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Groupe d’Entraînement et de Recherche pour les Méthodes d’Education Active 25 rue Montaigne 64000 Pau Site : www.germea.org

Calcul de distances dans le système solaire

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Groupe d’Entraînement et de Recherche pour les Méthodes d’Education Active 25 rue Montaigne 64000 Pau Site : www.germea.org. Calcul de distances dans le système solaire. . -600 à 200 : Le Miracle grec. Aristarque : le diamètre de la Lune et du Soleil - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Calcul de distances dans le système solaire

Groupe d’Entraînement et de Recherche

pour les Méthodes d’Education Active

25 rue Montaigne 64000 PauSite : www.germea.org

Page 2: Calcul de distances dans le système solaire

-600 à 200 : Le Miracle grec

1500 à 1700 : D’un monde clos à l’univers infini

Aristarque : • le diamètre de la Lune et du Soleil• les distances Terre Lune et Terre Soleil

Eratosthène : la circonférence de la Terre

Hipparque : amélioration des résultats d’Aristarque

Copernic : distance des planètes en U.A.

Cassini et Richer : premier calcul de l’U.A.

8 juin 2004 : le passage de Vénus devant le Soleil

Page 3: Calcul de distances dans le système solaire

-600 -500 -400 -300 -200 -100 JC 100 200

Thalès

Pythagore Aristote

Aristarque Hipparque

Eratosthène

Ptolémée

Le Miracle grec

Page 4: Calcul de distances dans le système solaire

L’état des connaissances avant Aristarque

Ecoles Ionienne et Pythagoricienne :

• Explication des éclipses.

• La sphère est la forme parfaite, c’est celle de la Terre, de la Lune, du Soleil

et de l’univers.

• Le mouvement parfait est circulaire.

Ecole d’Athènes : les trois commandements d’Aristote

• Tu garderas la Terre immobile au centre d’un monde sphérique.

• Tu n’utiliseras pour reconstituer les trajectoires des corps célestes que

des combinaisons de mouvements circulaires.

• Tu n’envisageras que des vitesses angulaires constantes.

Page 5: Calcul de distances dans le système solaire

Samos

Page 6: Calcul de distances dans le système solaire
Page 7: Calcul de distances dans le système solaire

a

Diamètre apparent de la Lune

• Comment se faire une idée concrète de a ?

• Comment obtenir a ?

Page 8: Calcul de distances dans le système solaire

Il suffit d’utiliser une règle

régle Lune

Page 9: Calcul de distances dans le système solaire

règle

bras (60 cm)

A

B

C

a

a/2

a

2tan =

BC

AC 60

0,275

0,25°d’où a

2 et a 0,5°

5,5 mm

Page 10: Calcul de distances dans le système solaire

règle

bras (60 cm)

a

a 0,5°

5,5 mm

=a

360

0,55

2 x 60 x

Page 11: Calcul de distances dans le système solaire

OA

B

C

D

ODOB

=CDAB

OD 109 CD

Distance Terre - Lune

Page 12: Calcul de distances dans le système solaire

Conclusion :

On peut mettre 109 lunes entre la Terre et la Lune.

Page 13: Calcul de distances dans le système solaire

Quelles sont les hypothèses d’Aristarque ?

En une heure la Lune se déplace de son diamètre apparent.

Le diamètre apparent de la Lune est de 0,5°

La plus longue éclipse de Lune observée a duré deux heures

L’ombre de la Terre est assimilée à un cylindre.

Comparaison des diamètresde la Terre et de la Lune

Page 14: Calcul de distances dans le système solaire

3 h

2 h

4 h

5 h

Page 15: Calcul de distances dans le système solaire

On peut mettre trois lunes dans l’ombre de la

Terre,

donc la Lune est trois fois plus petite que la

Terre

et par conséquent la distance Terre-Lune est

voisine de 36 diamètres terrestres.

Conclusion :

Page 16: Calcul de distances dans le système solaire
Page 17: Calcul de distances dans le système solaire

15 j 14,5 j

premier quartier

dernier quartier

Page 18: Calcul de distances dans le système solaire

premier quartier

dernier quartier

Page 19: Calcul de distances dans le système solaire

30 jours 360°

1 jour 12°

12 heures 6°

2 = 6°

= 3°

Page 20: Calcul de distances dans le système solaire

cos 87° =TL

TSdonc TS =

TL

cos 87° 19 TL

T

L

S

Page 21: Calcul de distances dans le système solaire

« La distance du Soleil à la Terre est plus grande que 18 fois,

mais plus

petite que 20 fois la distance de la Lune à la Terre. »

Qu’en est-il en réalité ?

On sait maintenant que cet angle mesure 89° 51’ et par conséquent :

TS = 400 TL !

Conclusion :

Page 22: Calcul de distances dans le système solaire

1 heure 21 minutesaprès le premier quartier

7 heures 30 minutesavant le dernier quartier

Page 23: Calcul de distances dans le système solaire
Page 24: Calcul de distances dans le système solaire
Page 25: Calcul de distances dans le système solaire

Taille du Soleil = 19 lunes

Taille du Soleil 6 terres

Alors, si le Soleil est 19 fois plus loin de la Terre que la Lune,il est 19 fois plus gros que la Lune.

La Lune et le Soleil ont le même diamètre apparent.

Terre = 3 lunes

Page 26: Calcul de distances dans le système solaire

Le Soleil est environ 6 fois plus gros que la Terre.

Conclusion :

Page 27: Calcul de distances dans le système solaire

Soleil

Mercure

Vénus

Lune

Terre

Mars

Jupiter

Saturne

Système d’Aristarque

Page 28: Calcul de distances dans le système solaire

AlexandrieCyrène

Page 29: Calcul de distances dans le système solaire
Page 30: Calcul de distances dans le système solaire
Page 31: Calcul de distances dans le système solaire

Alexandrie

Syène

Page 32: Calcul de distances dans le système solaire

a

a

Page 33: Calcul de distances dans le système solaire

a

a

tan a = 3,16

25

donc a 7,2°

a

25 m

3,16 m

Page 34: Calcul de distances dans le système solaire

7,2° correspondent à 1/50ème du cercle

La distance Alexandrie Syène est environ de 800 km

or 800 x 50 = 40 000

soit 40 000 km pour la circonférence terrestre.

Page 35: Calcul de distances dans le système solaire

= -

Page 36: Calcul de distances dans le système solaire

Nicée

Rhodes

Alexandrie

Page 37: Calcul de distances dans le système solaire

Terre

Lune

Soleil

d’après une idée du C.L.E.A.(Comité de Liaison Enseignants Astronomes)

Page 38: Calcul de distances dans le système solaire
Page 39: Calcul de distances dans le système solaire
Page 40: Calcul de distances dans le système solaire
Page 41: Calcul de distances dans le système solaire

DO + DL = DT

3 lunes dans l’ombre + 1 lune = 4 lunes

Page 42: Calcul de distances dans le système solaire

La Lune est quatre fois plus petite que la Terre.

Conclusion :

Page 43: Calcul de distances dans le système solaire

DO + DL = DT

on obtient :

En posant k = DL

DO

= 1+kDL

DT

Page 44: Calcul de distances dans le système solaire

Eclipse de Lune du 23/11/1993

Comment déterminer k ?

Page 45: Calcul de distances dans le système solaire

k =DL

DO 2,7

= 1+kDL

DT 3,7

CL

CO

Méthode graphique

Page 46: Calcul de distances dans le système solaire

H

A

BC

a

Par le calcul

cos

BHBA

BABC

BA² = BH x BC

A’

d’où BC = =BH aBA² BA²

Page 47: Calcul de distances dans le système solaire

Du système géocentrique…

…au système héliocentrique

Page 48: Calcul de distances dans le système solaire

1500 1550 1600 1650 1700

Copernic Tycho Brahé

Kepler

Galilée

Newton

Cassini

Richer

D’un monde clos à l’univers infini

Page 49: Calcul de distances dans le système solaire
Page 50: Calcul de distances dans le système solaire

Configurations particulièresdes planètes

Page 51: Calcul de distances dans le système solaire

Conjonction inférieure

Planète inférieure

Elongation maximale ouestConjonction supérieureElongation maximale est

vue de dessus

Terre

Page 52: Calcul de distances dans le système solaire

Quadrature estQuadrature ouestOpposition

Planète supérieure vue de dessus

Conjonction

Terre

Page 53: Calcul de distances dans le système solaire

SV

ST

Calcul du rayon d’une planète inférieure : Vénus

sin a =

d’où SV = ST x sin a

a est l’élongation maximale de Vénus

Pour Vénus a 46°,

d’où SV 0,719 ST

Page 54: Calcul de distances dans le système solaire

S T

M’

T’

M

t m

a

Calcul du rayon d’une planète supérieure : Mars

ST’

SM’cos a =

Pour Mars a 49°,

d’où SM 1,52 ST

d’où SM’ =cos a

ST’

a = t - m

opposition

quadrature

Page 55: Calcul de distances dans le système solaire

Mercure

Vénus Terre Mars Jupiter Saturne

Copernic 0,386 0,719 1 1,520 5,219 9,174

Valeurs moderne

s0,387 0,723 1 1,524 5,203 9,555

Rayons moyens des orbites planétaires

rapportés à la distance Terre Soleilc’est-à-dire en Unités Astronomiques (U.A.)

Page 56: Calcul de distances dans le système solaire
Page 57: Calcul de distances dans le système solaire

Les deux observateurs ne voient pas Marsexactement au même endroit sur le fond étoilé.

P

C

Le 5 septembre 1672,

Mars est dans les Poissons.

Page 58: Calcul de distances dans le système solaire

a

ba

b

M

P

CValeur obtenue : a+b 15"

Page 59: Calcul de distances dans le système solaire

M

P

C

a+b

a+b étant très petit, on peut en déduire la distance Terre-Mars :

dTM PCa+b

(en exprimant a+b en radians)

Page 60: Calcul de distances dans le système solaire

a

d

a+d

La troisième loi de Kepler permet d’écrire :

a3

TT2

(a+d)3

TM2=

où TT et TM sont les périodes de révolutionde la Terre et de Mars autour du Soleil.

On peut ainsi calculer a.

Cassini et Richer ont trouvé environ 140 000 000 km.

Page 61: Calcul de distances dans le système solaire

8 juin 2004

passage de Vénusdevant le Soleil,

un phénomèneexceptionnel

Plafond de la salle du conseil de l’observatoire de Paris

Page 62: Calcul de distances dans le système solaire
Page 63: Calcul de distances dans le système solaire

A

B

e

V

B

A

V

B’

A’

d

D

e

On suppose que A et B sont deux observateurs situés de façonque le plan ABV soit perpendiculaire au plan de l’orbite de Vénus.

Page 64: Calcul de distances dans le système solaire

B

A

V

B’

A’

D

e

D – d

deAB

=D - d

deAB

=D

- 1

dD

- 1e = AB( )

d

on sait que D = 3,62 x d

e = 2,62 x AB

si, par exemple, AB = 6 000 km alors e 15 700 km

0,28 U.A.

1 U.A.

0,72 U.A.

Calcul de l’écart en km

Page 65: Calcul de distances dans le système solaire

e 15 700 km

e

89 x e

1 397 000 km

1) Méthode graphique

en reportant soigneusementles deux observations sur une

même image projetée du Soleil

Comparaison de e au diamètre du Soleil et calcul de

Page 66: Calcul de distances dans le système solaire

0,28 U.A.

2) Par le calcul en utilisant les temps de passage

Calcul du déplacement apparent de Vénus vu de la Terre

T

Vénus fait 360° en 584 jours,

c’est-à-dire 360 x 60’ en 584 x 24 heures,

donc en une heure Vénus se déplace d’un angle a,

a = exprimé en minutes d’arc 360 x 60

24 x 584

V’

aS

V

Depuis la Terre,on voit Vénus se déplacer d’un angle b

b

En exprimant en radians a et b , qui sont très petits,

0,72 U.A.

d’où b = a x = a x soit b 4’SV

TV

0,280,72

Conclusion : au moment du transit, on voit de la Terre, Vénus avancer de 4’ par heure

VV’ = SV x a = TV x b

Page 67: Calcul de distances dans le système solaire

Calcul de e

O

A1

A2

B2

B1

H2

H1

On suppose que, par exemple, l’observateur A voit le passage durer 6 h

alors que B trouve 6 h 9 min 15 s, soit 6,154 h.

OA1 = OB1 = 32 : 2 = 16

Tous les calculs se font en minutes d’arc.

Le trajet A1A2 dure 6 h, il correspond à 24’

Le trajet B1B2 dure 6,154 h, il correspond à 24,616’

OH1²= 16²-12² d’où OH1 10,583

OH2²= 16²-12,308² d’où OH2 10,223

e = H1H2 0,36

89 x e car 32 : 0,36 89

Détermination du diamètre du Soleil

or e 15 700 km d’où 1 397 000 km

Page 68: Calcul de distances dans le système solaire

1 397 000 km

D

32 ’

D 150 000 000 km

D =tan 32 ’

Calcul de la distance Terre-Soleil

Remarque : cette méthode ne tient pas compte de la rotation de la Terre.

Dans la réalité, les calculs sont bien plus complexes

Page 69: Calcul de distances dans le système solaire

Fin