Chap 2 – Probabilités conditionnelles · Règle n°2 (principe multiplicatif) : La probabilité d'un événement correspondant à un chemin est le produit des probabilités inscrites

Chap 2 - Probabilités conditionnelles

I. Notion de probabilité conditionnelle (TES.120, TES.121)................................................................51) Conditionnement par un événement...................................................................................................52) Probabilité de « A intersection B ».....................................................................................................5

II. Représentation par un tableau ou par un arbre pondéré (TES.122, TES.123, TES.124)............61) Représentation par un tableau à double entrée...................................................................................62) Représentation par un arbre................................................................................................................7

III. Formule des probabilités totales (TES.125)....................................................................................91) Partition d'un univers..........................................................................................................................92) Formule des probabilités totales.........................................................................................................93) Cas particulier : Partition de l'univers en 2 événements....................................................................9

A. Gniady – 2015-2016 Chap 2 – Probabilités conditionnelles 1 / 10

Chap 2 – Probabilitésconditionnelles

Terminale ES


Vérifier les acquis p 170

Activités : conditionnement : 1 p 171 ; partition et proba totale : 2 p 171

TES.12 Chap2 – Probabilités conditionnelles Exercices

TES.120 Calculer une probabilité conditionnelle pA(B). 22 p 178, 32-33 p 180, 30 p 179Feuille 4, 6

TES.121 Calculer la probabilité d'une intersection p(A inter B). 25 p 178AP 13-14 p 176

TES.122Calculer des probabilités conditionnelles à l'aide d'un tableau.

3 p 173Feuille 28

TES.123Construire et utiliser un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.

23 p 178Feuille 36, 37, 39AP 10-11 p 176

TES.124Exploiter la lecture d’un arbre pondéré pour déterminer des probabilités.

26 p 179Feuille 43(avec binom)AP 16-17 p 176

TES.125Calculer la probabilité d’un événement à l'aide de la formule des probabilités totales.

6-7-8 p 175, 34 p 180, 38 p 180, 43 à 46 p 181Feuille 41

Exercices bilan :Bac : 50 p 18355 p 185 (loi binom fin), 57 p 186, 62 p 187, 64 p 188(esper)Feuille 51 (loi binom fin), 56Avec les suites : 53 p 185, 67 p 189, Feuille 59AP : Feuille 44

Algo :56 p 186 (loi binom)Feuille 34, 29

TP :51 p 184 (excel)



I. Notion de probabilité conditionnelle (TES.120, TES.121)

1) Conditionnement par un événement

Définition : On considère une expérience aléatoire, munie d'une loi de probabilité P sur son univers Ω.Soit A et B deux événements de l'univers Ω tels que P (A)≠0 .On appelle « probabilité conditionnelle de B sachant A », le nombre noté P A(B) défini par :

P A(B)=P (A∩B)

P (A).

Concrètement, P A(B) est la probabilité que l'événement B se réalise sachant que l'événement A est déjà réalisé.

Remarques : - Le nombre P A(B) est une probabilité, appelée probabilité conditionnelle.Il a donc toutes les propriétés d'une probabilité, à savoir : 0≤PA (B)≤1 et P A( B)=1−PA (B) .

- De la même manière, si l'événement B est tel que P (B)≠0 , on peut définir la probabilité de A sachant

B par PB (A)=P(A∩ B)

P (B).

Exemple 1 : Dans un groupe de jeunes, 40% sont des filles et 45% font du ski. Parmi les filles, il y a 30% de skieuses. Parmi les garçons, il y a 55% de skieurs. Traduire les données chiffrées par des probabilités.

Notons F l'événement « la personne est une fille » et S : « la personne fait du ski ».D'après l'énoncé, on peut écrire :

P (F )=0,4 P (S )=0,45 PF (S )=0,3 et P F (S )=0,55

2) Probabilité de « A intersection B »

Propriété :Soit A et B deux événements d'un même univers Ω tels que P (A)≠0 . On a alors

P (A∩B)=P ( A)×PA (B) .

Preuve : Immédiate d'après la définition.

Remarque : Si A et B sont deux événements d'un même univers Ω tels que P (B)≠0 .Alors, on a aussi P (A∩B)=P (B )×PB (A) .

On reprend l'exemple 1 ci-dessus : On rencontre au hasard un jeune de ce groupe qui fait du ski. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?On cherche à calculer PS (F ) .

Par définition, on a : PS (F )=P (S∩F )

P (S )=

P (S∩F )

0,45.

Il nous faut donc calculer P (S∩ F ) : D'après la propriété ci-dessus, on aP (S∩ F )=P(F )×PF (S )=0,4×0,3=0,12


Ainsi : PS (F )=0,120,45

=4

15≈0,267 à 10−3 près.

Conclusion, on croise un skieur au hasard du groupe de jeune, la probabilité que ce soit une fille est de environ 0,267.

Exercice 1 : Dans une population donnée, 84% des personnes possèdent un téléphone portable et 75% des personnes possèdent un ordinateur. De plus, 60% des personnes de cette population déclarent posséder les deux. On rencontre au hasard une personne de cette population.On considère les événements T : « la personne rencontrée possède un téléphone portable » etO : « la personne rencontrée possède un ordinateur ».a. Traduire les données de l'énoncé par des probabilités.b. Calculer la probabilité conditionnelle de O sachant T.c. Déterminer la probabilité que la personne rencontrée possède un téléphone portable sachant qu'elle a un ordinateur.

Exercice 2 : Lors d'une enquête menée auprès d'une population, on a constaté que 85% des personnes sont des femmes et que, parmi ces femmes, 62% travaillent à temps partiel. On choisit une de ces personnes au hasard et on considère les événements F : « la personne choisie est une femme » et T : « la personne choisie travaille à temps partiel ».a. Traduire en termes de probabilités les données numériques de l'énoncé.b. Calculer la probabilité que la personne choisie soit une femme travaillant à temps partiel.

(Exo corrigé Indice page 151)

II. Représentation par un tableau ou par un arbre pondéré (TES.122, TES.123, TES.124)

1) Représentation par un tableau à double entréeCertains tableaux à double entrée peuvent permettre de déterminer des probabilités conditionnelles.Soit A et B deux événements d'une même expérience aléatoire.On peut construire un tableau comme ci-dessous :

A A Total

B P (A∩B) P ( A∩B) P (B)

B P (A∩B) P ( A∩B) P ( B)

Total P (A) P ( A) 1

La probabilité de l'événement A∩B se situe à l'intersection de la colonne A et de la ligne B.P A(B) est alors le quotient des valeurs de P (A∩B) et de P (A)

Exemple : Représenter la situation de l'exemple 1 ci-dessus (paragraphe I) par un tableau à double entrée. Puis calculer la probabilité que, sachant que la personne rencontrée skie, ce soit un garçon.

F F Total

S 0,12 calculéprécédemment

0,45

S

Total 0,4 1


Exercice 3 : La répartition des voitures garées dans un parking est donnée dans le tableau ci-dessous.

Diesel Essence Total

Marque française

0,43 0,12 0,55

Marqueétrangère

0,34 0,11 0,45

Total 0,77 0,23 1

On choisit au hasard une voiture garée dans ce parking. Sachant qu'il est de marque française, quelle est la probabilité que ce soit un diesel ?(Corrigé Indice page 151)

2) Représentation par un arbreDans le cas d'une expérience aléatoire mettant en jeu des probabilités conditionnelles dans un univers Ω , on peutmodéliser la situation à l'aide d'un arbre pondéré. Pour cela, on peut envisager deux niveaux de branches : unpremier niveau qui indique la probabilité d'un événement A, puis un second niveau qui permet de faire figurer lesprobabilités conditionnelles d'un événement B selon que A est réalisé ou non.

Evénement 1er niveau 2ème niveau correspondant au Probabilité

chemin parcouru

Vocabulaire des arbres :Une branche relie deux événements. Sur chaque branche, on note la probabilité correspondante : la probabilité de labranche reliant A et B est P A(B) .

Un chemin est une succession de branches : il représente l'intersection des événements rencontrés sur ce chemin. Laprobabilité d'un chemin est donc la probabilité de l'intersection des événements rencontrés sur ce chemin.

Un nœud est le point de départ d'une ou plusieurs branches.

Règles sur les arbres :Lorsqu'une situation est représentés par un arbre pondéré, les règles suivantes s'appliquent :Règle n°1 (règle des nœuds) : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.

Règle n°2 (principe multiplicatif) : La probabilité d'un événement correspondant à un chemin est le produit desprobabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin.

Règle n°3 : La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement.


AP (A)

B P (A∩ B)=P (A)×PA(B)A∩BP A(B)

P A( B)

P A(B) B

B A∩B

A∩B

P ( A)A

P A( B) B

P (A∩B)=P ( A)×PA ( B)

P ( A∩B)=P ( A)×P A (B)

P ( A∩B)=P ( A)×P A ( B)A∩B

Exemple : Représenter la situation de l'exemple 1 par un arbre.

0,3

0,4 0,7

0,6 0,55

0,45

Exercice 4 : On considère deux événements A et B liés à une expérience aléatoire modélisée par l'arbre ci-dessous :

0,7

0,8

0,5

a. Donner la signification des nombres 0,8 ; 0,7 et 0,5.b. Compléter cet arbre avec les probabilités manquantes.c. Déterminer la probabilité de l'événement A∩B .(corrigé Indice page 153)

Exercice 5 : Tous les élèves de terminale d'un lycée ont passé un test de certification en anglais.80% ont réussi le test. Parmi ceux qui ont réussi le test, 95% ont suivi des cours pour préparer ce test. Parmi ceux qui ont échoué au test, 2% ont suivi les cours de préparation.a. Traduire les données numériques de l'énoncé par des probabilités.b. Représenter la situation par un arbre pondéré.c. On choisit un élève de terminale au hasard. Calculer la probabilité que ce soit un élève ayant réussi le test sans suivre les cours de préparation.(exemple pris dans hyperbole page 172)

Exercice 6 : On dispose des informations suivantes sur une société :- Elle comporte 40% de cadres.- 20% des cadres sont des femmes.- Parmi les employés qui ne sont pas cadres, 60% sont des femmes.On prend au hasard la fiche d'un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants :C : « l'employé est une cadre » et F : « l'employé est une femme ».a. Représenter la situation par un arbre pondéré.b. Calculer la probabilité pour que l'employé interrogé soit une femme cadre.(exo corrigé hyperbole page 173)


S

F

SS

F

S

B

A

BB

A

B

III. Formule des probabilités totales (TES.125)

1) Partition d'un universOn considère B1 , B2 , …. , Bn n événements d'un même univers Ω .On dit que les événements B1 , B2 , …. , Bn constituent une partition de l'univers Ω lorsque les événements

Bi (avec 1≤i≤n ) sont deux à deux disjoints et que leur réunion est l'univers Ω .

× × × × × × × B1 × ... × ×

Ω × × × Bn

× × × ×× × ×

× B2 × × × × × B3 × ... ×

2) Formule des probabilités totalesSi les n événements B1 , B2 , …. , Bn d'un même univers Ω constituent une partition de Ω , alors pourtout événement A on a :

P (A)=P (A∩ B1)+ P ( A∩ B2)+ ....+ P( A∩ Bn)

× × × × × × × B1 × ... × ×

Ω × × × Bn

× × × ×× × ×

× B2 × × × × × B3 × ... ×

Cette formule s'écrit aussi : P (A)=PB1( A)×P(B1)+ PB2

(A)×P (B2)+ ....+ PBn(A)×P (Bn) (Formule des probabilités

totales).

3) Cas particulier : Partition de l'univers en 2 événementsSi B est un événement d'un univers Ω , alors B et B forment une partition de Ω .Pour tout événement A, on a donc : P (A)=P (A∩B)+P ( A∩B)

ou encore : P (A)=PB (A)×P (B )+P B(A)×P ( B )

× B × ×× × ×

Ω × × × × × ×

× × × ×× × ×

× × × B ×


A

A

Exercice 7 : On teste l'efficacité d'un médicament sur un échantillon d'individus ayant un taux de glycémie anormalement élevé.Dans cette expérimentation, 50% des individus prennent le médicament, les autres reçoivent un placebo.On étudie la baisse du taux de glycémie après l'expérimentation.On constate une baisse significative de ce taux chez 80% des individus ayant pris le médicament.On ne constate aucune baisse significative pour 90% des individus ayant pris le placebo.On tire au hasard la fiche de l'une des personnes de cet échantillon.a. Représenter la situation par un arbre de probabilité.b. Calculer la probabilité que le taux de glycémie de la personne choisie ait baissé significativement.


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Chap 2 – Probabilités conditionnelles · Règle n°2 (principe multiplicatif) : La probabilité d'un événement correspondant à un chemin est le produit des probabilités inscrites