C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 321–324, 2001Systèmes dynamiques/Dynamical Systems(Analyse harmonique/Harmonic Analysis)

Caractérisation spectrale des systèmes dynamiquesdu type Wiener–WintnerIdris ASSANI

Department of Mathematics, UNC Chapel Hill, NC 27599, USACourriel : assani@math.unc.edu

(Reçu le 9 septembre 2000, accepté après révision le 3 novembre 2000)

Résumé. Soient(X,B, µ,T ) un sytème dynamique ergodique sur l’espace mesuré fini(X,B, µ,T )etK son facteur de Kronecker. Nous donnons une caractérisation spectrale des fonctions dutype Wiener–Wintner introduites dans [1] à l’aide de la transformée de Hilbert ergodiquehélicoïdale fractionnaire. Nous introduisons et étudions les fonctions et systèmes du typeWiener–Wintner faible. Nous définissons des capacités pour l’opérateurU , restriction deTsur l’orthogonal du facteur de Kronecker et nous montrons que les systèmes dynamiques dutype Wiener–Wintner faible sont caractérisés par ces capacités. L’étude du casL2 conduità de nouvelles classes de systèmes dynamiques. 2001 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

Spectral characterization of Wiener–Wintner dynamical systems

Abstract. Let (X,B, µ,T ) be an ergodic dynamical system on the finite measure space (X,B, µ,T )and K its Kronecker factor. We give a spectral characterization of the Wiener–Wintnerfunctions we introduced in [1] in terms of the a.e. continuity of the fractional rotatedergodic Hilbert transform. We introduce and study weak Wiener–Wintner functions andweak Wiener–Wintner dynamical systems. We define the logarithmic and power capacitiesof U , the restriction of T onto K⊥ and we show that weak Wiener–Wintner dynamicalsystems are characterized spectrally by these capacities. The study of the L2 case leads tonew classes of dynamical systems. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques etmédicales Elsevier SAS

1. Introduction, résultats

Soit (X,B, µ, T ) un système dynamique ergodique sur l’espace mesuré fini(X,B, µ). Dans [1] nousavons introduit et étudié les sytèmes ergodiques que nous avons appelé sytèmes du type Wiener–Wintner.Un intérêt de ces fonctions est que pour de telles fonctions et de tels systèmes des théorèmes ergodiquesdifficiles comme les théorèmes des temps de retour (J. Bourgain, H. Furstenberg, Y. Katznelson etD. Ornstein, [5]) et le théorème de récurrence double (J. Bourgain, [4]) peuvent être démontrés facilement.On obtient aussi pour ces systèmes des propriétés remarquables de convergence et de continuité de séries

Note présentée par Jean-Pierre KAHANE.

S0764-4442(00)01818-8/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 321

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de Fourier aléatoires. L’idée de base derrière ces fonctions et ces systèmes est l’étude de la vitesse deconvergence dans le théorème de Wiener–Wintner [8]. Des exemples de systèmes de ce type ont été donnésdans [1]. Ce sont les systèmes à spectre discret, lesK-automorphismes et certains produits croisés [1]et [3]. Tous ces exemples ont montré que la classe des systèmes du type Wiener–Wintner n’est caractérisée,ni par l’entropie, ni par les critères usuels du spectre (singulier ou de Lebesgue) deT . Nous affinons ici lesdéfinitions de ces systèmes et de ces fonctions afin de tenir compte de la nature de l’espaceLp et d’étudierdivers types de vitesse de convergence.

DÉFINITION 1. – Une fonctionf est une fonction Wiener–Wintner de type puissanceα (resp. de typefaible de classeα) dansLp s’il existe des constantes finiesCf etα telles que :

∥∥∥∥∥ supε

∣∣∣∣∣1

N

N∑n=1

f(T nx

)e2πinε

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

1

� Cf

Nα,

(resp. supε

∥∥∥∥∥1

N

N∑n=1

f(T nx

)e2πinε

∥∥∥∥p

� Cf

[log(N + 1)]1+α),

pour tout entier positifN .

DÉFINITION 2. – Le système ergodique(X,B, µ, T ) est du type Wiener–Wintner de puissanceα (resp.faible de puissanceα) dansLp s’il existe dans l’orthogonal du facteur de Kronecker un ensemble dense defonctions Wiener–Wintner de type puissanceα (resp. de type faible de classeα) dansLp.

Par la suite nous désignerons parK le facteur de Kronecker et parK⊥ son orthogonal. Il n’est pas difficilede noter que si l’on considère un taux de convergence de type logarithmique, i.e.

∥∥∥∥∥ supε

∣∣∣∣∣1

N

N∑n=1

f(T nx

)e2πinε

∣∣∣∣∣∥∥∥∥∥

1

� Cf

[log(N + 1)]1+α,

on peut arriver tout aussi simplement à des conclusions similaires à celles des deux théorèmes [4,5]mentionnés plus haut.

Des définitions analogues peuvent être données pour des taux de type logarithmique dans un cas ou destaux du type puissance dans le cas faible. Un de nos buts est de donner une caractérisation spectrale desfonctions Wiener–Wintner de type fort ou faible dansL2. Pour la caractérisation des fonctions et systèmesde type faible nous introduisons les notions de capacités logarithmique et de type puissance. Celles-cipeuvent être comparées aux notions classiques de capacités logarithmique et de type puissance d’ensemblesdu tore [6,7,9].

DÉFINITION 3. – NotonsU la restriction deT sur l’orthogonal du facteur de Kronecker etσ le typespectral maximal deU , alors la capacité logarithmique deU , Clog(U) (resp. la capacité d’ordreα de U,Cα(U)) est définie comme étant égale à :

Clog(U) =

(infν∼σ

supx∈[0,1]

∫ 1

0

log

(1

|t− x|

)dν

)−1

,

(resp. Cα(U) =

(infν∼σ

supx∈[0,1]

∫ 1

0

∣∣∣∣ 1

|t− x|α

∣∣∣∣dν)−1

),

où la notationν ∼ σ représente toutes les mesures de probabilitéν équivalentes àσ ; la mesureσ étantaussi une mesure de probabilité.

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Caractérisation spectrale des systèmes dynamiques du type Wiener–Wintner

2. Résultats

Les résultats principaux sont les suivants :

THÉORÈME 1. –Soient (X,B, µ, T ) un sytème dynamique ergodique et f une fonction bornée dans K⊥.On a les équivalences suivantes :

1) il existe une constante 0 < r < 1 et un nombre fini Cr tels que, pour tout entier positif N on ait :

∥∥∥∥ sup1�j�N

∣∣∣∣E(− δ− j

N, δ− j

N

)f

∣∣∣∣∥∥∥∥

2

�Cr

(δr)

pour tout 0< δ < 12 ;

2) la fonction f est une fonction Wiener–Wintner de type puissance α pour un nombre α, 0 <α< 1 ;3) il existe 0 < γ < 1 tel que la série de Fourier aléatoire

∞∑k=−∞

f(T kx)

|k|γ sgnk e2πikε

soit p.s. une fonction continue de ε et

supε

∣∣∣∣∣∞∑

k=−∞

f(T kx)

|k|γ sgnk e2πikε

∣∣∣∣∣ ∈ L2.

THÉORÈME 2. –Soit (X,B, µ, T ) un système dynamique ergodique. Soit U la restriction de T sur K⊥.Alors on a :

1) (X,B, µ, T ) est un système Wiener–Wintner faible de classe α dans L2 si et seulement siClog(U) > 0 ;

2) si (X,B, µ, T ) est un système Wiener–Wintner faible de type puissance d’ordre α dans L2, alorsCβ(U) > 0 pour tout β, 0< β < α.

Si Cβ(U) > 0, alors (X,B, µ, T ) est un système Wiener–Wintner faible de type puissance d’ordre α

dans L2 pour tout α � ββ+2 .

3. Éléments de démonstration

Pour le théorème 1 l’implication « 3)=⇒ 1) » utilise le fait que, pour0 < γ < 1, il existe une constanteCγ

et0 < r < 1 tels que :

∫ 1−δ

δ

∣∣∣∣∣∞∑k=1

cos2πk(ε− δ)

k1−γ−

∞∑k=1

cos2πk(ε+ δ)

k1−γ

∣∣∣∣∣dε � Cγ

(δr),

pout tout0 < δ < 12 .

Une telle estimation s’obtient à partir de la formule :

∫ ∞

0

t−γ e−it dt = Γ(1− γ) e12πi(1−γ),

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I. Assani

utilisée pour calculer précisément la limite ponctuelle de la série∑∞

n=1cos(2πnx)

n1−γ . Le lien entre les mesures

spectralesE(− δ− j

N , δ− jN

)f et la série

∑∞k=−∞

f(Tkx)|k|γ sgnk e2πikε résulte de la formule

2iE

(− δ +

j

N, δ +

j

N

)f =

∞∑n=−∞

f(T n)

n

(e2πinj/N2i sin(2πkδ)

)− 2iδf.

L’implication « 1) =⇒ 2) » utilise le théorème de Bernstein qui ramène l’estimation du sup surε auxpoints de la formej/N . Ensuite, en s’inspirant d’un argument de cobord donné par A. Kachurovskii [6],on écrit la fonctionf de la façon suivante :

f = Ej/N (−δ, δ)f + f −Ej/N (−δ, δ)f,

où Ej/N est la mesure spectrale de l’opérateur unitaire défini parUj/Nf(x) = e2πij/N f(T )(x). Onestime ensuite chacune des fonctions de cette décomposition en utilisant des propriétés d’inversibilité del’opérateur(I −Uj/N ) sur(I −Ej/N (−δ, δ))(K⊥).

Le théorème 2 pour le cas logarithmique repose sur l’équivalence suivante :1) f est une fonction Wiener–Wintner faible de classeα dansL2,

2) supx∈[0,1]

∫ 1

0 ln

(1

|x− t|

)dσf (t) <∞, oùσf est la mesure spectrale def .

À partir de là on montre que siClog(U) > 0 on a :

supx∈[0,1]

∫ 1

0

ln

(1

|x− t|

)dρ(t) <∞,

pour une mesureρ équivalente au type spectral maximal. On obtient alors des fonctions du type Wiener–Wintner faible denses. Pour la réciproque on construit, à partir d’une fonctiong réalisant le type spectralmaximalσ et d’une suite de fonctions Wiener–Wintner de type faible, une fonction de type Wiener–Wintnerfaible qui réalise le type spectral maximal.

Remarque. – L’étude des systèmes Wiener–Wintner faible peut être aussi motivée par le fait que pourles systèmes Wiener–Wintner faible de type puissanceα dansLp, où p > 1/α, le théorème de récurrencedouble se démontre facilement. On peut trouver plus de détails de tous ces résultats dans [2].

Références bibliographiques

[1] Assani I., Wiener–Wintner dynamical systems, Preprint, 1998.[2] Assani I., Spectral characterization of Wiener–Wintner dynamical systems, Prépublications IRMA, Strasbourg,

2000.[3] Assani I., Nicolaou K., Properties of Wiener–Wintner dynamical systems, Preprint, 1999 (submitted).[4] Bourgain J., Double récurrence and almost sure convergence, J. für die Reine und Angewandte Mathematik 404

(1990) 140–161.[5] Bourgain J., Furstenberg H., Katznelson Y., Ornstein D., Appendix to J. Bourgain, Pointwise Ergodic Theorems

for Arithmetic Sets, IHES, 1989.[6] Kachurovski A., The rate of convergence in ergodic theorems, Russ. Math. Surveys 51 (4) 73–124.[7] Kahane J.-P., Salem R., Ensembles parfaits et séries trigonométriques, Hermann, Paris, 1963.[8] Salem R., Zygmund A., Capacity of sets and Fourier series, Trans. Amer. Math. Soc. 59 (1946).[9] Wiener N., Wintner A., Harmonic analysis and ergodic theory, Amer. J. Math. 63 (1941) 415–426.

[10] Zygmund A., Trigonometric Series, Cambridge University Press.

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