BILAN THERMIQUE

Conduction dans les solides

 

MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUE

SOMMAIRE

Introduction

Mise en équation du bilan thermique

Cas simple du système cartésien monodimensionnel = cas du mur

Coordonnées cylindriques à symétrie axiale

Cas simple des coordonnées cylindriques à symétrie axiale avec L >> R

Cas simple des coordonnées sphériques à symétrie centrale

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Denis BARRETEAUJean - Stéphane CONDORET

Nadine LE BOLAY

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SOMMAIREGENERAL

2Introduction

INTRODUCTIONRetour

sommaire

Chaque terme du bilan sera explicité, puis nous nous intéresserons à des cas simples, comme un volume plan ou un volume cylindrique.

Dans ce chapitre, nous allons établir l’équation de conservation de l’énergie thermique par bilan sur un élément de volume.

= accumulation d'énergie interne

3Mise en équation

MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUERetour

sommaire

V

flux de chaleur entrant

P

Ecrivons la conservation de l'énergie thermique dans un élément de volume de solide quelconque V

+ flux de chaleur générée

- flux de chaleur sortant

4Retour

sommaire

V

P

dSn

On définit le vecteur normal unitaire orienté vers l'extérieur

flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant

= flux de chaleur à travers la surface

S

dSn.q

qest la densité de flux thermique

Remarque :Le signe moins est dû au fait que la normale est dirigée vers l'extérieur et que, par convention, tout ce qui entre dans le volume V est compté positivement.

Alors :

La chaleur entre dans l’élément et en sort par conduction.

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flux de chaleur générée = V

PdV

P est la puissance générée (au sens large) par unité de volume en J.s-1.m-3. Elle peut être générée dans l’élément par dégradation d’énergie électrique (effet joule), par fission ou comme le résultat d’une réaction chimique.

Il est compté positivement si il génère de l'énergie, et négativement si il en consomme.

V

P

6Retour

sommaire

accumulation d'énergie interne = V

dVtU

Si U représente l'énergie interne par unité de masse

Dans le cas d'un solide, l'énergie interne par unité de masse U s'écrit :

T

pdCU

V

P

7Retour

sommaire

flux de chaleur entrant

+ flux de chaleur générée - flux de chaleur sortant

= accumulation d'énergie interne

S V V

p dVCPdVdSn.qt

En transformant l'intégrale de surface en intégrale de volume (théorème de GREEN-OSTROGRADSKI) et en revenant à l'élément différentiel, on écrit alors :

t pCPqdiv

devient alors :

démonstration

Le bilan de conservation de l'énergie thermique

V

P

8Retour

sommaire

t pCPqdiv

qest la densité de flux thermique,par conduction dans le cas de solidesqui s'exprime par la loi de Fourier :

Dans l'équation générale que nous venons de démontrer

dgraq

V

P

9Retour

sommaire

Ces équations seront écrites dans les configurations géométriques habituelles, en utilisant les expressions des div et grad adaptées.

t pCPqdiv

dgraq

Dans le cas d’un système cartésien tridimensionnel

dz

dxdy

zy

x

0CP p tzyx

)(2

2

2

2

2

2

les équations ci-dessus conduisent à :

10Cas du mur Retour

sommaire

0CP p tx

2

2

0x

seule la variable x intervient.

0CP p tzyx

)(2

2

2

2

2

2

Il reste :

Dans l’équation générale

Considérons le mur représenté ci-dessous

CAS SIMPLE DU SYSTEME CARTESIENMONODIMENSIONNEL = CAS DU MUR

11Cylindre Retour

sommaire

r

r+dr

z z+dz

r

z

q r

q r+dr

q z

q z+dz

0CPrr1

p

tzrr

2

2

L’équation générale s’écrit dans ce cas :

COORDONNEES CYLINDRIQUES A SYMETRIE AXIALE

L >> RCAS SIMPLE DES COORDONNEES CYLINDRIQUES A SYMETRIE AXIALE AVEC L >> R

12Retour

sommaire

la variable z n'intervient plus. On a donc :

L

R

tr

PCPrrr

1

Dans l’équation générale

0CP p tzyx

)(2

2

2

2

2

2

13sphère Retour

sommaire

r

0CPrr1

p2

2

trr

L’équation générale s’écrit dans ce cas :

Les résultats présentés précédemment ont été obtenus d'une manière purement mathématique, certes élégante, mais peut être difficile à raccrocher au sens physique.

Vous trouverez sous ce lien une démonstration par bilan direct sur un élément différentiel (ici le cas cylindrique). On retrouve les résultats de l'équation générale, après adaptation et simplification, mais on visualise mieux la démarche.

démonstration

FIN CHAPITRE

CAS SIMPLE DES COORDONNEES SPHERIQUES A SYMETRIE CENTRALE