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Clculo Diferencial e Integral - Funciones. Farith J. Briceo N.

Objetivos a cubrir Cdigo : MAT-CDI.06

Funciones. Evaluacin de funciones reales. Funciones bsicas. Dominio y rango de una funcin real a valor real. Operaciones con funciones. Composicin de funciones. Funcin par, impar, creciente, decreciente e inyectiva. Funcin inversa.

Identidades trigonomtricas. Funciones trigonomtricas y sus inversas. Operaciones

Graca de funciones usando traslaciones, reexiones. Formulacin de funciones. Dominio admisible.Ejercicios resueltos

Ejemplo 111 : Sea f(x) = x x2. Calcular: a) f(h 1); b) f(x + h); c) f(x + h) f(x)h

; conh6= 0.

Solucin : a)Tenemos quef() = () ()2

as,f(h 1) = (h 1) (h 1)2 = (h 1)(1 (h 1)) = (h 1)(2 h) ;

es decir, f(h 1) = (h 1)(2 h)

b)Tenemos que

f(x + h) = (x + h) (x + h)2 = (x + h) (1 (x + h)) = (x + h) (1 x h) ;es decir,

f(x + h) = (x + h) (1 x h)

c)Tenemos quef(x + h) = (x + h) (1 x h) y f(x) = x x2;

entoncesf(x + h) f(x) = (x + h) (1 x h) x x2 =x (1 x h) + h (1 x h) x (1 x)

= x (1 x h (1 x)) + h (1 x h) = x (1 x h 1 + x) + h (1 x h)= x (h) + h (1 x h) = h (x + 1 x h) = h (1 2x h) ;

es decir,f(x + h) f(x) = h (1 2x h) ;

luegof(x + h) f(x)

h =

h (1 2x h)h

= 1 2x hF

Ejemplo 112 : Determine el dominio de la funcin f(x) =4p

x

6 x26 x2

x .

Solucin : Observemos que f es la diferencia de las funciones f1(x) =4p

x

6 x2 y f2(x) =6 x2

x , as,

Domf= Domf1\

Domf2

Funcin f1 : Con respecto a la funcin f1, tenemos que es consecuencia del producto de las funciones

g (x) = 4p

x y h (x) = 1

6

x2

;

129

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es decir,

f1(x) =4p

x

6 x2 = 4p

x 16 x2 =g (x) h (x) =) Domf1 = Dom g

\Domh;

as, f1 involucra dos funciones que proporcionan condiciones para su denicin, a saber

4p

() tiene sentido si y solo si ()01

() tiene sentido si y solo si ()6= 0

as, para obtener el dominio de f1 debemos tener en cuenta que

1: la funcin g (x) = 4p

x tiene sentido si y solo si x0

2: la funcin h (x) = 1

6 x2 tiene sentido si y solo si 6 x2 6= 0

de esto se obtiene que

1. La funcin g (x) = 4p

x tiene sentido si x2[0; 1) =) Domg = [0; 1)2. Para obtener los valores de x para los cualesh tiene sentido, es equivalente resolver la igualdad 6 x2 = 0 y la(s)

solucin(es) de esta ecuacin excluirla(s) de R, as,

6 x2 = 0 si y solo si x=p6

Luego, la funcin h (x) = 1

6 x2 tiene sentido si x2Rp6 =) Domh = R p6

Por lo que

Domf1 = Dom g\

Domh = [0; 1) np

6o

=) Domf1 = [0; 1) p

6

Funcin f2 : Tenemos que la funcin f2, es consecuencia del producto de las funciones

p (x) = 6

x2 y w (x) = 1

x;

es decir,

f2(x) =6 x2

x =

6 x2 1

x=p (x) w (x) =) Domf2 = Domp

\Domw;

as, f2 involucra una funcin que proporciona condicin para su denicin, a saber

1

() tiene sentido si y solo si ()6= 0;

ya que, p no impone condiciones por ser una funcin polinmica, por lo tanto, Domp = R, as, para obtener el dominiode f2 debemos tener en cuenta que

la funcin w (x) =

1

x tiene sentido si y solo si x6= 0de esto se obtiene que, la funcin w (x) =

1

x tiene sentido si x2R f0g =) Domw = R f0g.

Por lo que

Domf2 = Domp\

Domw = R f0g =) Domf2 = R f0g

Luego,Domf= Domf1

\Domf2 = (0; 1)

np6o

F

130

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Ejemplo 113 : Determine el dominio de la funcin f(x) =

r x2 7x

x2 5x + 6Solucin : La funcin f tiene sentido si y solo si el argumento de la raz cuadrada es mayor igual a cero,

Condicin 1

Parap

()

: x2 7x

x2 5x + 60

y cuando el denominador del cociente sea diferente de cero, es decir,

Condicin 2 Para 1() : x2 5x + 66= 0

Resolvemos la condicin 1. Factorizamos los polinomios

x2 7xx2 5x + 60 =)

x (x 7)(x 2) (x 3)0

Buscamos la races de los trminos del numerador y el denominador

Numerador : x (x 7) = 0 =) x= 0 y x= 7

Denominador : (x 2) (x 3) = 0 =) x= 2 y x= 3 No pertenecen a la solucin

Estudiamos el signo

(1; 0) (0; 2) (2; 3) (3; 7) (7; 1)x + + + +

x 7 +x 2 + + +x 3 + +

+ + +La solucin es

x2(1; 0][

(2; 3)[

[7; 1)

Resolvemos la condicin 2. Observemos que la x2 5x + 66= 0 si y solo si x6= 2 y x6= 3, es decir, el denominadorser diferente de cero para todo x2 R f2; 3g, pero observe que estos valores ya fueron excluidos en la solucin de lacondicin 1.

Luego, el dominio de la funcin f es

Domf : (1; 0][

(2; 3)[

[7; 1)F

Ejemplo 114 : Halle el dominio de la funcin

f(x) =

qx (x 1)2 jx 3j + 7

rx 3x2 + 1

Solucin : La funcin f tiene sentido si

Condicin 1 :

x (x

1)2

jx

3

j 0 =

) x

2(

1; 0]S f

1; 3

g.

Condicin 2 : x 3x2 + 1

1 =) 1 x 3x2 + 1 1Desigualdad I

1 x 3x2 + 1

=) x2 1x 3 =)0x2 + x 2 =)0(x + 2) (x 1) =)x2[1; 1) [ (1; 2]

Desigualdad IIx 3

x2 + 11 =)x 3x2 + 1 =)0x2 x + 4 =)x2 R:

As,x2[1; 1) [ (1; 2]

131

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4/34

Condicin 3 : x2 + 16= 0 =) x2 R.Luego,

Domf : (1; 2][

f1; 3gF

Ejemplo 115 : Determine la imagen de la funcin f(x) =3 xx 1 .

Solucin : Observemos que la funcin f puede ser escrita como

f(x) =3 xx 1=

2

x 1 1

y adems, Dom f = R f1g = (1; 1)S (1; 1), entonces, hallamos el rango de f, para ello usamos el hecho quex2(1; 1)S (1; 1), es decir,

x < 1 x >1

y por medio de operaciones algebraicas elementales buscamos transformar estas desigualdades en una desigualdad que

involucre a y= 2

x 1 1. As,

x 1

# Restamos1 #

x 1< 0 x 1> 0

# Aplicamos 1

()(la desigualdad cambia)

#

1

x 1 >0 1

x 1 0 2

x 1 1 2

x 1 11 y

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Buscamos el rango de g. Observemos que el dominio natural de la funcin g (x) =p

x2 + 1 es R, pero en esteejemplo estamos trabajando en una parte de ese domino natural, en el intervalo abierto (3; 1), es decir, en un dominiorestringido de g, Domg = (3; 1), es decir,3< x < 1.

Lo que buscamos son los valores entre los cuales se encuentra y, es decir, por medio de operaciones algebraicaselementales se quiere transformar la desigualdad 3 < x < 1 en una desigualdad que involucre a y = px2 + 1, paraello, debemos elevar al cuadrado la desigualdad 3< x < 1, recordemos que al elevar al cuadrado una desigualdad, lamisma cambiar o se mantendr dependiendo del signo de la expresin (ver gua 2, ejercicios 13 y 14), as

3< x < 1

Parte negativa. & Parte positiva3< x0 0x x2 0 0x2

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Ejemplo 117 : Encuentre h (x) = f(g (x)), si es posible, y determine su dominio, donde g (x) = x2 3x y

f(x) =

8>>>:

x si x 2p

4 x2 si jxj< 23 x3 si x > 2

Solucin : Es conocido que para que la composicin de funciones f g se pueda realizar se debe cumplir

Rgog\

Domf6=?

:

Buscamos el rango de la funcin de g. Observemos que

g (x) = x2 3x=

x 32

2 9

4;

como Domg = (1; 1), tenemos que

1< x >>>:

x2 3x si x2 3x 2q4 (x2 3x)2 si x2 3x 2Resolvemos las desigualdades que tenemos en la denicin de la funcin h.

134

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1. Para x2 3x 2, observemos quex2 3x 2 =) x2 3x + 20 =) (x 1) (x 2)0

Races : x= 1 y x= 2

Estudiamos el signo(1; 1) (1; 2) (2; 1)

x 1 + +x 2 +

+ +Luego, la solucin es

x2[1; 2] :2. Para

x2 3x 0 =)

x 3 p

17

2

!x 3 +

p17

2

!>0

Races : x=3 p17

2 ; x=

3 +p

17

2

135

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8/34

Estudiamos el signo 1;3

p17

2

! 3 p17

2 ;

3 +p

17

2

! 3 +

p17

2 ; 1

!

x 3 p

17

2 + +

x 3 +p

17

2 +

+ +

Luego, la solucin de la desigualdad es

x2

1;3 p

17

2

![3 + p172

; 1!

;

Por lo tanto,

h (x) = f(g (x)) =

8>>>>>>>>>:

x2 3x si 1x2

q4 (x2 3x)

2

si 3

p

17

2 < x

3 +p

17

2

y su dominio es

Domh = R(

3 p172

;3 +

p17

2

)

F

Ejemplo 118 : Encuentre h (x) = g (f(x)), si es posible, y determine su dominio, donde f(x) =px y

g (x) =( x3

2x si x f(x2), es decir,

x1 < x2 =) f(x1)> f(x2) :

137

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Observemos que la funcin h se puede escribir como

h (x) =2x 5

x + 3 = 2 11

x + 3

y que Domh = R f3g, sean x1; x22Dom h, tal que x1 < x2Sumamos3

(la desigualdad se mantiene)

Multiplicamos por11(la desigualdad cambia)

# #x1 < x2 =) x1+ 3 < x2+ 3 =) 1x1+ 3

> 1x2+ 3

=) 11x1+ 3

> 11x2+ 3

=) 2 11x1+ 3

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Ejemplo 125 : Determine el dominio de la funcin

h (x) =

px + cos x

sen x + 1

Solucin : Observemos que f involucra dos funciones que proporcionan condiciones para su denicin, a saberp() tiene sentido si y solo si ()0

1

() tiene sentido si y solo si (

)

6= 0

as, para obtener el dominio de fdebemos tener en cuenta que

1: la funcin g (x) =p

x tiene sentido si y solo si x0

2: la funcin h (x) = 1

sen x 1 tiene sentido si y solo si sen x 16= 0

de esto se obtiene que

1. La funcin g (x) =p

x tiene sentido si x2[0; 1) =) Domg = [0; 1)2. Para obtener los valores de x para los cuales h tiene sentido, es equivalente resolver la igualdad sen x 1 = 0 y

la(s) solucin(es) de esta ecuacin excluirla(s) de R, as,

sen x 1 = 0 =) sen x= 1 si y solo si x= (4k+ 1) 2

; con k2 Z

151050-5-10-15

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

Luego, la funcin h (x) = 1

sen x 1 tiene sentido si x2Rn

k2 Z = (4k+ 1) 2

o, es decir,

Domh = Rn

k2 Z = (4k+ 1) 2

o

Por lo que,

Domf= Dom g\

Domh = [0; 1) n

k2 N = (4k+ 1) 2

o =) Domf= [0; 1)

nk2 N = (4k+ 1)

2

o

donde, N

=f0; 1; 2; 3; 4; : : : g. F

Ejemplo 126 : Determine el dominio de la funcin

h (x) =p

4 x2 arcsen

x

3 x

Solucin : Observemos que h involucra tres funciones que proporcionan condiciones para su denicin, a saberp() tiene sentido si y solo si ()0

arcsen () tiene sentido si y solo si j()j 11

(

)

tiene sentido si y solo si ()6= 0

139

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12/34

as, para obtener el dominio de fdebemos tener en cuenta que

1: la funcin g (x) =p

4 x2 tiene sentido si y solo si 4 x2 0

2: la funcin h (x) = arcsen

x

3 x

tiene sentido si y solo si

x3 x 1

3: la funcin w (x) = x

3 x tiene sentido si y solo si 3 x6= 0

de esto se obtiene que1. La funcin g (x) =

p4 x2 tiene sentido si x2[4; 4] =) Domg = [4; 4]

2. Para obtener los valores de x para los cuales h tiene sentido, resolvemos x3 x 1 =) 1 x3 x1 =) x2

1;3

2

=) Domh =

1;3

2

:

3. Observemos que al resolver la desigualdad anterior, resolvemos indirectamente la condicin para la funcin w.

Por lo que,

Domf= Dom g \Domh \Domw = 4;

3

2 =)

Domf= 4;

3

2

F

Ejemplo 127 : Halle el dominio de la funcin

f(x) =

qx (x 1)2 jx 3j + arccos

x 3x2 + 1

Solucin : La funcin f tiene sentido si

Condicin 1 : x (x 1)2 jx 3j 0 =) x2(1; 0]S f1; 3g.

Condicin 2 : x 3

x2

+ 1 1 =) 1

x 3x

2

+ 11

Desigualdad I

1 x 3x2 + 1

=) x2 1x 3 =)0x2 + x 2 =)0(x + 2) (x 1) =)x2[1; 1) [ (1; 2]

Desigualdad IIx 3

x2 + 11 =)x 3x2 + 1 =)0x2 x + 4 =)x2 R:

As,x2[1; 1) [ (1; 2]

Condicin 3 : x2 + 1

6= 0 =

) x

2R.

Luego,Domf : (1; 2]

[f1; 3g

F

Ejemplo 128 : Demostrar la identidad

csc x= cos x

sen x+

sen x

1 + cos x

Demostracin : Es conocido que

csc x= 1

sen x;

140

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as,

csc x= 1

sen x=

1 + cos x cos xsen x

= cos x

sen x+

1 cos xsen x

=) csc x= cos xsen x

+1 cos x

sen x

aplicando la conjugada trigonomtrica al segundo sumando de la ltima igualdad, tenemos

1 cos xsen x

=(1 cos x)

sen x

(1 + cos x)

(1 + cos x)=

1 cos2 xsen x (1 + cos x)

;

De la identidad bsica trigonomtrica

sen

2

x + cos

2

x= 1;se tiene que,

sen2 x= 1 cos2 x;luego,

1 cos xsen x

= 1 cos2 x

sen x (1 + cos x)=

sen2 x

sen x (1 + cos x)=

sen x

1 + cos x =) 1 cos x

sen x =

sen x

1 + cos x;

por lo tanto,csc x=

cos x

sen x+

sen x

1 + cos x:

F

Ejemplo 129 : Hallar el valor de cos (arctan x)

Solucin : Es conocido que

cos() = 1sec() y sec

2 () = 1 + tan2 ()

as,

cos (arctan x) = 1

sec (arctan x)

por lo que,

sec2 (arctan x) = 1 + tan2 (arctan x) = 1 + (tan (arctan x))2 = 1 + x2 =) sec2 (arctan x) = 1 + x2

de aqu

sec (arctan x) =p

1 + x2 =) cos (arctan x) = 1p1 + x2

;

como el rango de la funcin arcotangente es

2;

2

y la funcin coseno es ese intervalo es positiva

52.50-2.5-5

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

x

y

x

y

52.50-2.5-5

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

f(x) = arctan x f(x) = cos x

entonces,

cos (arctan x) = 1p1 + x2

:

F

141

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Ejemplo 130 : Si h (x) =3x 12x + 3

y h (f(x)) = x + 1

x2 + 1, hallar f(x).

Solucin : Es conocido que si h tiene inversa, entonces h

h1 () =h1 (h ()) = (), buscamos la inversa de h.y=

3x 12x + 3

=) (2x + 3) y= 3x 1 =) 2xy+ 3y = 3x 1 =) 2xy 3x=3y 1

=) x (2y 3) =3y 1 =) x= 3y+ 13 2y =) h

1 (x) =3x + 1

3 2x

luego,

h1 (h (f(x))) =h1

x + 1

x2 + 1

=) f(x) = h1

x + 1

x2 + 1

;

donde,

h1

x + 1

x2 + 1

=

3

x + 1

x2 + 1

+ 1

3 2

x + 1

x2 + 1

=3x + 3

x2 + 1+ 1

3 2x + 2x2 + 1

=

x2 + 3x + 4

x2 + 13x2 2x + 1

x2 + 1

= x2 + 3x + 4

3x2 2x + 1 =) f(x) = x2 + 3x + 4

3x2 2x + 1

F

Ejemplo 131 : Determine la grca de la funcin usando traslaciones

g (x) =8 3x

x 2Solucin : Observemos que la funcin g se puede escribir como

g (x) =8 3x

x 2 = 2

x 2 3;

as la funcin bsica asociada a g es la funcin hiprbola bsica f(x) = 1

x

2.51.250-1.25-2.5

25

12.5

0

-12.5

-2 5

x

y

x

y

f(x) = 1

x 2!

2.51.250-1.25-2.5

25

12.5

0

-12.5

-2 5

x

y

x

y

# f(x) = 2x 2

6420-2

25

0

-2 5

-5 0

x

y

x

y

f(x) = 2

x 2 3

52.50-2.5-5

50

25

0

-2 5

x

y

x

y

F

142

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Ejemplo 132 : Considere la funcin h (x) =2x 5

x + 3

1. Diga si la funcin h es una funcin inyectiva no.

2. Halle el intervalo donde h es creciente decreciente.

3. La funcin h admite inversa?

4. En caso armativo, halle una formula para la inversa de h.

5. Halle el Domh1 y Rgo h1.

6. Gracar h y h1.

Solucin : 1:Es conocido que una funcin f es inyectiva si para todo x1; x22Dom f, tal que,x16=x2; se tiene que f(x1)6=f(x2)

equivalentementef(x1) = f(x2) =) x1 = x2

Observemos que la funcin h se puede escribir como

h (x) =2x 5

x + 3 = 2 11

x + 3

Sean x1; x22Dom f, tal que, h (x1) = h (x2), como

h (x1) = 2 11x1+ 3

y h (x1) = 2 11x2+ 3

entonces,

Restamos2 Multiplicamos por 111# #

h (x1) = h (x2) =) 2 11x1+ 3

= 2 11x2+ 3

=) 11x1+ 3

= 11x2+ 3

=) 1x1+ 3

= 1

x2+ 3

=) x1+ 3 =x2+ 3 =) x1 = x2" "

Aplicamos 1

()

Restamos 3

luegoh (x1) = h (x2) =) x1 = x2;

por lo tanto, h es inyectiva.

2:Una funcin f escrecientees un intervalo Isi para todo x1; x22I, tal que, x1 < x2 se tiene que f(x1)< f(x2),es decir,

x1 < x2 =) f(x1)< f(x2) ;mientras que, una funcin f es decrecientees un intervalo I si para todo x1; x22I, tal que, x1 < x2 se tiene quef(x1)> f(x2), es decir,

x1 < x2 =) f(x1)> f(x2) :Observemos que la funcin h se puede escribir como

h (x) = 2x 5x + 3

= 2 11x + 3

y que Domh = R f3g, sean x1; x22Dom h, tal que x1 < x2Sumamos3

(la desigualdad se mantiene)

Multiplicamos por11(la desigualdad cambia)

# #x1 < x2 =) x1+ 3 < x2+ 3 =) 1

x1+ 3>

1

x2+ 3 =) 11

x1+ 3>

11x2+ 3

=) 2 11x1+ 3

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16/34

con lo que,

x1 < x2 =) 2 11x1+ 3

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17/34

21.510.50

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

x

y

x

y

F

Ejemplo 134 : Represente grcamente la siguiente regin del plano

jxj + jyj 1; x2 + y2 9Solucin : Consideremos la expresin jxj + jyj 1, por denicin de valor absoluto se tiene

jxj=(

x si x0x si x < 0

y jyj=(

y si y0y si y

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18/34

luego, la regin buscada es la interseccin de ambas regiones

F

Ejemplo 135 : Se tiene un alambre de4 m de longitud y se divide en dos trozos para formar un cuadrado y un crculo.Expresar el rea total encerrada en ambas guras en funcin dex, siendox el lado del cuadrado. Hallar el dominio dondeest denida la funcin.

Solucin : Del alambre de 4m debemos formar un cuadrado y un circulo de tal forma que cada lado del cuadradomida x m.

El rea del cuadrado es Acuadrado= (lado)2, mientras que, el rea del circulo es Acirculo= (radio)

2, por lo tanto,

Acuadrado= x2;

deduzcamos el radio del circulo, observemos que el permetro del crculo es 4 x, que es la longitud del alambre quetenemos para forma la gura geomtrica, puesto que el permetro del crculo es P = 2 (radio), entonces,

4 x= 2 (radio) =) radio =4

x

2 ;

por lo tanto,

Acirculo=

4 x

2

2=) Acirculo= (4 x)

2

4 :

Luego, el rea total es

Atotal(x) = Acuadrado+ Acirculo= x2 +

(4 x)24

cuyo dominio es DomAtotal= (0; 1). F

146

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Ejercicios

1. Diga cual de las siguientes relaciones representa una funcin. Justique su respuesta.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

2. Diga cual de las siguientes gracas representa una funcin. Justique su respuesta.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

3. Sea f(x) = 4 5x. Calcular: a) f(1); b) f(1); c) 3 f(2=5); d) 1 f(0)f(3=5) 2 .

4. Sea f(x) = 2 3x2. Calcular: a) f(2); b) f(3); c) 1 f(3=5); d) 1 f(2)f(4=3)

.

5. Sea f(x) = x2 + 4. Calcular: a) 2f(1=2); b) f(1)

2 ; c)

3 f(2)f(3=2)

; d) 5 + f(2)f(2=3)

.

6. Sea f(x) = x x2. Calcular: a) f(h 1); b) f(x + h); c) f(x + h) f(x)h

; conh6= 0.

147

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20/34

7. Sea f(x) = xp

3 x . Calcular: a) f(2 + h); b) f(x + h); c) f(x + h) f(x)

h ; conh6= 0.

8. Determine a) f(2 h); b) f(x + h); c) f(x + h) f(x)h

; conh6= 0;

1: f(x) = 2 3x2 2: f(x) = x2 x 3: f(x) =

xp1 + x2

4: f(x) = 1p2x 3

9. Si f(x) = x3. Hallar f(b) f(a)

b

a .

10. Si g (x) = x +1

x. Hallar

g (b) g (a)b a .

11. Dada la funcin h (x) = x3 2x 5. Hallar h (b) h (a)b a .

12. Dada f(x) =1 + x

1 x . Hallar f(b) f(a)1 + f(a) f(b)

.

13. Sea f(t) = at2 + bt + c, vericar que f(t + 3) 3f(t + 2) + 3f(t + 1) f(t) = 0.14. Determine el dominio de la funcin dada

1: f(x) =p

x 2 2: g (x) = p3 x 3: h (x) = px 4: f(x) = px2 + 9

5: h (x) = px3 1 6: f(t) = 3

pt + 4 7: f(t) = p2 + t2 8: h (t) = 4

pt2 6t

9: f(x) = 4p

x2 + x 10: h (t) =p

t8 + t2 11: f(t) = 3p

t 1 12: f(x) = p27 x3

13: f(x) = 1

3 x2 14: f(x) = 2

x2 + 8 15: h (x) =

1

x4 + 1 16: f(x) =

x

x3 8

17: g (x) = 1

x3 27 18: h (x) = 1

x4 + 27 19: f(x) =j2x + 5j 20: f(x) = 1jx 1j

21: f(x) = 3px 22: g (x) = 1px 23: h (t) =

1pt2 1 24: g (x) =

1p1 x4

25: g (t) = pt8 t2 26: h (t) = 1pt8 t2 27: f(x) =

r 2xx + 5

28: f(x) =r

x + 2x 3

29: h (x) =

rx3 x16 x2 30: f(x) =

rx2 2x

x 1 31: f(x) =r

x2 7xx2 5x + 6

32: f(x) =

r j1 xjx2 6x + 5 33: f(x) =

s2 3x1 + 2x 4 34: y=

s9 x2 + 9j3xj 1

35: f(x) = 4r

1 jx 1jx2 + 3x + 2

36: f(x) =p

1 [[x]] 37: f(x) = 1p1 [[x]]

38: f(x) = p1 [[jxj ]] 39: f(x) = pj [[2 x]]j + 3 40: f(x) = p3 [[x2 x + 3]]41: f(x) =

1

4

q[[x]]2 1

42: f(x) =q

[[x]]2 2 [[x]] 43: f(x) = 1p[[x2 x + 3]] 3

15. Determine: a) f+ g; b) f g; c) f =g; d) Dominio natural de cada una

1: f(x) =

rx 2x + 3

; g (x) = 4p

7 3x 2: f(x) = 13p

16 x2 ; g (x) =s

x2 + 2x

jx3 8j

3: f(x) = 1

x 1 ; g (x) = 1

2x + 1 4: f(x) =

px; g (x) = px + 2

5: f(x) =jxj ; g (x) =p

3 jxj 6: f(x) = 1

jx2

4

j

; g (x) =p

5 x

148

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21/34

16. Determine la imagen de la funcin dada en el intervalo indicado

1:

( f(x) = 2x 5;

1x62:

( f(x) =

p4 3x

2x :

f(t) = 4t3 +

pt

1< t4

5:

( f(x) = 2x + 7;

1

x

6

6:

( f(x) = 3 5x;

4

x

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22/34

32: f(x) = 1 3 [[x]]p

3 [[1 x2]] 33: f(x) = [[x]] px

[[x2 x]] 34: f(x) =x2 5px + 23p

1 [[x + 3]]19. Determinef gy su dominio

1:

( f(x) = x + 3; x2[1; 1]g (x) = x2 1; x2[5; 5]

2:

( f(x) = x2; x2(2; 2)g (x) =

px2 + 1; x2(3; 1)

3:

( f(x) = 1=

px; x2 R+

g (x) = x2 4x; x2R

4:

( f(x) = x3; x2 Rg (x) = 1=x; x2R f0g

5:

8>>>:

f(x) =

1

x 1 ; x2 R f1gg (x) =

x 1x + 1

; x2 R f1g6:

( f(x) = x2 + 2x; x2Rg (x) =

px; x2[0; 1)

20. Dadas las funciones

F(x) =p

x 6; G (x) = x2 + 2 y H(x) = p2x + 1:Hallar F(G (H(x)))

21. Si f(x) = x

1 + x y g (x) =

x 1x

, resolver la ecuacin jf(g (x))j=jg (f(x))j.

22. Si f(x) =1

x

1 + x , g (x) = x

1 + x , h (x) =x

1

x , l (x) = 3x4 5x2 y j (x) = x2. Hallar

1: f

f

1

x

2: g

h

1

x

3: l (j (x)) 4: f(g (l (x))) 5: h (j (f(g (2x))))

23. Hallar las funciones que al componerlas se obtenga

1: f(x) = 3pp

x + 1 2: f(x) = 3pp

x 5 2 3: f(x) =p

4 px + 1

4: h (x) = 1

1 px + 3 5: h (x) = 3 3 pxp

x + 5 6: g (x) =

x2 5x + 66

7: h (x) = cos4 sen2 x24. Sea f(x) =

x 3x + 1

. Demuestre que f(f(f(x))) =x, siempre y cuando x6=1.

25. Sea f(x) = 1

x. Demuestre que f(f(x)) = x.

26. Sean f(x) =p

x y g (x) = x2. Hallar: a) f(g (x)); b) g (f(x)); c) Cundo f g = g f?.

27. Sean f(x + 2) = 2

x 2 y g (x) =x 1x + 1

. Resolver jf(g (x))j x.

28. Encuentre h (x) = f(g (x)), si es posible, y determine su dominio, donde g (x) = x2 3x y

f(x) =8>>>:

x si x

2

p4 x2 si jxj< 23 x3 si x > 2

29. Sean

f(x) =

8>>>>>>>>>:

12

si x= 0p

1 x2jxj si 0

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23/34

30. Dadas las funciones g (x) =p

x + 1 y

f(x) =

( x2 si x12x4 + 1 si x > 1:

Hallar la expresin de f(g (x)).

31. Determine el dominio de h (x) = f(g (x)), donde

f(x) =

8>>>>>:

2x3 + 1 si x

2

1

x 2 si 2< x3

2x 5 si x >3

y g (x) =

( x2 si jxj 1p

3 x si jxj> 1

32. Encuentre h (x) = g (f(x)), si es posible, y determine su dominio, donde f(x) =px y

g (x) =

( x3 2x si x >>>:

2 si x2 1 0x2 + 1

x 1 si jxj< 1

x3 1 si jxj> 1

y g (x) =

( x2 si jxj< 21 2x si jxj 2

34. Determine el dominio de h (x) = f(g (x)), donde

f(x) =

8>>>:

[[x]] si 1x

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24/34

39. Sean f una funcin par y g una funcin impar. Qu se puede armar de f+ g, f g, f g y fg

?

40. Una funcin es peridica de perodo 3 y f(x) = 2 x, si 0x

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25/34

(b) Por qu se necesita la condicin bc ad6= 0?(c) Qu condicin sobrea,b,c y d harn que f=f1?

57. Si f(2x 1) = 2 x, hallar f(x).

58. Si g (x) =3 xx + 2

y g (f(x)) =3x 32x + 3

, hallar f(x).

59. Si h (x) =x 1

x y h (f(x)) =

x2

x2 + x

1, hallar f(x).

60. Si h (x) =3x 12x + 3

y h (f(x)) = x + 1

x2 + 1, hallar f(x).

61. Si f(x) =3x 12x + 3

y h (f(x)) = x + 1

x2 + 1, hallar h (x).

62. Si f(x) =3 xx + 2

y g (f(x)) =3x 32x + 3

, hallar g (x).

63. Demostrar las siguientes identidades trigonomtricas

1: tan2 x + 1 = sec2 x 2: 1 + cot2 x= csc2 x 3: sen2x= 2 sen x cos x

4: cos2x= cos2 x

sen2 x 5: cos2x= 1

2sen2 x 6: cos2x= 2 cos2 x

1

7: sen2 x=1 cos2x

2 8: cos2 x=

1 + cos 2x

2 9: sen

2 x

= cos x

10: cos

2 x

= sen x 11: tan

2 x

= cot x 12: sen

2

+ x

= cos x

13: cos

2+ x

= sen x 14: sec x= sen x

cos x+

cos x

1 + sen x 15: csc x=

cos x

sen x+

sen x

1 + cos x

16: sen x + sen y = 2sen

x + y

2

cos

x y

2

17: cos x + cos y = 2cos

x + y

2

cos

x y

2

18: sen x sen y=12

(cos (x + y) cos(x y)) 19: cos x cos y = 12

(cos (x + y) + cos (x y))

20: sen x cos y= 12

(sen (x + y) + sen (x y)) 21: sen y cos x= 12

(sen (x + y) sen(x y))

22: tan(x + y) = tan x + tan y

1 tan x tan y 23: tan(x y) = tan x tan y1 + tan x tan y

24: tan2x= 2tan x

1 tan2 x 25: sen4 x cos4 x= cos2x 26: 1

sen x cos xcos x

sen x= tan x

27: sen x=2tan

x2

1 + tan2

x2

28: 1 sen2x1 + sen 2x

=tan(=4 x)tan(=4 + x)

64. Calcular los valores de las siguientes expresiones

1: 5sen2 45+ 8 cos2 30 2: 3sen30+ 6 cos2 45 3: 5tan2 45+ 2 sec2 45

4: 4cos60+ 5csc30 5: 4cos30+ 6sen45 6: 6tan30+ 2csc45

7: sen2 30+ sec2 45 8: cos2 60+ sen2 45 9: csc2 45+ cos2 30

10: csc2 30+ tan2 45 11: sen30+ csc 30

sen2 30+ cos2 60 12:

sen2 45+ sen2 30

cos2 45+ sec2 45

13: cos2 30+ tan2 30

sen2 45+ cos2 60 14:

tan2 30+ sen2 30

csc2 45+ csc2 30 15:

cos 60+ cos 30

csc2 30+ sen2 45

153

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26/34

65. Calcular los valores de las siguientes expresiones

1: sen 315+ 2cos 150 2: 4sen240+ cos2 135 3:p

3

3 tan510+ 2csc 675

4: 1

2tan225+ 6 sec2 225 5: cos300+ 3sen 900 6:

p2

2 cos 2040+

p2sen1215

7: sen2 870+ sec2 585 8: 3

5cos2 960+ sen2 960 9: csc2 1395+

p3cos2 1200

10: csc2 585+ tan2 1665 11: sen135+ csc 240

sen2 225+ cos2 315 12:

sen2 2400+ sen2 2025cos2 405+ sec2 405

13: cos2 945+ tan2 945

sen2 945+ cos2 420 14:

tan2 750+ sen2 1110

csc2 135+ csc2 300 15:

cos300+ cos 390

csc2 390+ sen2 420

66. Desarrollar los siguientes productos notables

1: (1 cos(x + ))2 2: (sen x cos x)2 3: (tan x + cot x)2

4: (1 cos x) (1 + cos x) 5: (1 sec ) (1 + sec ) 6: 1 cot2 x 1 cos2 x7:

cos x sen2 x

(cos x cos2x) 8: [tan (2) tan(=2)] [tan(2) tan(=2)]

9: (sen x 3) (sen x 2) 10: cos2 x (sen x + 2) (sen x 1)67. Factorizar las siguientes expresiones trigonomtricas en productos de factores irreducibles

1: cos2 x + 3 cos x + 2 2: tan2 x + tan x 2 3: 2cos2 x + cos x 1 4: 2tan2 x 3tan x + 15: 8sec2 x 14sec x + 3 6: 1 cos3 x 7: sen3 x + 8 8: sen4 x + sen x9: 1 + sen 2x 10: sec4 x tan4 x 11: csc2 2x 2cos2 x 12: tan3 x sen3 x13: tan2 2x tan2 (x + =2) 14: 1 + sen 2ax cos2ax 15: sen(a + x) + sen (a x) 2sen a16: sen4x + 2 sen2 2x 2sen2x 17: 2 4sen x + cos 2x 2sen x cos2x18: sen4 x

2sen2 x cos2 x + cos4 x

68. Racionalizar los siguientes numeradores y simplicar, si es posible

1:

p1 + sen x p1 sen x

tan x 2:

p1 + tan x p1 tan x

sen x 3:

3p

sen x 3pcos xsen x cos x

4:3p

cos x 3psen2xcos x

5:3p

sen2 x 3p

cos2 x

1 tan x

69. Simplicar las siguientes expresiones

1: 2cos2 x + cos x 1

2cos2 x

3cos x + 1

2: cos2 x 3cos x + 2

2

2cos x

sen2 x

3: cos x 3pcos x

sen2 x

4: 1

sen3 x tan x sen x

1 + sen x 5:

1 tan(x + =4)sen x

6: tan3 x sen3 x

(1 cos x)2

7: 1 cot3 x2 cot x cot2 x 8:

tan2x cot(x + =4)

(1 tan x)sec2x 9: sen4x + sen2 2x 2sen2x

cos2x cos2 2x

10: tan x sen x

sen3x +

cos2x cos xsen2x

11: sen(+ x) csc( x) sen

2 x

cos

2

+ x

12: 2sen

5

2

+ 4 cos 2tan(3+ ) cos

3

2

+ 4 sen

7

2

13:

cos2x

sen2 x cot x

sen x

14: tan(x) cotx +

2 cot

2 x tan( x) 15: (tan x tan a) cot(x a)

154

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27/34

16:

1

xtan

+ x2

sen x

17: a2 cos(+ x) + b2 cos( x) 2ab sen(x)tan

2 x

18:a2 cot(+ x) + b2 tan

2

+ x

(a b)cot( x) +(a + b)tan

x 3

2

tan

3

2 x

19: 2sen2 x

11 cos x

20:

2cos x

sen x

cos cos2 x

cos sen2 x2sen x

cos x

sen sen2 x

sen cos2 x21:

2cos2 x cos x 31 cos2 x +

2 cot x sen xsen x

22:

sen2 x + cos2 x + x

x2 1

(sen x + cos x)2

1 sen2 2x

!

23: tan2x cot(x + =4)

(1 tan x)sec2x n

sen

2 x

sen(x + )

o70. Encuentre el cuadrante que contiene a x, suponiendo que

1: sec x < 0 y sen x >0 2: cot x > 0 y csc x < 0 3: cos x > 0 y tan x < 0

71. Transformar a radianes los siguientes ngulos y reducirlos al intervalo [0; 2]

1: 120 2: 300 3: 285 4: 150 5: 420 6: 500

72. Calcular en radianes el valor en cada uno de los siguientes casos

(a) es igual a su complemento. (b) es igual a 4=5 de su suplemento.

(c) es igual a 1=3 de su suplemento menos dos veces su complemento.

73. Hallar en grados la medida del ngulo correspondiente a un arco cuya longitud es 50 m en un crculo de 25 m deradio.

74. Hallar la longitud del arco correspondiente a un ngulo de 4 radianes en un crculo cuyo radio es 25 m.

75. Hallar todas las funciones trigonomtricas de , si se sabe que sen = 2p13

y pertenece al III cuadrante.

76. Hallar todas las funciones trigonomtricas de , si se sabe que sec =

5=4 y pertenece al II cuadrante.

77. Hallar sen , si se sabe que cos =x2 y2x2 + y2

y pertenece al III cuadrante.

78. Hallar sen , si se sabe que cot =y2 x2

2xy y pertenece al II cuadrante.

79. Si + =

2, expresar slo en funcin de sen2, la siguiente fraccin

sen2 1 cos2 tan2 1 + cot2 csc2 :

80. Escribir las siguientes expresiones slo en funcin cot

1: tan2 + 2 sen2 cos2 2: sec2 sec2 1 11sen2

1

81. Demostrar que si cos(x + y) = 0, entonces sen(x + 2y) = sen x.

82. Resolver las siguientes ecuaciones trigonomtricas para 0x2

1: 2sen2x sec x= 0 2: 1sec2 x 3= 1 3: 2cos

2x +

6

= 0 4: 2cos x 2cos2x= 0

5: r2 cos x + r2 cos2x= 0 6: 2sen3 x + sen2 x 2sen x 1 = 0 7: 4sen2 x tan x tan x= 0

8: 1 cos2x

1 + cos 2x=

tan x

2cos x 9: cot x tan x= 2cos2x

1 cos2x

155

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28/34

83. Resolver las siguientes ecuaciones trigonomtricas para x en R.

1: sen x= 0 2: cos x= 0 3: tan x= 0 4: sec x= 0 5: csc x= 0

6: cot x= 0 7: sen x= 1 8: cos x= 1 9: tan x= 1 10: sec x= 1

11: csc x= 1 12: cot x= 1 13: sen x=1 14: cos x=1 15: tan x=116: sec x=1 17: csc x=1 18: cot x=1 19: sen x cos x= 020: sec x= sen x 21: tan x= 2sen x 22: cos x

cot x= 0 23: sen x + csc x= 0

24: cos x p3sen x= 0 25: 6sen2 x 3sen2x= 0 26: 31=2 sen x cos x + 4 cos2 x= 154

27: 4cos4 x cos2 x= 32

28: sen

x +

6

+ cos

x +

3

= 1 + cos 2x

29: 2cos2 x sen x 1 = 084. Hallar las funciones que al componerlas se obtenga

1: f(x) = cos2 (sen x) 2: f(x) = cos

sen2 x

3: f(x) = cos

sen x2

4: f(x) = sen(1 tan x) 5: h (x) = cos

1 px + 3

6: g (x) = senp

x 5 2

7: g (x) = sec6

x2 5x + 6 8: h (x) = 3 3 cos xcos x + 5 9: f(x) = sen 3p3x2 + 510: g (x) =

p1 cot2 (x2 2x 3) 11: g (x) = cscptan(x2 + 3) + 8

85. Determine el dominio de las siguientes funciones

1: f(x) = tan x 2: f(x) = sec x 3: f(x) = csc x 4: f(x) = cot x

5: g (x) = cos

x 5x2 x

6: f(x) = 3

psen x + 1 7: f(x) =

3 sen px 5 2p7 2x

8: f(x) = 4p

sen x sec x 9: f(x) = p1 sen x 10: f(x) = 1p1 sen x

11: h (x) = cospx2 + 5x + 6 tan2x 12: f(x) = ppx + 3 + 3px sec2x

86. Determine cuales de las siguientes funciones son pares, impares ninguna de ellas

1: f(x) = tan x 2: f(x) = sec x 3: f(x) = csc x 4: f(x) = cot x

5: g (x) = x3 + x

x + sen x 6: f(x) = sen3x + 2x2 7: f(x) =

tan x

sec x x2

8: f(x) =p

x x cos x 9: f(x) = x5 6x9 + sen x(1 + x4)4

87. Sin utilizar la calculadora encuentre los siguientes valores

1: arctanp

3

2: arcsen

p3

2!

3: arccos

p3

2!

4: arcsen

p2

2!

5: arcsen (2) 6: arcsen

1

2

7: arctan

p3

3

! 8: cos

2 arcsen

p2

3

!!

9: arcsen

arccos

3

5

+ arccos

5

13

10: cos

arccos

4

5

+ arcsen

12

13

88. Hallar los siguientes valores

1: tan (arcsen x) 2: sen (arctan x) 3: cos (arcsen x) 4: tan (2 arctanx)

5: cos (2 arcsen x) 6: sec (arctan x) 7: sen (2 arcsen x) 8: cos (arctan x)

156

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29/34

89. Determine el dominio de la funcin

1: g (x) =

px

1 arcsen x 2: f(x) =1 arcsen xp

x 3: h (x) =

arcsen

8 x33p

x 2

4: f(x) =p

1 arcsen x 5: f(x) = 1p1 arcsen x 6: h (x) = arccos

px2 + 5x + 6

7: h (x) =p

4 x2 arcsen x

3

x 8: h (x) = arcsen

x2 xx + 3

rx2 xx + 3

9: f(x) =p

x + arcsen

x 5x2 x

10: g (x) = cot

arcsen

x2 5x + 6 4parcsen(x2 2x 3)

90. Determine la grca de la funcin usando traslaciones

1: g (x) = x2 2 2: f(x) = (x 1)2 + 3 3: f(x) = x2 + x + 1 4: h (x) = 2 x3

5: f(x) = 3p

x + 2 6: g (x) = 1

(x + 2)2+

1

2 7: f(x) =

1

x + 1 2 8: f(x) = x2 4x

9: g (x) = 1 px 3 10: h (x) = 2x 5x + 3

11: g (x) =(x + 1)2

2 12: f(t) = sen t 1

13: f(x) = x2 + 4x 1 14: f(x) = 2 + senx + 2

15: f(x) = 1

(x 1)2 + 2

16: g (x) = 1

x 3+ 2 17: h (x) =jx 4j 3 18: h (x) =3

5

px + 2 3

19: g (x) =jsen xj 2 20: g (x) = x2 4x 21: h (x) = x2 x + 122: g (x) =

8 3xx 2 23: f(x) =

x2 2xx2 2x + 1 24: f(x) =

3x2 12x + 13x2 4x + 4

91. Dibuje la regin limitada por las curvas dadas

1: y= x2; y= x4 2: y= x4; y=x 1; x=2; x= 03: y= x; y= x3 4: x + y2 = 0; x= y2 + 1; y= 0; y= 3

5: y= x2 4x; y= 2x 6: x= 3y; x + y = 0; 7x + 3y= 247: y= x; y= x2 8: y2 =x; y= x + 5; y=1; y= 29: y= x2; y2 =x 10: y= x2 + 3; y = x; x=1; x= 111: y=

px; y= x=2 12: y= cos x; y= sen 2x; x= 0; x= =2

13: y= 4x2; y= x2 + 3 14: y= x2 + 2; y = 2x + 5; x= 0; x= 6

15: y= x4 x2; y= 1 x2 16: y= 4 x2; y = x + 2; x=3; x= 017: x + y2 = 2; x + y= 0 18: y= x2 + 2x + 2; y= x + 4; x=

3; x= 2

19: y2 =x; x 2y= 3 20: y= x2 + 1; y = 3 x2; x=2; x= 2

21: x= 1 y2; x= y2 1 22: y=jxj ; y= (x + 1)2 7; x=423: y= 2x x2; y= x3 24: y= cos x; y= sen x; x==4; x= =225: x= 1 y4; x= y3 y 26: y= cos x; y= sec2 x; x==4; x= =427: y= x3; x= y3 28: y= sen x; y= sen 2x; x= 0; x= =2

29: y= xp

1 x2; y= x x3 30: y= sen x; y= cos 2x; x= 0; x= =431: y= x2 4x + 3; y = 0 32: y=jx 1j ; y= x2 3; x0

157

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30/34

33: y= 4 + 3x x2; y= 0 34: y= cos x; y = sen 2x; x= =2; x= 35: y=

px 4; y= 0; x= 8 36: x2 + 2x + y= 0; x + y+ 2 = 0

37: x= y4; x= 2 y4 38: y= x3 4x2 + 3x; y = x2 x39: x= 6y y2; x= 0 40: y= px 1; x 3y+ 1 = 0

92. Represente grcamente las siguientes regiones del plano

1: xy

0 2: xy >0 3: xy

0 4: x >0; y

0 5: x

0; y

0

6: x2 + y2 4 7: x2 + y2 0 11: y3 2x; x > 0; y >0 12: jxj + jyj 113: jxj + jyj< 1 14: x2 + y2 9; x2 + y2 >1 15: y2 < x 16: y2 > x

17: x2 + y2 1 22: jxj + jyj 6; x2 + y2 36 23: jxj jyj 024: jxj jyj 0 25: jxj + jyj> 6; x2 + y2 36 26: jxj + jyj> 6; x2 + y2 1 28: y2 >8x; y2 + 2 (x 4)029: xy1; xy 131: x0; y0; x < 4; y4 32: x2 + y2 1; y jxj + 30; y+ x2 16

93. Expresar el rea A de un cuadrado en funcin de su lado l. Hallar el dominio de la funcin.

94. Expresar el rea A de un tringulo equiltero en funcin del lado l. Hallar el dominio de la funcin.

95. Una recta que pasa por el punto N(3; 1) y forma con los ejes coordenados el tringulo rectngulo AOB. Expresarsu rea en funcin de la pendiente de la hipotenusa. Hallar su dominio.

96. Dos postes de 12 y 28 m. de altura distan entre s30 m. Se desea unir los extremos superiores de dichos postes,

con un cable que est jo en un punto nico del suelo entre los postes y a una distancia x del poste de menor altura.Exprese la longitud del cable en funcin de x y halle su dominio.

97. Una pgina rectangular debe contener 96 cm2 de texto. Los mrgenes superior e inferior tienen 3 cm de anchuray los laterales 2 cm. Exprese el rea de la pgina en funcin de la variable x, siendo x el ancho del rea impresa.Hallar el dominio donde est denida la funcin.

98. Se tiene un alambre de 4 m de longitud y se divide en dos trozos para formar un cuadrado y un crculo. Expresarel rea total encerrada en ambas guras en funcin de x, siendo x el lado del cuadrado. Hallar el dominio dondeest denida la funcin.

99. En el tringulo rectngulo ABC, con hipotenusa AC igual a 7, expresar la longitud del cateto AB en funcinde la hipotenusa y el otro cateto y calcular su dominio.

100. En el tringulo rectngulo DEF, rectngulo en E. Si: DE= a; EF =b y DM =x (medido sobre el catetoDE); expresar la longitud del segmento MN (paralelo a EF) en funcin de los datos suministrados. Hallar eldominio de la funcin.

101. Dado un tringulo issceles cuyos lados iguales l forman 30 con el lado desigual, hallar el rea del tringulo enfuncin de la longitud de los lados iguales. Hallar el dominio.

102. Un ganadero tiene 2000 metros de valla para cercar dos corrales rectangulares adyacentes idnticos. Expresar elrea total que pudiera cercarse slo en funcin del lado no comn x de los corrales. Dominio.

103. Expresar el rea A de un tringulo equiltero en funcin de su altura h.

104. Expresar el rea A de una esfera en funcin de su dimetro.

105. Expresar el permetro P de un rectngulo de rea igual a 10 cm2 como funcin de uno de sus lados x.

158

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31/34

106. Hallar el volumen V de una esfera en funcin de su rea supercial A.

107. Expresar el volumen V de un cubo en funcin del rea A de su base.

108. Sea ABC un tringulo issceles de base igual a 6 cm y altura igual a 8 cm y sea M el punto medio de la baseAC. Si una recta paralela a la base corta en P y en Q a los lados AB y BC, expresar el rea del tringuloP MQ solamente en funcin de su altura.

109. Si la longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a 10 cm, expresar el permetro en funcin de unode los ngulos variables.

110. Una recta pasa por el punto M(3; 1) y forma con los ejes coordenados el tringulo rectngulo AOB. Expresarsu permetro en funcin de la pendiente de la hipotenusa.

111. Expresar el rea A de un rectngulo de permetro constante P, como funcin de la longitud l de uno de sus lados.

112. Expresar el radio r de un circulo en funcin de su permetro P.

113. Cul es el rea, A, de una cara de un cubo en funcin de su volumen V?

114. Una caja cerrada con base cuadrada, de lado l y altura h tiene un rea total de 200 cm2. Hallar el volumen enfuncin del lado de la base.

115. Expresar V en funcin de x, siendo V el volumen de una caja sin tapa que se construye a partir de una piezarectangular de metal de 12 cm

15cm recortando cuadrados iguales, de lado x, de cada esquina de la pieza y

doblando hacia arriba los bordes del metal para formar los lados de la caja.

116. Se quiere fabricar envases cilndricos de 1 litro de capacidad para enlatar jugos y otros productos. Expresar lacantidad de material necesario en funcin de la altura del recipiente. (No tomar en cuenta los desperdicios quepudieran producirse)

117. Expresar el rea A y el permetro P de un circulo en funcin del radio r. Hallar A en funcin de P.

118. Se quiere construir una caja de base cuadrada para contener un volumen de 10 m3. Expresar el rea total de loslados, el fondo y el tope en funcin de la longitud del lado de la base l. Hallar el dominio.

119. Exprese el volumen V de una esfera en funcin del radio r y en funcin de su dimetro d.

120. El ancho a de una caja rectangular es tres veces su longitud l y su altura h es dos veces su largo. Expresar el

volumen V de la caja en funcin de: (a) su longitud; (b) su ancho; (c) su altura.

Respuestas: Ejercicios

1:a: Si ; 1:b: Si ; 1:c: No ; 1:d: Si ; 1:e: No ; 1:f: No ; 2:a: No ; 2:b: Si ; 2:c: No ; 2:d: No ;

2:e: Si ; 2:f: Si ; 3:a: 9; 3:b: 1; 3:c: 1; 3:d: 3; 4:a: 10; 4:b: 25; 4:c: 225 ; 4:d: 3310 ;5:a: 172 ; 5:b: 52 ; 5:c: 45 ; 5:d: 165 ; 6:a: (1 h) (h 2) ; 6:b: (1 x h) (h+ x) ; 6:c: (1 2x h) ;

7:a: h+2p1h ; 7:b:

x+hp3xh ; 7:c:

(x+h)p3xxp3xh

hp3xhp3x ; 8:1:a: 3h

2 + 12h 10; 8:1:b: 2 3h2 3x2 6hx;

8:1:c: 3 (h+ 2x) ; 8:2:a: 2hh ; 8:2:b: x+h2xh ; 8:2:c: 2(h+x2)(x2) ; 8:3:a: 2hp54h+h2; 8:3:b: x+hp1+(x+h)2

;

8:3:c: (x+h)

p1+x2x

p1+(x+h)2

hp

1+x2p

1+(x+h)2 ; 8:4:a: 1p

12h ; 8:4:b: 1p2x+2h3 ; 8:4:c:

p2x3p2x+2h3

hp2x3p2x+2h3; 9: b

2 +ab+a2;

10: ab

1

ab ; 11: ab+a2

+b2

2; 12: b

a

ab+1 ; 14:1: [2; 1) ; 14:2: (1; 3] ; 14:3: (1; 0] ; 14:4: R;14:5: [1; 1) ; 14:6: R; 14:7: R; 14:8: (1; 0] [ [6; 1) ; 14:9: (1; 1] [ [0; 1) ; 14:10: R; 14:11: R;

14:12: (1; 3] ; 14:13: R n

p3o

; 14:14: R; 14:15: R; 14:16: R f2g ; 14:17: R f3g ; 14:18: R; 14:19: R;

14:20: R f1g ; 14:21: R; 14:22: (1; 0) ; 14:23: (1; 1) [ (1; 1) ; 14:24: (1; 1) ; 14:25: (1; 1] [ [1; 1) [ f0g ;14:26: (1; 1) [ (1; 1) ; 14:27: (1; 5) [ [0; 1) ; 14:28: (1; 2] [ (3; 1) ; 14:29: (1; 4) [ [1; 0] [ [1; 4) ;14:30: [0; 1) [ [2; 1) ; 14:31: (1; 0] [ (2; 3) [ [7; 1) ; 14:32: (1; 1] [ (5; 1) ; 14:33: 65 ; 12 [ 12 ; 211 ;14:34: R f0g ; 14:35: (2; 1) [ [0; 2] ; 14:36: (1; 2) ; 14:37: (1; 1) ; 14:38: (2; 2) ; 14:39: R;

14:40:1p5

2 ; 1+

p5

2

; 14:41: R [1; 2) ; 14:42: R [1; 2) ; 14:43: R

1p5

2 ; 1+

p5

2

;

15:1:a: (f+ g) (x) =q

x2x+3 +

4p7 3x; 15:1:b: (f g) (x) =q

x2x+3

4p7 3x; 15:1:c:fg

(x) =

qx+3x2

14p73x ;

15:1:d: Do m (f+ g) =D om (f g) = (1; 3) [

2; 73 ; Do m

fg

= (1; 3) [

2; 73;

159

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32/34

15:2:a: (f+ g) (x) = 13p16x2

+

rx2+2x

jx38j ; 15:2:b: (f g) (x) = 13p

16x2

rx2+2x

jx38j ; 15:2:c:fg

(x) = 13p

16x2r

jx38jx2+2x

;

15:2:d: Cada Dom : (1; 2) [ (0; 1) f4; 2g ; 15:3:a: (f+ g) (x) = 3x2x2x1 ; 15:3:b: (f g) (x) =

12x2x1 ;

15:3:c:fg

(x) = 2x+1x1 ; 15:3:d: Cada Dom = R

12 ; 1 ; 15:4:a: (f+ g) (x) = px+ px+ 2;15:4:b: (f g) (x) = px2 2x; 15:4:c:

fg

(x) =

pxpx+2

; 15:4:d: Do m (f+ g) =D om (f g) = [2; 0] ;

Domfg

= (2; 0] ; 15:5:a: (f+ g) (x) =jxj +

p3 jxj; 15:5:b: (f g) (x) =jxj

p3 jxj;

15:5:c: fg

(x) = jx

jp3jxj ; 15:5:d: Do m (f+ g) =D om (f g) = [3; 3] Do m fg

= (3; 3) ;15:6:a: (f+ g) (x) = 1jx24j +

p5 x; 15:6:b: (f g) (x) =

p5x

jx24j ; 15:6:c:fg

(x) = 1jx24jp5x ;

15:6:d: Dom (f+ g) =D om (f g) = (1; 5] f2g ; Do mfg

= (1; 5) f2g ; Dom

fg

= (0; 7) f2g ;

16:1: [7; 7] ; 16:2:

1;p

10i

; 16:3: [3; 47] ; 16:4:

2;233i

; 16:5: [5; 19] ; 16:6: (7; 23];

16:7:13 ; 2

; 16:8:

1; 12 [ 12 ; 1 ; 16:9: [1; 35] ; 16:10: (1; 60) [ [15; 1) ; 16:11: 1; 115 ;16:12:

3p2 4; 3p20 1

; 16:13:

16 ;

14

; 16:14:

310 ;

145

; 16:15:

32 ; 3

; 16:16: [1; 4] ;

17:1: Dom f = (1; 0] ; Rg o f = [1; 1) ; 17:2: Do m f = R f3g ; Rg o f = R f0g ;17:3: Dom f = R; Rg o f = [1; 3) ; 17:4: Do m f = [2; 2] ; Rg o f = [0; 2] ;17:5: Dom f = R; Rg o f =

0; 19

; 17:6: Dom f = R f4g ; Rg o f = R f0g ;

17:7: Dom f = [0; 1) ; Rg o f = (1; 1] ; 17:8: Dom f = 52 ; 1 ; Rg o f = [0; 1) ;17:9: Dom f = R; Rg o f = [9; 1) ; 17:10: Do m f = (1; 6] ; Rg o f = [0; 1) ;17:11: Do m f = R f3g ; Rg o f = 1; 19 [ (0; 1) ; 17:12: Do m f = [3; 3] ; Rg o f = [0; 3] ;17:13: Do m f = R f3g ; Rg o f = (0; 1) ; 17:14: Do m f = R 32 ; Rg o f = R f0g ;17:15: Do m f = R f9g ; Rg o f = R f1g ; 17:16: Do m f = [0; 1) ; Rg o f = (1; 2] ;17:17: Do m f =

94 ; 1

; Rg o f = [0; 1) ; 17:18: Do m f = 1; 23 [ 23 ; 1 ; Rg o f = [0; 1) ;

18:1: (1; 0] [ (5; 1) ; 18:2: (5; 1) ; 18:3: (1; 0] [ [5; 1) ; 18:4: [5; 1) ; 18:5: [5; 1) ;18:6: No est denida; 18:7: No est denida ; 18:8: (1; 1] [ [1; 2) ; 18:9: No est denida ;

18:10: (1; 1] [ [1; 2] ; 18:11: [3; 4] np

2; p2o

; 18:12: [3; 4] np

2; p2o

; 18:13: (1; 1] [ (0; 1) ;

18:14: (1; 0] ; 18:15: [0; 1) f1; 3g ; 18:16: R f0g ; 18:17: (0; 1) np

6o

; 18:18: (3; 1] [ (3; 1) ;

18:19: (3; 1) ; 18:20: (1; 0] ; 18:21: [4; 16) ; 18:22: R f2; 1g ; 18:23: (1; 0] ; 18:24: [0; 1) ;

18:25: [1; 15] ; 18:26: [1; 1) ; 18:27: (1; 2) ; 18:28: (1; 0) [ (1; 2] ; 18:29: [3; 1) [ [3; 1) ;18:30: R f1g ; 18:31: R f1g ; 18:32: R; 18:33:

1; 1

p5

2

i; 18:34: R [2; 1) ;

19:1: f(g (x)) =x2 + 2; Do m f g =h

0;p

2i

; 19:2: f(g (x)) = x2 + 1; Do m f g =h

0;p

3i

;

19:3: f(g (x)) = 1px24x

; Do m f g = (1; 0) [ (4; 1) ; 19:4: f(g (x)) = 1x3

; Dom f g = R f0g ;

19:5: f(g (x)) =x+12 ; Do m f g = R f1g ; 19:6: f(g (x)) = x + 2p

x; Do m f g = (0; 1) ;

20: F(G (H(x))) =p

2x 3; 21: x= 3p5

2 ; x= 3+

p5

2 ; x = 1+p5

2 ; x=p512 ; 22:1: f

f1x

= 1x ;

22:2: g

h1x

= x1x2 ; 22:3: l (j (x)) = 3x8 5x4; 22:4: f(g (l (x))) = 16x410x2+1 ;

22:5: h (j (f(g (2x)))) =8x (2x 1) ; 23:1: f1(x) =p

x; f2(x) =x + 1; f3(x) = 3p

x; f(x) = (f3 f2 f1) (x) ;23:2: f1(x) =x 5; f2(x) =

px; f3(x) =x 2; f4(x) = 3

px; f5(x) =x; f(x) = (f5 f4 f3 f2 f1) (x) ;

23:3: f1(x) =x + 1; f2(x) =p

x; f3(x) =x; f4(x) = 4 +x; f(x) = (f2 f4 f3 f2 f1) (x) ;

23:4: h1(x) = x + 3; h2(x) =px; h3(x) =x; h4(x) = 1 +x; h5(x) = 1x ; h (x) = (h5 h4 h3 h2 h1) (x) ;23:5: h1(x) =

px; h2(x) =x + 5; h3(x) =

8x ; h4(x) =x; h5(x) = 4 +x; f(x) = (h5 h4 h3 h2 h1) (x) ;

23:6: g1(x) =x 52 ; g2(x) = x2; g3(x) = x 14 ; g4(x) = x6; g (x) = (g4 g3 g2 g1) (x) ;23:7: g1(x) = sen x; g2(x) =x

2; g3(x) = cos x; g4(x) =x4; g (x) = (g4 g3 g2 g1) (x) ; 26:a: f (g (x)) =jxj ;

26: b: g (f(x)) =x; 26: c: x0; 27:hp

3336 ; 1

;

28: h (x) =

8>>>>>:

x2 3x si 1x2q4 (x2 3x)2 si 3

p17

2 < x 3+p172; Dom h = R

n3p17

2 ; 3+

p17

2

o;

29: h (x) =

( 12 si jxj = 2jtan xj si jxj < 2

; Dom h =2 ; 2 ; 30: f(g (x)) =

( x+ 1 si x2[1; 0]

2p

x+ 1 + 1 si x2(0; 1) ;

160

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33/34

31: h (x) =

8>>>>>>>:

2x6 + 1 si jxj 12p

3 x3 + 1 si x >11p

3x2 si 6x

8/12/2019 CDI Guia06 Ver 12

34/34

82:9: x= 4 ; x = 54 ; x=

34 ; x =

74 ; 83:1: fnjn2 Zg ; 83:2:

12 + njn2 Z

; 83:3: fnj n2 Zg ;

83:4: No tiene solucin; 83:5: No tiene solucin ; 83:6:12 + nj n2 Z

n fnj n2 Zg ; 83:7: 12 + 2njn2 Z ;83:8: f2nj n2 Zg ; 83:9: 14 + nj n2 Z ; 83:10: f2nj n2 Zg ; 83:11: 12 + 2nj n2 Z ;83:12:

34 njn2 Z ; 83:13: 2n 12 j n2 Z ; 83:14: f(2n+ 1) j n2 Zg ; 83:15: n 14 j n2 Z ;83:16: f(2n+ 1) jn2 Zg ; 83:17: 2n 12 j n2 Z ; 83:18: 14 nj n2 Z ; 83:19: 14 + nj n2 Z ;83:20: No tiene solucin; 83:21: fnj n2 Zg [ 13 + 2nj n2 Z [ 2n 13 jn2 Z ; 83:22: 12 + njn2 Z ;83:23: R fnj n2 Zg ; 83:24:

16 + nj n2 Z

; 83:25: fnjn2 Zg [

14+ nj n2 Z

; 83:26: ;

83:27: 16 + njn2 Z [ 16 nj n2 Z ; 83:28: 12 + njn2 Z [ 13 + 2nj n2 Z [ 2n 13 j n2 Z ;

83:29:

2n 12 j n2 Z [ 16 + 2njn2 Z [ 56 + 2nj n2 Z ;

84:1: g1(x) = sen x; g2(x) = cos x; g3(x) =x2; f(x) =g3(g2(g1(x)));

84:2: g1(x) = sen x; g2(x) =x2; g3(x) = cos x; f(x) =g3(g2(g1(x)));

84:3: g1(x) =x2; g2(x) = sen x; g3(x) = cos x; f(x) =g3(g2(g1(x)));

84:4: g1(x) = tan x; g2(x) =x; g3(x) = 1 +x; g4(x) = sen x; f(x) =g4(g3(g2(g1(x))));84:5: g1(x) =x + 3; g2(x) =

px; g3(x) =x; g4(x) = 1 +x; g5(x) = cos x; f(x) =g5(g4(g3(g2(g1(x))))) ;

84:6: g1(x) =x 5; g2(x) =p

x; g3(x) = x 2; g4(x) = sen x; g5(x) =x; f(x) =g5(g4(g3(g2(g1(x))))) ;84:7: g1(x) =x

2 5x+ 6; g2(x) = sec x; g3(x) =x6; f(x) =g3(g2(g1(x)));84:8: g1(x) =

3xx+5 ; g2(x) = cos x; g3(x) =x; g4(x) = 3 +x; f(x) =g4(g3(g2(g1(x))));

84:9: g1(x) = 3x2; g2(x) =x + 5; g3(x) = 3

px; g4(x) = sen x; f(x) =g4(g3(g2(g1(x))));

84:10: g1(x) = x2 2x 3; g2(x) = cot x; g3(x) =x2; g4(x) =x; g5(x) = 1 +x; g6(x) =px;f(x) =g6(g5(g4(g3(g2(g1(x))))));

84:11: g1(x) = x2 + 3; g2(x) = tan x; g3(x) =

px; g4(x) = csc x; g5(x) = 8 +x; f(x) = g5(g4(g3(g2(g1(x)))));

85:1: R (2n+ 1) 2 =n2 N ; 85:2: R (2n+ 1) 2 =n2 N ; 85:3: R f2n=n2 Ng ; 85:4: R f2n=n2 Ng ;85:5: R f0; 1g ; 85:6: R; 85:7: 5; 72 ; 85:8: [2n; (2n+ 1) ] (4n+ 1) 2 =n2 N ; 85:9: R;85:10: R (2n+ 1) 2 =n2 N ; 85:11: (1; 3] [ [2; 1) (2n+ 1) 4 =n2 N ; 85:12: (1; 0] (2n+ 1) 4 =n2 N; n