C Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe©caniqueSolides... · Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe 22.1 ÉQUATIONS GÉNÉRALES ... Toutefois, le

CHAPITRE 22

Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe

22.1 ÉQUATIONS GÉNÉRALES

22.1.1 Introduction

Le mouvement de rotation autour d'un axe intervient dans de nombreuses applications industrielles : rotors, roues, vilebrequins, machines tournantes, etc. L'étude cinématique de ce mouvement a été faite au paragraphe 9.4.1 du chapitre 9. Dans le cadre du présent chapitre, nous considérons (figure 22.1) le mou-vement de rotation d'un solide (S) autour d'un axe (∆) horizontal, obtenu par l'intermédiaire d'une liaison rotoïde entre le solide et le bâti (T). Le solide (S) a une masse m, un centre de masse G et une forme quelconque. Le centre de masse est distant de a de l'axe de rotation.

FIGURE 22.1. Rotation d'un solide (S) autour de l'axe (∆).

(S)

G

a

(∆)

348 Chapitre 22 Mouvement de rotation autour d'un axe fixe

xS

(S)

G

a

(∆)

x

yS

y

z

ψ

ψ

O

FIGURE 22.2. Choix des trièdres.

22.1.2 Paramètres de situation

Nous choisissons le trièdre (Oxyz) lié au bâti (T) tel que l'axe Oz soit confondu avec l'axe (∆), que l'axe Ox ait pour direction celle de la verticale descendante et tel que le plan (Oxy) contienne le centre de masse (figure 22.2).

Les paramètres de translation sont déterminés en choisissant un point particulier du solide. Nous choisissons un point de l'axe de rotation : le point O. Ce point est immobile dans le mouvement de rotation du solide. Il n'existe donc pas de paramètre de translation.

Les paramètres de rotation sont déterminés en choisissant un trièdre lié au solide (S). Nous choisissons le trièdre ( )S SOx y z tel que l'axe SOx passe par le centre de masse G. (Un autre choix possible aurait pu être de choisir l'axe SOx confondu avec un axe principal d'inertie du solide (S)). L'orientation du solide (S) est définie par l'angle ψ que fait l'axe SOx avec l'axeOx .

Finalement, le mouvement est défini par un paramètre de rotation ψ autour de l'axe Oz . Entre les vecteurs directeurs unitaires ( ), S Si j des axes SOx et SOy et les vecteurs directeurs unitaires des axes Ox et Oy , nous avons d'après (9.45) la relation :

cos sin ,

sin cos .S

S

i i jj i j

ψ ψ

ψ ψ

= +

= − + (22.1)

22.1 Équations générales 349

22.1.3 Cinématique

22.1.3.1 Torseur cinématique

Le torseur cinématique ( ){ }TSV relatif au mouvement de rotation du solide (S)

par rapport au bâti (T) est défini par ses éléments de réduction au point O :

( ){ } ( )

( ){ } ( )

,

( , ) 0.

T TS S

T TO S

R k

O t

ω ψ= =

= =

VVM v

(22..2)

22.1.3.2 Vecteurs cinématiques du centre de masse

La position du centre de masse est définie par son vecteur position :

SOG a i= . (22.3)

Le vecteur vitesse du centre de masse peut être déterminé de deux manières, soit en utilisant directement la définition du vecteur vitesse :

( ) ( )

d( , )d

TT G t OGt

=v , (22.4)

soit en utilisant la relation entre les vecteurs vitesses de deux points du solide :

( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , )T T T T

S SG t O t OG OGω ω= + ∧ = ∧v v . (22.5)

Dans les deux cas, nous obtenons : ( )

( , )TSG t a jψ=v . (22.6)

Ce vecteur vitesse peut éventuellement être explicité dans la base ( ), , i j k du repère (T). Nous obtenons :

( ) ( , ) sin cosT G t a i a jψ ψ ψ ψ= − +v . (22.7)

Le vecteur accélération du centre de masse est aisément obtenu en dérivant le vecteur vitesse :

( ) ( ) ( )

d( , ) ( , )d

TT Ta G t G tt

= v . (22.8)

L'application de cette relation à l'expression (22.6) du vecteur vitesse conduit à :

( )

2( , )TS Sa G t a i a jψ ψ= − + , (22.9)

qui explicite le vecteur accélération dans la base ( ), , S Si j k liée au solide.

L'expression du vecteur accélération dans la base ( ), , i j k peut ensuite être obtenue soit en explicitant l'expression (22.9) à l'aide des relations (22.1) de chan-gement de base, soit en dérivant directement l'expression (22.7). Nous obtenons :

( ) ( ) ( )

2 2( , ) sin cos cos sinTa G t a i a jψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ= − + + − (22.10)


22.1.4 Cinétique

22.1.4.1 Introduction

Nous avons ici à déterminer les éléments de réduction des torseurs cinétique et dynamique. La question doit être posée de savoir en quel point déterminer leurs moments. En particulier, un choix judicieux simplifiera la résolution des équations déduites du principe fondamental de la dynamique. L'expression du moment du torseur dynamique est plus simple au centre de masse (18.9). D'une manière générale, c'est ce point qui sera choisi pour étudier le mouvement d'un solide. Toutefois, le principe fondamental de la dynamique fait intervenir les actions de liaisons, sur lesquelles il est nécessaire ensuite de faire des hypothèses sur la nature des frottements mis en jeu. L'application du principe fondamental à l'étude du mouvement de rotation autour d'un axe montre que l'analyse du problème est facilitée en choisissant pour les moments un point de l'axe de rotation. Nous choisissons le point O.

22.1.4.2 Torseur cinétique

Les éléments de réduction au point O du torseur cinétique ( ){ }TSP sont d'après

(16.5) et (16.6) :

( ){ } ( ) ( , )T T

S SR m G t ma jψ= =vP , (22.11)

( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )T T T T

O S O S O Sm OG O t S Sω ω= ∧ + =PM v I I . (22.12)

Pour expliciter le moment en O, il est nécessaire d'introduire la matrice d'inertie ( ) ( )SbO SI en O du solide (S) explicitée dans la base ( ) ( ), , S S Sb i j k= liée au

solide. Du fait que les axes du trièdre ( )S SOx y z sont à priori quelconques, la matrice d'inertie a la forme générale :

( ) ( )SbO

A F ES F B D

E D C

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

I . (22.13)

L'expression du moment est donc :

( ){ }

TO S S SE i D j C kψ ψ ψ= − − +PM . (22.14)

22.1.4.3 Torseur dynamique

Les éléments de réduction au point O du torseur dynamique ( ){ }TSD sont

d'après (16.15) et (16.16) :

( ){ } ( ) ( , )T T

SR ma G t=D , (22.15)


( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( , )

.

T T T T TO S O S S O S

T T TO S S O S

m OG a O t S S

S S

ω ω ω

ω ω ω

= ∧ + + ∧

= + ∧

M D I I

I I (22.16)

La résultante du torseur dynamique est obtenue en reportant une des expressions (22.9) ou (22.10) du vecteur accélération dans l'expression (22.15).

L'expression du moment s'écrit en introduisant la matrice d'inertie (22.13). Nous obtenons :

( ){ } ( ) ( )

2 2TO S S SE D i D E j C kψ ψ ψ ψ ψ= − + − + +M D (22.17)

Éventuellement, le moment peut être réécrit dans la base ( ), , i j k en introduisant dans (22.17) les relations (22.1) de changement de base.

22.1.4.4 Énergie cinétique

L'énergie cinétique est obtenue par la relation :

( ) ( ){ } ( ){ }c1( )2

T T TS SE S = ⋅P V ,

soit, en tenant compte de (22.2), (22.11) et (22.14) :

( ) 2c

1( )2

TE S Cψ= . (22.18)

22.1.5 Actions mécaniques exercées sur le solide Les actions mécaniques exercées sur le solide sont l'action de pesanteur,

l'action du bâti par l'intermédiaire de la liaison rotoïde et éventuellement une action motrice ou de freinage.

1. Action de pesanteur Elle est représentée par le torseur ( ){ } e SP dont les éléments de réduction au

centre de masse sont :

( ){ }

( ){ }

e ,

e 0.G

R S mg i

S

=

=M

PP

(22.19)

La puissance développée par l'action de pesanteur est :

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ } e eT TSP S S= ⋅ VP P . (22.20)

Cette expression développée au point O s'écrit :

( ) ( ){ } ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } e e ( , ) eT T TOSP S R S O t Sω= +⋅ ⋅MvP P P . (22.21)

Il est nécessaire de calculer le moment en O de l'action de pesanteur :

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ } e e e eO GS S R S GO OG R S= + ∧ = ∧M MP P P P . (22.22)


Finalement, nous avons : ( ){ } e sinO S mgak ψ= −M P . (22.23)

Et l'expression (22.21) s'écrit : ( ) ( ){ } e sinTP S mgaψ ψ= −P . (22.24)

2. Action du bâti due à la liaison rotoïde L'action de liaison exercée par le bâti est représentée par le torseur ( ){ }SL

dont les éléments de réduction au point O sont :

( ){ }

( ){ }

,

.l l l

O l S l S l

R S X i Y j Z k

S L i M j N k

= + +

= + +M

LL

(22.25)

Les composantes Xl, Yl, ..., Nl, de l'action de liaison sont à déterminer. La puissance développée par l'action de liaison est :

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }T TS lP S S Nψ= =⋅L L V . (22.26)

3. Action motrice ou action de freinage Pour mettre le solide en rotation ou le maintenir en rotation, il sera nécessaire

d'exercer une action motrice, qui se réduira à un couple moteur. Un couple de freinage pourra éventuellement être appliqué pour arrêter la rotation. Le couple moteur ou le couple de freinage sera représenté par un torseur { }( )SA dont les éléments de réduction au point O sont :

{ }{ }

( ) 0,

( ) .O

R S

S N k

=

=M

AA

(22.27)

La composante N imposée est connue.

La puissance développée par cette action de liaison est :

( ) { } { } ( ){ }( ) ( )T TSP S S Nψ= =⋅A A V . (22.28)

22.1.6 Application du principe fondamental de la dynamique

22.1.6.1 Équations générales

Dans le cas où le bâti (T) est lié à la Terre (repère pseudo-galiléen), le principe fondamental appliqué au mouvement du solide (S) en rotation s'écrit :

( ){ } ( ){ } ( ){ } { } e ( )TS S S S= + +D L AP . (22.29)

Cette équation entre torseurs conduit à l'équation de la résultante et à l'équation du moment en O :


( ){ } ( ){ } ( ){ } { } e ( )TSR R S R S R S= + +D L AP , (22.30)

( ){ } ( ){ } ( ){ } { } e ( )TO O O OS S S S= + +D L AM M M MP . (22.31)

Les 2 équations vectorielles de la résultante et du moment conduisent ensuite aux 6 équations scalaires suivantes :

( )( )

( )

2

2

2

2

cos sin ,

sin cos ,0 ,

,

,sin .

l

l

l

l

l

l

ma mg X

ma YZ

E D L

D E MC mga N N

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ

ψ ψψ ψ

− + = +

− + ==

− + =

− + == − + +

(22.32)

Le théorème de l'énergie-puissance :

( )( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) { }

cd e ( )d

T T T TE S P S P S P St

= + +L AP (22.33)

conduit à l'équation : sin lC mga N Nψψ ψ ψ ψ ψ= − + + . (22.34)

Nous retrouvons la sixième des équations (22.32). Finalement, nous obtenons 6 équations pour 7 inconnues : Xl, Yl, Zl, Ll, Ml, Nl,

ψ. Une équation supplémentaire sera donnée par la nature physique de la liaison. Le problème pourra alors être entièrement déterminé.

L'hypothèse de la nature physique du frottement de la liaison rotoïde permettra ainsi d'exprimer la composante Nl qui intervient dans l'expression de la puissance développée par l'action de liaison. La dernière équation des équations (22.32) est donc l'équation du mouvement, dont la résolution permettra de trouver l'expres-sion de ψ en fonction du temps. Les composantes de l'action de liaison seront ensuite déterminées en reportant l'expression de ψ dans les autres équations. Notons que le moment en O de l'action de liaison a été exprimé dans la base ( ), , S Si j k liée au solide. Son expression dans la base ( ), , i j k en sera déduite en appliquant le changement de base (22.1), soit :

( ){ } ( ) ( ) cos sin sin cosO l l l l lS L M i L M j N kψ ψ ψ ψ= − + + +M L . (22.35)

22.1.6.2 Rotation sans frottement et avec frottement

Dans le cas d'une liaison parfaite, sans frottement, la puissance développée (22.26) est nulle. Il en résulte :

0lN = , (22.36) et l'équation de mouvement s'écrit :


sinC mga Nψ ψ+ = . (22.37)

L'expression de ψ en fonction du temps dépendra de la composante N du couple moteur ou de freinage.

Dans le cas d'une liaison rotoïde avec un frottement de type visqueux, la composante Nl de liaison est opposée à la vitesse angulaire de rotation :

lN cψ= − , (22.38)

et l'équation de mouvement (22.37) est modifiée suivant :

sinC c mga Nψ ψ ψ+ + = . (22.39)

22.2 EXEMPLES DE MOUVEMENTS DE ROTATION AUTOUR D'UN AXE

22.2.1 Solide en rotation soumis uniquement à la pesanteur

Dans le cas où le solide (S) est soumis uniquement à la pesanteur, le solide en mouvement est généralement appelé pendule pesant. Parmi les équations (22.32), seule l'équation de mouvement est modifiée et s'écrit :

sin lC mga Nψ ψ= − + . (22.40)

Rappelons que le paramètre C est le moment d'inertie du solide (S), par rapport à l'axe de rotation, dépendant de la géométrie et de la masse du solide.

Dans le cas d'une liaison sans frottement, l'équation de mouvement se réduit à :

sin 0C mgaψ ψ+ = . (22.41)

La position d'équilibre est obtenue lorsque 0ψ = , soit pour sin 0ψ = ; ce qui con-duit aux deux valeurs eq 0ψ = et eqψ π= .

La caractérisation de la stabilité de ces équilibres peut être évaluée, confor-mément aux définitions suivantes.

Un solide est en équilibre stable si et seulement si ce solide, écarté de sa position d'équilibre et abandonné à lui-même, oscille autour de cette position et tend à la retrouver.

L'équilibre est instable, si le solide, écarté de sa position d'équilibre, s'en éloigne encore plus lorsqu'il est abandonné à lui-même.

Cherchons donc le mouvement ε du solide autour de la position eqψ d'équilibre. Nous avons eqψ ψ ε= + , et l'équation (22.41) s'écrit :

( )eq eqsin cos cos sin 0C mgaε ψ ε ψ ε+ + = . (22.42)

22.2 Exemples de mouvements de rotation autour d'un axe 355

En développant au premier ordre et en tenant compte du fait que eqsin 0ψ = , nous obtenons :

eqcos 0C mgaε ε ψ+ = , (22.43)

ou

20 eqcos 0ε ω ε ψ+ = , (22.44)

en introduisant la fréquence angulaire propre :

20

mgaC

ω = . (22.45)

Dans le cas où eq 0ψ = , soit eqcos 1ψ = , l'équation (22.44) s'écrit :

20 0ε ω ε+ = . (22.46)

Nous sommes ramenés à la forme réduite (21.24) des vibrations d'un système à un degré de liberté. Le mouvement du solide est pendulaire autour de la position d'équilibre eqψ , et l'équilibre est donc stable.

Dans le cas où eqψ π= , soit eqcos 1ψ = − , l'équation (22.44) s'écrit :

20 0ε ω ε− = . (22.47)

Le mouvement pour les faibles amplitudes est de la forme :

0tAeωε = . (22.48)

La fonction ε est une fonction croissante du temps et l'équilibre est instable. Dans le cas d'une liaison avec frottement visqueux (22.38), l'équation du mou-

vement (22.39) est modifiée suivant :

sin 0C c mgaψ ψ ψ+ + = . (22.49)

Cette équation s'écrit sous la forme :

202 sin 0ψ δψ ω ψ+ + = , (22.50)

en posant :

2cC

δ = . (22.51)

Au voisinage de la position d'équilibre eq 0ψ = , nous avons sinψ ψ≈ et l'équation de mouvement (22.50) se réduit à :

202 0ψ δψ ω ψ+ + = (22.52)

Nous sommes ramenés à la forme réduite (21.57) des vibrations d'un système à un degré de liberté avec frottement visqueux. Les résultats développés dans le chapitre 21 peuvent ainsi être appliqués au cas présent.


22.2.2 Pendule de torsion

Nous considérons (figure 22.3) le système constitué d'un disque en rotation autour d'un axe horizontal et d'un ressort spirale (R) exerçant un couple de torsion. Le disque est homogène et son centre de masse est confondu avec le centre de symétrie O du disque. Le ressort exerce un couple de rappel de direction k et de composante :

N Kψ= − , (22.53)

où K est la constante de torsion et l'angle ψ est repéré par rapport à la position d'équilibre. Si a est le rayon du disque et m sa masse, le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation est :

2

2aC m= . (22.54)

En négligeant la masse de l'axe de rotation, l'équation de mouvement du système s'écrit :

2

2 lam K Nψ ψ+ = . (22.55)

Dans le cas d'un frottement visqueux (22.38), l'équation de mouvement s'écrit sous la forme réduite :

202 0ψ δψ ω ψ+ + = , (22.56)

en posant :

202 2

2 et c Kma ma

δ ω= = . (22.57)

L'équation de mouvement est celle (21.57) d'un système à un degré de liberté, étudié au chapitre 21. Contrairement à l'équation (22.52) valable uniquement pour les faibles valeurs de l'angle de rotation, l'équation (22.56) est vérifiée quelles que soient les valeurs des angles de rotation.

FIGURE 22.3. Pendule de torsion.

xS

(∆)

x

yS

y

z

(S)

(R)

O

ψ

22.3 Problème de l'équilibrage des rotors 357

22.3 PROBLÈME DE L'ÉQUILIBRAGE DES ROTORS

22.3.1 Équations générales d'un solide non équilibré en rotation

22.3.1.1 Cinétique du mouvement

Un rotor (S) est lié à un bâti (T) par l'intermédiaire de deux paliers (P1) et (P2), de centres respectifs P1 et P2 (figure 22.4). Comme trièdre lié au bâti, nous choi-sissons le trièdre (Oxyz) tel que l'axe Oz soit l'axe de rotation et que l'axe Ox soit vertical ascendant. Le rotor est supposé non équilibré, et le centre de masse se situe en dehors de l'axe de rotation en une position qui n'est pas connue à priori. Comme trièdre lié au rotor (S), nous choisissons le trièdre ( )S SOx y z dont l'orien-tation à un instant donné est définie par l'angle ψ . Le vecteur position du centre de masse dans la base ( ), , S Si j k s'écrit :

S SOG a i b j c k= + + , (22.58)

où (a, b, c) sont les coordonnées cartésiennes de G dans le trièdre ( )S SOx y z . Le vecteur vitesse du centre de masse est obtenu en dérivant l'expression précé-

dente : ( )

( , )TS SG t a j b iψ ψ= −v . (22.59)

En dérivant une nouvelle fois, nous obtenons le vecteur accélération :

( ) ( ) ( )

2 2( , )TS Sa G t a b i a b jψ ψ ψ ψ= − + + − . (22.60)

Le vecteur accélération peut ensuite être exprimée dans la base ( ), , i j k liée au bâti, en utilisant le changement de base (22.1). Nous obtenons :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

( , ) cos sin

sin cos .

Ta G t a b a b i

a b a b j

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + + −⎣ ⎦

(22.61)

FIGURE 22.4. Rotor.

yS

P2 G

(S)

O

xS

x

y

z

ψ

P1

d1

d2


La résultante du torseur dynamique est donc :

( ){ } ( ) ( , )T T

SR ma G t=D , (22.62)

où le vecteur accélération du centre de masse est donné par l'expression précédente (22.61).

La matrice d'inertie au point O du solide (S) exprimée dans la base (bS) est quelconque et donc exprimée sous la forme générale (22.14). Le moment au point O du torseur dynamique est alors donné par l'expression (22.17). En exprimant ce moment dans la base ( ), , i j k , nous obtenons :

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

cos sin

sin cos .

TO S E D D E i

E D D E j C k

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

⎡ ⎤= − + + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + − + +⎣ ⎦

M D (22.63)

22.3.1.2 Actions mécaniques exercées sur le rotor

Les actions mécaniques exercées sur le solide sont l'action de pesanteur, les actions du bâti au niveau des paliers et éventuellement un couple moteur.

1. Action de pesanteur Elle est représentée par le torseur ( ){ } e SP dont les éléments de réduction au

centre de masse sont :

( ){ }

( ){ }

e ,

e 0.G

R S mg i

S

= −

=M

PP

(22.64)

Le moment en O de l'action de pesanteur est :

( ){ } ( ){ } e eO S OG R S= ∧M P P , (22.65) soit :

( ){ } ( ) e sin cosO S mgc j mg a b kψ ψ= − + +M P (22.66)

2. Action du bâti exercée au niveau du palier (P1) L'action est assimilée à une force dont la ligne d'action passe par le centre P1 du

palier. Elle est représentée par le torseur ( ){ }1 SL , d'éléments de réduction au point O :

( ){ }( ){ }

1

1 1 1 1

1

,

0.P

R S X i Y j Z k

S

= + +

=M

LL

(22.67)

Le moment au point O est exprimé par :

( ){ } ( ){ }11 1O S OP R S= ∧M L L . (22.68) Soit :

( ){ } 1 1 1 1 1O S Y d i X d j= − +M L (22.69)

où d1 est la distance du centre du palier P1 au point O (figure 22.4). Suivant la


position du point P1 par rapport au point O, cette distance sera prise positive ou négative.

3. Action du bâti exercée au niveau du palier (P2) Comme précédemment, l'action est assimilée à une force dont la ligne d'action

passe par le centre P2 du palier. Par analogie aux résultats précédents, les éléments de réduction au point O seront donc :

( ){ } 2 2 2 2R S X i Y j Z k= + +L , (22.70)

( ){ } 2 2 2 2 2O S Y d i X d j= − +M L , (22.71)

où d2 est la distance du centre du palier P2 au point O (figure 22.4), prise positive ou négative suivant la position du palier par rapport au point O.

4. Couple moteur Pour mettre le rotor en rotation ou le maintenir en rotation, il sera nécessaire

d'exercer un couple moteur. Ce couple est représenté par le torseur { }( )SA d'éléments de réduction au point O :

{ }{ }

( ) 0,

( ) .O

R S

S N k

=

=M

AA

(22.72)

22.3.1.3 Équations de la dynamique

Les équations de la dynamique sont obtenues en appliquant au mouvement du rotor le principe fondamental de la dynamique qui s'écrit :

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ } { } 1 2e ( )TS S S S S= + + +D L L AP . (22.73)

En exprimant les moments des actions au point O, nous obtenons les six équations scalaires :

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 21 2

2 21 2

1 22 2

1 1 2 22 2

1 1 2 2

cos sin ,

sin cos ,0 ,

cos sin ,

sin cos ,sin c

m a b a b X X mg

m a b a b Y YZ Z

E D D E Y d Y d

E D D E mgc X d X dC mg a b

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψψ ψ

⎡ ⎤− + + − = + −⎣ ⎦⎡ ⎤− + + − = +⎣ ⎦

= +

− + + + = − −

− + − + = − + +

= +( )os .Nψ +

(22.74)

La dernière équation est l'équation de mouvement. Elle permet de trouver l'angle de rotation ψ en fonction du temps. Ayant trouvé ψ , les autres équations permettent ensuite de trouver les composantes des actions de liaisons exercées par le bâti au niveau des paliers.


22.3.2 Actions mécaniques exercées sur l'axe du rotor

Lors du mouvement de rotation, les actions mécaniques exercées sur l'axe du rotor au niveau des paliers sont représentés par les torseurs ( ){ }1 SL et ( ){ }2 SL . Inversement le rotor exerce des actions mécaniques opposées, représentées par les torseurs ( ){ }1 S− L et ( ){ }2 S− L . Les composantes (X1, Y1) et (X2, Y2) sont obtenues en résolvant les relations (22.74). Nous obtenons :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 21 2 2 2 2 2

2 1

2 21 2 2 2 2

2 1

2 22 1 1 1 1 1

2 1

2 22 1 1 1 1

2 1

1 sin cos ,

1 sin cos ,

1 sin cos ,

1 sin cos

X mg c d E D D Ed d

Y D E E Dd d

X mg c d E D D Ed d

Y D E E Dd d

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ

⎡ ⎤= − − + − + +⎣ ⎦−

⎡ ⎤= + + − +⎣ ⎦−

⎡ ⎤= − + − + + −⎣ ⎦−

= − + + −−

,ψ⎡ ⎤⎣ ⎦

(22.75)

en posant :

1 1 1 1

2 2 2 2

, ,, .

E E mad D D mbdE E mad D D mbd

= − = −= − = −

(22.76)

22.3.3 Principe de l'équilibrage

Les composantes (22.75) des actions mécaniques exercées sur l'axe du rotor dépendent de , ψ ψ et plus particulièrement de 2ψ . Elles peuvent donc atteindre des valeurs rapidement élevées. D'autre part, l'axe est déformable et l'ensemble axe-rotor se comporte d'une manière analogue à celle d'un système à un degré de liberté tel que celui étudié au chapitre 21. Des vibrations sont ainsi générées qui conduiront à une détérioration prématurée des axes ou des paliers. Pour en augmenter la durée de vie, il est nécessaire de réduire au mieux les actions exercées sur l'axe. L'examen des expressions (22.75) montre que les actions sont réduites à des valeurs minimales si :

0a b= = , (22.77) et

0D E= = . (22.78)

La première condition correspond au cas où le centre de masse est situé sur l'axe de rotation. On dit qu'on a réalisé un équilibrage statique. L'équilibre du rotor est alors indifférent. La deuxième condition correspond au cas où l'axe de rotation est axe principal d'inertie. Lorsque ces deux conditions sont réalisées, ont dit qu'on a réalisé un équilibrage dynamique. Les composantes des actions de liaison sont alors réduites suivant :


Mi

(i)

O

yS

xS

x

y

z

ψ

zi

yS

xS

αi

FIGURE 22.5. Plans d'équilibrage.

21 1

2 1

12 2

2 1

, 0,

, 0.

c dX mg Yd d

c dX mg Yd d

−= − =−

−= =−

(22.79)

Les conditions d'équilibrage dynamique sont approchées au mieux lors de la construction du rotor. Ensuite ces conditions sont ajustées en plaçant des masses quasi-ponctuelles dans deux plans (1) et (2) orthogonaux à l'axe de rotation. Dans chaque plan (i) (i = 1 ou 2), la masse mi est localisée au point Mi (figure 22.5). Le point Mi est repéré par ses coordonnées polaires ( ), , i i ir zα dans le trièdre ( )S SOx y z lié au rotor (S). Ses coordonnées cartésiennes dans ce même trièdre sont :

cos ,sin ,, 1, 2.

i i i

i i i

i

x ry rz z i

αα

=== =

(22.80)

L'adjonction des deux masses m1 et m2 modifie la position du centre de masse de l'ensemble, conformément à la relation :

( ) 1 21 2 1 2m m m OG m OG m OM m OM′+ + = + + , (22.81)

où G′ est la position du centre de masse de l'ensemble rotor et masses ajoutées. Les coordonnées cartésiennes de G′ dans le trièdre ( )S SOx y z sont :

( )

( )

( )

1 1 1 2 2 21 2

1 1 1 2 2 21 2

1 1 2 21 2

1 cos cos ,

1 sin sin ,

1 .

a ma m r m rm m m

b mb m r m rm m m

c mc m z m zm m m

α α

α α

′ = + ++ +

′ = + ++ +

′ = + ++ +

(22.82)


La condition (22.77), appliquée à a′ et b′ , conduit aux relations d'équilibrage sta-tique :

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos cos 0,sin sin 0.

ma m r m rmb m r m r

α αα α

+ + =+ + =

(22.83)

La matrice d'inertie au point O de la masse quasi-ponctuelle mi localisée au point Mi est :

( )( )

( )( )

2 2

2 2

2 2

( )S

i i i i i i i i ib

i i i i i i i i i iO

i i i i i i i i i

m y z m x y m x z

M m x y m x z m y z

m x z m y z m x y

⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥⎢ ⎥= − + −⎢ ⎥

− − +⎢ ⎥⎣ ⎦

I . (22.84)

La matrice d'inertie au point O de l'ensemble rotor-masses m1 et m2 s'écrit :

( ) ( ) ( )1 2( ) ( ) ( )S S Sb b b

O O OS M M+ +I I I . (22.85)

En particulier, les moments d'inertie D et E du rotor sont modifiés respectivement suivant les expressions:

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

sin sin ,cos cos .

D D m r z m r zE E m r z m r z

α αα α

′ = + +′ = + +

(22.86)

Les conditions (22.78) appliquées à D′ et E′ conduisent aux relations :

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

sin sin 0,cos cos 0.

D m r z m r zE m r z m r z

α αα α

+ + =+ + =

(22.87)

Les relations (22.83) et (22.87) constituent les quatre relations de l'équilibrage dy-namique d'un rotor.

Généralement les masses sont ajoutées dans des plans donnés, facilement accessibles. Les relations d'équilibrage permettent donc de trouver quatre des pa-ramètres ( ) 1 1 1, ,m r α et ( ) 2 2 2, , ,m r α en fait deux des paramètres ( ) 1 1 1, ,m r α et deux des paramètres ( ) 2 2 2, , .m r α Le choix des paramètres sera conditionné à des facilités de mise en oeuvre. Dans la pratique, l'équilibrage est réalisé à l'aide d'un système d'équilibrage électronique. Les actions mécaniques exercées sur l'axe de rotation sont mesurées à l'aide d'accéléromètres. Des mesures préalables permet-tent de déterminer les paramètres a, b, D et E du rotor non équilibré, puis d'en déduire les quatre paramètres d'équilibrage par les relations (22.83) et (22.87).

EXERCICES

22.1 Étudier le mouvement d'un parallélépipède en liaison rotoïde d'axe hori-zontal passant par son centre de masse et soumis à l'action d'un ressort spirale (R) exerçant un couple de torsion (figure 22.6).

22.2 Étudier le mouvement d'un parallélépipède en liaison rotoïde d'axe hori-zontal excentré (figure 22.7a).

Exercices 363

FIGURE 22.6. Mouvement d'un parallélépipède autour d'un axe passant par son centre.

22.3 Étudier le mouvement d'un parallélépipède en liaison rotoïde d'axe hori-zontal excentré et soumis à l'action d'un ressort spirale (R) exerçant un couple de torsion (figure 22.7b). FIGURE 22.7. Mouvement d'un parallélépipède autour d'un axe excentré : a) sans ressort de torsion et b) avec ressort de torsion.

G

(R)

G

O d

(R)

G

Od


COMMENTAIRES Le mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe intervient dans

de nombreuses applications industrielles, telles que rotors, roues, machines tournantes, etc. Le mouvement de rotation induit des actions exercées au niveau des liaisons qui peuvent conduire à une détérioration des liaisons. Ce problème est résolu en effectuant un équilibrage et sera considéré par le lecteur avec une très grande attention.

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C Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe©caniqueSolides... · Mouvement de rotation d'un solide autour d'un axe fixe 22.1 ÉQUATIONS GÉNÉRALES ... Toutefois, le