Calcul Tensoriel - contract e des tenseurs a ... Exemple : matrice des contraintes :

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    03-Mar-2018

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Calcul TensorielUniversite de Bretagne SudHerve LAURENT/Gerard RIOversion 2001/20022Table des matieres1 Rappels sur les espaces vectoriels en geometrie differentielle 71.1 Espace vectoriel sur IR [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Sous Espace Vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Base dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Combinaison lineaire de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Espace vectoriel engendre et famille generatrice . . . . . . . . . . 81.3.3 Partie libre, partie liee dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 81.3.4 Base dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Dimension dun espace vectoriel fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Espace vectoriel euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Espace affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Introduction a la notion de tenseurs 112.1 Extension de la notion de vecteurs et scalaires . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Somme de deux sous espace vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Base duale 153.1 Produit scalaire dans une base ~ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Utilisation du symbole de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Definition generale du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5 Composantes contravariantes et covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Changement de base 194.1 Changement de base pour les composantes dun vecteur . . . . . . . . . 194.1.1 Etude du comportement des composantes contravariantes dansun changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.1.2 Etude du comportement des composantes covariantes dans unchangement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Changement de base pour les composantes dun tenseur . . . . . . . . . 215 Operations sur les tenseurs 235.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Addition et multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.4 Contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.5 Produit Contracte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.6 Tenseur symetrique et anti-symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25346 Tenseur metrique ou tenseur fondamental 276.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Coordonnees curvilignes 297.1 Reperes rectilignes et curvilignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 Notion de tenseur absolu et relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Determinant et produit vectoriel 338.1 Tenseur permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.1.1 Expression generale du determinant . . . . . . . . . . . . . . . . 348.1.2 Passage entre 2 bases naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.1.3 Passage entre le repere absolu et le parametrage i . . . . . . . . 358.2 Tenseur permutation absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.3 Produit vectoriel (cross product en anglais) . . . . . . . . . . . . . . . . 368.4 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.5 Element de surface et de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 Derivees et integrales 399.1 Symboles de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.1.1 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.2 Derivee covariante dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409.3 Gradient-Derivee covariante dun scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.4 Derivee covariante dun tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.5 Cas du tenseur metrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.6 Derivees seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.7 Operateur de derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.7.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.7.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.7.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.7.4 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.8 Theoreme de la divergence et du rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . 469.8.1 Theoreme de la divergence : cas dune surface . . . . . . . . . . . 469.8.2 Theoreme de Gauss : cas dune volume . . . . . . . . . . . . . . . 479.8.3 Theoreme du rotationnel ou theoreme de Stockes . . . . . . . . . 47NotationsNotation matricielle :[ ] matrice( ) vecteur colonne< > vecteur ligneNotation indicielle :a . . . h concerne les coordonnees dans le repere cartesien (variant de 1 a 3)i . . . q concerne les coordonnees curvilignes (variant de 1 a 3) . . . concerne les coordonnees curvilignes (variant de 1 a 2)Algebrea, . . . , z; A, . . . , Z scalaire ( IR)a , . . . ,z vecteurs ( IRn)A, . . . , Ztenseurs ( IRn)ij = ij = ij symbole de KroneckerIdtenseur identiteeijk composantes du tenseur permutationijk composantes du tenseur permutation absolu a norme euclidienne du vecteur a|a| = det[a]determinant du tenseur aa .b produit scalaire des vecteurs a etba b produit vectoriel des vecteurs a etba: bproduit contracte des tenseurs aet ba bproduit tensoriel des tenseurs aet bi parametrage curviligneijk symbole de Christoffel de premiere especeijk symbole de Christoffel de seconde espece56Chapitre 1Rappels sur les espaces vectorielsen geometrie differentielle1.1 Espace vectoriel sur IR [5]Definition : Un ensemble de vecteurs e est un espace vectoriel sur IR si leselements de e composes des vecteurs x , y , z , . . . ont les proprietes suivantes :1. Operations daddition (loi de composition interne)(a) Commutativite : x +y = y +x(b) Associativite : x + (y +z ) = (x +y ) +z(c) Element neutre : un vecteur nulO | x +O = x(d) Element symetrique : pour chaque vecteur, un vecteur oppose notex tel que : x + (x ) =O2. Operations de multiplication par un scalaire (loi de composition ex-terne)(a) Pour tout x e on a : 1.x = x(b) Associativite : pour tout x e et pour tous reels et , on a :. (.x ) = (.) .x(c) Distributivite des scalaires par rapport a laddition : pour tout x eet pour tous reels et , on a : ( + ) .x = .x + .x(d) Distributivite des vecteurs par rapport a laddition : pour tout x eet pour tous reels et , on a :. (x +y ) = .x + .yUn espace vectoriel possede les proprietes suivantes :1. Pour tout x , y , z de e : x +y = x +z y = z2. Pour tout x , y de e, il existe un unique vecteur z tel que x = y +z3. Pour tout x e et pour tout reel on a :.x = 0 = 0 ou x = 0781.2 Sous Espace VectorielDefinition : On nomme sous espace vectoriel dun espace vectoriel e, toutepartie e non vide de e stable pour les operations daddition et de multiplicationdefinies sur e. x , y e et pour tout reel et :(x + y ) appartient a eOn montre alors que e est un espace vectoriel muni des operations daddition etde multiplication.1.3 Base dun espace vectoriel1.3.1 Combinaison lineaire de vecteursSoit e un espace vectoriel sur IR et soit (e1 , e2 , . . . , en) un sous ensemble finide vecteurs de e. On appelle combinaison lineaire des vecteurs e1 , e2 , . . . , entout vecteur v tel que :v = 1e1 + 2e2 + + nen =ni=1ieiRq : v est toujours un element de e.1.3.2 Espace vectoriel engendre et famille generatriceLensemble des combinaisons lineaires des vecteurs de toute partie finie(e1 , e2 , . . . , en) dun espace vectoriel e est un sous espace vectoriel de e, ap-pele sous espace vectoriel engendre par : e1 , e2 , . . . , enUne partie G ou famille de vecteur dun espace vectoriel e est dite genera-trice de e si tout vecteur de e est une combinaison lineaire de G.1.3.3 Partie libre, partie liee dun espace vectorielUne partie dun espace vectoriel e sur IR, est dite libre si pour tout nombrefini delements (e1 , e2 , . . . , en) de cette partie on a :ni=1iei =0 = 1 = 2 = = n = 0La partie liee dans le cas contraire.Propriete : si une partie L est une partie liee dun espace vectoriel, alors lunau moins des vecteurs de L est une combinaison lineaire dautres vecteurs de L.91.3.4 Base dun espace vectorielOn nomme base dun espace vectoriel toute partie generatrice et libre decet espace vectoriel. Propriete caracteristique dune base : pour quune partie B dun espacevectoriel e soit une base de e, il faut et il suffit que tout vecteur de e sexprimede facon unique, par une combinaison lineaire dun nombre fini de vecteursde e. Coordonnees dun vecteur dans une base donnee soit B =(e1 , e2 , . . . , en) une base finie dun espace vectoriel e sur IR. Tout vec-teur de e sexprime de facon unique en fonction des vecteurs e1 , e2 , . . . , en,autrement dit il existe des reels x1, x2, . . . , , xn tels que :v = x1e1 + x2e2 + + xnenle n-uplet (x1, x2, . . . , xn) est appele coordonnee du vecteurv dans la base(e1 , e2 , . . . , en).1.4 Dimension dun espace vectoriel finiSi un espace vectoriel e admet une base de n elements, toute les autres basesde e ont egalement n elements, ce nombre delement est appele dimension delespace vectoriel e que lon note dim e.1.5 Espace vectoriel euclidienDefinition : Lespace vectoriel euclidien, note E est un espace vectoriel pos-sedant une operation particuliere, le produit scalaire qui secrit : x , y et z E, on a : x et y x . y IRIl possede les proprietes suivantes :1. Commutativite : x . y = y . x2. Associativite : (x . y ) = (x ) . y3. Distributivite : x . (y +z ) = x . y +x . z4. Si x . y = 0 : x 6= 0 = y = 05. Norme associee au produit scalaire : x =(x . x )Rq : On dit que lespace vectoriel euclidien est proprement euclidien si : x 0.1.6 Espace affine euclidienDefinition : Lespace affine est un espace ponctuel muni dune origine O,associe avec un espace vectoriel euclidien E tel que :101. A et B , il existe a E tel que :AB = a2. a E, il existe un point A unique appartenant a tel que :OA = a3. la distance entre 2 points A et B est egale a :AB = ABSoit (ei ) avec i = 1, . . . , n une base dun espace vectoriel euclidien, de dimensionn. On dit que (O,ei ) forme un repere de lespace affine euclidien.Chapitre 2Introduction a la notion detenseurs2.1 Extension de la notion de vecteurs et sca-lairesLes vecteurs et scalaires permettent de representer un grand nombre de gran-deurs physique : energie, puissance : scalaire, force, vitesse : vecteur.Dou linteret de developper et de codifier les differentes operations que lonpeut effectuer sur les vecteurs et les scalaires (cf. chapitre 1 sur les espacesvectoriels).En fait, la notion de vecteurs peut etre consideree comme une extension de lanotion de scalaires. En effet, un vecteur exprime dans une base est represente parun tableau unidimensionnel de scalaires, cest-a-dire ses coordonnees :V =3i=1V iei(2.1)Dans certaines branches de la physique (ex : la mecanique), on a besoin pourrepresenter certaines grandeurs, de tableaux multidimensionnels.Exemple : matrice des contraintes :[ij]aveci = 1, . . . , 3etj = 1, . . . , 3Ces tableaux sont les composantes dun vecteur exprime dans un repereparticulier : les tenseurs sont donc une extension ou une generalisationde la notion de vecteurs [3], [2], [4], [1].1112Cette notion de tenseurs est fondamentale en Mecanique, en Physique, etc.Elle est assez complexe mais elle permet de representer les grandeurs physiques,les interpreter et faire les calculs dans nimporte quelle base. Elle devientextremement simple et pratique dans le cas dun espace vectoriel euclidien.Dans ce cours, nous allons definir, dans un premier temps, de maniere abstraiteles espaces de tenseurs ainsi que les regles qui les regissent. Dans un deuxiemetemps, nous definirons des tenseurs particuliers au domaine de la geometriedifferentielle (ex : tenseur metrique, tenseur des courbures). Grace a loperationde changement de base, nous donnerons ensuite une definition mathematique dela notion de tenseur.Convention dEinstein : Dans la suite du cours, nous utiliserons la notationdEinstein pour les indices muets : chaque fois quun indice (inferieur ou supe-rieur) est repete, la somme est effectuee sur tous les termes en faisant varier lesindices de 1 a N (voir egalement relation (2.1)) :Ex :Ni=1ai xi = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + + aN xN = ai xi2.2 Somme de deux sous espace vectorielsSoient e et f , deux sous espace vectoriels de dimension n et p dun es-pace vectoriel euclidien affine E, de bases respectives (ei ) et(fj). La methodeclassique pour creer un espace plus grand est dajouter ces deux espaces vectoriels.Sils sont disjoints, cest-a-dire : ef = 0, on obtient un espace de dimensionn+ p genere par la base(ei ,fj). La somme des sous espaces vectoriels e + f estun sous espace vectoriel de E.2.3 Produit tensorielUn espace des tenseurs (il peut en exister dautres) est obtenu a partir duproduit tensoriel despaces vectoriels.Le produit tensoriel des deux sous espaces vectoriel e et f , note e f , permetdobtenir un espace de dimension n.p qui est egalement un espace vectoriel. Leproduit tensoriel des vecteurs de base ei fj conduit a des vecteurs particuliersque lon appelle tenseurs dordre 2. Un element de e f secrit :T= T ijei fj(2.2)13ou T ij sont appelees les composantes du tenseur Texprimees dans labase ei fj . Ces composantes sont identiques a une matrice a 2 dimensions detaille np.On peut egalement definir le produit tensoriel de plusieurs espaces vectoriels.Par exemple, a lordre 3, on a : e e e. Un element de cet espace secrit :W= W ijkei ej ekNB : Dune maniere pratique, dans la suite du cours, si il ny a aucuneindication supplementaire, e sera de dimension 3, cest-a-dire que lespace e dereference est lespace de base compose des vecteurs de base ei avec i = 1, . . . , 3.Les tenseurs dordre 2 seront rapportes a : e e, dordre 3 a : e e e, etc.Proprietes de loperation produit tensoriel :x , x1, x2 e et y , y1 , y2 f and IR1. Distributivite par rapport a laddition vectorielle :x (y1 +y2) = x y1 +x y2(x1 +x2)y = x1 y +x2 y2. Associativite : (x y ) = (x )y = x (y )En general, il ny a pas commutativite : x y 6= y xRemarque : On peut egalement representer les tenseurs sous forme devecteurs uni-colonne puisquun espace de tenseurs est un espace vectoriel, cestce quon appelle loperation de contraction dindices (voir egalement 5).On considere lespace vectoriel de dimension 4, obtenu par le produit tensorielde e e. On note :e1 e1 =U1e2 e2 =U2e1 e2 =U3e2 e1 =U4Et on a alors :T= T 11 e1 e1 + T 22 e2 e2 + T 12 e1 e2 + T 21 e2 e1= 1U1 + 2 U2 + 3U3 + 4 U4Soit : T= T iji et j=1...2ei ej = kk=1...4UkDonc : T 11 = 1 ; T 22 = 2 ; T 12 = 3 ; T 21 = 4Le fait dutiliser des indices doubles, triples, etc permet en fait une plus simplemanipulation.14Chapitre 3Base duale3.1 Produit scalaire dans une base ~eiSoit un espace vectoriel affine euclidien E rapporte a une base ei . Les coordon-nees xi et yj des vecteurs x et y dans la base ei se notent dapres la conventiondEinstein :x = xiei et y = yjejOn definit classiquement loperation du produit scalaire des vecteurs x et ypar :x . y = xi yj ei . ej (3.1)Dans le cas dune base orthonormee, il apparat :ei . ej ={1 si i = j0 si i 6= j(3.2)3.2 Utilisation du symbole de KroneckerOn definit alors un symbole, appele symbole de Kronecker qui donne :ij = ij = ij ={1 si i = j0 si i 6= j(3.3)Si ei est une base orthonormee, la relation (3.1) devient :x . y = xi yi ii = xi yi (3.4)15163.3 Base dualeDe maniere a obtenir une formule analogue a lequation (3.2), mais pour toutespace vectoriel (cest-a-dire pour une base quelconque ei ), on definit une baseduale a ei , noteeei , telle que :ei .ej = ji(3.5)Demonstration : On considere le repere de reference fixeIi . Chaque vecteurde base ei se decompose dansIk par le changement de base suivant :ei = kiIkou ki est la matrice de changement de base :Ik ei cest-a-dire que ki estla k i-eme composante du vecteur ei sur la baseIk . De meme, on suppose quilexiste une base telle que :ej = jlIlLequation (3.5) devient :ei .ej = ij = kiIk jlIl = ki jl kl = ki jk = ijCe que lon peut ecrire sous forme matricielle :[ki].[jk]= [Id]ei etant une base, la matrice[ki]a un determinant non nul (sinon vecteur lies)et on peut donc linverser :[ki]=[jk]1(matrice inverse)Doncej forme donc une base appelee base duale de ei .Interpretation geometrique : Un vecteur dualei est orthogonal a tous lesvecteurs de la base naturelle dindice different et est tel que son produit scalaireavec celui de meme indice est egal a 1.Exemple : Soit un espace vectoriel a 2 dimensions ou la base ei est une basenon-orthogonale (voir figure (3.1)).Dapres la relation (3.5), on a :e1 . e2 = 21 = 0 =e1e2 dou ladirection dee1 .De meme :e1 . e1 = 11 = 1 = cos e1 e1Comme cos 6= 0 sinon e1 colineaire ae1 , on a : e1 = 1e1 cos sens etnorme dee1 idem pour la construction dee2 .17~e1~e2~e2~e1Fig. 3.1 Base naturelle et duale3.4 Definition generale du produit scalaireEn exprimant les vecteurs x et y dans la base dualeei , il vient : x et y , xi et yi IR | x = xiei et y = yjej (3.6)Pour tout type de base, il est alors possible de definir le produit scalairesous la forme :x . y =xiei . yjej = xi yjei .ej = xi yj ij = xi yiouxiei . yjej = xi yjei . ej = xi yj ji = xi yi3.5 Composantes contravariantes et covariantesDapres la relation (3.6), il existe deux composantes possibles xi et xi pourexprimer un vecteur x :x = xiei = xiei (3.7)ou par rapport a la base ei :18 xi sont les composantes contravariantes de x xi sont les composantes covariantes dexChapitre 4Changement de base4.1 Changement de base pour les composantesdun vecteurSoit un espace vectoriel euclidien E, rapporte a une base ei et la base dualeassocieeei . On considere une nouvelle base de E, noteeEi telle que :Ei = jiej (4.1)ou ji est la matrice de changement de base :ej Ei.Pour la base duale, on aura une relation du type :Ei = ijej (4.2)Par definition, on aura :ji kj = ik(4.3)ce qui peut secrire sous forme matricielle :[ji]=[ij]1Remarque : Sous forme matricielle, on notera : indice superieur pour lindice de colonne, indice inferieur pour lindice de ligne.19204.1.1 Etude du comportement des composantes contrava-riantes dans un changement de base x e, on peut ecrire :x = xj ej = x .ek = xj ej .ek = xjjk = xkoux = X iEi = Xi jiej = x .ek = X i jiej .ek = X i ji jk = Xi kiDonc : xk = ki XiOu aussi : X inouvelle composante= ik xkancienne composanteAlors que :Einouveau vecteur= kiekancien vecteurLes composantes xk se transforment de maniere contraire au com-portement des vecteurs de la base initiale ei lors dun changement debase : composantes contravariantes.4.1.2 Etude du comportement des composantes cova-riantes dans un changement de baseDans la base duale, on a egalement :x = xjej = x . ek = xjej . ek = xjkj = xkx = XiEi = Xi ijej = x . ek = Xi ijej . ek = Xi ij kj = Xi ikDonc : xk = ikXiOu egalement : Xinouvelle composante= ki xkancienne composanteAlors que :Einouveau vecteur= kiekancien vecteurLes composantes xk se transforment de maniere identique au com-portement des vecteurs de la base initiale ei lors dun changement debase : composantes covariantes.214.2 Changement de base pour les composantesdun tenseurOn considere un tenseur dordre 2 : T= T ijei ejEn utilisant la base duale, il est possible de definir quatre types de composantes :T= T i..jei ej = T .ij.ej ei = T ijei ej = Tijei ej (4.4)Dou quatre types de changement de base, avec :Ek = ikei etEk = kiei 1er cas :T= T ijei ej = TklEk El = Tkl ik jlei ejLa decomposition etant unique, on a donc :T ij = Tkl ik jl composantes 2 fois contravariantes (4.5)ou linverse : Tkl = T ij ki lj 2eme cas :T= Tijei ej = T klEk El = T kl ki ljei ejDou :Tij = Tkl ki lj composantes 2 fois covariantes (4.6)ou linverse : T kl = Tij ik jl 3eme cas :T= T .ij.ei ej = T .k l.Ek El = T.kl. ki jlei ejDou :T .ij. = T.kl.ki jl composantes mixtes 1 fois covar. et 1 fois contravar.(4.7) 4eme cas :T i..j = Tk..liklj composantes mixtes 1 fois contravar. et 1 fois covar.(4.8)Ces cas se generalisent pour un tenseur dordre n : T= T i1 i2... ir. .. .ir+1 ir+2... in comp. mixtes r fois contravar. et (nr) fois covar.ei1 eir eir+1 ein22Par changement de base, on obtient :T i1 ... ir. .. .ir+1 ... in= i1k1 . . . irkrkr+1ir+1. . . knin Tk1... kr. .. .kr+1... kn(4.9)Cette formule est un critere de tensorialite, cest-a-dire que toutelement ayant des composantes qui satisfait a cette relation lors dunchangement de base est un tenseur.Cette definition est la veritable definition dun tenseur. Pour verifier quuntenseur est bien un tenseur, il faudra que ses composantes verifient lequation(4.9).Chapitre 5Operations sur les tenseurs5.1 IntroductionOn peut definir des operations entre les tenseurs qui donnent comme resultatun tenseur. Dune maniere pratique, on retrouve en physique une signification aces operations.Remarque : Dans toutes les demonstrations, on utilise des tenseurs dordre 2par simplicite et on fait un choix arbitraire de composantes contravariantes.5.2 Addition et multiplication par un scalaireSoit Tet V, 2 tenseurs et IR, on obtient :.(T+ V)= .(T ij + V ij)ei ej5.3 Produit tensorielIl a deja ete etudie dans le paragraphe 2.3 mais on montre que :T V= W= T ijV klei ej ek el= W ijklei ej ek elou Tet Vappartiennent a lespace des tenseurs dordre 2 et Wappartient alespace des tenseurs dordre 4.5.4 Contraction1er exemple Soit un tenseur dordre 4 Alm....rs dans un espace vectoriel de di-mension 3. La contraction par rapport au 1er indice et dernier indice consiste a2324definir un nouveau tenseur en prenant l = s, soit : Alm....rl. Cette operation conduita supprimer 2 indices et donnent un tenseur dordre 2, Btel que :Bm..r = Alm....rl = A1m....r1 + A2m....r2 + A3m....r3 (5.1)Demonstration : Pour verifier que la grandeur Bm..r est un tenseur, il faut ve-rifier le test du changement de base, soit :Bm..r = Bi..j mi jr = Ali....jl mi jrDapres la relation (5.1) et (4.9), on a :Bm..r = Alm....rl = Aki....jf mi jr lk fl kf= Aki....jf mi jr kfEt on verifie bien que Bm..r = Aki....jk mi jr2eme exemple Soit un tenseur du 2eme ordre : S= Smrem er . La contractionpar rapport a lindice m et r donne :Smm = S11 + S22 + S33 = scalaire appele trace du tenseur= trace(S)(5.2)Puisque trace(S)est un scalaire, il ne depend pas du systeme daxe choisi : ondit que cette grandeur est un invariant.5.5 Produit ContracteLe produit contracte est un produit de tenseur dans lequel on contracte egale-ment les indices.1er exemple : cas des vecteurs (produit scalaire) x . y = xi yi produit 1 fois contracte de vecteurs.2eme exemple : cas des tenseurs dordre 21. On admet que le produit 1 fois contracte de tenseurs du 2eme ordre donne :S. T= Wtel que :W ij = Sil T jl = Si1 T j1 + Si2 T j2 + Si3 T j3 = Sil TljouW ji = Sli Tjl = Sil TljouWij = Sil Tlj = Sli TljPar contre, on a : S. T6= T. Sque lon peut presentir par le fait que lamultiplication entre matrices nest pas commutative.252. On admet que le produit 2 fois contracte de tenseurs du 2eme ordre corres-pond a un produit scalaire. On a 2 definitions possibles, suivant la notationutilisee :(i) : T: S= T ij Sij = scalaire(ii) : T.. S= T ij Sji = scalaireEn general : T ij Sij 6= T ij SjiRemarque : Grace au produit contracte, on peut definir un tenseur dordre2 comme un operateur lineaire sur les vecteurs. Par exemple, on peut definir untenseur Ttel que : x E, T| : x y = T. xyi = T ij xjCe produit 1 fois contracte permet de passer dun vecteur x a un autre vecteury .5.6 Tenseur symetrique et anti-symetriquea. Tenseur symetrique du 2eme ordreTest symetrique T ij = T jiouT i..j = Tj..i = T.ij.ouTij = Tjib. Tenseur anti-symetrique du 2eme ordreTest anti symetrique T ij = T jiouT i..j = T j..iouTij = Tjic. Cas dun tenseur dordre > 2 Un tenseur peut etre symetrique ou anti-symetrique par rapport a une paire dindice :T ijk = T kji (symetrie par au 1er indice et 3eme indice)26Chapitre 6Tenseur metrique ou tenseurfondamental6.1 DefinitionsSoit un espace vectoriel euclidien affine E, rapporte au repere cartesien absoluIi et une base quelconqueei . Dapres la relation (3.7), x E, on peutexprimer ce vecteur dans la base naturelle ou duale par :x = xiei ou x = xjej (6.1)Dou, le calcul des composantes dun vecteur :x . ei = xjej . ei = xj ij = xiGrace a la relation (6.1), on peut egalement remarquer que :xi =x . ei = xj ej . eiCe qui permet dintroduire une nouvelle grandeur telle que :gij = gji =ei . ej = ej . ei (6.2)introduisant une relation entre les composantes covariantes et contravariantes :xi = gij xj (6.3)De la meme maniere, on a :xi =(xjej).ei = xjei .ej = xj gijxi = xj ej .ei = xj ij = xj gij = xj gji2728Les grandeurs gij apparaissent comme les composantes dune operation lineairequi a un vecteur fait correspondre le meme vecteur. Cest un tenseur (voir demoen exo) appele tenseur fondamental ou tenseur metrique ou tenseur unitetel que :g= gijei .ej = gij ei . ej = jiei .ej = Id (6.4)Remarque : Cette notion de tenseur metrique est essentielle. Ce tenseur aun role particulier, il permettra dintroduire la notion de deformation en grandestransformations dans le cours de Mecanique des Milieux Continus.6.2 Proprietes gij =ei . ej = ei ej cos (ei ,ej ) gii represente le carre de la longueur deei : gii = ei . ei =ei ei cos (ei ,ei ) =1 On note le determinant de gij : det [gij] = gg = det [gij] =| gij |= det g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33 (6.5)Remarque : Les composantes du tenseur metrique permettront egalement le pas-sage entre les differentes variances des composantes dun tenseur. Par exemple :T ij = T il glj (6.6)Chapitre 7Coordonnees curvilignes7.1 Reperes rectilignes et curvilignesLa position dun point M peut etre repere dans un systeme de reference fixeorthonorme, appele repere cartesien (ou repere rectiligne)Ia . On a alors :OM =M = Xa (M)Ia = XaIa (7.1)Mais les coordonnees Xa peuvent etre fonctions de parametres i avec i = 1, . . . , 3.On a ainsi : i IR M (i)Dans le cas general, les termes Xa sont des fonctions qui dependent de i. On aalors :OM =M = Xa (i)Ia(7.2)Les i forment un systeme de coordonnees appelees coordonnees curvilignes.Ces coordonnees definissent un repere curviligne gi qui evolue dans le temps etdepend du point M choisi :gi =OMi=Xa (i)iIa = Xa,iIa(7.3)Remarque : On suppose que les fonctions Xa (i) sont n fois differentiables parrapport a i.Les vecteurs gi sont tangents a la courbe decrite par M lorsque seul le para-metre i varie (voir figure(7.1)).La base gi (base naturelle) est appelee egalement base curviligne relati-vement au parametrage i. On definira de la meme facon, la base dualegi de labase curviligne gi par :gj .gi = ij (7.4)2930g 3123MOe 3e 2e 1g 2g 1Fig. 7.1 Definition des vecteurs de base giOn a une relation entre Xa et i definit par la transformation des coordonneesXa i et caracterise par la matrice jacobienne :[J ] =[Xai](7.5)Dans le cas ou le determinant de la matrice jacobienne de la transformation :fi : Xa i est different de 0, la transformation est reversible.Il existe alors la fonction : pi : i Xa, et donc fi et pi sont des bijections.7.2 Changement de baseSoit 2 parametrages curvilignes i et i et les bases curvilignes associees gjetgi. Supposons que lon peut exprimergi en fonction degj , cest-a-dire quilexiste la matrice de changement de base ji telle que :gi = jigj (7.6)Cherchons a expliciter les termes ji .On sait que : gj =Mj=XkjIk etgi =XkiIkDonc avec la relation (7.6) :XkiIk = jiXkjIk31Or, on peut ecrire :Xki=Xkj.ji,et il vient :ji =ji(7.7)ce qui correspond a la matrice jacobienne de la transformation j i.Soit un tenseur Tdu 2nd ordre definit en un point M . Les composantes de cetenseur dans les bases gi gj etgi gj secrivent :T= T ijgi gj = T ijgi gjOn sait que : T ij = T kl ik jl . Dapres (7.7), on a donc :T ij = T klikjl(7.8)ce qui correspond a une nouvelle definition du critere de tensorialite que nousavons deja vu au paragraphe 4.2.La relation inverse secrit :T kl = T ijkilj(7.9)Les regles de transformation des composantes dun tenseur, n fois contravariant,p fois covariant sont donnees par :T i1...inj1...jp=i1i1. . .inin.j1j1. . .jpjpT i1...inj1...jp(7.10)Remarque : Dans le cas ou les grandeurs T ij sont definis M et que laformule (7.8) est verifiee M , on parle de champ de tenseurs. Dans la pratique,cest le cas le plus utilise et on oublie souvent le terme champ, on parle alorssimplement de tenseur lorsquil ny a pas de confusion possible.Exemple dapplication : Soit un tenseur Texprime dans la base naturellegi , on veut ces composantes dans le repere absoluIk :T= T ijgi gj = T klIk Il- methode 1 : on utilise la formule de changement de base (7.8) ou i sontles anciennes coordonnees et Xj sont les nouvelles coordonnees, soit :T kl= T ijXkiX lj32- methode 2 :T ijgi gj = T ij(XkiIk)(X ljIl)= T ijXkiX ljIk Il= T klIk Il7.3 Notion de tenseur absolu et relatifSoit 2 systemes de coordonnees i et i et la matrice jacobienne de passagedun systeme a lautre :[J ] =[ki](7.11)Le jacobien de la transformation correspond au determinant de la matrice jaco-bienne J soit | J |. On dit quun tenseur est relatif de poids M sil se transformeselon la formule :T kl = T ij | J |M kilj(7.12)Lorsque M = 0, on parlera de tenseur absolu. Dans la pratique, les seuls tenseursrelatifs utilises seront de poids 1 ou 1.A part les operations de changement de base, les operations sont identiques pourles tenseurs relatifs et absolus.NB : Le produit dun tenseur relatif de poids 1 et dun de poids 1 donne untenseur absolu. On peut toujours obtenir un tenseur absolu a partir dun tenseurrelatif, soit en le multipliant ou en le divisant par | J |.Chapitre 8Determinant et produit vectoriel8.1 Tenseur permutationOn definit le symbole de permutation par : eijk = eijk tel que : eijk = 1 pour toute permutation cyclique (ou paire) de 123 (ex : e231 ou e312), eijk = 1 pour toute permutation anticyclique (ou impaire) de 123 (ex : e213ou e321 ou e132), eijk = 0 lorsque 2 ou 3 indices sont egaux (ex : e112 = 0).Il existe 27 sequences possibles.Le symbole de permutation est utilise pour le calcul du determinant.On cherche a calculer le determinant du 3eme ordre :| aij | =a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33Par definition, on a :| aij | =3ijk ai1 aj2 ak3(8.1)ou respecte la regle du tenseur de permutation.Donc le calcul du determinant donne :| aij | = eijk ai1 aj2 ak3 = eijk a1i a2j a3k(8.2)Exemple : Expression dun tableau de nombre anti-symetrique (dordre 3) :Le tableau amnp est anti-symetrique lorsque pour toute intervention impaire din-dice, on obtient une valeur opposee, cest-a-dire :amnp= anmp=anpm= apnmDonc : annp= annp= 0 0 = anpn=apnn=annmEn utilisant le symbole de permutation, on a : amnp=a123emnp33348.1.1 Expression generale du determinantOn considere lexpression :eijk air ajs akt (8.3)Puisque les indices k et i sont muets, on peut ecrire :ekji akr ajs ait = ekji ait ajs akr = eijk ait ajs akrCe qui montre que la relation (8.3) correspond a un tableau anti-symetrique, etdonc :(8.3) =(eijk ai1 aj2 ak3)erst = | aij | erstDou :eijk air ajs akt = | aij | erst (8.4)Lexpression (8.4) conduit a :| aij | | bji |=| ail blj | et | gij | = g =| gij |18.1.2 Passage entre 2 bases naturellesSupposons que lon passe dun systeme daxe a un autre :gi giet i iLa matrice de passage est [J ] = [ji] et son determinant est note a.On sait que : gi= jigj avec ji =ji.On calcule le determinant du tenseur metrique :g =| gij |=| gkl ki lj |=| gkl | | ki | | lj |= g | J | | J |Donc :g = g a2 (8.5)g et g sont des scalaires qui lors dun changement de base varient : ce sont desscalaires relatifs de poids 2.358.1.3 Passage entre le repere absolu et le parametrage iOn considere le changement de parametrage :X i iDans le repere de reference absolu, de coordonnees X i, on a :Ii =gi =gi =XjX iIjDou : gij = gij = ij et il vient alors : | gij |= g = 1Dans le repere curviligne, de parametrage i :gi=XjiIj avec : g =| g ij | et J =[Xji]Dapres la relation (8.5), on a donc :g =| J |2 (8.6)8.2 Tenseur permutation absolu Dans le repere de reference absolu, on definit un nouveau symbole de permu-tation tel que : ijk = eijk dont les composantes secrivent := ijkIi Ij IkPour passer dans le repere curviligne gi , il faut effectuer un changement de base :eijk = rstX irXjsXktou le changement de base inverse :ijk = erstiXrjXskX tDapres la definition des determinants (8.4), on a :ijk =| pXe| eijkOn sait que : | Xep|= g donc : | pXe|= 1gEt donc :ijk =1geijk(8.7)On montre de la meme maniere que :ijk =g eijk (8.8)368.3 Produit vectoriel (cross product en anglais)On generalise le produit vectoriel traditionnel par la notation :gi gj = ijkgk (8.9)On a egalement pour les vecteurs de la base duale :gi gj = ijk gk (8.10)Remarque : Dans le repere de reference absolu, on retrouve :I1 I2 =g1 g2 = 123g3 =I3Proprietes :1. Anti-symetrique : pour la base naturelle : gi gj = ijkgk = jikgk = gj gi pour la base duale :gi gj = gj gi2. le vecteur obtenu est normal a chaque vecteur du produit vectoriel (si leproduit est non nul). Soit :gk est a gi et gj si i 6= j, j 6= k et i 6= k3. le produit vectoriel de 2 meme vecteur est nul :gi gi = iikgk =04. distributivite :(gi + gj ) gk = (gi gk) + (gj gk)On etend le produit vectoriel a tous vecteurs a laide de la decomposition dans labase naturelle.Soient deux vecteurs :V = V igi etW = W j gj , il vient avec (8.9) :V W = V iW j gi gj = V iW j ijkgk (8.11)Que lon peut aussi ecrire avec (8.8) :q =V W = V iW j gi gj = V iW j eijkggk37Le produit vectoriel donne un vecteur identique la base :V W = V iW j eijkggk = V aW b abcIc =qOn sait egalement que :V W = V W sin avec =(V ,W)Donc q =V W represente la surface du parallelogramme de coteV etW .8.4 Produit mixteDefinition : le produit mixte est le produit scalaire dun vecteur avec unproduit vectoriel :(V W).T =(V iW j ijkgk).(T kgk)= V iW j T k ijk (8.12)Les 3 vecteurs jouent un role identique dans la formule :(V W).T =V .(W T)Le produit mixte de 3 vecteurs correspond au determinant des composantes desvecteurs :(V W).T =| | |V i W j T k| | |(dans la base curviligne)=| | |V a W b T c| | |(dans le repere absolu)= (volume du parrallelepipede forme parV ,W,T )Remarque : Cas particulier des vecteurs de la base naturelle :g1 g2 .g3 = 12kgk .g3 = 123g3 .g3 =gg est le volume du parallelepipede forme par g1 , g2 et g3 . Ce volume est unscalaire relatif de poids 1.8.5 Element de surface et de volumeUn element de surface secrit : dA = dr ds = dri dsj eijkggkDou les composantes :dAk = dri dsj ijk (8.13)38Un element de volume secrit : dV = dr ds . dtDou les composantes :dVk = dri dsj dtk ijk (8.14)Exemple :. Cas des coordonnees curvilignes i :dV =(d1g1)(d2g2).(d3g3)= (g1 g2) .g3 d1 d2 d3=g d1 d2 d3. Dans le repere absolu, on a :dV = dX1 dX2 dX3Chapitre 9Derivees et integrales9.1 Symboles de ChristoffelOn cherche a deriver un vecteur ~V par rapport a un parametrage i, soit :dVdi=V,i =(V jgj),i= V j ,igj + V jgj,i (9.1)dans cette expression, seule gi,j nest pas connue.On introduit alors un symbole, appele symbole de Christoffel, qui permetdexprimer la derivee des vecteurs de base par rapport a la base. On note :gi,j =2OMij= ijkgk(9.2)gi,j = ikj gk (9.3)Avec (9.3), on obtient :ijk =gi,j .gk(symbole de Christoffel de 1ere espece)(9.4)ikj =gi,j .gk(symbole de Christoffel de 2eme espece)(9.5) est appele symbole de Christoffel. On le note egalement : {ijk} et { ikj} ouencore [i, j, k] ou [ ijk]. Les ne sont pas des tenseurs mais leurs composantespossedent quelques proprietes ressemblantes.39409.1.1 Proprietes1. symetrie par rapport au 1er indice(1ere espece):pqr = qpr (9.6)2. symetrie par rapport au 1er indice et dernier indice(2eme espece):ikj = jki(9.7)3. passage 1ere espece 2eme espece :pqr = grspsq(9.8)4. derivee de la metrique :gpq,m =gpqm= pmq + qmp(9.9)5. formule particuliere :2 ijk = gjk,i + gki,j gij,k (9.10)6. dans la base duale :gj ,k = kjigi (9.11)9.2 Derivee covariante dun vecteurEn reprenant la formule (9.1) de derivation de vecteur et en y integrant lessymboles de Christoffel, on obtient :V,j = Vi,jgi + V i ikj gk =(V i,j + Vkkij).gi = V i|j giOn definit alors V i|j la derivee covariante des composantes contravariantesdu vecteurV par :V i|j = Vi,j + Vk kijavecV,j = Vi|jgi (9.12)41Dune maniere identique, en covariant :V,j = Vi,jgi + Vigi ,j = Vi,jgi Vi j ikgk=(Vi,j Vkikj) giOn definit ensuite Vi|j la derivee covariante des composantes covariantesdu vecteurV par :Vi|j = Vi,j Vk ikj (9.13)Dou la differentielle absolue dun vecteurV :dV = Vi|j dj gi =V,j dj=(Vi,j dj + V k kij dj) giRemarque : On note egalement : la derivee covariante des composantes par : V i|j = 5j V i la composante de la differentielle absolue par :dV i = V i|j dj = 5V i avec dV = dV igi = 5V igiLes composantes Vi|j sont les composantes (2 fois covariantes) dun tenseur.Demonstration :On considere le changement de base : gi gidou :gi= jigj =jigj On a :V,j =Vj= Vi|jgi(9.14)On peut egalement ecrire :V,j =Vi.ij= Vm|igmij (9.15)On calcule alors les produits scalaires suivant :(9.14) .gk= Vi|jgi.gk= Vi|j ji = Vk|j(9.15) .gk= Vm|igm ijgk= Vm|igm ij lkgl = Vm|i ij lk lm= Vl|i ij lkDonc :Vk|j = Vl|i ij lkCe qui correspond bien aux composantes dun tenseur (verification par unchangement de base) dont le 2eme indice est covariant : dou le nom de derivee42covariante.On montrerait de la meme facon que V i|j sont les composantes mixtes dunmeme tenseur :Vi|j gik = V k |j (9.16)On definit egalement les composantes 2 fois contravariantes par :V k|l = Vi|j gik gjl (9.17)Et mixte de second ordre par :Vk|l = Vi|j gjl (9.18)NB :dans un repere orthonorme : Ii,j = 0 = ikj = ijk = 09.3 Gradient-Derivee covariante dun scalaireSoit un scalaire : = (i)On considere la derivee partielle :i= ,iLors dun changement de base : gi gi, on montre que ,i se comporte commeles composantes dun vecteur :,i = ,jjiLa derivee covariante du scalaire est obtenue simplement par :|i = ,iOn note alors le vecteur gradient par :grad = |igi = ,igi (9.19)Donc : d = |i di = ,i di =grad dLa direction degrad () correspond a la direction de variation maximum de .439.4 Derivee covariante dun tenseurOn considere le tenseur du 2nd ordre : T= T ij gi gjOn calcule le produit contracte avec 2 vecteursU etV quelconques :(T.U).V = T ij Ui Vj = a = scalaireOn derive le scalaire :a,k = Tij,k Ui Vj + Tij Ui,k Vj + Tij Ui Vj,kOr : Ui|k = Ui,k UlilkDonc :a,k = Tij,k Ui Vj + Tij Ui,j Vk + Tij Ui Vj|k + Tij(ilk Ul Vj + jlk Ui Vl)(9.20)On note alors :T ij |k Ui Vj = Tij,k Ui Vj + Tij ilk Ul Vj + Tij jlk Ui Vl=(T ij ,k + Tljlik + Tilljk)Ui VjDonc (9.20) donne :a,k = Tij|k Ui Vj (1)+T ij Ui|j Vk (2)+T ij Ui Vj|k (3)(9.21)dans cette expression, a,k correspond a des composantes covariantes U ,V . Dememe (2) et (3) sont egalement des composantes covariantes. Donc (1) doit letreegalement.Dou finalement :T ij |k = Tij,k + Tlj lik + Til ljk (9.22)ce sont les composantes contravariantes dun tenseur du 3eme ordre (2 fois contra-variant et 1 fois covariant).On montre de meme que les derivees covariantes des differentes composantesdonnent : Tij|k = Tij,k Tlj ilk Til kljT ij|k = Tij,k + Tlj kil T il j lkTij|k = Tij,k Tj l ilk Til kjl(9.23)Les composantes de la differentielle absolue secrivent pour un tenseur du 2ndordre : T= T ij gi gjdT= 5T ijgi gj soit : 5 T ij = T ij |k dk44Remarque :On aurait aussi pu ecrire pour le calcul de T ij |k :Tk= T ij ,kgi gj + T ij ilkgl gj + T ij j lkgi gl=(T ij ,k + Tij lik + Til ljk) gi gj= T ij |kgi gj9.5 Cas du tenseur metriqueLa derivee covariante, produisant un tenseur, celui-ci peut etre evalue dans lerepere que lon veut. On choisit le referentiel absoluIa . le point considere, ona dans le referentiel absoluIa :gij = gij = ij = gij et ikj = 0Donc :gij,k = 0 = gij,k = gij,kDou le theoreme de Ricci : les derivees covariantes des composantes du tenseurmetrique sont nulles :gij|k = gij|k = 0(9.24)9.6 Derivees seconde(a titre dinfo)Vi|j est un tenseur du 2nd ordre, donc : Vi|j = Aij. On peut alors calculer la deriveecovariante de ce tenseur.Apres un developpement, on obtient :Vi|jk Vi|kj = Vm(imk,j imj,k + lmjilk lmkilj)(9.25)= VmRmijk (9.26)ou Rmijk est le tenseur de Riemann-Christoffel.Cette equation est vraie quelquesoit le repere.En 3D, dans le repere de referenceIa , on a Rmijk = 0 et on peut permuter lesindices.459.7 Operateur de derivationOn introduit loperateur de derivation (ou operateur Nabla) tel que :5 =gkk(9.27)lequel definit loperation ou apres multiplication pargk , une fonction doit etrederivee par rapport a k.Soit, par exemple : un scalaire :5 =gkk= ,kgk (voir aussi paragraphe 9.3) (9.28) u un vecteur :5 . u =gk .uk= u,k .gk (9.29) u un vecteur :5u =gkk u =gk u,k = rotu (9.30)9.7.1 Gradient(voir aussi paragraphe 9.3)Le gradient dune fonction scalaire est un vecteur definit par :grad = 5 = kgk = ,kgk (9.31)Le gradient dun vecteur u est un tenseur du 2nd ordre :gradu = ukgk = u,k gk = ui|kgi gk (9.32)9.7.2 DivergenceLa divergence dun vecteur u est un scalaire absolu definit par :divu = gradu : I= uk |k = uk|k = trace(ui|j)= u,k .gk = 5 . u (9.33)Par exemple, dans le repere fixe cartesienIa :divv = v1|1 + v2|2 + v3|3469.7.3 RotationnelDapres la definition du produit tensoriel (8.9), le rotationnel dun vecteur uest donne par :rotu = 5u =gk u,k =gi u|i =gi (uj|i)gj = ijk uj|igk = ijk uj|igk(9.34)Par exemple, dans le repere fixe cartesienIa :rotu =X1X2X3 u1u2u3=(u3X2 u2X3)I1 +(u1X3 u3X1)I2 +(u2X1 u1X2)I3Soit :rotu =(X iIi)(ujIj)=X iuj eijkIk= uj,i eijkIk9.7.4 LaplacienLe laplacien est defini comme etant la divergence du gradient, soit :52 = div(grad)Soit :52 = ui |i= |ii (9.35)9.8 Theoreme de la divergence et du rotationnel9.8.1 Theoreme de la divergence : cas dune surfaceSoit un contour ferme (C), entourant une surface plane (S) defini dans le plan(I1 ,I2)et soit u , un champ de vecteurs (voir figure(9.1)).La formule de la divergence est donnee par :(S)div (u ) dS =(C)u . dn (9.36)47I3(S)(C)dsdn = ds I3Fig. 9.1 Theoreme de la divergence : cas dune surfaceou n est la normale exterieure au contour (C).Or :u . dn = u dndiv (u ) = u| = u |Dou en coordonnees : (S)u | dS =(C)u dn (9.37)9.8.2 Theoreme de Gauss : cas dune volumeSoit un volume (V ) limite par une surface (S), on a :(V )divu dV =(S)u n dS (9.38)(9.39)Dou en coordonnees : (V )ui |i dV =(S)ui ni dS9.8.3 Theoreme du rotationnel ou theoreme de StockesCe theoreme permet le passage dune integrale sur le contour (C) a une integralesur une surface (S) : (C)u dn =(S)rotu dS (9.40)48Bibliographie[1] Y. Basar and D. Weichert. Nonlinear Continum Mechanics of Solids - Fun-damental mathematical and physical concepts. Edition Springer-Verlag BerlinHeidelberg, New York, 2002.[2] L. Brillouin. Les tenseurs en mecanique et en elasticite. Edition JacquesGabay, Paris, 1938.[3] W. Flugge. Tensor Analysis and Continuum Mechanic. Edition Springer-Verlag Berlin Heidelberg, New York, 1972.[4] J. Garrigues. Elements dalgebre et danalyse tensorielle a lusage des me-caniciens. http ://www.esm2.imt-mrs.fr/gar/tenshtml/index.html, Marseille,1999.[5] Homeomath. Le site des maths a petites doses. http ://homeo-math.chez.tiscali.fr/ev.htm, Paris, 2002.4950Exercices de Calcul Tensoriel5152 Exercices de Calcul TensorielExercices de Calcul Tensoriel 53Convention dEinstein1. Ecrire chacune des expressions suivantes en utilisant la convention dEin-stein :a. aj1x1 + aj2x2 + . . .+ ajNxNb. ds2 = g11dx1dx1 + g22dx2dx2 + g33dx3dx3c. d =x1dx1 +x2dx2 + . . .+xndxn2. Ecrire les termes dans les sommes suivantes :a. ApqAqr avec q = 1, . . . , Nb. grs = gjkxjxr.xkxsavec N = 3c. ~ei =[ji]~Ej avec i, j = 1, . . . , 3Composantes covariantes et contravariantes3. Soit un repere ~ei avec (i = 1, 2, 3) dorigine O, tel que ~e1 soit orthogonal a ~e2,mais tel que ~e3 ne soit pas orthogonal au plan (~e1, ~e2). On effectue le changementde base suivant :~E1 = ~e1 ~E2 = ~e2 ~E3 = ~e3a. Un vecteurOM = ~x a pour composantes (x1, x2, x3) dans la base ~ei.Donner ces composantes contravariantes X i dans la base ~Ei.b. Donner les matrices de changement de base pour les vecteurs de base etles composantes de ~x. Ecrire ces expressions sous forme tensorielle.4. On considere un tenseur mixte dordre 2, note t.ij. defini dans la base ~ei. t.ij.est symetrique et vaut : [t.ij. ] =[1 22 3]On considere ensuite une seconde base~Ej se deduisant de la base ~ei par la matrice de changement de base :[[ji]]=12141214Determiner les nouvelles composantes T .kl. du tenseur t.ij. dans la base~Ei. Lasymetrie est-elle conservee dans le changement de base ? 5. Soit tij un tenseurantisymetrique dans IR3, soit :tij = tji54 Exercices de Calcul Tensoriela. Montrer que tij est caracterise par 3 composantes independantes.b. Comment se transforme ces composantes dans un changement de repere ?c. Lantisymetrie est elle independante du repere (c-a-d quun tenseur anti-symetrique dans une base, lest-il dans une autre) ?Tenseur metrique6. Soit IR2, lespace dans lequel on definit la base ~e1 (2, 1) et ~e2 (1, 1)a. Calculer les elements du tenseur metrique gij.b. Determiner les vecteurs ~ej de la base duale.c. Calculer les elements du tenseur metrique gkl.7. Soit le tenseur metrique de composantes : [gij] =[2 11 1]dans la base~ei de IR2.a. Soient 2 vecteurs ~U et ~V tel que :~U = U i~ei = ~e1 ~e2~V = V j ~ej = ~e1Determiner les composantes covariantes des 2 vecteurs puis les quantites :~U . ~U, ~V . ~V et ~U . ~Vb. On effectue le changement de base ~Ei =[ji]~ej avec[ji]= 0 11 1Calculer les nouvelles composantes du tenseur metrique Gij dans la nouvellebase. Donner les nouvelles composantes covariantes et contravariantes de ~Uet ~V et les produits scalaires ~U . ~U , ~V . ~V et ~U . ~V8. Soit la base ~ei dans IR2 dans laquelle le tenseur metrique a pour composantes :[gij] = 2 11 1Soit tijk un tenseur dont ses composantes dans ~ei sont :t111 = 0 ; t112 = 1 ; t121 = 1 ; t122 = 2t211 = 3 ; t212 = 0 ; t221 = 2 ; t222 = 4Determiner : Uk = tiik, Vk = tiki puis Vk et UiVi. Indiquer a chaque fois loperationutilisee et la nature du resultat obtenu. 9. Soit IR3 lespace dans lequel on definitune base :~e1 = ~I2 + ~I3~e2 = ~I1 + ~I3~e3 = ~I1 + ~I2Exercices de Calcul Tensoriel 55a. Calculer les elements du tenseur metrique gij.b. Calculer les elements du tenseur metrique gkl.c. Determiner les vecteurs ~ej de la base dualed. Soient 2 vecteurs ~U et ~V tels que :{~U = 2 ~e1 + 3 ~e2 ~e3~V = ~e1 ~e2 + ~e3Calculer ~U . ~VSystemes de coordonnees spheriques10. Soit le systeme de coordonnees spheriques (voir figure (9.2)) :1 = 2 = 3 = Un point M dans le repere cartesien secrit :OM = X i~Ii.0I1I2I3MFig. 9.2 Systemes de coordonnees spheriquesa. Determiner les composantes du point M en fonction des coordonnees sphe-riques.b. Calculer les composantes des vecteurs de base ~gic. Calculer le tenseur metrique covariant gijd. Calculer le tenseur metrique contravariant gije. Calculer les coefficients de la matrice de changement de base ia =X iade ~Ia a ~gi56 Exercices de Calcul Tensoriel11. Un tenseur du 1er ordre covariant Ai a pour composantes dans le reperecartesien :X1X2, 2X2 (X3)2, X1X3 (9.41)Trouver ces composantes Aj covariantes en coordonnees spheriques.Changement de baseDans les trois exercices suivants, on suppose un changement de base entredeux parametrages curvilignes i et j.12. Montrer queApqnest pas un tenseur, sachant que Ap est un tenseurdordre 1.13. Si Apqr et Bst sont des tenseur, demontrer que Cpqsrt = Apqr . Bst est aussi untenseur.14. Demontrer que la contraction du tenseur Apq est un scalaire ou un invariant.15. Prouver que |gij| = |gij|1 = gDerivees covariantes16. Determiner les symboles de Christoffel pqr et rpq pour les coordonneesorthogonales, c-a-d pour les coordonnees telles que le tenseur metrique : gpq = 0pour p 6= q17. Soit le systeme de coordonnees polaires 1 = r et 2 = et un vecteur~V definit par :~V = Vigi ={V1 = A cos V2 = Arsin (9.42)a. Calculer les vecteurs de base ~gi associes aux coordonnees polairesb. Calculer les tenseurs metriques gij et gijc. Calculer les derivees covariantes de ~VRappels sur les espaces vectoriels en gomtrie diffrentielleEspace vectoriel sur IR HOM:02Sous Espace VectorielBase d'un espace vectorielCombinaison linaire de vecteursEspace vectoriel engendr et famille gnratricePartie libre, partie lie d'un espace vectorielBase d'un espace vectorielDimension d'un espace vectoriel finiEspace vectoriel euclidienEspace affine euclidienIntroduction la notion de tenseursExtension de la notion de vecteurs et scalairesSomme de deux sous espace vectorielsProduit tensorielBase dualeProduit scalaire dans une base Utilisation du symbole de KroneckerBase dualeDfinition gnrale du produit scalaireComposantes contravariantes et covariantesChangement de baseChangement de base pour les composantes d'un vecteurEtude du comportement des composantes contravariantes dans un changement de baseEtude du comportement des composantes covariantes dans un changement de baseChangement de base pour les composantes d'un tenseurOprations sur les tenseursIntroductionAddition et multiplication par un scalaireProduit tensorielContractionProduit ContractTenseur symtrique et anti-symtriqueTenseur mtrique ou tenseur fondamentalDfinitionsPropritsCoordonnes curvilignesRepres rectilignes et curvilignesChangement de baseNotion de tenseur absolu et relatifDterminant et produit vectorielTenseur permutationExpression gnrale du dterminantPassage entre 2 bases naturellesPassage entre le repre absolu et le paramtrage iTenseur permutation absolu Produit vectoriel (cross product en anglais)Produit mixteElment de surface et de volumeDrives et intgralesSymboles de ChristoffelPropritsDrive covariante d'un vecteurGradient-Drive covariante d'un scalaireDrive covariante d'un tenseurCas du tenseur mtriqueDrives secondeOprateur de drivation GradientDivergenceRotationnelLaplacienThorme de la divergence et du rotationnelThorme de la divergence : cas d'une surfaceThorme de Gauss : cas d'une volumeThorme du rotationnel ou thorme de Stockes

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