Chap 1: Algèbre de bool

Chapitre I : Algèbre de bool (boolean algebra) I- Introduction :----------------------------------------------------- George bool à définit vers 1847 un algèbre qui s’applique à des fonctions logiques de variables logiques (variables booléennes). L’algèbre de bool aide à comprendre et concevoir les circuits électroniques de l’ordinateur. En général, l’algèbre de bool est une structure mathématique qui permet d’exprimer le fonctionnement de tout système logique à deux états. Les conditions y sont représentées par des variables et les relations par des signes et on peut relier variables et relations sous forme d’équations. De plus il existe des règles qui permettent de réduire les équations. II- Définition :--------------------------------------------------------- 1- Algèbre de bool : il est définit par un ensemble de variables logiques, un ensemble d’opérateurs et un nombre de postulats et de théorèmes qui utilisent un ensemble composé de deux valeurs seulement B={0,1}. 2- Variable Logique : Une variable logique ou binaire (ou booléenne) x est une grandeur (en réalité : une condition, une probabilité …) qui ne peut prendre que deux valeurs (0 et 1). Exemple: un interrupteur K ne peut prendre que deux états, il est ouvert ou il est fermé.

𝒙 = 𝟎 𝐬𝐢 𝐤 𝐞𝐬𝐭 𝐨𝐮𝐯𝐞𝐫𝐭𝟏 𝐬𝐢 𝐤 𝐞𝐬𝐭 𝐟𝐞𝐫𝐦𝐞𝐭

3- Opérateurs Logiques : Un opérateur logique est une conjonction (relation) qui combine des variables logiques. On définit trois opérateurs logiques de base: (supposant qu’on a deux variables logiques a et b). - NON/NOT ( 𝒂 ) : Inverse ou complémente la valeur de la

variable a. (opérateur unaire) Si a=0 alors 𝒂 = 𝟏 et vise versa.

- ET/AND (a.b / ab) : égale à 1 si a et b sont à 1 et égale à 0 sinon. (opérateur binaire). On écrit ab ou bien a et b ou bien a.b ou bien a and b a b a.b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

- OU/OR (a+b) : égale à 0 si a et b sont à 0 et égale à 1 sinon. On écrit a+b ou bien a ou b ou bien a or b

a b a+b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

4- Fonctions logiques : Une fonction logique est une association de variables, reliées par des opérateurs, qui ne peuvent prendre que deux valeurs (0 ou 1). Exemple : 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒇 𝒂, 𝒃 = 𝒂 + 𝒂𝒃 𝒇 𝒙,𝒚, 𝒛 = 𝒙𝒚𝒛 + 𝒚 + 𝒙𝒛 Le résultat d’une fonction est toujours 0 ou bien 1. III- Propriétés de l’algèbre de bool :---------------------------- Les propriétés de l’algèbre de bool sont sous forme de

postulats (ُمَسَلَمة) et théorèmes (نظرية) qui nous aident à manipuler et simplifier les fonctions logiques. 1- Les postulats de huntington: Postulat 1 : Fermeture par rapport aux opérateurs OU et AND

Un ensemble S est dit fermé par rapport à un opérateur si pour chaque paire de variables 𝝐 𝑺 l’opérateur donne un résultat qui appartient à S. ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐵 B : l’ensemble des valeurs booléennes ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑥. 𝑦 ∈ 𝐵 {0,1} Postulat 2 : Loi de l’identité (éléments neutres) Le 0 est l’élément d’identité du OU : x+0=0+x=x Le 1 est l’élément d’identité du ET : x . 1 = 1 . x=x

Postulat 3 : Loi de commutativité par rapport aux OU et AND xyyxetxyyx ..

Postulat 4 : Loi distribution par rapport aux OU et AND

zxyxzyxetzxyxzyx

Postulat 5 : Loi de complémentarité ∀𝒙𝝐𝑩,∃𝒙 ∈ 𝑩 𝒕𝒆𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙 + 𝒙 = 𝟏 𝒆𝒕 𝒙 ∙ 𝒙 = 𝟎 Postulat 5 : il existe deux éléments x,y 𝝐 B tel que x≠ 𝒚 2- Les théorèmes Théorème 1: Le complément de x est unique ∀ 𝑥 ∈ 𝐵, 𝑠𝑖 𝑥 = 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥 = 1 ∀ 𝑥 ∈ 𝐵, 𝑠𝑖 𝑥 = 1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥 = 0 Théorème 2: Loi d’idempotence

xxxxxx ,

Théorème 3: Loi des éléments dominants

00,11 xx

Théorème 4: Loi d’involution

xx Théorème 5: Loi d’absorption

xyxxxyxx ,

Théorème 6: Loi du consensus

yxyxxyxyxx ,

Théorème 7: Loi d’associativité

zyxzyxzyxzyx ,

Théorème 8: Loi de De Morgan

yxyxyxyx ,

Théorème 9: Loi de De Morgan généralisée

..........,... zyxzyxzyxxyz

Théorème 10: Loi du consensus généralisée zxyxzyzxyxzxyxzyzxyx ,

Simplifier les fonctions suivantes :

))()(( PNPMNMF , DCBCABCBAZ

DCBAH .).( , )).(( NMNMX IV- Représentation d’une fonction logique :------------------ Pour représenter une fonction logique, il existe deux méthodes : - Par son expression logique : C’est une combinaison des variables de la fonction via les opérateurs de base de l’algèbre de Boole. Exemple: Fonction f de trois variables x, y et z.

zxzyyxzyxf ,,

- Par sa table de vérité : La Table définit la valeur de la fonction pour chaque combinaison des valeurs possible en entrée.

Exemple : zxzyyxzyxf ,,

x y z 𝑦 𝑧 xy 𝑦 z x𝑧 f(x,y,z)

0 0 0 0 0 1 0 1 0

1 1 0

1 0 1

0 0 0

0 1 0

0 0 0

0 1 0

Ecole préparatoire en science et technique – Tlemcen @2013 Chapitre I : Algèbre de Boole Mr A.BEKADDOUR, Mr G. ABDELLAOUI 1

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 1 1

Remarque : Pour n variables nous avons 2n combinaisons

possibles. Deux fonctions logiques sont identiques si :

On peut montrée via les propriétés de l’algèbre de Boole que leurs expressions logiques sont identiques.

Leurs tables de vérité sont identiques. - Par son circuit logique : Le circuit logique est un schéma graphique de la fonction qui représente la forme pseudo-électrique ( qui peut (شبه الكترونيêtre ensuite convertit en un circuit électronique puis industrialiser. Chaque opérateur logique possède un circuit équivalent :

ET

OU

NON Exemple : 𝑳 𝑿,𝒀, 𝒁 = 𝑿 𝒁 + 𝑿𝒀

V- Formes canoniques d’une fonction:----------------------- 1. Une fonction logique est dite sous forme canonique si dans

tous ces termes tous les variables existent soit sous forme directe(sans bare) ou bien sou forme complémentaire.

Exemple : - la fonction f(x,y)=xy+y n’st pas sous forme canonique car le deuxième terme ne contient pas toutes les variables (y). - La fonction 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 . (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) est sous forme canonique car les deux termes de cette fonction contiennent toutes les variables (x,y,z).

- la fonction zxzyyxzyxf ,, est …………………….

2. Pour une fonction logique a n variables, il existe deux possibilités pour regrouper les variables sous forme canonique: - Min Terme : Groupe de n variables (pouvant être complémentaires) liées par des ET. (Exemple : xy𝑧 ) - Max Terme : Groupe de n variables (pouvant être complémentaires) liées par des OU. (Exemple : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧) Combinaison Min terme Max terme

x y z terme Désignation terme Désignation

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑦𝑧

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

M0

M1

M2

M3

M4

M5

M6

M7

Chaque max terme et le complément de son min terme et

vise versa. mi = 𝑴𝒊 et Mi = 𝒎𝒊 Exemple :

x y z F1 F2

0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 1 1 1

3. Il existe deux formes canoniques d’une fonction logique : Première forme: L’union (OU) des Min termes

Exemple : cbacbacbaabccbaf ,,

Deuxième forme: intersection (ET) des Max termes

Exemple : cbacbacbacbaf ,,

4. Pour rendre une fonction sous forme canonique on utilise les propriétés de l’algèbre de bool. Exemple :

- Somme des min termes : 𝐹 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴(𝐵 + 𝐵) 𝐶 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐶 = 𝑨𝑩𝑪 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝑨𝑩𝑪 + 𝑨𝑩 𝑪

𝐵 𝐴 + 𝐴 𝐶 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐶

= 𝑨𝑩𝑪 + 𝑨𝑩 𝑪 + 𝑨 𝑩𝑪 + 𝐴 𝐵 𝐶 𝐶 𝐴 + 𝐴 𝐵 + 𝐵 = 𝐴𝐶 + 𝐴 𝐶 𝐵 + 𝐵 = 𝑨𝑩𝑪 + 𝑨𝑩𝑪 + 𝐴 𝐵𝐶 + 𝑨 𝑩 𝑪

𝐹 = 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵 𝐶 + 𝐴 𝐵𝐶+𝐴 𝐵 𝐶

F=m7+m6+m5+m4+m0+m3 = (0,1,3,4,5,6,7) - Produits de max termes : 𝐹 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑥𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑧 (𝑦 + 𝑧) 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧𝑧 = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑧 + 𝑦𝑦 = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑦 + 𝑧 = 𝑦 + 𝑧 + 𝑥𝑥 = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 (𝒙 + 𝒚 + 𝒛) 𝐹 = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 𝑥 + 𝑦 + 𝑧

𝐹 =M4.M5.M0.M2 = (0,2,4,5) 5. Forme standard : la forme standard est une autre forme pour représenter une fonction logique : dans cette forme, les termes formant la fonction peuvent contenir un, deux ou plusieurs variables, il existe deux types de cette forme : - Somme de produits : F x, y, z = y + xy + xyz - Produits de sommes : F(x, y, z, w) = x(y + z)(x + y + w) 6. Forme non standard : il existe une autre forme de la fonction logique appelée forme non standard :

𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 (𝐴 𝐵 + 𝐶 𝐷) VI- Minimisation des fonction logiques:----------------------- Pour simplifier, c’est à dire écrire la même fonction avec le moins de terme et les plus simples possible, il existe deux méthodes : 1- Utiliser les propriétés de l’algèbre de Boole.(Exemples)

𝑋 = 𝑀 + 𝑁 𝑀 + 𝑁

= 𝑀 + 𝑁 𝑀 + 𝑀 + 𝑁 . 𝑁 (Distribution)

= 𝑀 𝑀 + 𝑁 + 𝑁 𝑀 + 𝑁 (Commutativité)

= 𝑀𝑀 + 𝑀 𝑁 + 𝑁𝑀 + 𝑁𝑁 (Distribution)

= 𝑁𝑀 + 𝑁 𝑀 (𝑥𝑥 = 0) 2- Utiliser la méthode de tableau de Karnaugh.

F1=𝑥 𝑦𝑧+𝑥𝑦 𝑧+𝑥𝑦𝑧 F1= m1+m4+m7

F2= 𝑥𝑦𝑧+𝑥𝑦𝑧+𝑥𝑦𝑧+𝑥𝑦𝑧F2= m3+m5+m6+m7

𝐹1= 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝐹1=M1.M4.M7 F1=M0.M2.M3.M5.M6

𝐹2=(𝑥 + 𝑦 + 𝑧).(𝑥 + 𝑦 + 𝑧).(𝑥 + 𝑦 + 𝑧).(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)

𝐹2=M3.M5.M6.M7 F2=M0.M1.M2.M4


VII- Minimisation par tableau de karnaugh:-------------------- La méthode de tableau de karnaugh est une méthode simple et directe pour simplifier les fonctions logiques. Cette méthode a été proposée en premier temps par VEITCH et ensuite développée par kanaugh. Un tableau de karnaugh est constitué par des cases carrées dont chaque case représente un min terme. 1. Tableau de karnaugh à 2 variables : Un tableau de karnaugh à 2 variables est représenté par 4 min termes (4 cases) :

Exemple : 𝐹 𝐴, 𝐵 = 𝑚1 + 𝑚3 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐵

2. Tableau de karnaugh à 3 variables : Un tableau de karnaugh à 3 variables est représenté par 8 min termes (8 cases) :

Exemple : 𝐻 = 𝑚0 + 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚6

3. Tableau de karnaugh à 4 variables : Un tableau de karnaugh à 4 variables est représenté par 16 min termes (16 cases) :

Exemple : 𝐺 = 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚6 + 𝑚8 + 𝑚10 + 𝑚11 + 𝑚12 + 𝑚14 + 𝑚15

4. Simplification par tableau de karnaugh : La simplification par tableau de karnaugh consiste à supprimer les termes superflus et a réduire le plus possible le nombre de terme à utiliser. On peut procéder de deux manières différentes pour la simplification : - élimination d’un terme inclus dans un autre (cas d’inclusion) :

Soit 𝐹(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) = 𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 à simplifier. ab\cd 00 01 11 10

00 0 0 1 1

01 0 0 0 0

11 0 0 0 0

10 0 0 1 1

On remarque que la case correspondante au terme 𝑎𝑏𝑐𝑑 est

incluse dans les cases correspondantes au terme 𝑏𝑐 donc on va

éliminer le terme inclus (𝑎𝑏𝑐𝑑 ) et 𝐹 = 𝑏𝑐 - élimination des variables superflus : Une variable superflu est une variable qui change d’état d’une case à une case adjacente qui valent 1. ab\cd 00 01 11 10

00 1 2 3 4

01 5 6 7 8

11 9 10 11 12

10 13 14 15 16

Les cases 1 et 2, 2 et 3, 3 et 4, 5 et 6 ……,15 et 16 sont adjacentes. Les cases 1 et 5, 5 et 9, 9 et 13, 2 et 6, …… 12 et 16 sont adjacentes. Les cases 1 et 4, 5 et 8, 9 et 12, 13 et 16, 1 et 13, 2 et 14, 3 et 15, 4 et 16 sont adjacentes. Les cases 1 et 2 et 3 et 4, 5 et 6 et 7 et 8, …. , 13 et 14 et 15 et 16 sont adjacentes. Les cases 1 et 5 et 9 et 13, 2 et 6 et 10 et 14, ….. , 4 et 8 et 12 et 16 sont adjacentes. Les cases 1 et 4 et 13 et 16 sont adjacentes. Les cases 1et2et13et14, 2et3et14et15, 3et4et15et16 sont adjacentes. Les cases 1et5et4et8, 5et9et8et12, 9et13et12et16 sont adjacentes. Les cases 1 et 2 et 5 et 6, 2 et 3 et 6 et 7, 3 et 4 et 7 et 8, 5 et 6 et 9 et 10, …. , 11 et 12 et 15 et 16 sont adjacentes. Les cases 1et2et5et6et9et10et13et14, 2et3et6et7et10et11et 14et15, 3et4et7et8et11et12et115et16 sont adjacentes. Les cases 1et2et3et4et5et6et7et8, 5et6et7et8et9et10et11 et12, 9et10et11et12et13et14et15 sont adjacentes. Les cases 1et2et3et4et13et14et15et16 sont adjacentes.

x\y 0 1

0 𝑥 𝑦 𝑥𝑦

1 𝑥 𝑦 𝑥𝑦

x\y 0 1

0 m0 m1

m2 m3

A B F

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

A\B 0 1

0 0 1

1 0 1

A\BC 00 01 11 10

0 m0 m1 m3 m2

1 m4 m5 m7 m6

A\BC 00 01 11 10

0 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶

1 𝐴𝐵 𝐶 𝐴 𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶

A B C H

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 1

1 1 1 0

A\BC 00 01 11 10

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

BC\A 0 1

00 1 0

01 1 0

11 0 0

10 1 1

AB\CD 00 01 11 10

00 m0 m1 m3 m2

01 m4 m5 m7 m6

11 m12 m13 m15 m14

10 m8 m9 m11 m10

AB\CD 00 01 11 10

00 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷

01 𝐴 𝐵𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵𝐶𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷

11 𝐴𝐵𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐶 𝐷 𝐴𝐵 𝐶𝐷 𝐴𝐵𝐶𝐷

10 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷

A B C D G

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 0

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

AB\CD 00 01 11 10

00 0 0 1 1

01 0 0 0 1

11 1 0 1 1

10 1 0 1 1


Les cases 1et5et9et13et4et8et12et16 sont adjacentes. Les cases ……………………………………………. Sont adjacentes. Remarquer que les cases adjacentes sont en puissance de deux. Exemple1 : si une fonction vaut 1 dans deux cases adjacentes il y a simplification des 2 termes correspondants aux cases. Soit la fonction 𝐹 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 𝑤 + 𝑥𝑦𝑧 𝑤 wx\yz 00 01 11 10

00 0 0 0 1

01 0 0 0 1

11 0 0 0 0

10 0 0 0 0

𝐹 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑤𝑦𝑧 Les cases adjacentes qui valent 1 sont les cases 4 et 8. Dans le passage entre ces deux cases je remarque que la variable x change de valeur (superflu) donc elle sera supprimée et on garde les autres variables. Exemple2 : si une fonction vaut 1 dans quatre cases adjacentes il y a simplification des 4 termes correspondants aux cases.

𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 + 𝑎𝑏𝑐𝑑 ab\cd 00 01 11 10

00 0 0 0 0

01 1 1 0 1

11 1 0 0 1

10 0 0 0 0

𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = 𝑏𝑑 + 𝑎𝑏𝑐 Exemple3 : si une fonction vaut 1 dans huit cases adjacentes il y a simplification des 8 termes correspondants aux cases.

𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = 𝑎𝑏 𝑐 𝑑 + 𝑎𝑏 𝑐 𝑑 + 𝑎𝑏 𝑐 𝑑 + 𝑎𝑏 𝑐 𝑑 + 𝑎𝑏 𝑐 𝑑

+ 𝑎𝑏 𝑐 𝑑 + 𝑎𝑏 𝑐 𝑑 + 𝑎𝑏 𝑐 𝑑 ab\cd 00 01 11 10

00 1 1 0 0

01 1 1 0 0

11 1 1 0 0

10 1 1 0 0

𝐹 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = 𝑐 Exemple4: si une fonction vaut 1 dans seize cases adjacentes il y a simplification des 16 termes correspondants aux cases et la fonction sera = 1. Simplifier la fonction suivante :

𝑭 𝒂,𝒃, 𝒄 = 𝒂 𝒃𝒄 + 𝒂 𝒃𝒄 + 𝒂𝒃𝒄 + 𝒂𝒃𝒄 + 𝒂𝒄 5. Condition indéterminée ou indifférente : Il existe des combinaisons d’entrée pour lesquelles il nous importe peut que la sortie soit égale à 1 ou à 0. Plusieurs raisons peuvent expliquer la présence des conditions indéterminées, la plus courante est que dans certaines situations ces combinaisons d’entrée ne peuvent jamais survenir. Exemple : 𝐹 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (1,3,7,11,15) Et le cas indéterminé : 𝐷 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (0,2,5) wx\yz 00 01 11 10

00 x 1 1 x

01 0 x 1 0

11 0 0 1 0

10 0 0 1 0

𝐹 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑧 + 𝑤 𝑥

Règle de simplification : - Favoriser les 1. - Favoriser l’ensemble qui a le plus grand nombre de cases.

- Minimiser le nombre d’ensemble. - Prendre le moins de 1 possible. - Ne prendre les x que pour simplifier les 1. Remarque : dans le cas de confusion d’un x et d’un 1 la case sera considérer comme un 1 mais on note x. Exemple :

𝐹 𝑎, 𝑏 = 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝐷 𝑎, 𝑏 = 𝑎𝑏

a\b 0 1

0 0 1

1 0 x

𝐹 𝑎, 𝑏 = 𝑏

Exercices d’appuis :

1. Multiply the following Boolean expressions: a- (J+R)(RT) c- P(T+P+PT)

b- (LM)(M+L+T) d- (A+N)(N+C)

2. Simplify the following Boolean expressions by using

the required laws. a- FG+(FG+H)

b- c-

3. Simplify the following Boolean expressions, using the

law of ABSORPTION.

a-

b- 4. Exprimez cette table de vérité sous les formes suivantes

: a) somme de mintermes b) produit de maxtermes

5. Simplifier la fonction S suivante en utilisant le tableau

de karnaugh :

6. Soit la fonction logique F(a,b,c,d)=𝑎 𝑏 𝑑 + 𝑎 𝑏𝑑 + 𝑎𝑏 𝑑

avec le cas indéterminé D(a,b,c,d)= 𝑎𝑏𝑐𝑑 + 𝑎 𝑏𝑐𝑑

Simplifier la fonction F en utilisant le tableau de

Karnaugh.

On note x mais c’est un 1


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