TD corrige analogique numerique.docPage 1 sur 14 TD Analogique /numrique Exercice 1 : Questions de cours matriser totalement et imprativement(*) Partie 1 QCM : Prcisez si les affirmations suivantes pour les diffrentes situationssont vraies ou fausses : -Lorsquune personne parle devant un microphone, le signal qui en sort : a) contient toutes les frquences du continu au MHzb) ne contient quune seule frquencec) a une amplitude qui dpend du niveau sonored) a une frquence qui dpend du niveau sonoree) ncessite une bande passante de 50Hz 15 kHz pour une reproduction Hi-fif) se contente dune bande passante de 300Hz 3 kHz pour une reproduction correcte Rponse : c) et e) sont vraies le reste est faux. Lorsquune personne parle, le spectre associ au signal sonore est complexe et stend de 20 Hz 20 000 Hz. Lamplitude est bien sre indpendante de la frquence. -Le circuit dacquisition dun signal analogique audio (de 20 Hz 20 kHz) a la structure suivante : a) on peut chantillonner une frquence fe beaucoup plus grande que 20 kHzb) si on chantillonne 44 kHz, on perdra un peu de qualit dans les aigusc) il faut au minimum chantillonner un peu plus que 20 kHzd) le bloqueur maintient le signal constant lentre du CAN pendant les conversionse) le choix du nombre de bits N sera dterminant pour la qualit du systme Rponse : d) et e) sont vraies. Le choix dune frquence dchantillonnage leve nest pas judicieux car elle conduit un traitement de nombreuses donnes ensuite. Il faut galement bien se persuader que lorsque Shannon est vrifi alors le spectre du signal analogique est conserv et peut alors tre retrouv la conversion numrique analogique sans perte. -Le circuit prcdent est utilis pour lacquisition dun signal dont le spectre va du continu 5 kHz, la frquence dchantillonnage a t choisie 12 kHz. a) le choix de la frquence dchantillonnage est correctb) linformation entre les chantillons est perdue, do dgradation de la qualitTD corrige analogique numerique.docPage 2 sur 14 c) le filtre passe-bas anti-repliement est plac aprs lchantillonneurd) la frquence de coupure de ce filtre doit tre lgrement suprieure 5 kHze) la pente de ce filtre doit tre la plus raide possible aprs la coupureRponse : a), d) et e) sont correcte. Le filtre anti-repliement doit tre plac avant chantillonnage. 4 -Un signal tlphonique est chantillonn son arrive au central tlphonique fe = 8 kHz et converti en mots de 8 bits sous forme srie : a) le dbit numrique correspondant est D = 16 kbits/sb) la bande passante de la voie tlphonique analogique est de 8 kHzc) lentre du central, le signal analogique est filtr en-dessous de 4 kHz d) vue la qualit du microphone et de la ligne tlphonique, on na pas besoin de filtre lentre du centrale) la bande passante du signal numrique stend jusqu 64 kHzf) cest seulement cause du filtrage que la qualit nest pas celle dun CD audio Rponse : a) faux :le dbit est de 64 kbit/s ;b) Faux, forcment infrieur 4 kHz, c) Vrai,d) Faux, e) Faux :le signal chantillonn un spectre priodis infini f)il y a lchantillonnage(44 kHz) et le nombre de bit (16 bits) qui sont dterminants Partie 2 : Rpondre aux questions a) Reprsentez lallure du spectre dun signal sinusodal chantillonn aprs avoir dmontr la formule conduisant ce spectre (on verra lchantillonnage comme la multiplication du signal utile par un peigne de Dirac) Mathmatiquement, on peut dcrire un signal chantillonn x*(t) par le produit suivant : x*(t) = x(t).d(t) O d(t) est une suite dimpulsions de priode TE, de largeur t0 et damplitude unit et nulle en dehors de ces instants. Afin de faciliter notre tude on supposera d(t) comme pouvant tre dcrit par une srie de pics de Dirac. Rappel : Un pic de Dirac) (t est une impulsion dair unit centre en zro qui vaut zro partout ailleurs et dont la largeurtend vers zro.

) (t ) (t t t t ) (t t 2 2 Zoom 1/ On reprsente galement un Dirac par : TD corrige analogique numerique.docPage 3 sur 14 Ainsi de manire avoirune srie dimpulsions non nulles (peigne de Dirac) aux instants kTE

on va dfinir d(t) tel que : + kkEkT t t d0) ( ) ( avec k entier : d(t) t -6TE-5TE-4TE-3TE-2TE-TE 0TE2TE 3TE4TE5TE6TE Daprs Fourier cette fonction priodique et paire sera dcomposable en une somme de cosinus. Ainsi d(t) scrit : + 1) cos( ) (nE n moyt n A d t d o EET2On a alors EmoyT priodepriode une sur Aired1 )2( sin2)2sin(4) cos(1 4) cos( ) (42 /02 /0 EEnEEEnEEnTEEnncTAnnTAdt t nTAdt t n t dTAE Or sachant que0 et que sinc(0)=1 + nnEE Et nT Tt d1) cos(2 1) ( On peut remarquer que le spectre dun peigne de Dirac donne galement une srie de pics. Si on suppose que le signal a chantillonner est une sinusode dfinit telle que : x(t)=Acos( t0 ) Alors x*(t) scrit : TD corrige analogique numerique.docPage 4 sur 14 x*(t)=Acos( t0 ) +nnEE Et nT T1)) cos(2 1( relation 1 Une analyse graphique nous conduit : d(t) x*(t) t x(t)t t Figure 6 On voit bien que la reprsentation temporelle de x*(t) conduit une fonction discrte qui est diffrente de x(t), il est donc tout fait logique dobtenir un spectre de x*(t) qui soit diffrent de x(t) et cest en effet ce que nous pouvons constater laide de la relation 1 : A laide des formules trigonomtriques, on obtient les diffrentes composantes spectrales : x(f)x*(f) AA/TE ff f0 f0 fE f0fE+f0 2fE-f02fE+f0 f

b) Un ingnieur du son chantillonne 44 kHz le signal sonore suivant: -la partie musicale de 20 20000 Hz -dun bruit lectrique de densit spectrale constante dans la bande 0 40000 Hz -dun signal parasite 35kHzQue constatez-vous dans la bande audio ? Justifiez laide dun graphiqueSpectre du signal chantillonn 0 209k 20k24k 35k 40k 44k64k79k84kf Lors de la conversion numrique analogique ncessaire pour alimenter le HP, il restera une composante 9 kHz et un bruit deux fois plus important !!! TD corrige analogique numerique.docPage 5 sur 14 c) Donnez le principe dun filtre anti-repliement. Dans lexemple prcdent si on conserve cette frquence dchantillonnage, quelle est la valeur de la frquence de coupure de ce filtre. Un filtre anti-repliement permet de limiter le spectre dun signal numriser afin de respecter Shanonn et donc un recouvrement des spectres. Dans lexemple prcdent, le filtre anti-repliement fix 22 kHz vite le phnomne de repliement du spectre de la composante 35 kHz (qui donne naissance lharmonique 9 kHz) et vite de doubler le niveau du bruit.

d) Etablir la transmittance dun bloquer dordre zro. Considrons lchantillonnage dune impulsion trs brve (un seul chantillon possible) x(t) damplitude unit : x(t)x*(t) 1 Echantillonnage 1 tt

Aprs blocage, x*(t) devient b(t) : b(t) 1 t 0 TE On peut trouver lexpression de b(t)en notation de Laplace. Il suffit de voir que b(t) est la superposition de deux chelons de tension avec lun en retard et lautre invers. En utilisant le thorme du retard, on obtient : )) exp( 1 (1) ( p Tpp bE Sachant x*(t) est dans notre exemple un pic de Dirac et que la transforme de Laplace dun pic de Dirac vaut 1, on peut alors trouver la fonction de transfert) ( p B dun bloqueur dordre zro : pp Tp BE) exp( 1) ( On peut alors exprimer la fonction de transfert en notation complexe pour un signal sinusodal de pulsation . Dans les conditions dHeaviside, on a : TD corrige analogique numerique.docPage 6 sur 14 1]1

1111]1

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)2( sin )2exp( ) ()2sin( 2)2exp( ) ()2exp( )2exp()2exp( ) () exp( 1) (EEEEEE EEETc TT jj BjTjT jj BjT j T jT jj BjT jj B est la pulsation du signal chantillonn et bloqu. Si on suppose le critre de Shannon largement vrifi alors12 TTTEEAinsi)2( sin ) (EETc T B Et) ( sin ) ( f T c T f BE E e) Tracez lallure du spectre dun signal chantillonn et bloqu TD corrige analogique numerique.docPage 7 sur 14 f) Les signaux chantillonns et bloqus sont ensuite envoys vers un CAN 8 bits dont la pleine chelle est +/-5V. Calculez la rsolution de ce convertisseur. Donnez le nombre en sortie du CAN en binaire et hexadcimal de la tension 1,25V mV q 401 2108Quand pas sign [10011100] soit [9C] Quand sign [00011111] soit [1F] Partie 3 QCM : Prcisez si les affirmations suivantes pour les diffrentes situationssont vraies ou fausses : -On sintresse aux transformes en z des deux signaux chantillonns suivants : a) la transforme scrit : X(z) = 1-z-1+z-2 Non ! b) la transforme scrit : X(z) = 1-z-2+z-4 oui ! c) la transforme scrit : Y(z) = 1+5z-1 Non ! d) la transforme scrit : Y(z) = 1+z-1+. +z-4 Oui ! 6 -Un filtre numrique attaqu par une squence impulsion xk rpond par la squence yk suivante : a) la transmittance de ce filtre scrit : H(z) = 1 + 0,5.z-1+ z-2 Oui b) son algorithme scrit : yk = 2.xk + xk-1 + 0,5.xk-2 Non c) la transmittance en continu du filtre vaut Ho = 1,5 Non d) il sagit dun filtre non rcursif rponse impulsionnelle infinie Non ici la rponse est finiee) pour certains types dentres, le filtre peut devenir instable. Il sagit dun filtre non rcursif, donc stable TD corrige analogique numerique.docPage 8 sur 14 Exercice 2 : Utilisation du cours (**) :approximations de la transforme en z Partie 1 : Expressions p(z) : On a vu que la transforme en z ntait quun cas particulier de la transforme de Laplace mais qui mettait en uvre une notation plus simple pour les tensions chantillonnes. Pour passer de lune lautre de ces transformes, il faut poser :EpTe z Ce changement de variable fait intervenir une fonction exponentielle qui nest pas vidente manipuler dans les calculs, on emploie alors diffrentes approximations pour faciliter lexpression de p(z) -quivalence de la driv Donnez lexpression de p(z) dans le cas o on assimile la driv dun signal chantillonn la pente entre deux chantillons E EE E EETzzTzp ie ana Parp pS Laplace de e transform t s orz SzTzTz z S z SZ en e transformTT t s t st s11 1: log) ( ) ( ' :) (1 / ) ( ) ( ) ( * ) ( *) ( ' -quivalence de lintgrale Donnez lexpression de p(z) dans le cas o lintgrale du signal chantillonne entre deux chantillons est prise gale lair du rectangle de largeur TE et de longueur gale la moyenne des deux chantillons successifs EE EET zzpTzt s TT t s t s) 1 (221) ( *2) ( * ) ( *1++ + -thorme du retard Enoncez le thorme du retard avec la transforme de Laplace puis en z. Conclusion ) exp() () ( *) ( ) ( *) exp( ) ( ) () ( ) (EEEpT zZz XT t xz X kT xp p X t xp X t x' ' TD corrige analogique numerique.docPage 9 sur 14 Partie 2 :Le filtrage numrique 1) Dtermination de la transmittance dun filtre numrique qui rpond de la mme manire quun filtre passe haut dordre 1 un chelon de tension par une mthode comparative: -Considrons ltude analogique dun chelon de tension dans un premier temps. Rappelez les expressions de lentre x(t), x(p), puis de la fonction de transfert T(p), et de la rponse Y(p) et en dduire y(t) sachant que) exp(11at Lp a+ : ConsignexRponsey tt x(t)=1 X(p)=p1 ppp T+1) ( y(p)=pp++11) 1 (y(t)=te -Considrons maintenant larrive dun chelon de tension numris. Donnez lexpression de x(nTE), puis de X(z). Sachant que la variable t devient kTE donnez, en utilisant y(t), lexpression de y(kTE). En dduire Y(z) en utilisant les tables du cours puis T(z) x(kTE) = 1 ; X(z)=1 zz ; y(kTE)=kT kTE Ee e

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; Y(z) =

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ETe zz ;T(z) =

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ETe zz 1 -En dduire lalgorithme associ qui nous permettra de paramtrer un circuit intgr qui aura les mmes proprits que le filtre analogique. 1 11 11 1) 1 )( ( ) 1 )( () 1 )( ( ) )( ( +

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k k kTkk k kTkTTx x y e yx x y e yz z X z e z Yz z X e z z YEEEE Filtre analogique TD corrige analogique numerique.docPage 10 sur 14 2) Dtermination de la transmittance dun filtre numrique qui rpond de la mme manire quun filtre passe haut dordre 1 un chelon de tension par une mthode approximative -Donnez la relation entre z et p avec lquivalence des drivs E EE E EETzzTzp ie ana Parp pS Laplace de e transform t s orz SzTzTz z S z SZ en e transformTT t s t st s11 1: log) ( ) ( ' :) (1 / ) ( ) ( ) ( * ) ( *) ( ' -Donnez lexpression de T(z) associ un filtre passe bas dordre 1 ) () 1 () 1 (111 11) (1111z Tz TzTz Tzppp TEEE +++ -En dduire la relation de rcurrence ) () ( ) ()) 1 ( )( ( )) 1 ( )( (1 11 11 1 ++ + + +k k kEkk k k k EEx x yTyx x y y Tz z X z T z Y -Vrifiez que ce modle redonne le mme algorithme que dans la question prcdente si TE