Asservissement - Poly 09

ASSERVISSEMENT DES SYSTEMES LINEAIRES INVARIANTS DANS LE TEMPS (S.L.I.T) EN TEMPS DISCRET cours J.BOONAERT 2006

J.BOONAERT 2005 Version Bta 4 186

12. Transforme en z, fonction de transfert discrte. Sommaire page 186

12.1 la transforme en z. page 187 12.2 Proprits. page 187 12.3 Quelques transforme usuelles. page 188

******

12.4 Fonction de transfert discrte. page 188 12.4.1 Obtention. page 188 12.4.2 Obtention de la relation de rcurrence partir de la fonction de transfert discrte. page 189

******

12.5. Transposition des fonctions de transfert continues. page 193 12 .5.1 But recherch. page 193 12.5.2 Equivalence la drivation (mthode dite de la transformation dEuler ). page 193 12.5.3 Equivalence lintgration (dite Transformation Homographique ou Transformation Bilinaire ). page 196 12.5.4 Mthode des ples et zros homologues (mthode dite de la transformation adapte ). page 198



12. Transforme en z, fonction de transfert discrte. 12.1 La transforme en z. On cherche aboutir ici un outil de reprsentation des systmes chantillonns qui

puisse se comparer la transforme de Laplace pour les systmes continus. Soit ( )tsdiscret le signal chantillonn ( la priode eT ) associ au signal continu ( )ts . On peut crire ( )tsdiscret sous la forme ( ) ( ) ( )

+

=

=

keediscret TktTksts . Intressons nous maintenant la transforme de

Laplace de ( )tsdiscret . On a : ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

+

=

+

=

=

=

kee

keediscret TktTksLTktTksLtsL , ce qui donne :

( )[ ] ( ) ( )[ ]ek

ediscret TktLTkstsL = +

=

. Compte-tenu du fait que ( )[ ] 1=tL et de la relation liant la transforme de Laplace dune fonction retarde sa transforme non-retarde, nous

avons ( )[ ] pTke eeTktL = do finalement : ( )[ ] ( ) pTkk

kediscret

eeTkstsL +=

=

= . On effectue la changement de variable pTeez = (186), ce qui

donne :

( )[ ] ( )+

=

=

0k

kediscret zTkstsL (187). Cette quantit sera, par dfinition, la transforme en z du

signal chantillonn. Nous noterons ( )[ ]tsZ la transforme en obtenue partir de lchantillonnage du signal continu s la priode eT . Nous pourrons donc dire :

La transforme en z dun signal en temps continu ( )ts est la transforme de Laplace du signal ( )ts* obtenu par chantillonnage idal de ( )ts . Nous noterons :

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )+=

===

0

*

k

ke sTkstsLtsZzS (187-bis).

12.2 Proprits. De par la faon dont elle est dfinie, cette transformation possde nombre de proprits similaires celles de la transforme de Laplace. En loccurrence :

- Linarit : tant donns ( ) ( )[ ]tfZzF = , ( ) ( )[ ]tgZzG = et le couple ( ) 2, R , nous avons ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )zGzFtgZtfZtgtfZ +=+=+ .

- Thorme de la valeur finale : ( ) ( ) ( )[ ]tfZztf zt = + 1limlim 1 . - Retard temporel : ( )[ ] ( )[ ]tfZzTitfZ ie = Il faut toujours garder lesprit que la priode dchantillonnage se trouve noye dans

la dfinition de la nouvelle variable z . On appelle parfois z loprateur avance dune priode dchantillonnage . On rencontre par ailleurs assez frquemment la variable q qui est

dfinie par 1

= zq (188), et correspondant loprateur retard dune priode dchantillonnage , moins choquant pour lesprit.



12.3 Quelques transforme usuelles. Le tableau ci-dessous regroupe quelques transformes en z usuelles. En exploitant ce tableau, ainsi que les proprits ci-avant (linarit en particulier) il est possible de dterminer les transformes en z de nombreuses fonctions. Les transformes associes aux systmes de base sera introduites ultrieurement dans la suite de ce cours.

Domaine continu Domaine discret

( )t 1 ( )eTkt kz

1 11

1

z

t

( )211

1

z

zTe

2t ( )( )31

112

11

+

z

zzTe

tae 11

1

ze eTa

taet

( )211

1

ze

zeTe

e

Ta

Tae

fig 146 : tableau de quelques transformes en z usuelles

12.4 Fonction de transfert discrte. 12.4.1 Obtention. En temps continu, la notion de fonction de transfert permet de mettre en vidence les proprits de systmes complexes sans recourir la rsolution explicite des quations rgissant ces derniers. Le but de ce chapitre est dintroduire lquivalent de cet outil en temps discret .

Pour ce faire, considrons un systme dont on connat la rponse impulsionnelle ( )th (domaine continu). Calculons dans un premier temps la rponse du systme une entre

constitue dchantillons. Le signal dentre ( )tsd peut donc tre considr comme issu de l chantillonnage idal dun signal en temps continu ( )ts . On a donc

( ) ( ) ( )+=

=

=

k

keed TktTksts . On peut calculer la rponse ( )ty en utilisant le produit de

convolution :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dthTktTksdthTktTkstyk

ee

kee =

=

+

+

=

+

+

=

,

do : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ek

ee

ke TkthTksdthTktTksty ==

+

+

=

+

=

Lexpression ci-avant correspond la sortie ( )ty obtenue en temps continu. Ce qui nous intresse ici, cest en fait le signal chantillonn ( )tyd correspondant lchantillonnage idal



de ( )ty . Comme dhabitude, nous avons ( ) ( ) ( )+

=

=

ieed TitTiyty . Or, daprs ce qui

prcde ( ) ( ) ( )( )+

=

=

keee TkihTksTiy . Finalement nous trouvons :

( ) ( ) ( )( ) ( )ei k

eed TitTkihTksty

=

+

=

+

=

. Sa transform de Laplace (qui correspond,

rappelons-le, la transforme en z de ( )ty )est alors : ( ) ( ) ( )( )

+

=

+

=

=

i

i

keed zTkihTkszY (189). Les expressions prcdentes correspondent

un produit de convolution discret.

Il est alors intressant de comparer lexpression prcdente avec le produit ( ) ( )zUzH , o ( ) ( )

+

=

=

k

ke zTkhzH est la transforme en z de la rponse impulsionnelle et

( ) ( )+

=

=

i

ie zTiszU est la transforme en z du signal dentre. Nous avons alors :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) +

=

+

=

+

=

+

=

=

=

k

k

iee

i

ie

k

ke zTikhTiszTiszTkhzUzH . Les

variables i et j jouant un rle symtrique, on aurait tout aussi bien pu crire :

( ) ( ) ( ) ( )( ) +

=

+

=

=

i

i

kee zTkihTkszUzH , nous avons donc lidentit :

( ) ( ) ( )zUzHzYd = (190).

Nous pouvons donc introduire le rapport ( ) ( )( )zUzY

zH d= (191) comme tant la fonction de

transfert discrte du systme. Cette fonction de transfert est la transforme en z de la

rponse impulsionnelle chantillonne du systme tudi. Dans ce qui suit, nous allons examiner le lien existant entre cette fonction de transfert discrte et lquation aux diffrences rgissant le comportement du systme. Nous verrons cette occasion quil est tout fait semblable au lien existant entre quation diffrentielle et fonction de transfert dun systme dcrit en temps continu.

12.4.2 Obtention de la relation de rcurrence partir de la fonction de transfert discrte. Il est clair que la mise en uvre dun filtre numrique sur un calculateur ncessite quelque chose de plus aisment manipulable par celui-ci quune fonction de transfert discrte. En effet, bas niveau, le processeur charg deffectuer les calculs correspondants ne sait (la plupart du temps) que manipuler les quatre oprations de base (et encore). Il est donc ncessaire de dterminer lquation aux diffrences correspondante, qui donnera lieu une quation de rcurrence qui est parfaitement compatible avec les possibilits du processeur (car constitue dune somme de produits). Pour clairer le lien qui existe entre lquation aux diffrences et la fonction de transfert discrte du systme, considrons la relation suivante :



mkmknknkk ubububyayaya +++=+++ ....... 1100110 (1), qui est lquation aux diffrences rgissant lvolution de la sortie y du systme soumise son entre u . Notons que nous introduisons cette occasion la notation abrge

suivante : ( ) ke yTky = Calculons la transforme en z de chacun des membres de cette quation. Nous avons alors :

( ) ( ) kk

mkmkkk

knknkk zubububzyayaya

+

=

+

=

+++=+++ ........ 110110 , soit

pour le membre de gauche :

n

k

knnkn

k

kk

k

kk zzyazzyazya

+

=

+

=

+

=

++

+

...11110 , de mme pour le

membre de droite :

m

k

kmmkm

k

kk

k

kk zzubzzubzub

+

=

+

=

+

=

++

+

...11110 . En oprant les

changements de variable adquats sur les symboles de sommation et en remarquant que :

( )( )

=

=

+

=

+

=

j

jj

i

ii

zyzY

zuzU, nous avons donc :

( ) ( ) ( ) ( )mmnn zbzbbzUzazaazY +++=+++ ...... 110110 , soit pour finir : ( )( )

n

nn

mn

m

nn

n

n

m

m

azaza

zbzbzbzazaa

zbzbbzUzY

+++

+++=

+++

+++=

...

..

...

...

110

110

110

110 (192).

On voit donc ici que la connaissance de lquation aux diffrences rgissant le fonctionnement du systme permet de dterminer sa fonction de transfert discrte. En inversant la dmarche prcdente, on pourrait montrer que linverse est vrai. Partons en effet dune fonction de transfert de la forme prcdente, savoir :

( ) ( )( )zUzY

zazaa

zbzbbzH

n

n

m

m=

+++

+++=

...

...

110

110 . On a donc par dfinition :

( ) ( ) ( ) ( )mmnn zbzbbzUzazaazY +++=+++ ...... 110110 , ce qui donne en explicitant ( )zY et ( )zU :

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+++=+++k k

mkkm

kk

k

kk

k

nkk

kn

kk

k

kk zubzubzubzyazyazya ......

110

110

Ce qui peut encore scrire :

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+++=+++k

kmkm

k

kk

k

kk

k

knkn

k

kk

k

kk zubzubzubzyazyazya ...... 110110

Cest dire :

( ) ( ) kk

mkmkkk

knknkk zubububzyayaya

+

=

+

=

+++=+++ ...... 110110 . On

constate (naturellement) que le membre de gauche et celui de droite correspondent des transformes en z . Compte-tenu des proprits (en particulier de linarit) de cette transformation, on aura ncessairement la relation :

mkmkknknkk ubububyayaya +++=+++ ...... 110110 (193)



qui est lquation au diffrence rgissant le comportement du systme. En conclusion, nous pouvons donc dire que la donne dune fonction de transfert discrte permet dtablir lquation de rcurrence associe au systme. A la lumire de ce qui prcde, nous pouvons adopter une rgle dcriture qui nous fera gagner du temps lors des passages transfert/rcurrence et vice-versa. En effet, si dans la fonction

de transfert discrte apparat un terme ( )zYza ii , la relation de rcurrence correspondant fera apparatre un terme iki ya + . On dira (juste titre mnmotechnique !) que le iz permet de slectionner lchantillon iky + . Cette rgle dcriture est, bien entendu, valable quel que soit le signal considr. Une autre faon daboutir la mme conclusion est reprsente sur le schma suivant. Lide

sous-jacente est que pTeez = sinterprte aussi comme loprateur avance dune priode dchantillonnage . Alors, puisque la transforme en z dun signal nest ni plus ni moins quune faon commode de noter la distribution des valeurs correspondant un signal chantillonn,

( )zYz i (par exemple) reprsente la distribution relative au signal ( )ty* (cest dire le signal obtenu par chantillonnage idal de ( )ty ) avance de i priodes dchantillonnage. La fonction de transfert discrte ne fait que reprsenter les relations liant les distributions pondres/dcales entre elles :

t

y(t)

t

y*(t)chantillonnage

t

y*(t)a0.Y(z)

t

y*(t)a1.Y(z).z-1

t

y*(t)a2.Y(z).z-2

Dcalage dune priode dchantillonnage

Dcalage de deux priodes dchantillonnage

etc

+

+

+

Instant k.Te a0.yk+a1.yk-1+a2.yk-2+

Combinaison linairedes distributions retardes

Relation de rcurrence

fig 147 : Une interprtation du lien entre fonction de transfert discrte et relation de rcurrence.

Exemple : Quelle est la relation de rcurrence correspondant la fonction de transfert discrte

( )5,0

31

=

zzH ?

Pour rpondre cette question, introduisons ( )zY transforme en z du signal de sortie chantillonn et ( )zU transforme en z du signal dentre chantillonn. Nous avons donc :



( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )zUzYzzHzUzY

== 35,01 . En appliquant la rgle dcriture prcdente,

nous avons donc : kkk uyy =+ 35,01 . La relation de rcurrence doit permettre de trouver lexpression de la sortie la plus tardive en fonction de tout le reste. On aura donc :

kkk uyy +=+ 35,01 . Pour plus de clart, on peut dcaler lensemble des indices dun rang gauche (ce qui reviendrait multiplier la fonction de transfert en haut et en bas par 1z ), ce qui

donne alors : 11 35,0 += kkk uyy . Autre exemple :

Sachant que ky dsigne la valeur de la sortie linstant eTk et que ku dsigne celle de lentre au mme instant, en en notant ( )zY et ( )zU les transforme en z respectives de ces signaux, quelle est la fonction de transfert correspondant la relation de rcurrence suivante :

2121 523 += kkkkk uuyyy ? On r-applique la rgle dcriture vue prcdemment, ce qui donne :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]21212121 5231523 =++= zzzUzzzYzUzzUzzYzzYzzY

d'o la fonction de transfert recherche : ( )( ) 221

21

325

2315

zz

z

zz

zz

zUzY

+

=

+

=



12.5 Transposition des fonctions de transfert continues. 12.5.1 But recherch. Le but quon cherche atteindre ici est de pouvoir dterminer des quivalents numriques de fonctions de transfert continues. Par quivalent , on entend des dispositifs prsentant par exemple des rponses indicielles ou impulsionnelles comparables.

12.5.2 Equivalence la drivation (mthode dite de la transformation dEuler ). Lide consiste ici trouver un oprateur discret qui puisse jouer le mme rle que p dans la fonction de transfert continue. On rappelle pour mmoire que, sous rserve de conditions initiales nulles ou de simples variations par rapport ces dernires, p correspond lopration de drivation dans le domaine temporel. Comment obtenir une approximation causale de la drive dun signal ? Le plus simple consiste oprer comme lillustre la figure suivante :

eT

eT

eT

ku1ku

eT

ku1ku

( )ee

kkk Tkdt

duT

uuy = 1

temps (s)

signal chantillonn

fig 148 : principe de la mthode dEuler.

Ici, ky dsigne lestimation de nombre driv de ( )tu linstant k . On propose ici lestimation suivante : ( )

e

kkke T

uuyTkdtdu 1

= . On peut crire cette relation en exploitant loprateur

avance dune priode dchantillonnage z , ce qui donne :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ee Tz

zzUzY

TzzU

zY

=

=

11 1

Finalement, lopration ralise (approximation de lopration de drivation) se ramne donc

une fonction de transfert en z qui est ( )( ) eTz

z

zUzY

=1 (194).

Il est clair que cette mthode suppose :



- Que la frquence dchantillonnage soit trs leve par rapport au support rel du signal trait (do un surcrot de puissance ncessaire pour lunit de traitement, pas ncessairement justifi !).

- Que ce signal soit trs peu entach de bruit, cette mthode prsentant le grave dfaut dy tre trs sensible. On dira quil y distorsion des caractristiques haute frquence , car un bruit se caractrise par une densit spectrale dnergie haute frquence :

eT

temps (s)

signal chantillonn non-bruitsignal chantillonn bruit

fig 149 : illustration de linfluence du bruit lors de lutilisation de la mthode dEuler.

Si ces conditions restrictives sont malgr tout rassembles, la mthode consiste alors remplacer loprateur de drivation continu p par cette approximation numrique suivant :

( ) ( )zHpH discrteTzzp

e

=

1

(195)

Exemple : application au premier ordre. On applique la mthode prcdente un systme du premier ordre de fonction de

transfert ( )p

KpH+

=

1. On obtient donc la forme discrte suivante :

( ) ( ) +

=

+=

e

e

e

discrte TzTzK

Tzz

KzH 11

. Lquation de rcurrence correspondante est donne

par ( ) ke

ek

e

kkekke uTTKy

TyuTKyyT

+

++

=+=+++

111

Exemple : application au second ordre. Nous pouvons tenter dappliquer cette mthode un systme du second ordre, avec les mmes restrictions que prcdemment. Ceci nous donne :

( ) ( ) ( )222

2

1

2

2 112121

neen

discrteTz

zp

nn Tzz

Tzzm

KzH

ppmKpH e

+

+

=

+

+

=

do ( ) ( ) ( ) 11212 222222

++++

=

zTmzTmTzTK

zHenenen

en

discrte



Nous en dduisons lquation de rcurrence correspondante :

( )22212222

22

121

1212

12

++

++

++

++

= kenen

kenen

en

kenen

en

k yTmTy

TmTTm

uTmT

TKy

La figure suivante montre le rsultat dune simulation faite laide dun tableau avec les valeurs thoriques suivantes :

=

=

=

sradm

K

n /4,3115,01

La priode dchantillonnage est quant elle de 3101 =eT s.

sortie calcule par quivalence la drivation

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2temps (s)

rpo

nse

(u

.a)

sortie

fig 150 : simulation de la rponse indicielle dun second ordre sous-amorti obtenue en appliquant la

mthode dEuler.

Si on identifie le systme laide des mthodes associes ltude de la rponse indicielle dun systme du second ordre, on trouve trs sensiblement ces mmes rsultats. Ceci tant, lallure de la rponse calcule par quivalence la drivation va sensiblement scarter de la sortie thorique si la frquence dchantillonnage est trop faible. En pratique, pour des systmes tels que celui de la figure prcdente, si la frquence dchantillonnage nest pas 200 fois suprieure ( !!!) la frquence propre du systme, les carts (en terme de dpassement relatif en particulier) deviennent significatifs . Si lunit de traitement na que faire (dans le cas par exemple dun micro-contrleur uniquement charg de se comporter comme un filtre paramtrable) cela nest pas vritablement un problme, mme si conomiquement parlant peut tre un non-sens ! Ne pourrait-on pas trouver une mthode plus efficace, cest dire capable de conserver un comportement comparable celui du filtre analogique une frquence dchantillonnage plus basse ? Une partie de la rponse peut se trouver dans lapproche appele quivalence lintgration .



12.5.3 Equivalence lintgration (dite Transformation Homographique ou Transformation Bilinaire ). Plutt que dessayer de trouver un quivalent fonctionnel numrique lopration de drivation approche causale , tentons plutt de trouver un quivalent numrique loprateur

p1, qui correspond lopration dintgration. Une mthode numrique fort usite en matire

dintgration est la mthode des trapzes, dont le principe est rappel sur la figure ci-aprs :

eTeT

temps (s)

signal chantillonn

estimation de la surface dcoulant de l'utilisation de l'quivalence la drivation

estimation de la surface dcoulant de l'utilisation de la mthode des

trapzes

( )111 2 ++= kke

kekk uuT

uTSS

aire algbrique ngative

aire algbrique positive

ku1ku

fig 151 : principe de lintgration numrique par la mthode des trapzes.

kS reprsente lestimation de laire algbrique de la courbe compte jusqu linstant k . Elle peut se dduire de sa valeur linstant 1k , cest dire 1kS , laquelle on a ajout :

- Laire algbrique du rectangle de largeur eT et de hauteur 1ku . - Laire algbrique du triangle rectangle de largeur eT et de hauteur 1 kk uu .

Nous avons donc la rcurrence suivante :

( ) ( )11111 22 +=++= kke

kkkke

kekk uuTSSuuTuTSS

Celle-ci peut tre exprime sous forme de la fonction de transfert en z qui suit :



( )( ) 1

12

+=

z

zTzUzS e , qui correspond une approximation de lopration dintgration. Par

consquent, la quantit 11

2 +

z

zTe peut tre considr comme lhomologue numrique de

loprateur p1. La mthode dite de lquivalence lintgration va donc consister remplacer

p par ( )( )1

12+

zTz

e

(196).

Pourquoi est-on en droit de penser que la transposition dune fonction de transfert continue sous forme discrte sera de meilleure qualit en utilisant lquivalence lintgration plutt que lquivalence la drivation ? Parce que lutilisation de lquivalence la drivation se ramne estimer lintgrale dune fonction dune faon bien plus grossire (somme des aires de rectangles) quavec la mthode des trapzes. On conoit intuitivement que le rsultat sera plus prcis avec la prsente mthode.

Application au second ordre. Lapplication de la mthode de lquivalence lintgration pour un second ordre conduit la fonction de transfert discrte suivante :

( ) ( )( ) ( ) ( )44824412

2222222

222

+++++

++=

enenenenen

en

discrte TmTzTzTmTzzTK

zH

La figure suivante reprsente la rponse indicielle du second ordre de lexemple prcdent, mais calcule cette fois-ci grce lquivalence lintgration, avec la mme frquence dchantillonnage :

sortie calcule par quivalence l'intgration

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

0 0,5 1 1,5 2 2,5temps (s)

rpo

ns

e (u

.a

)

sortie

fig 152 : Simulation de la rponse indicielle dun second ordre sous-amorti obtenue en appliquant la

mthode de lquivalence lintgration.



Il est possible de vrifier que les rsultats sont davantage conformes ce que prvoit la thorie (en particulier pour la valeur du premier dpassement). Dans le cadre de cet exemple, les rsultats demeurent acceptables mme si on divise par 20 la frquence dchantillonnage initiale ! (on doit quand mme chantillonner une frquence dcuple de la frquence propre du systme, mais on se rapproche de lordre de grandeur de la limite quimpose Shannon). De ce point de vue, lexploitation de lquivalence lintgration savre une mthode plus efficace que la prcdente. Ceci a toutefois un prix (somme toute modeste !) puisque la rcurrence porte sur cinq termes et non plus trois, comme prcdemment.

12.5.4 Mthode des ples et zros homologues (mthode dite de la transformation adapte ). Il sagit ici dexploiter :

- lexpression de la variable z en fonction de la variable de Laplace p suivant pTeez =

- le thorme de la valeur finale transpos au cas des fonctions de transfert discrte

(pour mmoire ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )zFztftfZzF zt == + 1limlim 1 ) qui dbouche sur une dfinition du gain statique dune fonction de transfert discrte qui est

( )zHK z 1lim = (197). La mthode dcrite ci-dessous correspond au cas dun systme STATIQUE. Cependant, son extension au cas de systme ASTATIQUE ne pose aucune difficult (exploitation de la notion de gain dynamique ) et est laisse la charge du lecteur titre dexercice Lide est la suivante : Si la fonction de transfert discrte admet pour ples et zros les transformes de ceux-ci et si le gain statique est identique, alors on peut penser que la rponse du filtre discret obtenu sera comparable celle du filtre continu. La recette appliquer est alors la suivante :

(1) On dtermine les ples 10,



Exemple : Application un second ordre sous-amorti :

On rappelle quun systme du second ordre dot dun amortissement 1

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