue à une dérivation

d’ordre quelconque.

Intégration

5 2�J�. "J8%

0�1�1

Par itération, cette formule peut être étendue à une intégration

d’ordre quelconque.

Fonction retardée 2�� K� �#L7. 0�1� Multiplication d’une fonction

par une fonction 2��. G�� 0�1�. H�1�

Théorème de la valeur initiale 2�0 �� lim8→%92�� lim7→9:1. .32��4 lim7→9:1. 0�1� Théorème de la valeur finale 2��∞� lim8→9:2�� lim7→%91. .32��4 lim7→%91. 0�1�



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Transformées usuelles de fonctions causales Nous ne chercherons pas à déterminer 0�1� par la définition (car cela reviendrait à résoudre l’équation

différentielle). Les transformées de Laplace les plus usuelles, qu’il faut connaître sont :



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Détermination de la Transformée de Laplace inverse Pour déterminer la transformée de Laplace inverse de P�1�, donc �� .#�3P�1�4, il faut :

1. Mettre l’ordre du polynôme du numérateur inférieur à celui du dénominateur PolynômeAdIordre*PolynômeBdIordre* ⇒ 1 � PolynômeCdIordre* 1PolynômeBdIordre*

Exemple : 1² � 11² � 31 � 2 1² � 31 � 2 31 2 � 11² � 31 � 2 1 � 31 11² � 31 � 2

2. Rechercher les racines du dénominateur Soit : P�1� �% � ��. 1`% � `�. 1 � `�. 1�

Supposons que le dénominateur ait deux racines réelles et &, tel que : `% � `�. 1 � `�. 1� `�. �1 �. �1 &�

3. Factoriser le dénominateur P�1� �% � ��. 1`�. �1 �. �1 &�

4. Décomposer a�F� en éléments simples P�1� �% � ��. 1`�. �1 �. �1 &� b1 � c1 &

5. Identifier la valeur de d et de e par analogie P�1� �% � ��. 1`�. �1 �. �1 &� b. �1 &� � c. �1 ��1 �. �1 &� �b. & . c� � �b � c�. 1�1 �. �1 &�

On en déduit que :

fb. & . c �%`�b � c ��`�C

6. Identifier des transformées usuelles .#� g b1 h b. �i8. ��et.#� g c1 &h c. �k8. ��

On trouve la transformée inverse : �� b. �i8. �� c. �k8 . ��



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d. Modélisation schématique d’un système asservi : le schéma fonctionnel Pour représenter graphiquement la structure d’un système asservi, on utilise un diagramme fonctionnel

ou schéma fonctionnel. Cette technique de représentation utilise 4 éléments de base :

→ Le rectangle qui regroupe un élément ou groupe d’éléments du système.

→ La flèche qui désigne une grandeur physique en entrée ou en sortie d’un élément.

→ Le comparateur ou sommateur.

→ Le branchement pour le prélèvement d’information (même information dans chaque branche).

A partir de ces éléments de base, la structure schématique d’un asservissement peut être définie sous la

forme suivante :

Avec : � : grandeur d’entrée appelée CONSIGNE ou référence, qui définit la grandeur de sortie à atteindre. P : grandeur de sortie qui est la variable caractéristique de l’état (vitesse, position, température, etc.). P’ : mesure de la sortie. Cette grandeur est fournie par la CHAÎNE DE REACTION. Elle doit

impérativement être de même nature physique que la consigne�’ pour pouvoir lui être comparée. m : ERREUR ou ECART. Elle est fournie par le comparateur.

Le diagramme comporte deux chaînes :

Une CHAÎNE D’ACTION ou CHAÎNE DIRECTE assurant la fonction de commande et de puissance.

Une CHAÎNE DE CONTRE-REACTION ou CHAÎNE DE RETOUR assurant la fonction de mesure.

Notion de perturbations Des phénomènes physiques intérieurs ou extérieurs au processus étudié peuvent influencer son

comportement. On considère en général que seuls les actionneurs et le processus (qui forment la partie

opérative) sont soumis à des perturbations.

Fonction de correction Afin d’améliorer les performances du système asservi, un organe correcteur est souvent introduit dans

l’asservissement. Dans le cas d’une correction dite série, comme celle envisagée ici, le correcteur est

placé en amont de l’amplificateur.



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On peut maintenant envisager la structure générale d’un asservissement.

e. Représentation des systèmes asservis par fonction de transfert

Existence de la fonction de transfert si les conditions initiales sont nulles On a vu précédemment que le modèle traduisant la relation entre l’entrée �� et la sortie �� était

représenté dans la majorité des cas, une équation différentielle :

En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de cette équation et en considérant les conditions initiales nulles, on a :

!. 1!. P�1� � ⋯� �. 1. P�1� � %. P�1� &'. 1'. ��1� �⋯� &�. 1. ��1� � &%. ��1� Soit : 3 !. 1! �⋯� �. 1 � %4. P�1� 3&'. 1' �⋯� &�. 1 � &%4. ��1� D’où : P�1��1� 3&'. 1' �⋯� &�. 1 � &%43 !. 1! �⋯� �. 1 � %4

Cette fraction rationnelle de deux polynômes de variable 1 est appelée FONCTION DE TRANSFERT du

système. Elle est notée : n�1� P�1��1� Forme canonique : gain statique, ordre et classe, pôles et zéros Si n�1� est une fonction de transfert alors :

→ n�1� caractérise le système indépendamment de l’entrée appliquée.

→ Les valeurs de p qui annulent le numérateur sont appelées les ZEROS du système.

→ Les valeurs de p qui annulent le dénominateur sont appelées les PÔLES du système.

→ Le degré * du polynôme du dénominateur est appelé ORDRE DU SYSTEME.

→ o est appelé le GAIN STATIQUE (il caractérise le régime permanent).

n�1� P�1��1� o. �1 p'��1 p'#��… �1 p%��1 1!��1 1!#��… �1 1%�

! "!��"�! �⋯� � "��"� � %�� &' "'��"�' �⋯� &� "��"� � &%��



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f. Représentation des systèmes asservis par schéma bloc Un système asservi peut être représenté de deux manières :

SCHEMA FONCTIONNEL : les blocs sont complétés par le nom de l’élément qui intervient.

SCHEMA BLOC : les blocs sont complétés par la fonction de transfert de l’élément qui intervient.

La représentation externe d’un composant de la chaîne fonctionnelle du système peut être faite par un

bloc représentant sa fonction de transfert :

Avec : P�1� n�1�. ��1�

4. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS ASSERVIS

a. Insuffisance des systèmes en boucle ouverte (BO) Un système continu peut, dans une première approche, être représenté de la façon suivante :

Un système non bouclé (en BOUCLE OUVERTE) est un système qui ne contrôle par la manière dont la

consigne imposée en entrée a été respectée. Il ne prend pas en compte la réaction du système à une

éventuelle cause externe qui pourrait modifier la relation entrée/sortie.

Un évènement extérieur (PERTURBATION) peut alors modifier la sortie attendue du système.

Exemple :

Pour qu’un système réponde correctement aux besoins de l’utilisateur, il est important que la sortie ne

varie pas quels que soient les phénomènes extérieurs qui pourraient la perturber.

b. Les systèmes asservis ou en boucle fermée (BF) Systèmes régulateurs et systèmes suiveurs On parle d’un SYSTEME REGULATEUR lorsque l’on désire que la sortie

prenne une valeur précise et égale à une consigne d’entrée fixe.

On parle d’un SYSTEME SUIVEUR lorsque l’on désire que la sortie suive

une consigne d’entrée qui varie au cours du temps et dont l’évolution

n’est pas toujours connue à l’avance.

n�1� ��1� P�1�

Système Entrée Sortie

Perturbation

Chauffage

d’immeuble

Consigne de

température

Température du

logement

Fenêtre ouverte



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c. Représentation par schéma-bloc d’un système asservi élémentaire

On note la CHAINE DIRECTE, la CHAINE DE RETOUR, le COMPARATEUR sur ce schéma-bloc fonctionnel.

m�� I�� I�� représente l’IMAGE DE L’ERREUR �� .

d. Simplification de schémas-blocs élémentaires Les schémas blocs ne sont pas toujours de structure simple. Des manipulations permettent de réduire

leur complexité et ainsi de déterminer la fonction de transfert globale.

Fonction de transfert de blocs en série

Fonction de transfert de blocs en parallèle

Fonction de transfert de blocs en Boucle Fermée : FTBF

Avec ��1� la fonction de transfert de la chaîne directe et -�1� la fonction de transfert de la chaîne de

retour.


CHAPIT


On peut retrouver cette formule : P�1� ��1�. m�1� P�1� ��1�. 3�I�1� PI�1P�1� ��1�. 3�I�1� -�1P�1�. 31 � -�1�. ��1�4 �On obtient : 0rc0

Ne pas confondre avec la simplification de blocs en parallèle ciAttention au signe dans le comparateur.

Déplacements de jonctions L’objectif est de déplacer une jonction vers une autre jonction de façon à

gênante d’une boucle fermée. Le déplacement peut se faire vers la gauche ou vers la droite. Il faut faire

attention au bloc rajouté dans la branche déplacée.

Déplacements de sommateurs Le déplacement peut se faire vers la gauche ou vers la droite. Il faut faire attention au bloc rajouté dans

la branche déplacée.

Fonctions de transfert de systèmes à n entrées, principe de superpositionSuppose que toutes les entrées sont nulles sauf une. On calcule alors la sortie en

entrée. On fait la même chose pour toutes les autres entrées.

Puis, on détermine la sortie lorsque toutes les entrées sont présentes par la principe de superposition en

additionnant toutes les réponses précédentes.


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�1�4 �1�. P�1�4 4 ��1�. �I�1�

0rc0�1� P�1��′�1� ��1�1 � -�1�. ��1�

Ne pas confondre avec la simplification de blocs en parallèle ci-dessus. Attention au signe dans le comparateur.

L’objectif est de déplacer une jonction vers une autre jonction de façon à faire disparaître une jonction


attention au bloc rajouté dans la branche déplacée.

a gauche ou vers la droite. Il faut faire attention au bloc rajouté dans

Fonctions de transfert de systèmes à n entrées, principe de superposition Suppose que toutes les entrées sont nulles sauf une. On calcule alors la sortie en fonction de cette 1

entrée. On fait la même chose pour toutes les autres entrées.


additionnant toutes les réponses précédentes.

MODELISATION DES


faire disparaître une jonction


a gauche ou vers la droite. Il faut faire attention au bloc rajouté dans

fonction de cette 1ère



CHAPIT


e. Détermination de l’erreur statique ou de l’erreur de poursuiteFonction de transfert de systèmes en Boucle Ouverte : FTBOOn appelle par abus de langage la fonction de transfert ci

Ouverte :

La FTBO n’est pas le fonction de transfert du système s’il était en boucle ouverte, c’estavait pas de chaîne de retour avec un capteur

Détermination de l’erreur statique ou de l’erreur de poursuite à partie de la fonction système t�F� a�F� u�F�⁄

1. Calculer u��F�, l’erreur dans le domaine de Laplace��1� ��1� P�12. Calculer u�F�, la transformée de Laplace de l’entrée du système��1� wx7 si ��

OU ��1� i7² si �� 3. Calculer ��∞�, l’erreur en régime permanent dans le domaine temporel

En utilisant le théorème de la valeur finale

��∞� lim8→: �


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de l’erreur statique ou de l’erreur de poursuite Fonction de transfert de systèmes en Boucle Ouverte : FTBO On appelle par abus de langage la fonction de transfert ci-dessous, Fonction de Transfert en Boucle

0rcy�1� P

La FTBO n’est pas le fonction de transfert du système s’il était en boucle ouverte, c’estavait pas de chaîne de retour avec un capteur !

Détermination de l’erreur statique ou de l’erreur de poursuite à partie de la fonction

, l’erreur dans le domaine de Laplace �1� ��1� ��1�. n�1� ��1�. �1 n�1��

, la transformée de Laplace de l’entrée du système � � �%. �� (fonction échelon)

� � . � (fonction rampe)

, l’erreur en régime permanent dans le domaine temporel

En utilisant le théorème de la valeur finale : �� lim7→%31. ��1�4

MODELISATION DES


dessous, Fonction de Transfert en Boucle

� PI�1�m�1� -�1�. ��1�

La FTBO n’est pas le fonction de transfert du système s’il était en boucle ouverte, c’est-à-dire s’il n’y

Détermination de l’erreur statique ou de l’erreur de poursuite à partie de la fonction de transfert du

, l’erreur en régime permanent dans le domaine temporel

ASSERVISSEMENT – I1.1 SI1 Application


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1. MODELISATION DE SYSTEMES

a. Modélisation de systèmes électriques (modèle de connaissance)

Un système électrique passif fait intervenir trois éléments de base : la résistance, l’inductance, et la

capacité.

Pour chacun de ces éléments, l’intensité du courant électrique, notée �(�), et la tension à ses bornes,

notée �(�), vérifient les lois de base suivantes :

Loi d’Ohm, pour une résistance R �(�) = �. �(�) Loi de Henry, pour une inductance L �(�) = �(�)�

Loi de Faraday, pour une capacité C �(�) = 1� �(�). � ⟹ �(�) = �. �(�)�

Loi de Kirchhoff

Loi de conservation de la charge ;

à chaque nœud on a : ��(�)�

= 0

Loi de conservation de l’énergie ;

à chaque boucle on a : ��(�)�

= 0

Question : Etablir l’équation différentielle entre �(�) et �(�), pour les différents exemples suivants.

Exemple 1 :

Exemple 2 :

ASSERVISSEMENT – I1.1 SI1

Application

CHAPITRE 3 : MODELISATION DES

SYSTEMES ASSERVIS

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b. Modélisation de systèmes mécaniques (modèle de connaissance)

Une masse est soumise à une force �(�), à une force de rappel du ressort – �. �(�) et à une force de

viscosité �� = −�. �(�) s’opposant à la vitesse �(�).

Question : Etablir l’équation différentielle entre �(�) et la force �(�).

2. ETUDE DE SIGNAUX Exercice 1 :

Soit la fonction �(�) = �. � avec � > 0.

Représenter les fonctions :

FONCTIONS VALEURS REPRESENTATIONS

�(� − �)

�(� − �)

�(�). �(�)

�(� − �). �(� − �)

�(�). �(� − �)

�(� − �). �(�)


Application


SYSTEMES ASSERVIS

3/8


En déduire quelle est la bonne écriture du signal �(�). �(�) retardé de τ secondes ?

Exercice 2 :

Donner la transformée de Laplace des signaux ci-dessous :


Application


SYSTEMES ASSERVIS

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3. TRANSFORMEE DE LAPLACE Exercice 1 :

Soit un système de fonction de transfert : 2 − !(! + 1). (! + 4)

On soumet le système à une entrée �(�), où �(�) est un échelon unitaire.

Questions :

1. Montrer que la sortie $(!) peut se mettre sous la forme %& + '

()*+ +(), et calculer les valeurs de

A, B et C. En déduire l’expression de la réponse temporelle -(�).

2. En utilisant les propriétés de la transformée de Laplace, déterminer les valeurs de -(0) et -(∞). 3. Calculer la dérivée -/(�) et déterminer la valeur de la pente de la tangente à l’origine. En

déduire la valeur �0 qui l’annule. Calculer -(�0). Déduire des résultats précédents qu’il existe

une valeur de � (différente de 0) qui annule à nouveau -(�). Calculer -(0,6). En déduire le graphe de -(�). On représentera sur la même figure �(�) et -(�). En comparant �(�) et -(�), que pensez-vous du comportement du système dont la réponse à un échelon

positif en -(�) ?

Exercice 2 :

Soit l’équation différentielle :

34�(�)�4 + 25�(�)�² + 2�(�)� + �(�) = 2�(�)� + �(�)

On pose comme conditions initiales :

7²�(�)�² 89:0

= 0;=�(�)� >9:0 = 0,5; �(0) = 2

On suppose que les conditions initiales du signal �(�) sont nulles.

Questions :

1. En déduire l’expression @(!) en fonction de �(!) et des conditions initiales.

A ce stade on a remplacé une équation différentielle par une équation algébrique, mais on ne peut

toujours pas calculer @(!) en connaissant seulement �(!). On va donc supposer que toutes les

conditions initiales sont nulles.

2. Dans ces conditions, en déduire :

�(!) = @(!)�(!)

3. Complétez le schéma bloc suivant :

Exercice 3 :


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Soit l’équation différentielle :

2�(�)� + �(�) = 5. �(�)

�(�) est la fonction échelon unitaire et �(0) = 0.

Questions :

1. Exprimer @(!). 2. Faire la décomposition de @(!) en éléments simples et en déduire �(�).

4. SCHEMA FONCTIONNEL

Exercice 1 : L’ascenseur

Les premiers modèles d’ascenseurs étaient actionnés par la vapeur et l’énergie hydraulique. Les

ascenseurs électriques sont apparus vers 1910. Dans la majorité des cas, le moteur électrique, associé à

un réducteur à engrenage, actionne une poulie qui entraîne des câbles auxquels sont suspendus la

cabine et son contrepoids.


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L’AUTOMATE élabore le signal de commande �(�) vers le préactionneur, à partir de la consigne �(�) et

du signal de mesure de la position de la cabine �A(�).

Le VARIATEUR fournit la tension �(�) au moteur électrique, en fonction d’une consigne �(�) et d’une

information �A(�) sur la vitesse du moteur.

La DYNAMO TACHYMETRIQUE (DT) délivre une tension �A(�) en fonction de la vitesse de rotation du

moteur BA(�).

Le MOTEUR ELECTRIQUE fournit l’énergie mécanique nécessaire à l’entraînement du réducteur de

vitesse. On dispose en sortie du moteur électrique d’une vitesse de rotation BA(�). Le REDUCTEUR DE VITESSE est monté en sortie d’arbre moteur et réduit la vitesse de rotation et

augmente le couple dans les mêmes proportions. On dispose en sortie du réducteur d’une vitesse de

rotation BC(�).

La POULIE transforme le mouvement de rotation à la sortie du réducteur en mouvement de translation

de la cabine.

La CABINE a une position notée �(�) et une vitesse notée �(�). Le CAPTEUR DE POSITION DE LA CABINE mesure la position �(�) de la cabine et délivre un signal �A(�).

Question :

Faire le schéma bloc fonctionnel de l’ensemble de commande de l’ascenseur avec en entrée la consigne

de l’étage �(�) et pour sortie la position de l’ascenseur �(�).


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5. APPLICATION DE SYNTHESE

Exercice 1 : Régulation de température dans un four

On considère le système suivant :

L’actionneur comprend une résistance chauffante alimentée à travers un triac dont on peut commander

le nombre d’impulsions de gâchette par un système approprié, sensible à la tension de commande DE(�). Nous admettons que la puissance F(�) en Watts est proportionnelle à DE(�) avec un coefficient G* = 1H/D.

Le capteur est une thermistance décrit par l’équation différentielle :

0,1 DJ(�)� + DJ(�) = 0,002. K(�) A � = 0, DJ(0) = D0. K0 : température à l’extérieur du four et dans le four à � = 0.

Le système part du repos et donc : D0 = 0,002. K0.

Le four est à la température K(�) à l’instant �. Il reçoit pendant le temps � une énergie LH = F(�). �.

Cette énergie reçue sert à élever la température de K, et une partie est perdue en rayonnement.

La capacité calorifique du four est M. � avec M = 0,1�N et � = 100O/(�N. °Q). L’énergie interne du four varie alors pendant un laps de temps � selon la loi : R = M. �. K.

La chaleur perdue pendant une durée � vaut : LS = −�5. (K − K0). �.

On rappelle le principe de conservation de l’énergie (premier principe) : R = LH + LS

Questions :

1. Ecrire l’équation différentielle liant K(�) et F(�).

2. Montrer que par un changement de variable DJ∗(�) = DJ(�) − D0 et K∗(�) = K(�) − K0, on peut

se ramener à des conditions initiales nulles. En déduire la fonction de transfert du four.

3. Déterminer la fonction de transfert de l’ensemble :

U(!) = DJ∗(!)DE(!)


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6. SIMPLIFICATION DE SCHEMA BLOC Exercice 1 :

Déterminer la fonction de transfert du système représenté par le schéma-bloc ci-dessous :

Exercice 2 :

Exprimer pour les cas ci-dessous la fonction de transfert : V(()W(().

Exprimer la sortie en fonction des 3 entrées.


CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT

TEMPOREL DES SYSTEMES

1/13


1. SOLLICITATIONS TEST PERMETTANT D’EVALUER LES PERFORMANCES

Dans le cas général, les sollicitations d’entrée ont une forme quelconque et inconnue, mais afin d’étudier

les performances des systèmes (précision, rapidité, stabilité), on étudier leur réponse à des sollicitations

(ou entrées) types. Ces entrées seront causales.

IMPULSION DE DIRAC �(�) ECHELON �. �(�) RAMPE �. �. �(�)

Pour : � < 0, �(�) = 0

Pour : 0 ≤ � ≤ �, �(�) = 1/�

Pour : � > �, �(�) = 0

Pour : � < 0, �(�) = 0

Pour : � ≥ 0, �(�) = �

Où � constante.

Pour : � < 0, �(�) = 0

Pour : � ≥ 0, �(�) = �. �

Où � constante.

2. COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES PROPORTIONNELS : �

a. Définition

Un système est dit à ACTION PROPORTIONNELLE ou de GAIN PUR si sa fonction de transfert peut se

mettre sous la forme :

�(�) = �(�)�(�) = �

Où � est le GAIN STATIQUE du système (sans unité si �(�) et �(�) de même nature).

b. Réponse à un échelon ��. �(�) �� . !(�)" = � �

Ainsi :

�(�) = �(�). �(�) = �. � �

La réponse temporelle a donc pour expression : �(�) = �. � . !(�).


Cours



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3. COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES DERIVATEURS : �.#

a. Définition

Un système est dit DERIVATEUR si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

�(�) = �(�)�(�) = �. �

Où � est le GAIN STATIQUE du système (en �$% si �(�) et �(�) de

même nature).

b. Réponse à une rampe �. �. �(�) ��. �. !(�)" = �

�² Ainsi :

�(�) = �(�). �(�) = �. �. ��² =�. ��

La réponse temporelle a donc pour expression : �(�) = �. �. !(�).

4. COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES INTEGRATEURS : �/#

a. Définition

Un système est dit INTEGRATEUR si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

�(�) = �(�)�(�) =

��

Où � est le GAIN STATIQUE du système (en � si �(�) et �(�) de même nature).

b. Réponse à un échelon ��. �(�) �� . !(�)" = � �

Ainsi :

�(�) = �(�). �(�) = �� . � � = �. � �²

La réponse temporelle a donc pour expression : �(�) = �. � . �. !(�).


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5. COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES DU 1ER

ORDRE

a. Définition

Un système est dit du 1er

ORDRE si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

�(�) = �(�)�(�) =

�1 + �. �

Où � est le GAIN STATIQUE du système (sans unité si �(�) et �(�) de même nature) ; et � est la

CONSTANTE DE TEMPS (en �).

b. Réponse à une impulsion �(�) ��. ((�)" = �. 1

Ainsi :

�(�) = �(�). �(�) = �1 + �. � . �

Caractéristiques de cette réponse (ordonnée en +∞, tangente à l’origine) :

Ordonnée en +∞ : �(+∞) = lim-→/0 �(�) = lim1→2 �. �(�) = 0

D’où : �(+∞) = 0

Calcul de la réponse temporelle :

�(�) = �1 + �. � . � = �. �

�. (� + 1�)

La réponse temporelle a pour expression : �(�) = 34.5- . �$678 . !(�).

c. Réponse à un échelon ��. �(�)

NB : si l’amplitude � vaut 1, la réponse est appelée REPONSE INDICIELLE.

�� . !(�)" = � �

Ainsi :

�(�) = �(�). �(�) = �1 + �. � .

� �


Ordonnée en +∞ : �(+∞) = lim-→/0 �(�) = lim1→2 �. �(�) = �. �

D’où : �(+∞) = �. �

Tangente à l’origine : 9 − �(0/) = �;(0/). (� − 0/)

Or :

�;(0/) = lim-→2 �;(�) = lim1→/0�. ��. �(�) − �(0/)" = lim1→/0�². �(�) = �. � �

D’où :

9 = �. � � . �

La tangente à l’origine coupe l’asymptote finale < = �.�� en � = =.


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�(�) = �(1 + �. �) .

� � = �. � �. 3� + 1�8 . �

= −�. � � + 1�

+ �. � � (décompositionenélémentssimples)

La réponse temporelle a donc pour expression : �(�) = 3−�. � . �$67 + �. � 8 . !(�)

Pour � = �, �(�) = (−�$% + 1). �. � ⇒ �(�) = 0,63.�. �

Donc �(�) = 0,63. �(+∞).

Temps de réponse à 5% (défini uniquement pour une

entrée en échelon) :

On cherche �JK% tel que . �(�JK%) = 0,95%. �(+∞)

−�. � . �$-OP%Q +�. � = 0,95. �. �

−�$-OP%Q + 1 = 0,95

−�JK%� = ln0,05

Donc �JK% ≈ 3. �.

Bilan :

Le GAIN STATIQUE caractérise le comportement du système en régime permanent : �(+∞) = �. � .

La CONSTANTE DE TEMPS caractérise le comportement en régime transitoire : �(�) = 0,63. �(+∞). Le TEMPS DE REPONSE à 5% caractérise la fin du régime transitoire : �JK% ≈ 3. �.

d. Réponse à une rampe �. �. �(�) ��. �. !(�)" = �

�²

Ainsi :

�(�) = �(�). �(�) = �(1 + �. �) .

��²


Ordonnée en +∞ : �(+∞) = lim-→/0 �(�) = lim1→2�. �(�) = +∞

D’où : �(+∞) = +∞

Tangente à l’origine :

Or : �;(0/) = lim-→2 �;(�) = lim1→/0�. ��. �(�) − �(0/)" = lim1→/0�². �(�) = 0

La tangente à l’origine a donc une pente nulle (droite horizontale).


Cours



5/13



�(�) = �(1 + �. �) .

��² =

�. ��. 3� + 1�8 . �²

= �. �. �� + 1�

+ �.��² − �.�. �

�

La réponse temporelle a donc pour expression : �(�) = 3�. �. �. �$67 + �.�. � − �. �. �8 . !(�)

Etude asymptotique :

Lorsque � → +∞, �(�) → �.�. � − �. ��.

L’asymptote est donc 9(�) = �. �. (� − �).

Cette asymptote a donc une pente �. �, et elle coupe l’axe des abscisses en � = �.

Remarques :

→ Pour � < 1, l’erreur entre l’entrée et la sortie augmente.

→ Pour � = 1, le système ne rejoint jamais la consigne, cependant sa variation est parallèle à

l’entrée retardée de une fois la constante de temps .

→ Pour � > 1, l’erreur entre l’entrée et la sortie diminue, s’annule, puis augmente.


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6. COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES DU 2ND

ORDRE

a. Définition

Un système est dit du 2ème

ORDRE si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

�(�) = �(�)�(�) =

�1 + 2TU2 . � + 1U2² . �²

Où � est le GAIN STATIQUE du système (sans unité si �(�) et �(�) de même nature) ; U2 (notée parfois UV) est la PULSATION PROPRE non amortie (en J�W/�) ; T (noté parfois X ou Y) est le FACTEUR

D’AMORTISSEMENT (sans unité).

b. Réponse à une impulsion �(�) ��((�)" = 1

Ainsi :

�(�) = �(�). �(�) = �1 + 2TU2 . � + 1U2² . �²

. 1 = �.U2²�² + 2. T. U2. � + U2²

Détermination de l’allure de la réponse :

Recherche des pôles de la fonction de transfert :

Discriminant : ∆= 4T². U2² − 4. U2² = 4U2². (T\ − 1)

T > 1

2 racines

réelles simples

(�% et �\) �(�) = ]%� − �% +

]\� − �\ �(�) = (]%. �4^.- + ]\. �4_.-). !(�) Réponse

non

oscillatoire T = 1 1 racine réelle

double (`) �(�) = a

� − ` + b(� − `)² �(�) = ca. �d.- + b. �. �d.-e. !(�)

T < 1

2 racines

complexes

conjuguées

(� = f ± h. W)

�(�) = i. � + �(� − f)\ + W²

�(�)= ji. � .- . cos(W. �)+ i. f + �

W . � .- . sin(W. �)k . !(�)

Réponse

oscillatoire


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7/13


c. Réponse à une rampe �. �. �(�) L’étude exhaustive de la réponse à une rampe donne lieu à des calculs longs et fastidieux en fonction du

facteur d’amortissement T. On retrouve cependant les résultats fondamentaux vus dans le cas du 1er

ordre, c’est-à-dire que si le gain statique est unitaire, la limite, lorsque � tend vers l’infini, de la réponse

reste parallèle à la consigne avec un retard (qui dépend de T et de U2). En fonction de T, la réponse

présente des oscillations autour de cette asymptote.

d. Réponse à un échelon

�� . !(�)" = � �

Ainsi :

�(�) = �(�). �(�) = �1 + 2TU2 . � + 1U2² . �²

. � � = �.U2²�² + 2. T. U2. � + U2² .� �


Ordonnée en +∞ : �(+∞) = lim-→/0 �(�) = lim1→2 �. �(�) = �. �

D’où : �(+∞) = �. � .

Le régime établi ne dépend que du gain statique �. l et mn interviennent seulement dans le régime

transitoire.

Tangente à l’origine : �;(0/) = lim-→2 �;(�) = lim1→/0��. �(�) − �(0)" = lim1→/0�\ . �(�) = 0

La tangente à l’origine a donc une pente nulle (droite horizontale), ce qui diffère des systèmes du 1er

ordre.

Détermination de l’allure de la réponse :

En plus du pôle � = 0, on recherche les autres pôles de la fonction de transfert :

T > 1

2 racines

réelles simples

(�% et �\)

�(�) = ]2� + ]%� − �%+ ]\� − �\

�(�) = (]2 + ]%. �4^.- + ]\. �4_.-). !(�) Réponse

non

oscillatoire T = 1 1 racine réelle

double (`)

�(�)= ]2� + a

� − ` + b(� − `)² �(�) = c]2 + a. �d.- + b. �. �d.-e. !(�)

T < 1

2 racines

complexes

conjuguées

(� = f ± h. W)

�(�)= ]2� + i. � + �

(� − f)\ + W² �(�)= j]2 + i. � .- . cos(W. �)+ i. f + �

W . � .- . sin(W. �)k . !(�)

Réponse

oscillatoire


Cours



8/13


Temps de réponse :

Le temps de réponse à 5%, durée au-delà de laquelle la réponse reste comprise entre 0,95 et 1,05 fois la

réponse finale �(+∞), varie suivant la valeur du facteur d’amortissement :

→ Si T ≪ 1, l’amortissement est faible, les oscillations sont mal amorties, le temps de réponse

est grand.

→ Si T = 0,69, le système présente un dépassement faible, égal à 5%, avec le temps de réponse

le plus faible.

→ Si T = 1, le système ne présente pas de dépassement au sens mathématique, il ne

correspond pas au minimum absolu du temps de réponse, il s’agit cependant du système

sans dépassement le plus rapide.

→ Si T ≫ 1, il n’y a pas de dépassement, mais le système est hyper amorti, donc le temps de

réponse est grand.

Temps de réponse réduit �qr%. mn :

Il n’y a pas d’expression simple pour déterminer la valeur exacte de �JK%. Un abaque (voir ci-dessous)

donne la valeur du TEMPS DE REPONSE REDUIT �qr%. mn, en fonction du facteur d’amortissement.

NB : le temps de réponse réduit n’a pas d’unité, contrairement au temps de réponse.

Il faut retenir que :

Pour T = 0,69, on a �JK%. U2 ≈ 3 donc �JK% ≈ stu.

Pour T = 1, on a �JK%. U2 ≈ 5 donc �JK% ≈ Ktu.

On remarque que pour un facteur d’amortissement constant, le temps de réponse réduit �JK%. U2 est

constant. Par conséquent, pour un même T, plus U2 augmente, plus �JK% diminue, et donc plus le

système est rapide.


Cours


Dépassement absolu vw et dépassement relatif

On définit le dépassement absolu d’ordre

On définit le dépassement relatif d’ordre

Les dépassements relatifs ne dépendent que du facteur d’amortissement

abaque (voir ci-dessous) pour les déterminer.



9/13

et dépassement relatif vw% pour l < 1 :

On définit le dépassement absolu d’ordre x par : iy = |�(�y) − �(+∞)|

On définit le dépassement relatif d’ordre x par :

iy% = { iy�(+∞){ Les dépassements relatifs ne dépendent que du facteur d’amortissement T. On utilise le plus souvent un

dessous) pour les déterminer.

COMPORTEMENT


On utilise le plus souvent un


Cours



10/13


Calcul des 3 types de réponses temporelles :

Cas 1 : T > 1, le dénominateur possède 3 racines réelles simples, le système est hyper amorti (réponse

apériodique)

Notons ses 3 racines �2, �% et �\.

On a �2 = 0 et �% = �\ = U2. c−T ± √T\ − 1e < 0.

Donc :

�(�) = �. U2². � (� − �%)(� − �\)� = ]2� + ]%� − �% +]\� − �\

Avec :

]2 = �.U2\. � �%. �\ = �. � ; ]% = �.U2\. � (�% − �\). �% = �.U2\. � 2. �%. U2. √T\ − 1

]\ = �.U2². � (�\ − �%). �\ = �.U2². � 2. �\. U2. ~T² − 1

Pôles négatifs ou nul

donc sortie stable (ne

diverge pas)


Cours



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La réponse temporelle a donc pour expression :

�(�) = ��. � − �� . U22√T\ − 1 . �

�4_.-�\ − �4^.-

�% �� . !(�) En posant �% = − %

Q^ et �\ = − %Q_ où �% et �\ sont des constantes de temps :

�(�) = ��. � − �� % − �\ . ��%. �$ -Q^ − �\. �$ -Q_�� . !(�)

Le système est ainsi équivalent à la superposition de deux systèmes du premier ordre.

Cas 2 : T = 1, le dénominateur possède 1 racine réelle double et 1 racine réelle simple (réponse critique)

Notons ces 2 racines �2 et `.

On a �2 = 0 et ` = −T.U2 = −U2 < 0

Donc :

�(�) = �.U2². � (� + U2)\. � = ]2� + a� + U2 +

b(� + U2)² =

�. � � − �. � � + U2 −�.U2. � (� + U2)²

La réponse temporelle a pour expression : �(�) = (�. � −�. � . �$tu.- − �. � . U2. �. �$tu.-). !(�)

Cas 3 : T < 1, le dénominateur possède 2 racines complexes conjuguées et 1 racine réelle simple, le

système est oscillatoire (réponse pseudo-périodique)

Notons ces 3 racines �2, �% et �\.

On a �2 = 0 et �% = �\ = U2. (−T ± h. √1 − T\).

Posons �% = �\ = f ± h. W avec f = −T.U2 et W = U2. ~1 − T². NB : f² + W² = U2². �(�) se décompose sous la forme :

�(�) = �.U2\. � �. ((� − f)\ + W\) =]2� + i. � + �

(� − f)\ + W\

Avec :

]2 = �.U2². � f² + W² ; i = −�.U2². � f² + W² ; � = 2�.U2². � . ff² + W²

En remarquant que : i. � + �(� − f)\ + W² =

i. (� − f) + i. f + �(� − f)\ + W² = i. (� − f)

(� − f)\ + W² +i. f + �

W . W(� − f)\ + W²

La réponse dans le domaine temporel s’écrit donc :

�(�) = �] + i. cos(W. �) . � .- +i. f + �W . sin(W. �) . � .-� . !(�)

En réinjectant f, W, ]2, iet� :

�(�) = �. � . �1 − �$�.tu .- . cos 3U2. ~1 − T\. �8 − T√1 − T\ . �$�.tu.- . sin 3U2. ~1 − T\. �8� . !(�)

Pôles négatifs ou nul

donc sortie stable (ne

diverge pas)

Partie réelle négative ou

nulle donc sortie stable.

Rappel pour déterminer i et � :

→ Multiplier par (� − f)\ + W²

→ Faire tendre � vers f + h. W

→ Identifier les parties réelles et

imaginaires


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�(�) = �. � . �1 − �$�.tu.-√1 − T\ (~1 − T\. cos 3U2. ~1 − T\. �8 − T. �$�.tu.- . sin 3U2. ~1 − T\. �8)� . !(�)

En posant cos� = T et sin� = √1 − T\ et en utilisant sin(� + `) = sin � . cos ` + cos� . sin `. La réponse s’écrit :

�(�) = �. � . �1 − �$�.tu.-√1 − T\ sin 3U2. ~1 − T\. � + �8� . !(�)

Notions de pulsation amortie m� et de pseudo-période �� pour l < 1 :

La réponse présente des oscillations amorties dont la PULSATION AMORTIE (en J�W/�) est :

U4 = U2. ~1 − T²

La période, appelée PSEUDO-PERIODE (en �) est :

�4 = 2�U4 = 2�

U2. √1 − T\

Ainsi, U2 est bien la pulsation du système s’il n’était pas amortie (T = 0).

Temps �w lorsque les dépassements s’effectuent : �;(�w) = n pour l < 1 :

Les dépassements sont données pour les instants �y tels que �;(�y) = 0. Soit en dérivant �(�) :

�;(�) = �. � �T. U2. �$�.tu.-

√1 − T\ . sin 3U2. ~1 − T\. � + �8− �$�.tu .-√1 − T\ . U2. ~1 − T\. cos 3U2. ~1 − T\. � + �8� . !(�)

�;(�) = �. � . U2. �$�.tu.-

√1 − T\ �T. sin 3U2. ~1 − T\. � + �8 − ~1 − T\. cos 3U2. ~1 − T\. � + �8� . !(�)

Donc �;(�) = 0 ⇔ T. sincU2. √1 − T\. � + �e − √1 − T\. coscU2. √1 − T\. � + �e = 0

Soit en posant cos� = T et sin� = √1 − T\ et en utilisant sin(� − `) = sin � . cos ` − cos� . sin`, on

obtient : �;(�) = 0 ⟺ sin(U2. √1 − T\. �) = 0 ⇔ U2. √1 − T\. � = x. �

On trouve donc :

�y = x. �U2. √1 − T² =

x. �U4 = x. �42 aveckentier

Ainsi les dépassements s’effectuent toutes les demi-périodes.

Temps �� lorsque �(��) = �. �� pour l < 1 :

�(��) = �. � ⇔ sin3U2. ~1 − T\. � + �8 = 0 ⇔U2. ~1 − T\. � + � = �. � ⇔ U4 . � + � = �. �

⇔ �� = �. �U4 − �

U4 = �. �42 − �U4


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Expression des dépassements relatifs vw% si l’abaque n’est pas donné, pour l < 1 :

�(�y) = �. � − �. � . �$�.tu. y.�

tu√%$�_√1 − T\ . sin(U2~1− T\. x. �

U2. √1 − T\ + �)

= �. � −�. � . �$�.y.�√%$�_

√1 − T\ . sin(x. � + �) En utilisant sin(� + `) = sin � . cos ` + cos� . sin`, on obtient : sin(x. � + �) = 0 + cos(x. �). sin� = (−1)y . sin �

Et comme sin� = ~1 − T², on obtient :

�(�y) = �. � −�. � . (−1)y. �$�.y.�~%$�²

Or �(+∞) = �. �

Donc :

iy% = { iy�(+∞){ = ��(�y) − �(+∞)�(+∞) � = �$

�.y.�~%$�²

On remarque que le dépassement relatif ne dépend que du facteur d’amortissement.

ASSERVISSEMENT – I1.1 SI1 Application



1/3


1. MODELE DU 1ER ORDRE

Exercice 1 :

La réponse à un échelon d’un système assimilé à un premier ordre est donnée ci-dessous.

Identifier les paramètres � et � de ce système.

Exercice 2 :

On applique une tension �(�) à un moteur à courant continu.

La vitesse angulaire �(�) de l’arbre vérifier alors l’équation différentielle (conditions initiales nulles) :

0,2. �� (�) + �(�) = 5. �(�) On note �(�) la position angulaire de l’arbre.

Faire le schéma-bloc de ce moteur avec �(�) comme variable de sortie.


Application



2/3


Exercice 3 : Commande d’un moteur

Un petit moteur est supposé polarisé autour du point de fonctionnement (3,5�, 800��/��), et

fonctionne en régime linéaire. Son entrée ��(�) est la tension de commande, sa sortie �(�) est la

vitesse de rotation. Il entraîne en direct une charge qui le freine, représentée par un couple ��(�) perturbateur. Le fonctionnement simplifié est matérialisé par le circuit de l’induit du moteur à courant

continu ci-dessous :

� et � désignent respectivement la résistance et l’inductance du circuit induit.

� désigne l’inertie totale (arbre + charge).

est le coefficient de frottement visqueux produisant un couple proportionnel à la vitesse de rotation.

��(�) est la tension d’alimentation de l’induit et �(�) la vitesse de rotation du moteur.

�(�) est le courant dans l’induit et !(�) est la force électromotrice (f.e.m) induite.

�"(�) et ��(�) désignent respectivement le couple moteur et le couple résistant (considéré comme une

perturbation).

Les équations du moteur sont :

�"(�) = #. �(�) !(�) = #.�(�)

��(�) = !(�) + �. �(�) + �.$�(�)

$�

�"(�) − ��(�) − .�(�) = �.$�(�)

$�

Dans tout le problème, on négligera l’inductance &.

Questions :

1. On suppose ��(�) nul. En appliquant la transformée de Laplace (conditions initiales nulles),

trouver la fonction de transfert '(() =)(*)

+,(*) de ce processus.

Mettre '(() sous la forme normalisée d’un système du premier ordre. Donner les expressions

du gain statique �- et de la constante de temps �-.

2. Maintenant ��(�) n’est plus nul. Exprimer Ω(() en fonction de /�(() et de ��((), en utilisant le

principe de superposition. Déterminer le gain statique �0 et la constante de temps �0 de la

fonction de transfert relative à la perturbation.

3. Application numérique : �- = 10�2$/(�. 3), �0 = −25�2$/(3.�.4) et � = 0,23.

Soit ��(�) = 0. On applique un échelon de tension d’amplitude /5 = 1,5�. Calculer la valeur en

régime permanent de la variation de vitesse �(�). Quelle sera la vitesse atteinte par le moteur ?

Soit ��(�) = 0. On applique un couple résistant d’amplitude ��5 = 0,24.�. Calculer la valeur

de la variation de vitesse. Que signifie cette valeur négative ?

On applique désormais simultanément l’échelon de tension /5 et le couple en échelon ��5.

Quelle sera la vitesse atteinte par le moteur en régime permanent ?


Application



3/3


2. MODELE DU 2EME ORDRE

Exercice 4 :

Soit la fonction de transfert :

'(() =6(()

7(()=

2

1 + 5( + 6(²

Calculer �, : et �5.

Que peut-on dire des racines ?

Que vaut 6(() si 7(() est un échelon de module 2 ?

Faire une décomposition en éléments simples de 6((). En déduire 3(�). Calculer la valeur de 3(�) en régime permanent ainsi que la pente à l’origine.

Tracer l’allure de 3(�).

Exercice 5 :

On donne ci-dessous la réponse d’un second

ordre à un échelon unitaire.

Lire sur la courbe la valeur du dépassement

en %, du temps de montée, du temps de pic

et du temps de réponse à 5%.

Trouver la forme canonique du second ordre.

Retrouver le temps de réponse à 5% à l’aide

de l’abaque.


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CHAPITRE 5 : ANALYSE

FREQUENTIELLE DES SYSTEMES

1/11


Le signal réel en entrée d’un système est rarement un signal simple (échelon, rampe). La théorie

développée par Fourier permet de considérer que tout signal (périodique ou non) résulte de la

sommation d’un ensemble de composantes sinusoïdales de fréquences et d’amplitudes différentes.

Par conséquent, pour déterminer la réponse d’un système linéaire à un signal quelconque, il est

nécessaire de déterminer l’ensemble des réponses de ce système à des signaux sinusoïdaux répartis

dans une plage de fréquence adaptée au signal quelconque. Cette étude s’appelle l’analyse

fréquentielle.

1. REPONSE HARMONIQUE DES SLCI

Soit un système linéaire continu et invariant d’entrée �(�) et de sortie �(�) régi par une équation

différentielle à coefficients constants :

�� (�)�� +⋯+ �� (�)�� + ��(�) = �� (�)�� +⋯+ �� (�)�� + ��(�)

Lorsque l’entrée d’un SLCI est un signal sinusoïdal du type �(�) = ��. sin(ω. �) où � est la pulsation

propre du signal, il faut rechercher une sortie en régime permanent sous la forme : �(�) = ��. sin(ω. � + �)

On appelle REPONSE HARMONIQUE, la sortie �(�) en régime permanent d’un système soumis à une

entrée �(�) périodique (sinusoïdale par exemple).


Cours



2/11


On peut caractériser l’effet du système avec deux grandeurs qui sont :

→ Le rapport des amplitudes �� ⁄ appelé GAIN du système et qui représente l’AMPLIFICATION

du système.

→ Le déphasage � appelé PHASE et qui représente le DECALAGE de �(�) par rapport à �(�).

Les courbes �(�) et �(�) dessinées ne sont valables que pour la pulsation � du signal d’entrée. L’objet

d’une étude fréquentielle d’un système est d’étudier l’évolution du gain et de la phase, en fonction de la

variation de la valeur de la pulsation � du signal d’entrée, sur la réponse harmonique du système.

Comme déjà constaté dans les chapitres précédents, la principale difficulté lors de l’étude des SLCI vient

de l’équation différentielle du système qui est généralement trop complexe. Par conséquent, pour

réaliser l’étude fréquentielle d’un système, on exploite aussi la fonction de transfert du système �(�).

On montre par la méthode des complexes que :

→ Le GAIN du système �� ⁄ est égal au MODULE du nombre complexe �(��). → La PHASE du système � est égale à l’ARGUMENT du nombre complexe �(��).

Soit !"! = |�(��)| et � = �(�) = arg(�(��)) où �(��) correspond à la fonction de transfert du

système dans laquelle la variable de Laplace � a été remplacée par ��. �(��) représente donc le comportement fréquentiel du système �(�).

L’interprétation des variations de gain et de phase en fonction de la fréquence du signal (ou de la

pulsation) est fondamentale tant en électronique qu’en automatique, c’est pourquoi le tracé graphique

de ces variations est étudié à l’aide de différents diagrammes.

2. DIAGRAMME DE BODE, LIEU DE TRANSFERT POUR LES ETUDES

FREQUENTIELLES

a. Définitions

On appelle LIEU DE TRANSFERT toute représentation graphique du comportement fréquentiel de �(��) à l’aide de diagrammes. Les diagrammes les plus connus portent le nom de leur inventeur : Bode,

Nyquist, Black. L’un des plus utilisés est le diagramme de Bode.


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Les diagrammes les plus connus portent le nom de leur inventeur : Bode, Nyquist, Black. L’un des plus

utilisés est le diagramme de Bode.

Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes tracées sur une ECHELLE LOGARITHMIQUE :

→ Courbe du module de �(��) en fonction de la fréquence (ou de la pulsation �).

Le module |�(��)|'(, notée )'(, est exprimé en décibel, c’est-à-dire : )'( = 20. log��|�(��)|

→ Courbe de la phase de �(��) en fonction de la fréquence (ou de la pulsation �).

La phase est exprimée en général en degrés.

Les deux courbes sont tracées sur

la même feuille, l’une en dessous

de l’autre.

L’interprétation des résultats

nécessite toujours une étude

simultanée des deux courbes.

Les tracés sont effectués sur du

papier à graduations spéciales.

On retrouve une graduation

logarithmique en base 10 sur 3 ou

4 décades en abscisse, et une

graduation millimétrée en

ordonnée.

Sur l’échelle logarithmique en

base 10, il n’y a pas d’origine des

abscisses. Le tracé ne concerne

qu’une bande de pulsation qu’il

faut judicieusement choisir.

b. Tracé du diagramme de Bode

Le principe de tracé d’un diagramme de Bode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur de �(��) suivant la nature des pôles et des zéros. Cette technique permet de décomposer �(��) en un

produit de fonctions de transfert élémentaires bien connues et faciles à tracer dans Bode.

�(��) = ./012�456( ��78�9é;619<56)=

. Π�(1 + @�. ��)ABBBBCBBBBDE6F'529'G2�H<6I<I'<�<6F6'6<Π�(1 + @�. ��)JKKKKLKKKKME6F'529'<INI9è�<'<�<6F6'6<

. ΠP Q1 +2. zSω�S . jω + U 1ω�S . jωVWX

ABBBBBBBBBCBBBBBBBBBDE6F'529'G2�H<6I<I'<Wè�<F6'6<

ΠY Q1 + 2. zYω�Y . jω + Z 1ω�Y . jω[WXJKKKKKKKKKLKKKKKKKKKM\]^_`ab_cdedbèfc_cWèfc^]_]c

Le module de g(hi) est alors le produit des modules de chaque fonction de transfert élémentaire.

L’argument est la somme des arguments de chaque fonction de transfert élémentaire.


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argj�(��)k = arg Z .(��)=[ +l arg(1 + @�. ��) +l arg m1 + 2. nP��P . �� + Z 1��P . ��[WoP�

−l arg(1 + @�. ��)� −l argq1 + 2. n4��4 . �� + m 1��4 . ��oWr4

Pour rappel :

arg Z 11 + Tt. jω[ = −arg(1 + @�. ��)

Si �(�) = ��(�).�W(�) alors 20. log|�(��)| = 20. log|��(��)| + 20. log|�W(��)|.

L’échelle en dB permet de transfrormer le produit des modules en une somme. On peut alors tracer

séparément les diagrammes de Bode de chaque fonction de transfert élémentaire qui compose �(��), puis faire la somme des modules et des arguments afin d’obtenir le diagramme de Bode final qui

correspondra au comportement fréquentiel du système �(��).

3. REPONSES HARMONIQUES DES SYSTEMES ELEMENTAIRES

Il faut connaître le diagramme de Bode de toutes les fonctions de transfert élémentaires suivantes :

Gain pur �(�) = .

Intégrateur �(�) = .�

Premier ordre �(�) = 11 + @. �

Inverse du premier ordre �(�) = 1 + @. �

Second ordre �(�) = 1

1 + 2. n�� . � + 1��W . �²

Inverse du second ordre �(�) = 1 + 2. n�� . � + 1��W . �²


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a. Réponse harmonique des systèmes

simples

Gain pur :

�(�) = . → �(��) = .

Gain en dB : )'( = 20. log(.)

Phase en degrés : �(�) = 0°

Intégrateur :

�(�) = .� → �(��) = .��

Gain en dB :

)'( = 20. log Z .��[ = 20. log(.) − 20. log(�)

Phase en degrés : �(�) = −90°

b. Réponse harmonique du système du 1er

ordre

Le système du 1er

ordre a pour fonction de transfert :

�(�) = .1 + @. � → �(��) = .1 + @. ��

Gain en dB : )'( = 20 log��|�(��)| = 20 log. − 20 logy1 + @². �² Phase : � = arg(�(��)) = −arg(1 + @. ��) = −arctan(@. �)


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Asymptotes du diagramme de Bode :

→ Pour � → 0, �(��) ≈ . (équivalent à un comportement de gain pur) )'( = 20 log��|�(��)| ≈ 20. log. � = arg(�(��)) ≈ 0°

→ Pour � → ∞, �(��) ≈ ~�.�� (équivalent à un comportement d’intégrateur)

)'( = 20. log��|�(��)| ≈ 20. log ~� − 20. log� (droite de pente −20��/�é��) � = arg(�(��)) ≈ −90°

Valeurs particulières :

→ La PULSATION DE CASSURE du diagramme de Bode �� vaut :

�� = 1@

→ )'( = 20 log|�(��)| = 20 log ~√W = 20 log. − 3��

→ � = argj�(��)k = −arctan(1) = −45°


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c. Réponse harmonique du système du 2ème

ordre

Le système d’ordre 2 a pour fonction de transfert :

�(�) = .1 + 2. n�� . � + 1��W . �²

→ �(��) = .1 + 2. n�� . �� + 1��W . (��)²

� Cas � > 1 ou � = � :

La fonction de transfert présente 2 pôles réels �� et �W, distincts ou confondus.

Pour n > 1, le système peut être considéré comme le produit de deux système de 1er

ordre de

constantes de temps @� = − �4� et @W = − �4� : �(��) = .. 1(1 + @�. ��) . 1(1 + @W. ��)

Pour �� = � ��.��, la courbe de phase passe toujours par −90°. Le tracé asymptotique se construit en ajoutant les tracés du gain des deux systèmes du premier ordre

construits séparément dans un premier temps.

Pour n = 1, la fonction de transfert devient un carré parfait : �(��) = ~(��.��)² avec @ = ��!.

NB : seul son tracé asymptotique est représenté en pointillés sur la courbe ci-dessus.


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� Cas � < 1 :

Dans ce cas, les pôles sont complexes conjugués. Le module de la réponse harmonique est donné par :

|�(��)| = .�Z1 − U ��VW[ ² + 4. n². U ��VW

Et son argument par :

� = −arctan��2n. ��Z1 − �W��W[�

�

La courbe de gain peut présenter un maximum suivant les valeurs de n. Ce maximum, s’il existe, est

obtenu pour la pulsation ��, telle que '0'� (��) = 0, soit :

Q�((��W −�W)W + 4nW�!W�W)�� X��= 0

Ou encore : −4��(��W −��W) + 8n²��²�� = 0

On obtient si n < √2/2 : �� = ��. y1 − 2n²

Cette pulsation est appelée PULSATION DE RESONANCE.

Ce maximum est alors caractérisé par le COEFFICIENT DE SURTENSION � :

� = |�(��)||�(�0)| = 12n.y1 − n²


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Synthèse sur les comportements temporels et fréquentiels du 2ème

ordre :

d. Réponse harmonique d’un retard pur

Dans tout système, l’information de sortie est fournie par un capteur. Il se peut que, pour des raisons

d’accessibilité, d’entretien ou d’encombrement, le capteur ne puisse pas être placé à l’endroit où l’on

souhaiterait observer le système.

Cela introduit un retard entre l’instant où le signal est disponible (prêt à être mesuré) et l’instant où il

est effectivement mesuré. Si �(�) représente le signal à mesurer, l’introduction d’un retard � donnera

lieu au signal �(� − �). D’après les propriétés de la transformation de Laplace, si la transformée de Laplace de �(�) s’écrit �(�), alors la transformée de Laplace de �(� − �) s’écrira ��4�. �(�).

La fonction de transfert s’écrit donc pour �(�) = 1 : �(�) = ��4 → �(��) = ��

Le module est constant et égal à 1.

L’argument est une fonction linéaire de � : � = arg�(��) = −@�

Exemple :

�(��) = ��1 + ��

Il s’agit d’un retard pur associé à un système du

premier ordre. Seule la courbe de phase du système

est affectée par le retard pur.


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e. Méthode de construction du diagramme de Bode pour les systèmes d’ordre

quelconque

Etape n°1 :

La fonction de transfert peut se mettre en général sous la forme :

�(��) = ./012�456( ��78�9é;619<56)=

. Π�(1 + @�. ��)ABBBBCBBBBDE6F'529'G2�H<6I<I'<�<6F6'6<Π�(1 + @�. ��)JKKKKLKKKKME6F'529'<INI9è�<'<�<6F6'6<

. ΠP Q1 +2. zSω�S . jω + U 1ω�S . jωVWX

ABBBBBBBBBCBBBBBBBBBDE6F'529'G2�H<6I<I'<Wè�<F6'6<

ΠY Q1 + 2. zYω�Y . jω + Z 1ω�Y . jω[WXJKKKKKKKKKLKKKKKKKKKM\]^_`ab_cdedbèfc_cWèfc^]_]c

Elle apparaît ainsi comme la mise en cascade d’éléments simples du 1er

et 2nd

ordre, de leurs inverses,

d’un gain et d’intégrateurs multiples.

Etape n°2 :

On classe les constantes de temps dans un ordre décroissant, c’est-à-dire les pulsations de cassure

(1 @2⁄ pour un premier ordre, et �� pour un second ordre) correspondantes dans un ordre croissant. Les

brisures du tracé asymptotique correspondront alors à ces pulsations.

Etape n°3 :

Construire le diagramme de Bode de �(��) = ~(��) , puis successivement en avançant vers les

pulsations croissantes.

Faire intervenir les pôles et les zéros selon l’ordre précédent en utilisant les constructions

asymptotiques.

Etape n°4 :

Affiner le tracé asymptotique en combinant les courbes réelles.

NB : il est souvent suffisant pour analyser la réponse d’un système de tracer seulement le diagramme de

Bode asymptotique.

Exemple :

Soit la fonction de transfert :

�(�) = 10 + 5�� + 1,05�² + 0,05�¢

Celle-ci peut encore s’écrire :

�(�) = 10(1 + 0,5�)�. (1 + �)(1 + 0,05�) = 10� . 11 + � . (1 + 0,5�). 11 + 0,05�

Les constantes de temps sont @� = 1£ (soit �� = 1¤��/£), @W = 0,5£ (soit �W = 2¤��/£) et @¢ = 0,05£ (soit �¢ = 20¤��/£).

On commence par construire les asymptotes de gain et de phase pour ��4 .

Puis successivement, en avançant vers les � croissants, on fait intervenir les termes du 1er

ordre : 11 + � ��¥£(1 + 0,5�)��¥£ 11 + 0,05�

On affine le tracé réel en calculant quelques points particuliers.


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4. INTERPRETATION : RELATION RAPIDITE-BANDE PASSANTE D’UN SYSTEME

DU PREMIER ORDRE

La dynamique d’un système du premier ordre est entièrement décrite par une constante de temps �.

Cette dynamique s’exprime aussi dans l’espace fréquentiel. On appelle ¦� la fréquence de coupure, la

fréquence pour laquelle l’affaiblissement de la sinusoïde de sortie est de 3��. La fréquence de coupure

est en relation avec � :

¦� = ��2§ = 12§. �

Or le temps de réponse à 5% vaut �¤̈ % = 3�. Dans ces conditions, le produit �¤̈ %. ¦� = ¢Wª est constant,

indépendant de �.

Cette propriété peut s’énoncer et se généraliser sous la forme suivante :

Plus la bande passante d’une commande est élevée, meilleure est sa rapidité.


Application



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Exercice 1 :

Considérons trois systèmes du premier ordre de fonction de transfert :

�� =1

1 + 0,5�; �� =

1

1 + 0,05�; �� =

1

1 + 5�

On leur applique en entrée trois signaux différents :

→ Un signal lent : �� = cos��

→ Un signal plus rapide : �� = 0,2. cos�15��

→ Un signal composé des deux signaux précédents : �� =

cos�� + 0,2. cos�15��

Questions :

1. Tracer l’allure des diagrammes asymptotiques des trois

systèmes.

2. Indiquer si les signaux sont dans la bande passante des

systèmes. En déduire l’allure des signaux à la sortie des

systèmes. A quoi peuvent être assimilés les systèmes ?

3. Si l’entrée est assimilable à une consigne, que pouvez-vous

conclure, sachant que la rapidité d’un système est caractérisée

par sa capacité à suivre des entrées rapides. En déduire une

relation entre la bande passante et la rapidité d’un système.


Application



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Exercice 2 :

Tracer le diagramme asymptotique de la fonction de transfert :

�� =58�� + 1,1�

�� + 4�� + 8�


Application



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Exercice 3 :

La structure de la commande d’un asservissement est décrite par le schéma bloc suivant :

Une analyse expérimentale fréquentielle a permis de tracer les diagrammes de Bode, en boucle ouverte

�� =��

�� du processus.

Questions :

1. Tracer les diagrammes asymptotiques correspondant aux courbes réelles données ci-dessous.

Peut-on définir avec précision la pulsation de cassure ?

2. Identification : donner numériquement �� sous sa forme canonique.

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ASSERVISSEMENT – I1.1 SI1 CHAPIT RE 3 : …si-icam-paris-senart.e-monsite.com/medias/files/module-i1-1-si1... · → SYSTEMES NON BOUCLES: systèmes commandés ... CHAPIT RE 3 :