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Journal of Electrostatics 64 (2006) 437–444 Calcul de la force die´lectrophore´tique dans les microsyste`mes biologiques: comparaison du mode`le dipolaire avec le mode`le du tenseur de Maxwell Adel M. Benselama a,b, , Pascale Pham b , Pierre Atten a a LEMD, CNRS-UJF, 25 Avenue des Martyrs, BP166, 38042 Grenoble Cedex 9, France b LETI (CEA-Direction de la Recherche Technologique)-DTBS, 17 Avenue des Martyrs, 38054 Grenoble Cedex 9, France Available online 8 November 2005 Re´ sume´ Dans ce travail on examine la validite´ du mode`le du dipoˆle ponctuel habituellement utilise´ pour e´valuer la force die´lectrophore´tique s’exerc - ant sur les cellules biologiques dans les microsyste`mes. Le mode`le dipolaire est confronte´ au mode`le plus complet du tenseur de Maxwell qui tient compte de la pre´sence des cellules. Les re´sultats obtenus avec la me´thode des Ele´ments Finis, dans une configuration pointe-plan, montrent que l’approche du dipoˆ le ponctuel n’est pas satisfaisante lorsque la taille des cellules n’est pas tre`s petite devant la distance entre e´lectrodes. On examine e´galement le proble`me de l’interaction mutuelle entre deux cellules place´es dans un champ uniforme. Dans ce cas l’approche dipolaire demeure tre`s satisfaisante tant que la distance entre cellules est suffisamment grande (4R). Abstract The validity of the point-dipole approach, frequently used to estimate the dielectrophoretic force applied upon biological cells in microsystems, is examined. Forces given by this approach are compared to those obtained by the Maxwell stress tensor method. In a needle-plate electrode configuration, results provided by finite element method show that the point-dipole approach is unsatisfactory when cells size is comparable to the gap distance. When subjected to a uniform electric field, cell-to-cell interaction is studied. In that case, the point-dipole approach is very accurate provided that cell-to-cell distance is larger than their radius R. r 2005 Elsevier B.V. All rights reserved. Mots cle´: Force die´lectrophore´tique; tenseur de Maxwell; Mode`le du dipoˆle ponctuel Keywords: Dielectrophoretic force; Maxwell stress tensor; Point-dipole model 1. Introduction Ce travail s’inscrit dans le cadre plus ge´ne´ral de l’e´tude de l’interaction entre champs e´ lectriques et cellules biologiques. Les applications vise´es sont nombreuses (tri cellulaire, e´ lectroporation, e´ lectrofusion, etc.) [1]. La miniaturisation a permis d’utiliser la die´ lectrophore` se comme moyen de manipulation de cellules [2,3]. Paralle` le- ment a` la die´lectrophore`se (DEP), la pre´sence d’un champ e´lectrique dans les milieux biologiques (cellules+solution tampon) occasionne l’apparition de nombreux phe´ nome` nes secondaires qu’il s’agit de maıˆtriser tels les re´ actions e´ lectrochimiques, l’e´ lectro-osmose, l’e´ chauffement par effet Joule, la de´formation des cellules, etc. Notre propos est d’e´valuer la validite´ du mode`le dipolaire ponctuel, mode`le couramment utilise´ dans les calculs nume´riques en DEP, et qui suppose que la particule est suffisamment petite pour pouvoir ne´gliger son influence sur la distribution du champ e´ lectrique. Or, dans les microsyste` mes, les dimensions caracte´ristiques des e´lectrodes et des cellules sont compar- ables, ce qui met en question la validite´ de ce mode`le. Pour tester cette validite´, nous comparons les re´sultats donne´s par le mode`le ponctuel et par le mode`le du tenseur de Maxwell [4] sur une configuration axisyme´trique de type pointe-plan (cf. Fig. 1). Le mode`le du tenseur de Maxwell ARTICLE IN PRESS www.elsevier.com/locate/elstat 0304-3886/$ - see front matter r 2005 Elsevier B.V. All rights reserved. doi:10.1016/j.elstat.2005.10.018 Corresponding author. E-mail address: [email protected] (A.M. Benselama).

Calcul de la force diélectrophorétique dans les microsystèmes biologiques: comparaison du modèle dipolaire avec le modèle du tenseur de Maxwell

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ARTICLE IN PRESS

0304-3886/$ - se

doi:10.1016/j.el

�CorrespondE-mail addr

Journal of Electrostatics 64 (2006) 437–444

www.elsevier.com/locate/elstat

Calcul de la force dielectrophoretique dans les microsystemesbiologiques: comparaison du modele dipolaire avec le modele du tenseur

de Maxwell

Adel M. Benselamaa,b,�, Pascale Phamb, Pierre Attena

aLEMD, CNRS-UJF, 25 Avenue des Martyrs, BP166, 38042 Grenoble Cedex 9, FrancebLETI (CEA-Direction de la Recherche Technologique)-DTBS, 17 Avenue des Martyrs, 38054 Grenoble Cedex 9, France

Available online 8 November 2005

Resume

Dans ce travail on examine la validite du modele du dipole ponctuel habituellement utilise pour evaluer la force dielectrophoretique

s’exerc-ant sur les cellules biologiques dans les microsystemes. Le modele dipolaire est confronte au modele plus complet du tenseur de

Maxwell qui tient compte de la presence des cellules. Les resultats obtenus avec la methode des Elements Finis, dans une configuration

pointe-plan, montrent que l’approche du dipole ponctuel n’est pas satisfaisante lorsque la taille des cellules n’est pas tres petite devant la

distance entre electrodes. On examine egalement le probleme de l’interaction mutuelle entre deux cellules placees dans un champ

uniforme. Dans ce cas l’approche dipolaire demeure tres satisfaisante tant que la distance entre cellules est suffisamment grande (4�R).

Abstract

The validity of the point-dipole approach, frequently used to estimate the dielectrophoretic force applied upon biological cells in

microsystems, is examined. Forces given by this approach are compared to those obtained by the Maxwell stress tensor method. In a

needle-plate electrode configuration, results provided by finite element method show that the point-dipole approach is unsatisfactory

when cells size is comparable to the gap distance. When subjected to a uniform electric field, cell-to-cell interaction is studied. In that

case, the point-dipole approach is very accurate provided that cell-to-cell distance is larger than their radius R.

r 2005 Elsevier B.V. All rights reserved.

Mots cle: Force dielectrophoretique; tenseur de Maxwell; Modele du dipole ponctuel

Keywords: Dielectrophoretic force; Maxwell stress tensor; Point-dipole model

1. Introduction

Ce travail s’inscrit dans le cadre plus general de l’etudede l’interaction entre champs electriques et cellulesbiologiques. Les applications visees sont nombreuses (tricellulaire, electroporation, electrofusion, etc.) [1]. Laminiaturisation a permis d’utiliser la dielectrophoresecomme moyen de manipulation de cellules [2,3]. Parallele-ment a la dielectrophorese (DEP), la presence d’un champelectrique dans les milieux biologiques (cellules+solutiontampon) occasionne l’apparition de nombreux phenomenes

e front matter r 2005 Elsevier B.V. All rights reserved.

stat.2005.10.018

ing author.

ess: [email protected] (A.M. Benselama).

secondaires qu’il s’agit de maıtriser tels les reactionselectrochimiques, l’electro-osmose, l’echauffement par effetJoule, la deformation des cellules, etc. Notre propos estd’evaluer la validite du modele dipolaire ponctuel, modelecouramment utilise dans les calculs numeriques en DEP, etqui suppose que la particule est suffisamment petite pourpouvoir negliger son influence sur la distribution du champelectrique. Or, dans les microsystemes, les dimensionscaracteristiques des electrodes et des cellules sont compar-ables, ce qui met en question la validite de ce modele. Pourtester cette validite, nous comparons les resultats donnespar le modele ponctuel et par le modele du tenseur deMaxwell [4] sur une configuration axisymetrique de typepointe-plan (cf. Fig. 1). Le modele du tenseur de Maxwell

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ARTICLE IN PRESS

Electrode plane

ElectrodepointueParoi

isolante

b

a L1

L2

Tampon

Cellule

Fig. 1. Un CHO de forme ellipsoıdale soumis a un champ non-uniforme.

Les dimensions du CHO sont telles que R ¼ffiffiffiffiffiffiffiab2

3p

, R=L1 ¼ 1=10,R=L2 ¼ 1=100, avec R ¼ 10mm et L1 ¼ 100mm.

A.M. Benselama et al. / Journal of Electrostatics 64 (2006) 437–444438

tient compte de la presente de la cellule, de ses caracter-istiques geometriques et electriques.

Dans un premier travail [5], pour des cellules immergeesdans du Mannitol, cette comparaison a mis en evidence lafaiblesse du modele ponctuel pour les cas ou la distanceelectrode-particule est inferieure au rayon de la cellule. En effet,pour certaines conditions de frequence et de salinite de la solu-tion tampon, alors que le modele dipolaire ponctuel prevoit unregime de DEP positive (cellule spherique attiree vers la pointe,voir Fig. 1), le modele du tenseur de Maxwell predit un regimede DEP negative (cellule spherique attiree par le plan). Notretravail ici consiste a evaluer l’influence de la forme de la cellulequi n’est plus supposee spherique, toujours pour des conditionsvariables de frequence et de salinite du tampon.

En parallele a ce travail, nous utilisons le modele dutenseur de Maxwell pour evaluer la force d’interactionmutuelle entre deux cellules plongees dans un champelectrique uniforme (configuration axisymetrique avec deuxelectrodes planes, voir Fig. 7). Cette force d’interaction esta l’origine de la formation de chaınes de particules [6].

2. Modeles

2.1. Geometrie

La Fig. 1 reproduit la configuration simulee de typepointe-plan destinee a creer un champ electrique non-uniforme. Un CHO (Ovocyte de Hamster Chinois), deforme ellipsoıdale que l’on fait varier, est place entre ceselectrodes. La distance pointe-plan vaut 100 mm. Laposition de la cellule est reperee par la distance qui separeson centre de l’electrode plane. a represente la longueur del’ellipsoıde le long de l’axe de symetrie et b represente lalongueur de l’ellipsoıde le long de l’axe transverse.

2.2. Electrocinetique complexe

Dans un milieu dielectrique k faiblement conducteur, lesdeux lois de l’electromagnetisme utilisees sont:

La loi de Gauss–Coulomb:

r �DðkÞ ¼ rðkÞ, (1)

ou D kð Þ est le vecteur deplacement et rðkÞ la densitevolumique de charges (C/m3).

� La conservation du courant de conduction (equation de

continuite):

r � jðkÞc þqrðkÞ

qt¼ 0, (2)

ou j kð Þc est la densite de courant de conduction (A/m2).

Les deux lois constitutives pour un milieu dielectriquehomogene et lineaire:

DðkÞ ¼ eðkÞEðkÞ, (3)

eðkÞ est la permittivite electrique du dielectrique k (F/m),et

jðkÞc ¼ sðkÞEðkÞ, (4)

sðkÞ est sa conductivite electrique (S/m).

Si nous prenons la derivee temporelle de (1) que l’onajoute a l’Eq. (2), on obtient:

r � jðkÞc þ r �qDðkÞ

qt¼ 0. (5)

On retrouve ici la conservation du courant car qD=qt

correspond a une densite de courant (A/m2) appeleecourant de deplacement. En faisant apparaıtre dans (5)les lois constitutives (3) et (4), nous obtenons:

r � sðkÞEðkÞ þ r �qeðkÞEðkÞ

qt¼ 0. (6)

Dans le cas d’une excitation sinusoıdale, on utilise larepresentation complexe telle que:

EðkÞ ¼ ReðEðkÞðx; y; zÞeiotÞ (7)

ou

EðkÞ¼ EðkÞ expðijÞ, (8)

est l’amplitude complexe du champ electrique (elle contientl’information concernant la phase mais aussi l’amplitude).o est la pulsation (ou frequence angulaire) (rad/s) eto ¼ 2pf , avec f la frequence d’excitation.La forme complexe de l’Eq. (5) s’ecrit:

r � ðsðkÞEðkÞeiotÞ þ r � ðioeðkÞEeiotÞ ¼ 0, (9)

ce qui permet d’obtenir

r � ððsðkÞ þ ioeðkÞÞEðkÞÞ ¼ 0. (10)

L’approximation quasi-statique, ou le couplage entrechamp electrique et induction magnetique est neglige, nouspermet de supposer que le champ electrique derive d’unpotentiel electrique V kð Þ tel que:

EðkÞ¼ �rV

ðkÞ. (11)

(9) devient alors

r � ð�ðsðkÞ þ ioeðkÞÞrVðkÞÞ ¼ 0. (12)

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Membrane d épaisseur variable

Epaisseur au pôle

10 nm

20 µm

∆z

,

Fig. 2. Formes des CHO utilisees dans les simulations.

A.M. Benselama et al. / Journal of Electrostatics 64 (2006) 437–444 439

On remarque ici que l’on retrouve l’equation de l’electro-cinetique ou la conductivite electrique est remplacee parune conductivite complexe s telle que:

sðkÞ ¼ sðkÞ þ ioeðkÞ. (13)

2.3. Conditions aux limites associees

Les conditions aux limites associees a l’Eq. (11) peuventetre de trois types:

de Dirichlet, si le potentiel electrique est impose(d’amplitude V 0 et de phase j0). On retrouve cettecondition sur les electrodes: V j�electrode ¼ V0 expðij0Þ; � de Neumann homogene si le milieu est en contact avec

une paroi isolante (frontieres entre le tampon et lesparois solides autres que les electrodes): �rV � njparoi ¼

�qV=qnjparoi ¼ 0;

� condition de passage entre deux milieux de proprietes

electriques differentes (cas de passage entre le tampon etla membrane ou entre la membrane et le milieu intra-

cellulaire): eð1ÞEð1Þ���interface

� nð1Þ þ eð2ÞEð1Þ���interface

� nð2Þ ¼

0 o �u eðkÞ est la permittivite complexe du milieu k telleque

eðkÞ ¼ eðkÞ þ sðkÞ=io, (14)

nðkÞ est le vecteur unitaire normal a l’interface orientevers l’exterieur du milieu k.

2.4. Expression de la force DEP

2.4.1. Modele dipolaire

Si la particule est supposee de forme ellipsoıdale alors laforce DEP deduite par le modele du dipole ponctuel secalcule par la formule suivante [2],

hFdipolei ¼ 2petamponR3KrE2eff , (15)

R est le rayon de la cellule et Eeff la valeur efficace duchamp electrique. Le facteur de polarisabilite K estfonction de la geometrie de la cellule, de la frequence etdes proprietes electriques des differents milieux dielectri-ques. Ici, les CHO sont modelises par une coquillecomposee d’un cœur homogene representant le milieuintracellulaire et d’une fine couche exterieure homogenerepresentant la membrane cellulaire d’epaisseur egale a10 nm. Si la cellule est consideree spherique, son diametreest pris egal a 20 mm. Dans le cas ou la cellule est considereede forme ellipsoıdale, les dimensions sont deduites afin deconserver le volume de la sphere (voir Fig. 2). Dans cetteetude, ne sont considerees que les cellules dont la forme dela membrane et celle du milieu intracellulaire (cytoplasme)sont confocales [2,8].

Dans ce cas, le facteur de polarisabilite est donne par, [2],

K ¼1

3

e cellule � e tampon

e tampon þ ðe cellule � e tamponÞL. (16)

Si la cellule est allongee:

Ljj ¼b2

2a2e3ln

1þ e

1� e

� �� 2e

� �, (17)

e ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� ðb=aÞ2

q, (18)

si la cellule est aplatie, alors:

Ljj ¼b2

2ðb2� a2Þ

p2

1ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffib2� a2

p �a2

b2

!, (19)

et si la cellule est spherique:

Lk ¼ 1=3. (20)

La permittivite complexe equivalente e cellule de la cellule estdonnee par l’approximation suivante [2]:

e cellule ¼ emembrane e cytoplasme þ Dzðe cytoplasme þ emembraneÞ=a

e membrane þ Dzðe cytoplasme þ emembraneÞ=a

� �,

(21)

Dz represente l’epaisseur de la membrane aux poles de lacellule (voir Fig. 2).

2.4.2. Modele du tenseur de Maxwell

Dans le cas general, la force electrique, due au champ,qui s’applique sur un volume elementaire dv s’ecrit [9,10]:

df 0 ¼ rE�1

2ðE � EÞreþ

1

2r rðE � EÞ

qeqr

����T

� �� �dv. (22)

Le premier terme represente la force de Coulomb que lechamp E exerce sur la charge electrique rdv et les deuxtermes suivants representent la force dielectrique deduitepar des considerations de minimum d’energie du systeme[10]. Le troisieme terme (electrostriction) est irrotationnelet est souvent associe au terme de pression. Le secondterme n’apparaıt que si le milieu eprouve une non-uniformite de polarisation (cette force se manifeste, entreautres, aux interfaces de deux dielectriques differents [9]).En omettant le terme d’electrostriction dans l’expression

(22) et en utilisant l’Eq. (1), la force que nous prenons en

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ARTICLE IN PRESS

0

-2×10-13

-4×10-13

-6×10-13

orce

DE

P (

N)

a/b = 1/3a/b = 1/2a/b = 1a/b = 2a/b = 3

A.M. Benselama et al. / Journal of Electrostatics 64 (2006) 437–444440

compte s’ecrit:

df ¼ ððr �DÞE� 12ðE � EÞreÞdv, (23)

qui apres manipulation devient:

df ¼ ðr � TÞdv, (24)

avec

T ¼ eðEE� 12ðE � EÞIÞ, (25)

ou I est le tenseur unite et T est appele le tenseur deMaxwell.

La force DEP appliquee sur une cellule est calculee parintegration de df:

FMaxwell ¼

Zv

ðr � TÞdV ¼

ZS

ðdn � TÞdS, (26)

ou v est un volume qui inclut toute la cellule et S safrontiere (le domaine d’integration est arbitraire pourvuqu’il englobe tout le volume de la cellule et ne contiennepas d’autres inclusions ou charges electriques). Le passagede l’integrale de volume a l’integrale de surface est rendupossible grace au theoreme d’Ostrogradski. La moyennetemporelle de la force DEP se deduit par

hFMaxwelli ¼1

2p

Z 2p

0

ZS

ðn � TÞdS

� �dðotÞ, (27)

qui, apres calcul, et tenant compte de l’ecriture complexe(6), prend la forme suivante:

hFMaxwelli ¼

ZS

ðn � T tamponmoyenneÞdS; (28)

ou T tamponmoyenne est la moyenne temporelle du tenseur de

Maxwell. L’expression de ce tenseur est la suivante:

Ttamponadj: ¼ 1

2etampon Re½E E

�� 1

2ðE � E

�ÞI �, (29)

L’asterisque symbolise la grandeur complexe conjuguee.

3. Applications

Les calculs ont ete realises avec le logiciel Elements FinisFEMLAB (versions 2.3a et 3.1i) [7].

3.1. Configuration pointe-plan

Les resultats issus de la configuration pointe-plan sontpresentes dans cette section. Les CHO baignent dans untampon liquide aqueux que l’on considere plus ou moinsconducteur. Le Table 1 resume les proprietes electriques

Table 1

Constantes electriques des milieux mis en jeu

Milieu Permittivite relative, er Conductivite s (mS/cm)

Eau pure 78.5 100

Eau salee 78.5 25 000

Membrane du CHO 4 10�3

Cytoplasme du CHO 60 5000

des CHO et des tampons utilises. La difference de potentielapplique entre les electrodes vaut 1V.L’effet de la forme de la cellule sur le module et le sens de

la force DEP qui lui est appliquee est etudie. La force DEPsera dite positive si la cellule est attiree vers la pointe (ou lemodule du champ electrique est plus important) et negativesi la cellule est attiree vers le plan (ou le module du champelectrique est moins intense).La Fig. 3 montre les variations de la force DEP estimees

par le modele du tenseur de Maxwell pour un CHOimmerge dans de l’eau salee en fonction de la frequence surune plage allant de 10Hz a 100MHz. Le CHO estpositionne au milieu des electrodes. On remarque que laforce DEP reste toujours negative quelle que soit l’ellipti-cite (definie par a=b) et la frequence. Ceci est unecaracteristique essentielle des cellules vivantes immergeesdans un tampon tres conducteur [1]. On note de plus quel’influence de l’aplatissement des cellules sur la force DEPest beaucoup plus importante (par rapport a la formespherique, la force DEP augmente, en module, de plus de88% pour une cellule dont l’ellipsticite a=b ¼ 1=3) que cellede l’allongement (la cellule dont l’ellipticite a=b ¼ 3 subitune DEP moins importante, en module, de 5% seulementpar rapport a la forme spherique).La Fig. 4 represente l’evolution du module de la force

DEP en fonction du gradient du carre du champ electriqueapplique pour differentes ellipticites a=b dans le cas d’unCHO immerge dans de l’eau salee. Quelle que soit sonellipticite, la tendance de la force DEP appliquee sur leCHO reste la meme: la force augmente lorsqu’augmente legradient du champ electrique. Sur une large zone entreelectrodes l’on constate la meme remarque que precedem-ment; les cellules aplaties subissent une force DEPnettement plus importantes (en module) que les cellulesspheriques, tandis que les cellules allongees montrent unefaible diminution par rapport aux cellules spheriques. Cestendances restent pratiquement inchangees selon les posi-tions allant de 20 a 70 mm.

101 102 103 104 105 106 107 108

Fréquence (Hz)

-8×10-13

-10-12

F

Fig. 3. Variation de la force DEP, appliquee sur un CHO immerge dans

de l’eau salee et positionne a 50mm du plan, en fonction de la frequence et

de l’ellipticite (a=b).

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0.0 1.0 2.0 3.0Ellipticité, a / b

10-13

10-12

10-11

For

ce D

EP

(N

)

Tenseur de Maxwell

position = 30 µmposition = 50 µm

position = 70 µm

Modèle du dipôle ponctuel

position = 30 µm

position = 50 µm

position = 70 µm

Fig. 5. Variation du module de la force DEP appliquee sur un CHO en

fonction de l’ellipticite a=b. Le CHO baigne dans de l’eau salee. La

frequence vaut f ¼ 10 kHz.

1011 1012

Gradient de E2, ∇(E2) (V2/m3)

10-13

10-12

10-11

10-10

For

ce D

EP

(N

)

a/b = 1/3

a/b = 1/2

a/b = 1

a/b = 2

a/b = 3

Fréquence = 10 kHz

Fig. 4. Variation du module de la force DEP appliquee sur un CHO en

fonction de l’ellipticite a=b. Le CHO baigne dans de l’eau salee a

f ¼ 10 kHz (la DEP est negative).

-1

0

1

2

3

For

ce D

EP

(x

10-1

2 N)

a/b = 1/3

a/b = 1/2

a/b = 1

a/b = 2

a/b = 3

(a)

10 102 103 104 105 106 107 108

Fréquence (Hz)

10 102 103 104 105 106 107 108

Fréquence (Hz)

-1

0

1

2

3

For

ce D

EP

(x

10-1

2 N)

a/b = 1/3

a/b = 1/2

a/b = 1

a/b = 2

a/b = 3

(b)

Fig. 6. Variation de la force DEP, appliquee sur un CHO immerge dans

de l’eau pure et positionne a 50mm du plan, en fonction de la frequence:

(a) par le tenseur de Maxwell et, (b) par le modele du dipole ponctuel.

A.M. Benselama et al. / Journal of Electrostatics 64 (2006) 437–444 441

La Fig. 5, qui reproduit la variation du module de laforce DEP deduite du tenseur de Maxwell en fonction del’ellipticite de la cellule, pour les memes positions,corrobore parfaitement ce qui vient d’etre dit. La forceDEP diminue a mesure que la cellule s’allonge. Enrevanche, quand elle s’approche de la pointe, on trouveune forme pour laquelle la force DEP est minimale. Cetteforme est proche de la sphere.

Bien que relevant correctement le regime de DEP, lemodele du dipole ponctuel ne prevoit que tres sommaire-ment l’intensite de la force DEP (l’erreur varie entre 15% et70%). D’autre part, il ne prevoit pas le meme effet del’ellipticite sur l’intensite de la force DEP. Ce modeleprevoit meme une force DEP plus importante pour uneellipticite voisine de 1/2 et ce quelque soit la position de lacellule; la presence d’electrodes etant toujours occultee parce modele.

On se place maintenant dans des conditions ou letampon est nettement moins conducteur (eau pure) danslequel l’on a observe (dans un travail precedemmenteffectue [5]) des changements de regime de DEP enfonction de la position.La Fig. 6 illustre la comparaison entre la force DEP

calculee (Fig. 6a) et celle predite par le modele du dipoleponctuel (Fig. 6b). Trois remarques s’imposent. Lapremiere est que le modele dipolaire donne qualitativementles bons regimes dielectrophoretiques. La deuxieme remar-que concerne les differences quantitatives detectees entreles deux modeles. Ainsi, la transition entre DEP negative etpositive se situe entre 100 et 400 kHz, alors que le modeledipolaire la predit entre 50 et 150 kHz. Par ailleurs, bienque la cellule soit positionnee au centre du systemed’electrodes (afin de reduire au mieux les effets de forceimage), la force predite par le modele du dipole ponctuelest sous-estimee en DEP negative et surestimee en DEPpositive, la difference variant, selon l’ellipticite, entre 30%et 130%. La troisieme remarque est relative au contrasteentre les effets de l’aplatissement et de l’allongement selonque la DEP est positive ou negative. Pour la DEP positive,

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L1

L2

R

d

Electrode

Electrode

Paroiisolante

Tampon

Cellules

Vmax sin(wt)

Fig. 8. Deux CHO soumis a un champ electrique uniforme. Les

dimensions des cellules ainsi que l’epaisseur de la membrane sont

exagerees. R=L1 ¼ 1=40, R=L2 ¼ 1=60, R ¼ 10mm.

0 20 40 60 80 100

Plan < z (µm) > Pointe

0

1

2

Cha

mp

E (

kV/m

)

DEP négative, f = 10 kHz

(a)

0 20 40 60 80 100

Plan < z(µm) > Pointe

0

2

4

Cha

mp

E (

kV/m

)

DEP positive, f = 1 MHz

(b)

Fig. 7. Variations du champ electrique le long de l’axe de symetrie du

systeme d’electrodes. Les courbes , , , , et ,

representent le champ perturbe par un CHO dont l’ellipticite vaut 1/3,

1/2, 1, 2 et 3, respectivement. Le CHO baigne dans de l’eau pure.

A.M. Benselama et al. / Journal of Electrostatics 64 (2006) 437–444442

la force varie peu avec le degre d’aplatissement (a=bo1)alors qu’elle augmente fortement avec l’allongement(a=b41), voir Fig. 6. En contrepartie, pour la DEPnegative, la force depend peu de l’allongement maisaugmente avec l’aplatissement.

On peut comprendre qualitativement ces variationscontrastees en considerant un milieu homogene equivalenta la cellule. Le champ electrique le long de l’axe dans cecorps homogene est trace en DEP negative et positive(Fig. 7a et b, respectivement).

Notons en premier lieu que la force electrique estproportionnelle a la quantite

ecelluleðEcellulen; hautÞ

2� etamponðE

tamponn; haut Þ

2� ðecelluleðEcellule

n; bas Þ2

�etamponðEtamponn; bas Þ

2Þ;

(30)

ou les indices haut et bas representent les poles superieur etinferieur de la cellule, respectivement.

En DEP negative, la permittivite equivalente de la celluleest inferieure a celle du tampon. Par continuite de lacomposante normale du vecteur deplacement electriquecomplexe (eEn) a travers l’interface cellule-tampon, l’ondeduit que le champ electrique immediatement exterieur ala cellule est pratiquement nul (Fig. 7a). La force DEP estdonc determinee en majeure partie par la contribution duchamp electrique interieur, et le terme de proportionnalite(30) devient ecelluleðE cellule

n; haut þ E cellulen; bas ÞðE

cellulen; haut � E cellule

n; bas Þ.Plus la cellule est aplatie, plus le champ interieur estintense. La force varie ainsi sensiblement avec l’aplatisse-ment. Quand la cellule est allongee, le champ interieur tendvers le champ exterieur (la difference de potentiel estimposee) si bien que la force DEP tend a se saturer.En DEP positive, la permittivite equivalente de la cellule

est plus importante que celle du tampon. Le champinterieur est donc nettement plus faible que celui al’exterieur de la cellule (Fig. 7b). Le terme de proportion-nalite (30) pour la force DEP se reduit aetamponððE

tamponn; haut Þ

2� ðE

tamponn; bas Þ

2Þ. A mesure que la cellule

s’aplatit, le saut du champ exterieur normal devient moinsdependant de l’epaisseur de la cellule et la force DEP tendasymptotiquement vers une valeur finie. Si en revanche, lacellule s’allonge, le champ exterieur aux poles ainsi que leurdifference augmentent. De ce fait, la force DEP variefortement en fonction de l’allongement de la cellule.

3.2. Configuration plan–plan

Cette configuration comprend deux electrodes planes quigenerent un champ electrique uniforme. Entre ces deuxelectrodes, deux CHO sont alignes dans la direction duchamp electrique (voir Fig. 8). Le rapport entre le rayondes cellules et la distance inter-electrode vaut 1/40. Lafrontiere isolante se situe a 60 fois le rayon de ces cellules(par rapport a leur axe de revolution). Le champ uniformeapplique vaut 25V/cm.La Fig. 9 montre les variations de la force d’interaction

entre cellules en fonction de la distance d qui separe leur

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ARTICLE IN PRESS

2 4 6 8 10Distance relative, d/R

10-16

10-15

10-14

10-13

10-12

For

ce d

'attr

actio

n (N

)

f = 10 kHz Force par le tenseur de Maxwell

Force dipôle-dipôle

Fig. 9. Variation de la force d’interaction entre deux CHO dans de l’eau

salee en fonction de la distance relative entre leur center.

101 102 103 104 105 106 107 108

Fréquence (Hz)

101 102 103 104 105 106 107 108

Fréquence (Hz)

10-15

10-14

10-13

10-12

10-15

10-14

10-13

10-12

For

ce d

'attr

actio

n (N

)

Force à d/R = 2.5

Force à d/R = 5

(a)

For

ce d

'attr

actio

n (N

)

Force à d/R = 2.5

Force à d/R = 5

(b)

Fig. 10. Variation de la force d’interaction mutuelle en fonction de la

frequence entre deux CHO immerges: (a) dans de l’eau salee et, (b) dans de

l’eau pure.

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centre (Fig. 8) calculee par le tenseur de Maxwell et lemodele du dipole ponctuel. Les CHO baignent dans del’eau salee. Pour des distances telles que d=R43, la forced’interaction evolue de maniere sensiblement proche de laloi dipolaire en ðd=RÞ�4 [11]. Il est utile de noter que dansce cas l’excellente correspondance entre les deux modelesest rendue possible pour deux raisons. La premiere est queles electrodes sont considerablement eloignees des cellules(les forces images n’interviennent donc que tres peu). Ladeuxieme est due au fait que, le champ electrique appliqueetant uniforme, la longueur caracteristique de variation duchamp electrique induit par un dipole ponctuel est le rayonde la cellule alors que pour la configuration pointe-plan,une autre longueur caracteristique intervient de surcroıt quiest le rayon de courbure de la pointe. Cette longueur, del’ordre du micrometre, est sensiblement inferieure a la tailledes cellules.

Sont reportees sur la Fig. 10 les variations de la forced’interaction mutuelle en fonction de la frequence et ce pourdeux positions relatives des cellules: l’une assez procheet l’autre eloignee (a d=R ¼ 2:5 et 5, respectivement). LaFig. (10a) correspond au cas ou le tampon est une eau salee(tres conductrice) et la Fig. (10b) correspond au cas ou letampon est une eau pure (moins bonne conductrice). Pourles deux cas (eau salee et eau pure) ainsi que pour toutes lesfrequences testees, la force d’interaction mutuelle estattractive. Ceci peut certainement eclaircir la formation dechaıne lorsqu’il s’agit de DEP sur plusieurs cellules, ou l’onconstate un alignement de cellules dans la direction duchamp electrique [6]. Quand le tampon est de l’eau salee, laforce d’interaction mutuelle ne change que tres peu enfonction de la frequence et ce entre les frequences 10Hz et1MHz. A partir de cette derniere frequence, la forced’attraction mutuelle commence a baisser. Quand letampon est de l’eau pure, la force d’interaction mutuellesubit deux variations visibles. La premiere a environ 2 kHzet la seconde a 50MHz. Avant 1 kHz et entre 10 kHz et10MHz, la force presente des paliers.

4. Conclusions

La validite du modele du dipole ponctuel a ete testee parune confrontation avec le modele du tenseur de Maxwellqui prend en compte la perturbation du champ electriquedue a la presence des cellules biologiques. Deux tests ontete effectues sur des Ovocytes de Hamster chinois. Lepremier correspond a une configuration pointe-plan quigenere un champ electrique non-uniforme entre leselectrodes. Pour un tampon tres conducteur, ou la DEPest toujours negative, la force DEP pour les CHO aplatisest presque 2 fois plus elevee que pour les CHO de formespherique; pour les CHO allonges, par contre, la modifica-tion reste infime. Pour un tampon assez peu conducteur, onobtient les memes conclusions aussi longtemps que leregime de DEP est negatif. En revanche, pour desfrequences du champ donnant une DEP positive l’onconstate l’effet inverse: la force pour les CHO allonges peutetre 3 fois plus grande que pour la forme spherique alorsque pour les CHO aplatis la variation est de 40% au plus.Le modele du dipole ponctuel identifie correctement leregime de DEP sauf a proximite de la frequence detransition. Mais il ne donne qu’un ordre de grandeur desforces DEP qui s’exercent sur les CHO de differentesformes.Le deuxieme test porte sur une configuration plan–plan

qui induit un champ electrique uniforme. La force

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d’interaction mutuelle entre deux CHO a ete determinee.Pour des cellules assez eloignees (d=R43), nous retrouvonsles valeurs predites par la loi en ðd=RÞ�4 traduisantl’interaction dipole–dipole. Cette loi est donc valable pourdes milieux biologiques suffisamment dilues.

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