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Effets bénéfiques de la rétro-action positive de courant dans la commande des moteurs à ce.

Beneficial effects of positive current feedback control of DC motors

By A.B. Turgeon andd. O'Shea Professeurs, Ecole Polytechnique Montréal, Quebec

L'utilisation accrue des moteurs à courant continu dans les servomécanismes et la robotique exige une bonne connaissance de toutes les techniques élaborées de commande. On a habituellement recours aux capteurs de vitesse et de position pour assurer un bon fonctionnement en régulateur de vitesse ou en positionnement angulaire. Ce travail montre qu'en plus de ces éléments la mesure du courant d'induit par une petite résistance shunt et la rétroaction positive de cette variable offre de nombreux avantages. En effet, le retour de'courant positif permet de réduire considérablement la pointe du courant de démarrage en régime transitoire et d'améliorer notablement la précision, particulièrement en régulation de vitesse. La traitement du problème s'effectue dans l'espace d'état et la méthode de positionnement des racines de la boucle fermée est appliquée. De nombreuses simulations rendent bien compte des propriétés dynamiques et statiques de divers types de commandes possibles.

The widespread use of DC motors for servomechanisms and robots requires good design expertise of every possible type of control systems. Tachometers and position sensors play a vital role to insure good performances of speed regulators and position followers. This paper shows that the use of an armature current sensor in a positive feedback loop allows for more design freedom when building speed regulators and servomechanisms. Indeed, positive current feedback decreases the transient current peaks and improves precision, especially for speed regulators. The study is based on state space approach and pole placement method. Numerous cases were simulated and results are conclusive.

Introduction

Nous n'avons pas à faire le procès sur les fondements de l'automatique, sur le bien fondé et l'efficacité de la rétro-action négative de la sortie mesurée et de l'amplification de l'erreur dans la chaîne d'action: les progrès de la cybernétique et les théories de l'automatique ont des assises solides.

Toutefois certaines règles de l'art, élémentaires en automatique, semblent sérieusement compromises lors de leurs utilisations dans des applications évoluées et des structures de commande com­plexes. Il suffit de relever les cas nombreux 4 , 7 ou le positionnement des modes d'une boucle de contrôle exige des retours d'états positifs compromettant ainsi la règle du retour négatif. Ou encore le cas litigieux de l'interaction du bruit dans la mise au point d'un système à deux canaux 9 , 1 1 alors que la recherche d'un gain élevé pour obtenir une bonne précision sur la commande d'une variable compromet définitivement la sensibilité de l'autre. 1 , 1 2

En fait, les grands principes de l'automatique naissant puisent ses fondements dans une réflexion à partir de l'analyse fréquentielle4 et dans le cadre d'une problématique axée sur la rétroaction d'une sortie monovariable. Dans cette optique les deux règles d'or qui assurent à la fois la stabilité et la précision sont:

• la rétroaction négative de la sortie, et • la recherche du gain le plus élevé de la chaîne d'action.

De plus l'automatique a largement profité en ses débuts, des techniques de synthèse des filtres6 dans lesquelles l'obtention d'un ordre élevé est implicite à la réalisation d'un filtre passe-bas. Ainsi l'ordre du système initial qui représente la physique du processus est complètement submergé par le degré élevé du réseau correcteur.

Ou encore, la méthode du lieu des racines, ou une précompen­sation par biffage des pôles lents de la boucle ouverte, prédispose le système à des performances dites optimales.5 Ces formulations s'opposent à celle du filtre de Kalman7 qui tient explicitement à ne pas augmenter l'ordre du système initial et à conserver la commandabilité et l'observabilité de la structure!

La présentation et l'analyse d'un problème simple permettra de faire quelques lumières sur ces phénomènes de marginalisation ou ces erreurs d'optique qui sont inhérents à certains cas limites. Le Comte du Nouy 8 a déjà émit l'opinion qu'il existe dans toute solution une vision du problème qui est le propre de l'observa­teur. En effet toute formulation mathématique porte en soi une limitation implicite à notre incapacité de saisir toutes les implications du problème réel. De sorte que, poussée en ses extrêmes, toute théorie générale conduit à des contradictions ou à des vices d'application.

Problème de base

Soit un ensemble moteur ce. à excitation séparée, amplificateurs, capteurs et comparateurs montés en régulateur de vitesse. La mise en équations du système de la figure 1 procure:

/ -R/L -kw/L 0 /

w = kc/J -B/J 0 w

Θ 0 1 0 Θ

ML 0

+ 0 -MJ

0 0

V

C (D

- 9 -i l . .

1 / i R +sL ) I — M k c I 1 / ( E

Figure 1: Diagramme du moteur a

Can. Elec. Eng. J., Vol. 12 No. 3, 1987

132 CAN. ELECT. ENG. J

Tableau 1

Identification Valeurs numériques * ν Tension de l'induit

I Courant de. l'induit w Vitesse angulaire moteur

Couple total de charge — ~ R Résistance de l'induit $.30 L Inductance de l'induit 0.022/t kc Constante de couple 0.342 N * m/amp kw Constante de vitesse 0.311 v * s/rad B Position angulaire moteur Os Position de sortie a Rapport de réduction 192:1 J Moment inertie! total 18 X I0~ 4kg * m 2 . B Frottement visqueux 0

., VOL. 12 NO. 3, 1987

Nous écrivons cette formulation:

-(R + h\\)/L -(kw + h\2)/L I

w kc/J - B U W

h\2/L 0 Wd

0 -\/J C

Avec Wd la vitesse de consigne et C le couple perturbateur; le courant Id de consigne étant nul. L'équation caractéristique de cette boucle de commande se formule:

kw*kc M l , , , x (s 4 - ao)(s + bo) + 4- *(s 4 - bd)

Le tableau 1 ci-joint donne la signification des variables et des données numériques de l'application pratique.

La figure 2 représente schématiquement ce type de moteur avec une structure de commande à retour d'état ce qui permet d'écrire: 1 3

V = H*[Xd - X] (2)

avec

Xd — [Xd Wd]' ; Consignes des états désirées

X = [I W]' ;Variables d'états

H = [h\\ h\2] ; Gains des retours d'états

Sous cette forme les états sont accessibles par l'intermédiaire de capteurs appropriés.

Figure 2: Schéma de la commande en régulateur

Positionnement des modes du régulateur

D'après la figure 2 la commande s'écrit immédiatement:

Xc = AXc 4 - BcC (3)

Xi = A Xi 4 - Bi*H*[Xd - X] (4)

Additionnant les deux régimes il vient:

X = Xc + Xi (5)

et

kc*h\2 4- = 0

L*J

ou encore

h\\ kc*h\2 (s + am)(s + bm) + *(s + bo) +

L L J = 0

(8)

(9)

avec les valeurs numériques:

ao = R/L = 240; bo = B/J = 0; am 228.23; bm = 11.77

Sous cette forme, il nous est possible de tenir compte valable­ment des effets bénéfiques des retours de courant 3 ' 1 0 et de vitesse individuellement ou conjointement.

Le comportement dynamique découlant du positionnement des pôles de la boucle fermée, une étude de leur représentation dans le plan complexe (Figure 3) procure les lieux des racines correspon­dant à chacun des paramètres /ill et Λ12. Evidemment on voit que ces lieux offrent peu de flexibilité et que l'utilisation conjointe des deux retours donne accès à des zones plus étendues. Il n'est pas sans importance de faire ressortir de la figure 3 les avantages significatifs de la commande par retour d'états en montrant ce que peut apporter à la dynamique du système chaque boucle de compensation individuellement ou conjointement.

On peut, en effet, faire une comparaison avec les divers montages usuels et en particulier ceux que nous présente l'ouvrage de H. Biihler5 même si ces techniques sont conçues pour des moteurs ce . plus énergivores que ceux de la robotique. Soulignons d'abord la globalité et la précision de la méthode du positionnement des pôles

100

50

i

III 0

a

q ·'··5()

ι ι ι r — " ' •

: RNV .J RNV + RNC ί\ ; RNV + RPC \

: · ί: ; ; !^

" : : y ' : h i . . : 5 .

••·. i " ^U#- K f -o '• M 2 ')!

- h R ' «L l u * dtP&-M -f "1 "

° : ! >

'. '. χ

RPV + RPCx*

! /*. i ( s J ·](·*·» * » « i j 0 ! RPC -rhyr 4 1- 1"»-: : -5

: « h 1 2 : :

: : 1 -5 : :

i L ...i i

••••250

r e e l

Χ — ΑΧ — Bi*H*X + Bi*H*Xd 4 - Bc*C (6) Figure 3: Lieux des racines selon h\ 1 et h\2

(7)

TURGEON/O'SHEA: POSITIVE CURRENT FEEDBACK CONTROL OF DC MOTORS 133

de la boucle fermée qui, conservant la commandabilité et l'observabilité des états, permet de placer les modes en tout point du plan de Laplace sans pour autant "biffer" les pôles principaux du système à commander. Bien sûr que le choix de la position des modes de la boucle fermée peut provenir d'un judicieux compromis rapidité-précision ou de tout autre critère de performances.

Régulation de vitesse

L'appréciation de la régulation de la vitesse peut nous être donnée par l'erreur en régime due à un échelon de couple antagoniste. Partant de conditions initiales nulles l'expression de Laplace donne:

X(s) = [si - (A - Bi*H)]~]BcC (10)

Appliquant le théorème de la valeur finale il vient, puisqu'en générale on peut négliger le frottement visqueux (B = 0):

dW/dC -(R + /il 1)

(kw*kc + kc*h\2) (Π)

L'expression classique de la sensibilité est l'inverse de cette fonction ainsi:

dCIdW -kc*kw(\ + h\2/kw) (12)

R (1 + h\\/R)

Ce qui exprime la raideur fournie par le couple moteur, posant:

kc*kw R

(13)

Ce facteur est la sensibilité nominale du moteur, le second terme de l'équation (12) représente l'amélioration de la régulation; il apparaît clairement que les performances du moteur sont meilleures pour des valeurs positives de Λ12 et, négatives de h\ 1. La figure 4 réunit synthétiquement les propriétés apportées par l'une ou l'autre des contre-réactions dans un plan couple-vitesse. On constate à l'examen de cette figure, que le retour positif de courant comme le retour tachymétrique négatif font tourner la droite du couple moteur dans le sens horaire pour des valeurs croissantes des amplitudes de h\\ et h\2\ ce qui signifie une amélioration de la régulation. La limite permise pour /ill est — R qui correspond à la containte de stabilité. D'autre part, l'inversion du signe de ces deux retours entraine une dégradation de la caractéristique de régulation. (Rotation anti-horaire de la droite moteur avec Wd comme point pivot.) Le retour négatif de courant montre alors sa capacité de réaliser une commande à courant d'induit constant, sa viabilité dans la conception d'une source de courant ne fait pas de doute.

Comparaison des moyens

Compte tenue du fait que la compensation par retour de courant ou de vitesse améliore la rapidité de réponse et la précision sous contrainte de la stabilité, le tableau 2 montre les avantages respectifs de chacun des retours tout en maintenant de mêmes performances dynamiques. Ici, le facteur d'amortissement est le paramètre d'évaluation de la qualité du régime transitoire; les diverses situations de la pratique industrielle permettront de faire le meilleur compromis rapidité-précision. Les facteurs d'amélioration de la régulation et de la bande passante sont exprimés en rapport du régime initial du moteur sans compensateur. Les ajustements à apporter à Tun ou l'autre des retours d'états pour obtenir le bon amortissement sont reliés à la structure appropriée: réduction de la résistance de l'induit pour le retour positif de courant (RPC) et consolidation du gain de retour de vitesse dans le cas du retour négatif de vitesse (RNV).

Vitesse de régulation parfaite

Vitesse angulaire Wd=Vitesse de consigne

Figure 4: Représentation des courbes de régulation

indiquée et l'on voit que celle-ci va dans le sens de l'amélioration de la sensibilité. Cette formulation montre bien le prix à payer en courant pour obtenir les performances dynamiques escomptées: c'est dans cette situation que le modèle mathématique doit être en adéquation avec le système réel! Bien sûr, le fait de tenir compte de la saturation de courant ne pourra que prévilégier les résultats obtenus pour le retour positif de courant puisque ce dernier maintient le courant au dessous de la limite de saturation. (7 < SA)

Commande de vitesse avec synchronisme

Il est parfois nécessaire d'obtenir une régulation de vitesse en synchronisme avec une variable de consigne ou encore de maintenir exactement la vitesse de régime malgré des variations importantes du couple antagoniste de charge. A cette fin, il suffit d'apporter les modifications appropriées à la boucle de commande et en particulier d'ajouter l'intégrale de l'écart de vitesse dans la commande comme indiqué à la figure 5. Alors le système d'équations devient:

(R + h\\)/L -(kw + h\2)/L h\3/L

kc/J -B/J 0 w -

θ 0 1 0

w

Θ

h\2/L 0 Wd

0 -\/J C

1 0

(14)

Trois paramètres imposeront la position des racines de l'équation caractéristique qui est:

/ i l l

s(s + am)(s + bm) -f —j-*s(s + bo)

h\2*kc^ h\3*kc /1CX + *s + — = 0 (15) L*J L*J

Avec les valeurs numériques et plaçant les modes en — 20, — 20 + 20/, - 2 0 - 20/ il vient;

h\\ = - 4 h\2 = -0.126 Λ13 = 1.86 (16)

Maintenant sans le retour de courant il nous est possible d'ajuster que deux autres paramètres alors cherchant à maintenir la position des modes complexes on obtient;

D'autre part, l'importance du courant de démarrage est aussi Ail = 0 h\2 = 0.71 Λ13 = 18.7 (17)

134 CAN. ELECT. ENG. J., VOL. 12 NO. 3, 1987

: • . : ; •.• . L I ^ T I F F

Reieaitpies •111J € â t e des-îcftÉfca : Bande 1 Factwir de regflafea

Reieaitpies •111J Ail RFC

l a i i e i i i i i i . .·• 0.7.·

0.7

lilitiialïSlï -iisiBfiiliïiii

l l i j l j j l

- 1 7 ' '.

-3jO

3.8

I B l l

111111

26.7

WÊÊfëÊM i i l l l l l i

3 6

2.6

i l

30

17

12

ι ι β ι ι

•IBIS 4.8

26.7

iiliiiii

3.6

2.6

i l

N.B.: * Toutes ces valeurs sont exprimées en rapport des courant, bande passante et facteur de régulation nominaux du moteur sans compensateur.

Les figures 6 et 7 montrent les résultats de simulation obtenus pour le courant et la vitesse de Tune et l'autre des commande. Il est évident que la commande qui tient compte du retour de courant produit de meilleures performances et particulièrement un cou­rant de démarrage moins élevé qui respecte les limites de saturation. Par contre, sans ce retour de courant, les performances dynamiques de l'ensemble moteur vont être beaucoup moins bonnes que celles montrées en figure 7.

Maintenant on peut comparer ces résultats à ceux obtenus par une commande avec deux circuits de réglage en cascade comme en fait état les travaux de H. Buhler.5 Nous obtenons, en effet, une dynamique de réponse compétitive en tenant compte des fonctions fort différentes des machines. Cependant, on note que l'annulation du dépassement de la vitesse de consigne dans le régime transitoire de la commande tachy métrique (Ail = 0 ) est payé par un régime de démarrage viscieux caractéristique des systèmes à déphasage non-minimal dans le cas du R.P.C. C'est un élan en vitesse inverse du volant au démarrage qui prévient le régime de freinage à l'approche de la vitesse de consigne du montage précédant.

Commande de position

Le positionnement angulaire de l'arbre de sortie présente aussi

r H l / s M h l 3 h I

I I

Wd+ I

-2- -*hl2 η + 1/ + , , I ι 1 - jrC ι 1 r-^O H 1 / ( R +sL ) kc \—*-<J—Hl/ίΒ +sJ) h-

Figure 5: Régulateur de vitesse avec synchronisme

1 - J

hn ° o — I h,, = -4

i 1

h ) ? = 0 . 7 1

h ] 2 = -01.126

1 !

h13:= 18.5 ;

h13j = 1.86 i

6 t - ï - • > "j

I L ! Γ : l 'i •

F . L . j . \ J

; i ί N

..... J J . . .

. . . . I L l i . / ; . .

< ;·•

•V : : : : : :

0 0. i 0. Z 0.3 0.4 0. sec

5 0. ô 0. / 0.8 0.0 i

beaucoup d'intérêts, en particulier en robotique. La structure de commande est donnée à la figure 8. Dans cette représentation Ail est le retour de courant; A12 est le retour de vitesse; A13 le retour d'erreur de position; A14 la commande proportionnelle à l'intégrale de l'erreur et enfin Al5 est une commande anticipative de l'entrée. D'après la figure 8 et tenant compte de l'entrée de position seulement il vient:

/

W

Θ

D

-R 4 All -kw 4- A12 -A13 L

kc/J

0

0

L

BU

L

0

0

L

0

0

1

D'où l'équation caractéristique du troisième degré:

s(s 4- am)(s 4- bm) H — — *s(s 4- bo)

- 1

A13 4- A15

-A14 L

0

0

0

w

θ

D

θα (18)

A12*te h\3*kc*a _ 4 4- = 0 (19)

L*J L*J

D'abord étudions le cas du positionnementangulaire simple. (Sans compensateur du type intégral A14 = 0 et sans anticipation A15 = 0). En prenant des racines en — 4, — 3 4 3/, — 3 — 3/ il vient:

/' ; / : : : h n = ° hi2 = 0-71 ; h , 3 = 18.5

i / i : — h n ' - 4 h 1 2 = -0.126 h i 3 = 1.66

<·/ i ; ;

I ! ; -ι I

sec

Figure 6: Courant des deux types de régulateurs Figure 7: Vitesse des deux types de régulateurs

TURGEON/O'SHEA: POSITIVE CURRENT FEEDBACK CONTROL OF DC MOTORS 135

Figure 8: Positionneur avec intégration, retours et anticipation

Ml = -5 .06 Λ12 = -0.306 Λ13 = 1.601 (20)

Ensuite nous reprenons les calculs pour obtenir les mêmes modes complexes mais sans retour de courant, nous avons:

Al] 0 A12 = -0.144 A13 = 93.64 (21)

Les résultats de ces simulations sont présentés aux figures 9, 10 et 11. Encore une fois la perte d'informations sur le courant (Ail = 0) se paie par une pointe de courant très élevée dans la deuxième simulation: l'amplificateur va saturer! Sans retour de courant la réponse réelle va être beaucoup plus lente que celle des simulations obtenues sans effet de saturation. Le système avec R.P.C. donne tant qu'à lui de bonnes prévisions de la dynamique puisqu'il maintient le courant en régime linéaire.

Positionnement sans erreur

Finalement, on peut désirer un système qui maintient la consigne de sortie sans erreur malgré des variations du couple de charge. Il faut alors introduire la composante de type intégrale dans la commande. L'équation caractéristique est du quatrième degré et sa forme est:

All j

s~(s 4- am)(s 4- bm) 4- —j- *sr(s 4- bo)

A12*£ca

L*J h\3*kc*a

L*J *s +

h\4*kc*a L*J

p(s) (22)

Dans une première simulation prenons pour racines — 1, —3, —2 +- 2„ - 2 2. nous obtenons

Ail = -5.104 A12 = -0.308 A13 = 0.978

A14 = 0.534 (23)

Alors, nous voyons l'obligation d'adjoindre une composante d'anticipation" si l'on veut enlever le régime transitoire avec un fort dépassement et une convergence asymptotique très lente. Pour ce faire, voyons la fonction de transfert en boucle fermée du positionneur 6(s)/6j(s). Etant donné que p(s) est l'équation caractéristique du système en boucle fermée la fonction de transfert sera:

0(s)/eu(s) kc*a L*J

*[A14 + (A13 + h\5)s]/[p(s)] (24)

Les figures 12, 13 et 14 montrent donc les résultats obtenus suivant les valeurs assignées au paramètre d'anticipation A15 soit:

• Al5 = 0: pas d'anticipation (voir figure 12); • A15 = —0.978: valeur de A15 .= — A13 qui enlève le zéro dans

la fonction de transfert (24) (voir figure 13); • A15 = -0.446: valeur de A15 qui fait A14/(A13 4- A15) = 1 =

ri : simplification du pôle lent (s = — 1) de la fonction de transfert (voir figure 14).

Figure 9: Courant de positionneurs simples

'M

300

250

200

150

100

50

0

••••50

h n = 0 : hi 2 = 0.14*

=* -5.06 h l z = -0.306

h, 3 = $3.64

h i 3 = 1.601

0 0.5 1 1.5 3.5 4 4.5 sec

Figure 10: Vitesse de positionneurs simples

Figure 11 : Position angulaire de positionneurs simples

Ensuite nous avons regardé l'effet bénéfique du retour de courant en montrant que le retrait de cette compensation entraine une forte augmentation du courant de démarrage. Les trois racines sont alors fixées en — 1, — 2 4- 2y, — 2 — 2,. Avec le meilleur choix de A15: c'est à dire la valeur de A15 qui annule la transitoire lente en boucle fermée. Nous obtenons

Ail = 0 A12 = -0.174 A13 = 62.87 A14 = 41.79 A15 = -21.06 (25)

Les figures 15, 16 et 17 comparent ce dernier essai avec celui obtenu avec retour de courant et anticipation: les résultats sont probants!

136 CAN. ELECT. ENG. J , VOL. 12 NO. 3, 1987

h 1 3 = 0.978 : h 1 4

h 1 5 = 0 :

h 1 5 = -0.446 ; —

h 1 &= -0.978 «"

V - " 1 ' " !

0 0.5 i 1.5 3 3.5 4 4.5 5 sec

Figure 12: Positionneur avec intégrateur et tous retours: Courant

1 1 J J

h-, -, = -5.106 h-,~= -0.308 h 1 3 = 0.978:

115 = -0.446

1,.= -0.978

0 ^

Figure 13: Positionneur avec intégrateur et tous retours: vitesses

" " - S .

h-,-, = I-5.105 ;h12 = -0.;308 1η;3 = 0.978, h14=;0.E

:h15= o :

ihl5- -0.Î4

0.5 1 3.5 4 4.5 sec

Figure 14: Positionneur avec intégrateur et tous retours: position

: 1 1 τ~ 1 r — — — ι — - — ι r

h n = 0; h 1 2 = -6.1736 ; h 1 3 = 621871 ; h 1 4 = 41.:79 h1Ej = 21.055

- h n = -5.105 ; h 1 2 = -0J308 :hi3 =0.978 h 1 4 = ;0.534 h-j5 = 0 \

ί ; j,,,," e. p. e s ι îê ; ; :-4 , = p. 446 ,

;- J ! .· „ -̂i h!5= -0.978

-J 1 u 0 0,5 1 1.5

sec

Figure 15: Positionneur avec intégrateur: comparaison des courants

hH = : -5.105 h 1 2 = -0.308 h13 y = 0.978 ; h 1 4 = 0.534 h 1 5 = C h 1 5 = -0.446 ;

' 'hi5-0.978 "

hn = D (il? = -0.1736 ^3':= 62.871 ! h ] 4 = 41^9 h 1 5 = -21.055:

5 4 4.

Figure 16: Positionneur avec intégrateur: comparaison des vitesses

1 . 2 k

. .f.rTY-.-rr.Myi = .0, ,h12;,=f. -0,1736.',',h! 3 = ;6?,871 , , h 1 4 =, 41 .7:9, . h,15 =. -.21, .055

0 F I μ hy\,= .T5,10'5.h]2,f. ,-.0.3,08 . h 1 3' = 0.978,: h 1 4 = , p;534 h 1 5 , =: 0 _ h 1 5 = ' ; -0.446

h ! 5 =; -0.978

0 0 0.5 1 À à

Figure 17: Positionneur avec intégrateur: comparaison des positions

Conclusion

Ce travail a produit les résultats escomptés en introduction. D'abord tout au long des études et simulations on constate que la contre-réaction positive de courant procure de bonnes perform­ances même quelques fois il faut ajouter une contre-réaction positive de vitesse . . . pour assurer une commande convenable à l'induit du moteur c e ! Evidemment nous n'aurons pas la témérité d'établir ce résultat en règle de l'art mais cette étude nous apprend que la solution doit découler de l'application rigoureuse de la théorie: un réflexe inquiet6 face au retro-action positive nous couperait de solutions intéressantes.

Ensuite nous avons étudié en long et en large l'utilisation du

retour de courant dans des commandes de vitesse et de position d'un moteur. Preuves sont apportées que ce type de commande est avantageuse tant du point de vue dynamique que de celui de la sensibilité. En fait cette information sur l'état du système est capitale dans toute commande par l'induit ou une contrainte est imposée au niveau du courant. Il est donc souhaitable d'utiliser cette variable input dans un contexte approprié: surtout de ne pas lui imposer des contraintes qui ne valent que pour les rétro-actions de variables output. Nous n'avons pas présenté ici des résultats concernant le remplacement du retour négatif de vitesse par un retour positif de courant: nous référons le lecteur intéressé à cet aspect à l'une de nos présentation à l'ACFAS à Montréal 1 3 et celle de l'IFAC à Vienne en décembre 1986.1 4