Bac S 2009 Pondichery Maths + correction

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2009

MATHÉMATIQUES

Série: S

DURÉE DE L'ÉPREUVE: 4hellres. - COEFFICIENT: 7

Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter tous les exercices. candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche,

même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront

pour une part importante dans ['appréciation des copies.

Tournez la page

Page l

9MASOINJ

Exercice l (7 points)

Commun à tous candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0, + oo[ par:

f(x) x

On désigne par C la courbe représentative de la fonction

f dans un repère orthonormal (0; i,]) du plan. Cette

courbe est représentée ci-contre.

~

... )-r--'

oV/ 0

0

, .. 1

!

1

1

v1/ i

... 1 i 1

1 ! !

C--..~I_..

1

1

1 1 1

1 1

i

:i 1

i'~, 1 1 1

1

"'- ;-- ----1 1 i 1

12

1

! i 1

1

...~:---

Partie A

1. a. Déterminer la limite de 1 a fonction f en +00 .

(On pourra écrire, pour x différent d~ 0 : f(x) = 1 x x: ).x eX

b. Démontrer que f admet un maximum en .fi et calculer ce maximum. 2

2. Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d'aire et en fonction de a, l'aire F (a) de la

partie du plan limitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x °et

x = a . Quelle est la limite de F (a) quand a tend vers +oo?

Partie B -n+l

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par: un:;;;: ln f(x) dx.

On ne cherchera pas à expliciter un .

1. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n différent de 0 et de 1,

f(n+l)~ un ~f(n)

b. Quel est le sens de variation de la suite (u)n n::;'2

?

c. Montrer que la suite (un) converge. Quelle est sa limite?

2. a. V érifier que, pour tout entier'naturel strictement positif n, F (n) == n~l

L uk •

k~O

b. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

On donne ci-dessous les valeurs de F (n) obtenues à l'aide d'un tableur, pour n entier compris entre 3 et 7.

Interpréter ces résultats.

Page

9MASOINl

Exercice 2 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( 0; ~, ~) . On prendra pour unité graphique 2 cm.

Soit A, B et C les points d'affixes respectives: a = 3 - i, b 1-3i et c -1- i.

1. a. Placer ces points sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. b. Quelle est la nature du triangle ABC? c. Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle r de centre 0, dont on calculera le

rayon. 2. Soit M un point quelconque du plan d'affixe notée met N le point d'affixe notée n, image de A dans la

. nrotatlOn r de centre M et d'angle de mesure -.

2 a. Donner l'écriture complexe de la rotation r. b. En déduire une expression de n en fonction de m .

3. On appelle Qle milieu du segment [AN] et q son affixe.

(l-i)m . Montrer que: q -~~+ 2 + 1

2 4. Dans cette question, M est un point du cercle r .

i9 a. Justifier l'existence d'un réel El tel que: m =JlO e .

b. Calculerlq - 2 - il. Quel est le lieu r' de Q lorsque M décrit le cercle r?

E;xercice 3 (4 points)

Commun à tous les candidats

Dans un repère orthononné de l'espace ( 0; i,], k) on considère les points:

A de coordonnées (1,1, 0) ,B de coordolli1ées (2,0,3) , C de coordonnées ( 0, - 2, 5) et D de coordonnées (1, 5,5).

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est VRAIE ou par FAUSSE en justifiant chaque fois la réponse:

Proposition l : L'ensemble des points AI de coordonnées (x,y, z )tels que y = 2x + 4 est une droite.

Proposition 2: La transfonnation qui, à tout point M de l'espace associe le point M' tel que -~--_... -~ - -~

MM ' == MA +AfB +2Afe est l'homothétie de centre G, où G désigne le barycentre du système

(A, 1), (B, 1), ( C, 2) , et de rapport 3.

Proposition 3 : A, B, C et D sont quatre points coplanaires.

Proposition 4: La sphère de centre n de coordonnées(3,3,O)et de rayon 5 est tangente au plan

d'équation :2x+2y+z+3 = O.

Tournez la page S.V,P.

Page 3

9MASOINl

Exercice 4 (4 points)


On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques l

mais l'un est bien équilibré et l'autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d'obtenir 6 lors d'un lancer est égale à - . 3

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.

a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X? b. Quelle est son espérance?

c. Calculer p(X = 2) .

2. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite. On considère les événements D et A suivants:

• D: « le dé choisi est le dé bien équilibré» ; • A: ( obtenir exactement deux 6 ».

a. Calculer la probabilité des événements suivants: • «choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ; • ( choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».

(On pourra construire un arbre de probabilité). 7

b. En déduire que: p(A) = . 48

c. Ayant choisi au hasard l'un des deux dés et l'ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d'avoir choisi le dé truqué?

3. On choisit au hasard l'un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé n fois de suite (n désigne un entier nature) supérieur ou égal à 2). On note Bn l'événement «obtenir au moins un 6 parmi ces n lancers successifs ).

a. Déterminer, en fonction de li, la probabilité P Il

de l'événement Bn'

b. Calculer la limite de la suite (Pn) . Commenter ce résultat.

Page 4

9MASOINl

[ Correction du baccalauréat S Pondichéry \

16 avril 2009

EXERCICE 1 7 points

La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = xe−x2.

Partie A

1. a. On remarque que, pour tout x > 0, f (x) =1

x

x2

ex2 .

Or

limx→+∞

x2 =+∞

limX→+∞

X

eX= 0 (Inverse de limite de référence.)

donc limx→+∞

x2

e−x2 = 0 et limx→+∞

1

x= 0 et, par produit des limites,

limx→+∞

f (x) = 0.

b. La fonction f est dérivable sur son ensemble de définition comme pro-duit de fonctions dérivables.Pour tout x > 0, g ′(x) = e−x2 + x × (−2x)e−x2

.Formules utilisées (uv)′ = u′v +uv ′ et (eu)′ = u′eu .Donc g ′(x) = (1−2x2)e−x2

. Comme e−x2 > 0, g ′(x) est du signe de 1−2x2 ,polynôme du second degré nul pour x2 = 1/2 et négatif sauf entre ses

racines. Donc g ′(x) > 0 si x ∈[

0;

p2

2

[

et g ′(x) < 0 si x ∈]p

2

2; +∞

[

. La

fonction g est donc croissante puis décroissante et admet un maximum

en

p2

2. Enfin, g

(p2

2

)

=p

2

2e−1/2 =

1p

2e.

2. F (a)=∫a

0xe−x2

dx =[

−1

2e−x2

]a

0=

1

2−

1

2e−a2

.

lima→+∞

F (a) =1

2car lim

a→+∞e−a2

= 0.

Partie B un =∫n+1

nf (x)dx

1. a. La fonction f est décroissante sur

]p2

2; +∞

[

et

p2

26 1 donc, pour tout

entier naturel n > 1, f est décroissante sur [n ; n + 1] et pour tout x ∈[n ; n +1], f (n +1) 6 f (x) 6 f (n). L’inégalité de la moyenne permet dedire que

(n+1−n) f (n+1) 6

∫n+1

nf (x)dx 6 (n+1−n) f (n)

c.-à-d. f (n+1) 6 un 6 f (n)

b. Pour tout n > 1, un > f (n + 1) > un+1 donc la suite est décroissante àpartir du rang 1.

c. Comme limn→+∞

f (n) = 0, que limn→+∞

f (n + 1) = 0 et que pour tout n > 1,

f (n+1) 6 un 6 f (n), la suite (un ) converge vers 0. (Théorème de compa-

raison)

2. a. Pour tout n > 1,n−1∑

k=0uk =

∫1

0f (x)dx +

∫2

1f (x)dx +·· ·+

∫n

n−1f (x)dx

︸︷︷︸

n termes

. En

utilisant la relation de Chasles,n−1∑

k=0uk =

∫n

0f (x)dx = F (n).

A. P. M. E. P. Corrigé du baccalauréat S

b. Le tableau illustre le fait que (F (n)) converge vers 1/2, conséquence durésultat démontré en A.2. Mais il illustre aussi le fait que la convergence

est très rapide. En effet, 1/2 − F (n) =1

2e−n2

et, pour tout n > 5, on a

1

2e−n2

61

2e−25 < 7.10−12. Donc F (5) est une bonne approximation de

l’aire sous la courbe entre 0 et +∞.

EXERCICE 2 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. a.

~u

~v

b

A

b

B

bC

b

O

ΓbM

bN

b Q

bD

Γ′

b.c −b

a −b=

−2+2i

2+2i=

i(2+2i)

2+2i= i de module 1 et d’argument π/2 donc

B A = BC et (−−→B A ;

−−→BC ) =π/2. (Interprétation géométrique d’un quotient).

Le triangle ABC est donc rectangle isocèle de sommet B .

c. |a| =p

9+1 =p

10 et |b| =p

1+9 =p

10 donc O A =OB =p

10. Les pointssur le cercle de centre O et de rayon

p10.

2. a. La rotation de centre M(m) et d’angle π/2 a pour expression complexe :z ′ = e iπ/2(z −m)+m soit z ′ = iz + (1− i)m.

b. N (n) est l’image de A par r , donc n = ia + (1− i)m = 1+3i+ (1− i)m.

3. Le milieu Q du segment [AN ] a pour affixe q =a +n

2= 2+ i+

(1− i)m

2.

4. Dans cette question, M est un point du cercle Γ.

a. Le point M(z) est sur le cercle de centre Ω(ω) et de rayon r si et seule-ment s’il existe un réel θ tel que z = ω+ r eiθ (Représentation paramé-

trique d’un cercle). Ici, M est sur le cercle de centre O et de rayonp

10donc il existe un réel θ tel que : m =

p10eiθ .

b. |q − 2− i| =∣∣∣∣

(1− i)m

2

∣∣∣∣ =

1

2|1− i|.|m| =

1

2

p2p

10 =p

5. Si D est le point

d’affixe d = 2+ ı, alors DQ =p

5 donc Q est sur le cercle de centre D et derayon

p5.

Plus précisément, q−d =(1− i)m

2=

1

2

p2e−iπ/4

p10eiθ =

p5ei(θ−π/4). Quand

M décrit le cercle Γ, θ décrit R, θ−π/4 décrit R et le point Q décrit tout

le cercle de centre D et de rayonp

5.

Pondichéry 2 16 avril 2009


EXERCICE 2 5 points

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

zA = i et zB = 1+2i.

1. Les points O et A sont distincts et les points A et B aussi, il existe donc uneunique similitude directe S telle que : S(O) = A et S(A) = B. (Similitude définie

par les images distinctes de deux points distincts)

2. On note z ′ = az +b l’écriture complexe de la similitude S.S(O) = A ⇐⇒ zA = a ×0+b ⇐⇒ b = i,S(A)= B ⇐⇒ zB = azA +b ⇐⇒ 1+2i = ai+ i⇐⇒ ai= 1+ i ⇐⇒ a = 1− i.L’écriture complexe de S est donc z ′ = (1− i)z + i

Le complexe 1−i a pour modulep

2 et pour argument θ tel que

cos(θ) =p

2

2

sin(θ) =−p

2

2soit θ =−

π

4Le point invariant par S est le point Ω(ω) vérifiant :w = (1− i)ω+ i⇐⇒ iω= i ⇐⇒ω= 1

S est une similitude directe de centre Ω(1), de rapportp

2 et d’argument −π

4.

3. a. Les affixes zn des points An vérifient z0 = 0 et zn+1 = (1−i)zn+i. En outre,puisque Ω(1) est centre de S, on a zn+1−1= (1−ı)(zn−1). La suite (zn−1)est donc géométrique de raison 1− i et de premier terme z0 −1 =−1. Etpour tout n, zn −1 = (−1)(1− i)n , soit zn = 1− (1− i)n .

b.−−−→ΩAn a pour affixe zn −1 =−(1− i)n .−−−−−−→An An+1 a pour affixe zn+1 − zn = (1− i)n − (1− i)n+1 = (1− i)n i.

Pour tout n,zn+1 − zn

zn −1= −i = e−iπ/2 donc (Interprétation géométrique

d’un quotient), ΩAn = An An+1et(−−−→ΩAn ,

−−−−−−→An An+1

)

=−π

2.

c. Le triangle ΩAn An+1 est donc un triangle rectangle isocèle indirect desommet An . Les points successifs se construisent donc en traçant destriangles rectangles isocèles.

~u

~v

O = A0

A = A1

B = A2 A3

A4b

b

b

b

b

b

Ω

4. Le point (An) appartient à la droite (ΩB) si et seulement si (−−→ΩB ,

−−−→ΩAn ) = kπ,

(k ∈Z).

Or (−−→ΩB ,

−−−→ΩAn ) = Arg

(zn −1

z2 −1

)

= Arg((1− i)n−2)= (n−2)(

−π

4

)

donc

(−−→ΩB ,

−−−→ΩAn ) = kπ⇐⇒−

n−2

4= k ⇐⇒ n−2 =−4k ⇐⇒n ≡ 2 (mod 4)



EXERCICE 3 4 points


Dans un repère orthonormé de l’espace(

O,−→ı ,

−→ ,

−→k

)

A a pour coordonnées (1, 1,

0), B (2, 0, 3), C (0, −2, 5) et D(1, −5, 5).

Proposition 1 : L’ensemble des points M de coordonnées (x, y, z) tels que y = 2x+4est une droite. FAUX

L’équation y = 2x + 4 caractérise un plan passant E(0,4,0) et de vecteur normal~n(2,−1,0)

Proposition 2 : La transformation qui, à tout point M de l’espace associe le point

M ′ tel que−−−−→M M ′ =

−−→MA +

−−→MB +2

−−→MC est l’homothétie de centre G, où G désigne le

barycentre du système (A, 1), (B, 1), (C , 2), et de rapport 3. FAUX.

L’égalité vectorielle s’écrit encore−−−−→M M ′ = 4

−−−→MG (réduction vectorielle), soit encore

−−−→GM ′ =−3

−−−→GM , caractérisant une homothétie de centre G et de rapport −3.

Proposition 3 : A, B, C et D sont quatre points coplanaires. FAUX

Les vecteurs−−→D A (0, 6, −5),

−−→DB (1, 5, −2) et

−−→DC (−1, 3, 0) ne sont pas coplanaires.

En effet, les vecteurs−−→D A et

−−→DC ne sont pas colinéaires (composantes nulles diffé-

rentes) et−−→DB n’est pas combinaison linéaire de

−−→D A et

−−→DC .

En effet−−→DB = x

−−→D A + y

−−→DC ⇐⇒

−y = 16x +3y = 5−5x = −2

Équations incompatibles.

Proposition 4 : La sphère de centre Ω de coordonnées (3, 3, 0) et de rayon 5 esttangente au plan d’équation : 2x +2y + z +3 = 0. VRAI.

La distance du point Ω au plan est égale à|2×3+2×3+0+3|

p22 +22 +12

= 5 donc est égale au

rayon de la sphère.

EXERCICE 4 4 points


1. a. Il s’agit d’une expérience à deux issues avec une probabilité de succès

p =1

6et une probabilité d’échec q =

5

6que l’on répète de manière in-

dépendante 3 fois. X représente le nombre de succès et suit donc une loibinomiale de paramètres n = 3 et p = 1

6 .

b. L’espérance d’une loi binomiale de paramètres n et p est np. Donc

E (X ) = 31

6=

1

2

c. P (X = 2) =(

3

2

)

p2q1 = 3×5

63=

5

72.

2. a.

D1/2

A5/72

A

D1/2

A2/9

A

L’événement « choisir le dé équilibré et obtenir exactement deux six »correspond à D ∩ A

p(D ∩ A) = p(D)×pD (A)=1

2×

5

72=

5

144.



L’événement « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux six » cor-respond à D ∩ A.

p(D ∩ A) = p(D)×pD (A).

On utilise un raisonnement analogue au 1.c.,

pD (A)=(

3

2

)

p ′2q ′1 où p ′ =1

3. Donc pD (A) =

2

9et p(D ∩ A) =

1

2×

2

9=

1

9.

b. On en déduit que p(A)= p(D ∩ A)+p(D ∩ A) =5

144+

16

144=

21

144=

7

48.

c. Il s’agit de calculer p(D sachant A) =p(D ∩ A)

p(A)=

1

9×

48

7=

16

21.

3. a. pD (Bn) = 1− pD (« n’obtenir aucun 6 ») = 1− qn = 1−(

5

6

)n

. De même

pD (Bn) = 1−(

2

3

)n

. On applique alors la formule des probabilités totales :

pn = p(Bn) = p(D)×pD (Bn )+p(D)×pD (Bn ) = 1−1

2

(5

6

)n

−1

2

(2

3

)n

.

b. limn→+∞

(5

6

)n

= 0 et limn→+∞

(2

3

)n

= 0 car5

6et

2

3appartiennent à ]−1;1[. Donc

limn→+∞

pn = 1. Ce résultat est prévisible car, quel que soit le dé, à condition

de jouer suffisamment longtemps, on a une quasi certitude d’obtenir aumoins une fois un 6. (ici, p22 > 0,99 et p100 ≈ 1).


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