CHAPITRE 1

Analyse Tridimensionnelle des Contraintes et Critères d’Écoulement

État de contrainte en 3D

Contraintes principales (cercle de Mohr)

Critère de défaillance Contrainte de cisaillement max. (Tresca)

Énergie de distorsion max. (Von Mises)

Contrainte normale max.

Notions de base utilisées

L'équilibre dans l’espace

Les notions de contraintes

Les notions de déformations

Les relations contrainte-déformation-température

Les critères de défaillance

Notions d’équilibre (statique)

DCL

Équation d’Équilibre

F=0

M=0

Notion de contrainte

Soit un point P appartenant au plan dont la normale est n est une force interne agissant sur une surface infinitésimale au pt P.

A

R

RF

V

A

P

n

Notions de contraintes

1. Contrainte normale

2. Contraintes de cisaillementnσ

AV

0Alimτ s

ns

AV

0Alimτ t

nt

AF

0Alimσ

n

ntns

F

V

A

P

n

Vt

Vs

t

s

Les notions de déformations(2D: dans le plan xy)

Déformation normales x y

Déformation de cisaillement xyy

xxvv

yyuu

yyvv

xxuu

x

y

xy2

u

v

x

y

A B

CA'

B'

C'

x

AB

AB'B'Alim

0xx

x

u

x

xuxx

uux

lim0x

x

y

v

y

yvyy

vvy

lim0y

y

y

u

x

vxy

Les notions de contraintes-déformations-température Loi de Hooke

x

x

y

y

z

z

T=T-To

/Eσνε/Eσνε

/Eσε

xz

xy

xx

/Eσνε/Eσε

/Eσνε

yz

yy

yx

E/E/E/

zz

zy

zx

ΔTαεΔTαεΔTαε

z

y

x

Les notions de contraintes-déformations-température Loi de Hooke - (suite)

Relation contraintes-déformationsxy

z

x

y

yx

xyyx

yz

zy

G

τγ xy

xy

Gτ

γ xzxz

G

τγ yz

yz

ΔTα )σσ(νσ E

1ε zyxx

ΔTα )σσ(νσ E

1ε xzyy

ΔTα )σσ(νσ E

1ε yxzz

G

τγ xy

xy

Gτ

γ xzxz

G

τγ yz

yz

État tridimensionnel

Soit P un parallélépipède infinitésimal

Tenseur de contrainte ij

P

x

y

z

x

xy

xz

x

xy

xzzxz

yx

y

yz

y

yz

yx

zy

zzx

y

x

z

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

=

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

= σ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

ij

Équilibre des moments suivant z

0ΔxΔzΔyτΔyΔzΔxτyxxy

yxxyττ

zxxzττ

zyyzττ

Mz= 0

My= 0

Mx= 0

jisiσijij

jisiσσ

iij

j,iσσjiij

État Plan de Contrainte

x

xyx

xy

yx

yx

y

y

yyx

xyx

yFace

xFace

yxxy

x

xy

x

xy

yx

y

y

yx

y

x

facepositive

facenégative

x

xy

xzx

xyxz

zx

z

yx

y

yz

y

yzyx

zy

zzx

y

x

z

z

x

y

zy

z xz yz 0 Condition:

Contraintes suivant un plan incliné

P

P

F F

F F

Fn

Ft

section A

cos

AsinF

cosA

F

A

F tt

sincosA

F

cos

AcosF

cosA

F

A

F nn

2cosAF

AF

0

,0

Transformation des contraintes

F

y'x'

x

yx'

x'y'

x'

x'y'

y'x'y'

y'y'x'

Transformation des contraintes

x

xy

x

xy

yx

y

y

yx

x

xy

x'x'y'

y

yx

x'

y'y

x

A cos

A sin

A

x A cosx' A

x'y' A

x'

y'

y A sin

yn A sin

xy A cos

0

cossinAsincosA

sinsinAcoscosAA

xyxy

yx'x

0

sinsinAcoscosA

cossinAsincosAA

xyxy

yx'y'x

Équilibre en x’

Équilibre en y’

DCL

2222

sincos xy

yxyx

'x

222

cossin xy

yx

'y'x

2222

sincos xy

yxyx

'y

cossinsincos xyyx'x 222

22 sincossincos xyyx'y'x

22 sincossin

212

12 cossin

212

12 coscos

Équilibre en x’

Équilibre en y’

Trigonométrie

Transformation des contraintes

Transformation

x ' y ' x yx

Un réservoir sous pression de 2.5 m de diamètre est fabriqué à partir de plaques de 10mm soudées bout à bout et sont en forme d’hélice. Sachant que la pression maximale est de 1.2 MPa, calculer :

a) les contraintes générées, max

b) la contrainte normale et la contrainte de cisaillement tangentes à la ligne de soudure

t

30°

N

T

t

z

Exemple

Contraintes principales en 3D

Soit un élément coupé OABC

Contrainte normale S(Sx, Sy, Sz) ou S(Sn, Ss)

Cosinus directeurs ℓ, m et n de la normale N

OD = = cos

OA

ODm = = cos

OB

ODn = = cos

OC

x x yx zx ( A) = ( A) + ( A)m + ( A)nS x x yx zx = + m + nS

y xy y zy = + m + nS

z xz yz z= + m + nS

0 = Fx

0 = Fy

0 = Fz

y

yz

yxzy

z

zx

x

xyxz

y

x

z

NS

B

A

C

O

D

Équilibre

Si S est parallèle à N, alors

Contrainte normale Sn ou S (Sx, Sy, Sz)

Ss = 0

x

n y

z

= S SS = m SS S

= n SS

x yx zx

xy y zy

xz yz z

( S) + m + n = 0

+ m ( S) + n = 0

+ m + n ( S) = 0

0 =

S

S

S

zyzxz

zyyxy

zxyxx

Solution non triviale

Déterminant soit nulÉquations d’équilibre

y

yz

yxzy

z

zx

x

xyxz

y

x

z

N

S=Sn

B

A

C

D

O

Équation cubique des contraintes(contraintes principales)

I1, I2 et I3 Invariants du tenseur de contrainte ijÉquations cubique des contraintes

0 I SI SI S 322

13

σ + σ + σ = I zyx1

) + + ( + + = I xzzyyx2zx

2yz

2xy2

) + + ( 2 + = I 2xyz

2zxy

2yzxzxyzxyzyx3 Solution pour S ou

Contraintes principales

État de contrainte en un point est définit par

Soit le tenseur de contrainte ij

Soit les invariants du tenseur de contrainte I1, I2 et I3

0 I σI σI σ 322

13

Contraintes principales

État général I1 I2 I3 0

3 contraintes principales

3 directions principales (ℓ, m, n) 1, 2, 3

si 3 directions distinctes

si = toutes les directions sont principales dans plan 1-2

si == état de contrainte hydrostatique

État uniaxial I2= I3= 0

Équation cubique se réduit à

2 racines nulles 2= 3 = 0 (et 1 = I1 = x)

0 I σ σ σI σ 122

13

État plan de contrainte I3= 0

z = 0 et zx = zy = 0

La direction principale associée à 3 est perpendiculaire au plan xy

0 0 0

0 σ τ

0 τ σ

=

0 0 0

0 σ τ

0 τ σ

= σ yyx

xyx

2221

1211

ij

Exemple

Déterminer les contraintes est les directions principales de l’état de contraintes illustré

Contrainte principales

1= 300 MPa

2= 100 MPa

3= 0 MPa

0 σ 300) (σ σ 100

100 100- 0

100- 200 100

0 100 100

=

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

= σ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

0 =

σ100 100 0

100 σ200 100

0 100 σ100

Exemple (suite)

D’après les équations d’équilibre Contrainte principales

1= 300 MPa

2= 100 MPa

3= 0 MPa0 =

n

m

l

σ100 100 0

100 σ200 100

0 100 σ100

1

1

1

100 300 100 0 0

100 200 300 100 m = 0

0 100 100 300 0n

1

1 1

1

1/ 6

n = m = 2/ 6

n -1/ 6

Direction principale 1, n1

(65.9°, 35.3°, 114.1°)

2

2 2

2

1/ 2

n = m = 0

n 1/ 2

3

3 3

3

1/ 3

n = m = -1/ 3

n -1/ 3

Conditions sur n1, n2 et n3

n1 . n2 = 0

n2 . n3 = 0

n1 . n3 = 0

n1 x n2 = n3

Sachant que ℓ2 + m2 + n2 =1

Cercle de Mohr

Soit P un parallélépipède infinitésimal soumis à un tenseur de contrainte connu ij

x

xyxzzx

z

yx

y

yz zx

zy

y

x

z

x'

x'y' x'z'

z'x'

z'

y'x'

y'

y'z'z'x'

z'y'

y

x

z

y'

x'

z'

État connu ij

suivant (x, y, z)

État équivalent ’ij

suivant (x’, y’, z’)

Cercle de Mohr (suite)

3

1

2

y

x

z

1

3

2

2

max

13

min

(max)1-2

(max)2-3

(max)1-3

plan 1-2

plan 2-3

plan 1-3

Il existe toujours 3 axes orthogonaux 1, 2 et 3 suivant lesquels les contraintes sont principales. Les contraintes de cisaillement dans les plans perpendiculaires à ces axes sont nulles

2

σ ,σ ,σmin σ ,σ ,σmax τ 321321

max

Critère de défaillance

C’est le cisaillement qui provoque le mouvement relatif des plans d’atomes sans changer de volume.

C’est la présence des dislocations qui permet ce mouvement (déformation plastique).

Dislocation

Mouvement d’une dislocationsous l’effet du cisaillement

Critère de cisaillement maximalTresca

Le début de l’écoulement se produit lorsque la contrainte de cisaillement maximale atteint une valeur critique (Sy/2)

2

σ σ τ minxam

max

2

Sττ y

ymax

max min yσ σ S

Sy limite d’écoulement obtenue à 0.2 %

Sy

Sy1

2

-Sy

-Sy

seuil del'écoulement

état plan de contrainte (3 = 0)

321max σ ,σ ,σmax

321min σ ,σ ,σmin

ymax min

Sσ σ

FS

Conception

Critère de cisaillement maximalTresca (suite)

1

2

prismehexagonal

1 = 2 =

3

3

cas général (3 = 0)

2seuil de

l'écoulement

-Sy

Sy

Sy Sy

-Sy

-Sy

13

projection isometrique

Critère d’énergie de distorsion maximaleVon-Mises

Le début de l’écoulement se produit lorsque l’énergie de distorsion atteint une valeur critique

1

2

3

m

m

m=1+2+3

3

1-m

2-m

3-m

Énergie totale Ut = Énergie hydrostatique Uh + énergie de distorsion UD

= +

Critère d’énergie de distorsion maximaleVon-Mises (suite)

Énergie de distorsion (UD = Ut – Uh avec

332211t εσ2

1εσ

2

1εσ

2

1U

h t 1 2 3 m

1 1 2 3 m 2 3

U U avec σ σ σ σ

1 21σ σ σ σ

E E

2

13

2

32

2

21D σσσσσσ12G

1U

12

EG

Énergie hydrostatique Uh

Énergie totale Ut

Énergie de distorsion au début de l’écoulement pour le cas du chargement uniaxial

2y

*D S2

G12

1U

2321

2mh )σσ(σ

6E

21σ

2E

)23(1U

Critère d’énergie de distorsion maximaleVon-Mises (suite)

Le critère prédit que l’écoulement

se produit lorsque UD = U*D

Sy

Sy1

2

-Sy

-Sy

seuil del'écoulementVon Mises

état plan de contrainte (3 = 0)

Tresca

2

Von Mises

-Sy

Sy

Sy Sy

-Sy

-Sy

13

projection isometrique

Tresca

2

13

2

32

2

212y σσσσσσ

2

1S

1

2

axe ducylindre et de

l'hexagone

3 cas général (3 = 0)

Critère de la contrainte normale maximale

Le début de l’écoulement se produit lorsque la contrainte normale maximale atteint une valeur critique (Su)

321maxσ ,σ ,σmax σ

umaxSσ

Su contrainte à la rupture

1

2

3

Su

Su

1

2

-Su

-Su

seuil del'écoulement

état plan de contrainte (3 = 0)

Comparaison entre les critères de défaillance

Sy

Sy

1

2

-Sy

-Sy

état plan de contrainte (3 = 0)

torsion

Sy /2

Sy / 315% de

différence

Critère de rupture(matériaux fragiles)

Sut

Sut1

2

-Suc

-Suc

état plan de contrainte (3 = 0)

Mohr

Mohrmodifié