CHAPITRE 1 - École secondaire St-Lucst-luc.csdm.ca/files/2015-16-CST-NOTES-CHAP-11.pdf · math 063504-cst 19 michel dufour École saint-luc c) Quels sont les nombres naturels possibles

__________________________________________________________________________________________________ MATH 063504-CST 1 MICHEL DUFOUR ÉCOLE SAINT-LUC

CHAPITRE 1

OPTIMISATION

1.1 ÉQUATION DU 1er DEGRÉ (linéaire) À UNE VARIABLE.

1.1.1 RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION DU 1er DEGRÉ (linéaire) À UNE VARIABLE.

Autres exemples :

a) b) c)


d) e) f)

g) h)

i) j)


k) l)

m) n)

o)


1.1.2 TRADUCTION D’UNE SITUATION EN ÉQUATION DU 1er DEGRÉ (linéaire) À

UNE VARIABLE.

RAPPEL 4 ÉTAPES : 1) BIEN IDENTIFIER LA VARIABLE

2) TRADUIRE LA SITUATION EN ÉQUATION

3) RÉSOUDRE L’ÉQUATION

4) EXPRIMER CLAIREMENT LA RÉPONSE

Exemples :

a) b)


c) d)

e) f)

$


g) h)

i) j)

£

£

£


k) l)

$

$

$


PROBLÈMES HISTORIQUES

m)

n)


1.2 ÉQUATION DU 1er DEGRÉ (linéaire) À DEUX VARIABLES.

1.2.1 RÉSOLUTION GRAPHIQUE.

A- À L’AIDE DE LA TABLE DE VALEURS.

IMPORTANT : POUR FACILITÉ LA CONSTRUCTION D’UNE TABLE DE VALEURS, IL EST PARFOIS

NÉCESSAIRE D’ÉCRIRE L’ÉQUATION SOUS FORME CANONIQUE : « Y = aX + b ».

Autres exemples : 1- Déterminez si les coordonnées du point P(5,-1) vérifient chacune de ces équations :

a) 3x – 19 = -4y _____________________________________________ b) -5y + 6x = 35 __________________________________________________

2- Représentez graphiquement les droites définies par les équations suivantes.

a) 10 = 2x + y

(Il existe donc une infinité de solutions)

(FORME GÉNÉRALE)

X

Y


b)

0,5y = x+ 6

c) 2y – 10 = –4x

d) – 15 = –5x

X

Y

X

Y

X

Y


B- À L’AIDE DES PARAMÈTRES « a » et « b » (ÉQUATION SOUS FORME CANONIQUE).

Méthode :

Écrivez l’équation sous forme canonique « Y = aX + b » ou « Y = mX + b ».

a ou m représente la pente de la droite (

).

b représente l’ordonnée à l’origine.

Utilisez ces paramètres de la façon suivante :

Équation sous forme générale : 7x - 5y = 35

Forme canonique : ___________________________

b=_____________ m=

= _________ =__________ =___________

Autres exemples : Représentez graphiquement l’ensemble-solution de ces équations à l’aide de la

méthode des paramètres.

a) 6x = - 2y - 6


b) 3,5x = y + 4,5

c) 3x = - 2y

d) 3y + 1,5x = 13,5


1.2.2 TRADUCTION D’UNE SITUATION EN ÉQUATION DU 1er DEGRÉ (linéaire) À

DEUX VARIABLES.

DIFFÉRENTES ÉTAPES : 1) BIEN IDENTIFIER LES 2 VARIABLES

2) TRADUIRE LA SITUATION (CONTRAINTE) EN ÉQUATION

3) REPRÉSENTEZ GRAPHIQUEMENT L’ENSEMBLE-SOLUTION S’IL Y A LIEU

4) DONNEZ UN COUPLE-SOLUTION S’IL Y A LIEU ET INTERPRÉTEZ-LE

Exemples :

a) À l’école Saint-Luc il y a des enseignants de mathématiques et des enseignants de français évidemment.

Si x désigne le nombre d’enseignant de math et y le nombre d’enseignant de français, traduisez

chacune des contraintes suivantes par une équation du 1er degré à 2 variables.

1) Le nombre total d’enseignant est 33. _____________________________________________________________________

2) Il y a 3 enseignants de français de plus qu’il y en a en math.____________________________________________

3) Il y a 1,5 fois plus d’enseignants de français que de math._______________________________________________

4) Le triple du nombre d’enseignants de math et le quadruple du nombre d’enseignants de français est

égal à 100.____________________________________________________________________________________________________

5) Lorsqu’on enlève 4 du quart du nombre d’enseignants de français, on obtient le nombre

d’enseignants de math.______________________________________________________________________________________

b)

Dans une ferme, il y a des animaux à quatre pattes et des animaux

à deux pattes. On ne vous dit pas combien il y a d’animaux mais on

sait qu’il y a 320 pattes au total.

1) Définissez les variables de cette situation.

2) Traduisez cette situation par une équation à 2 variables.

3) Représentez l’ensemble-solution dans un plan cartésien.

4) Donnez un couple-solution de cette équation.

5) Que représente-t-il ?


c)

d)

Tu dois faire des invitations pour le 25e anniversaire de mariage de

tes parents. Il y aura des 25 adultes et 35 enfants. Toi et tes frères

et sœurs allez payer pour tout le monde. Votre budget total est de

875$.






Tu travailles l’été dans un entrepôt de fournitures de bureau et ton

patron te demande de classer 600 agrafeuses dans des boîtes. Il y

a des boîtes qui peuvent contenir 50 agrafeuses et d’autres qui

peuvent en contenir 30.







1.3 INÉQUATION DU 1er DEGRÉ (linéaire) À UNE VARIABLE.

1.3.1 RÉSOLUTION D’UNE INÉQUATION DU 1er DEGRÉ (linéaire) À UNE VARIABLE.

Autres exemples :

a) 0 > 7 3y b) 4x + 10 18 c) –4x + 5 < 1

d) 4x > –12 c) x – 12 > –15 e) 0 < x + 3


f) 5 – 2x ≥ 1 g) 4x – 12 ≥ 3x – 3 h) 3x – 3 < 6x + 9

i) 7 135x > 84 j)

1185 x < 8 k) 3x ≥

10327 x

l) 5 (x – 2) – 2 (x 3) ≤ 3 m) 2,3x – 0,5 > 1,5x + 1,9 n) 3

2x ≥ 4

12 x


o) 4x – 1 x + 5 p) 3y – 8 7y + 8 q) 4

3x + 5 – 1

r) 4,6 – 1,8y – 0,8 s) 0,75y – 2,6 0,25y – 3,1 t) 2 - 2x 2x +

41

u) 12 < –3(x + 14) ≤ 45 v) –33 ≤ 2

24x ≤ 3


1.3.2 TRADUCTION D’UNE SITUATION EN INÉQUATION DU 1er DEGRÉ (linéaire) À

UNE VARIABLE.

RAPPEL 4 ÉTAPES : 1) BIEN IDENTIFIER LA VARIABLE

2) TRADUIRE LA SITUATION EN INÉQUATION

3) RÉSOUDRE L’INÉQUATION


Exemples :

a) Tu es un passionné de lecture. Tu lis des romans qui ont au moins 800 pages. Si tu as déjà lu 40 pages

et que tu lis en moyenne 38 pages par jour, combien de temps, au minimum, cela te prendra-t-il pour

terminer ton roman?

b) Dans l’un de ses champs, une cultivatrice a décidé d’aménager un pré pour ses vaches. Son pré aura 8 m de

longueur de plus que le quadruple de sa largeur. Quelles sont les valeurs possibles de cette largeur si elle

souhaite que le périmètre de son pré soit au plus 240 m ?


c) Quels sont les nombres naturels possibles dont le triple diminué de 6 est supérieur ou égal à 18.

d) Jacqueline s’est acheté une nouvelle voiture. Elle a payé 2300$ au moment de l’achat et elle doit maintenant effectuer des paiements de 236$ par mois pour compléter la transaction.

Depuis combien de mois a-t-elle sa voiture si elle a déboursé plus de 5000$ jusqu’à maintenant?

e) Soient deux nombres naturels impairs consécutifs. Quelles sont les valeurs possibles du plus grand de ces deux nombres si la somme du triple du plus grand et du double du plus petit est moins de 24 ?


f) Lucien commence à penser à son avenir et décide d’investir 2350$ dans un fond qui lui rapportera des

intérêts de 195$ par année. Après combien d’années complètes aura-t-il au moins doublé son

investissement?

g) La somme de 3 multiples de 4 consécutifs n’excède pas 42. Quelles sont les valeurs possibles du plus petit de ces nombres pairs.

h) Trois frères ont travaillé fort l’été dernier et ils ont gagné un peu d’argent. Le premier a gagné trois fois

plus que le troisième et ce dernier a gagné 50 $ de plus que la moitié du deuxième. Trouvez les valeurs

possibles des gains du deuxième frère si ensemble ils ont gagné moins de 2000$.


1.4 INÉQUATION DU 1er DEGRÉ (linéaire) À DEUX VARIABLES.

1.4.1 RÉSOLUTION GRAPHIQUE.

Pour représenter une inéquation linéaire à deux variables dans le plan cartésien, il faut suivre les étapes suivantes.

1. Tracer la droite

On trace d’abord la droite représentant l’équation associée à l’inéquation.

2. Indiquer le type d’inégalité

Si l’inégalité comporte un signe d’inégalité large ( ou ), les points formant

la droite frontière font partie de la solution de l’inéquation et elle est

représentée par une ligne pleine. Si l’inégalité comporte plutôt un signe

d’inégalité stricte ( ou ), les points formant la droite frontière ne font pas

partie de la solution de l’inéquation et elle est représentée par une ligne

pointillée.

3. Déterminer la région-solution

Pour déterminer la région-solution, on remplace les variables x et y de

l’inéquation par les coordonnées d’un point appartenant à l’un ou l’autre des

demi-plans de la représentation afin de vérifier si l’inégalité obtenue

est vraie ou fausse.

4. Valider la région-solution

On valide la région-solution en remplaçant les variables x et y de l’inéquation

par les coordonnées d’un point appartenant à la région-solution.

Celle-ci est valide si l’inégalité obtenue en substituant les variables par les coordonnées est vraie.

Exemple 1 :

2x + y ≤ 4

Exemple 2 :

x + 2 < y

La droite représentant

l’équation associée à

l’inéquation sépare le

plan cartésien en deux

régions, que l’on nomme

demi-plans. La droite

constitue la frontière entre ces

deux régions : on l’appelle par

conséquent droite frontière.

Dans le plan cartésien,

la région-solution d’une

inéquation linéaire est

le demi-plan formé de

tous les points dont les

coordonnées font partie

de l’ensemble-solution

de l’inéquation.


Autres exemples :

1-Tracez dans le plan cartésien la région-solution de chacune des inéquations suivantes.

a) x + 4y + 5 0 b) 3 < 4x – y

c) 5 2x d) 3 x – 4y < 12

e) – 8y x + 4 f) 3 < 4 – y


g) 7x – 2y + 14 0 h) 5y – 3 x < 5

i) – 3y 6x – 9 j) 6x – 2 < 2( –4y – 1)

2-Dans le cas de chaque couple de coordonnées ci-dessous, déterminez si les coordonnées des points suivants vérifient

cette inéquation 6x 2y + 32 ou si le point est situé sur la droite frontière de l’inéquation.

a) (2, –10) b) (6, 4) c) (22, 20)

3-Dans le cas de chaque couple de coordonnées ci-dessous, déterminez si les coordonnées des points suivants vérifient

cette inéquation –x – 2y < 2 ou si le point est situé sur la droite frontière de l’inéquation.

a) (2, –1) b) (2, –2) c) (22, –10)


4-Observez les graphiques ci-dessous et déterminez l’inéquation dont la région-solution est représentée.

a)

b)

c) d)

__________________________________________ __________________________________________


1.4.2 TRADUCTION D’UNE SITUATION EN INÉQUATION DU 1er DEGRÉ (linéaire) À

DEUX VARIABLES.

TROIS ÉTAPES : 1) BIEN IDENTIFIER LES 2 VARIABLES

2) TRADUIRE LA SITUATION (CONTRAINTE) EN INÉQUATION

3) REPRÉSENTEZ GRAPHIQUEMENT LA RÉGION-SOLUTION

Exemples : 1-Traduisez les situations suivantes à l’aide d’un système d’inéquations linéaires et définissez

chacune des variables. Représentez ensuite la région-solution dans le plan cartésien.

a) Dans un casse-croûte, on vend au moins trois fois moins de

sandwichs au poulet

que de sandwichs au jambon.

b) L’âge de Marie-Ève est d’au plus le double plus 10 ans que celui

de Gabrielle.

2- Deux amis, François et Mathilde, comparent leurs économies de la semaine. Soit x le montant des économies de François

et y le montant de celles de Mathilde. Traduisez chacun des énoncés suivants par une inéquation.

a) François a plus d’économies que Mathilde.

b) Les économies totales de Mathilde et de François ne dépassent pas 200 $.

c) Même si Mathilde avait économisé 30 $ de plus, elle n’aurait pas économisé autant que François.

d) En économisant 50 $ de plus, Mathilde n’aurait pas dépassé le triple des économies de François.


3- Traduisez par une inéquation à deux variables les énoncés suivants et décrivez ce que représente chacune des

variables.

a) Un aliment contient au moins trois fois plus de milligrammes de lipides que de milligrammes de glucides par

portion.

b) Cédric et sa sœur ont mis au total pas moins de 12 heures à faire leurs devoirs cette semaine.

c) John a deux emplois, un dont le salaire horaire est de 12,50 $ et l’autre de 9,75 $.

Cette semaine, il prévoit avoir un revenu d’au plus 246 $.

4- Traduisez les situations suivantes à l’aide d’une inéquation linéaire et définissez chacune des variables. Représentez

ensuite la région-solution dans le plan cartésien.

a) Guillaume a contracté un emprunt cinq fois supérieur à celui de

Chantal.

b) Le quart de la température de l’eau dans un bassin excède le

double de celle d’un second bassin d’au plus 5°.


1.5 SYSTÈME D’ÉQUATIONS DU 1er DEGRÉ (linéaire) À DEUX VARIABLES.

1.5.1 RÉSOLUTION SELON LA MÉTHODE GRAPHIQUE.

Exemple :

Y = 3x + 1

Y = -3x + 6


1.5.2 RÉSOLUTION SELON LES 3 MÉTHODES ALGÉBRIQUES.


Exemples :

a) 5x + y = 3 b) 4y = 8x 12 c) y = 6x 4 4x + 2y = 3 3y = 8x + 19 y = 4x + 2

d) 3y = 10x 4 e) y = 2

3x 6 f) 5x = 15y 25

y = 4x + 20 3y = 4

3x 16 x = 3y 2


g) y = x + 1 h) y = 2x - 1

y = x + 3 y = 21 x

i) 3y 6 = x j) 2y = 3x + 2

y = 21 x 1 3y + 9x 1 = 0


k) x + 2y = 12 l) 2x + 3y = 10

y = 3x 1 x = y 5

m) 5x y = 1 n) x 2y = 10

4x 7 = 2y 3x + 4y = 15


s) x 2y = 10 t) 2x + y = 9

3x + 4y = 15 x + y = 12

u) x = 2y + 3 v) 2y = 3x + 1 w) 5x y = 1

10y 5x = 15 6x = 4y + 4 4x = 2y + 7


1.5.3 TRADUCTION D’UNE SITUATION EN SYSTÈME D’ÉQUATIONS DU 1er DEGRÉ

(linéaire) À DEUX VARIABLES.

RAPPEL 4 ÉTAPES : 1) BIEN IDENTIFIER LES VARIABLES

2) TRADUIRE LA SITUATION EN SYSTÈME D’ÉQUATIONS

3) RÉSOUDRE LE SYSTÈME SELON LA MÉTHODE APPROPRIÉE


Exemples :

1-Pour une réception, Marina a loué une certaine quantité de tables et de chaises. En fait, elle a loué trois

fois plus de chaises que de tables. Elle a payé les tables 3$ chacune et les chaises, 2$ chacune ; sa facture

s’élevait à 72$. Combien de tables et de chaises a-t-elle loué ?

2- Mégane et Noah ont décidé de poursuivre la lecture du roman qu’ils ont commencé la veille. Mégane

reprend sa lecture à la page 147 et lit 44 pages à l’heure. Noah, lui, reprend sa lecture à la page 111 et lit

52 pages à l’heure. Après combien de temps Mégane et Noah auront-ils lu le même nombre de pages ?


3- Soient deux nombres. Le plus grand des deux est trois de plus que le double du plus petit. Le plus grand nombre est aussi égale à deux de moins que le triple du plus petit. Quels sont ces nombres ? 4- Manon a un texte de 2500 mots à taper avec un logiciel de traitement de texte. Elle tape 60 mots à la minute. Sa collègue Hélène vient de recevoir un texte de 3100 mots. Elle tape 80 mots à la minute. Après combien de minutes leur resteront-elles le même nombre de mots à taper ? 5- Madame Paré a déboursé 29$ pour l’admission au zoo de 3 adultes et 2 enfants. Un billet d’adulte coûte 1$ de plus que le double du prix d’un billet enfant. Quels sont les prix d’admission pour adulte et pour enfant à ce zoo ?


6- Dans son étable, madame Tremblay a des animaux qui ont 4 pattes et d’autres qui ont 2 pattes pour un total de 224 pattes pour tous ses animaux. De plus, il y a 50 bêtes à 4 pattes de plus que celles qui ont 2 pattes. Combien y’a-t-il d’animaux de chaque type ?

7- La longueur d’un rectangle est 3 cm de plus que le triple de sa largeur. Le périmètre du rectangle est de 22 cm. Quelles sont les dimensions du rectangle ?

8- Vincent et Natacha célèbrent leur anniversaire. Natacha, l’aînée déclare : « La somme de nos âges est de 70 ans et la différence de nos âges est de 12 ans. Quel est l’âge de chacun ?


1.6 SYSTÈME D’INÉQUATIONS DU 1er DEGRÉ (linéaire) À DEUX

VARIABLES.

1.6.1 RÉSOLUTION SELON LA MÉTHODE GRAPHIQUE.


Exemples : Représentez la région-solution dans le plan cartésien.

a)

b) y - 10 2x

-4x < y - 28

c) 4x + 6 > 2y

4x + 2y + 3 0


d) y ≤ 3 – 5x e) 4x + 2y < 20

4x > 5y – 3y – 4 ≥ 6x – 7

c) f) 0 ≤ – 4x – 8y g) x + 2y – 5 < 0

x >

– 5

4

x +

3

y ≥ 1


1.6.2 TRADUCTION D’UNE SITUATION EN SYSTÈME D’INÉQUATIONS DU 1er

DEGRÉ (linéaire) À DEUX VARIABLES.

TROIS ÉTAPES : 1) BIEN IDENTIFIER LES 2 VARIABLES

2) TRADUIRE LA SITUATION (CONTRAINTE) EN INÉQUATION

3) REPRÉSENTEZ GRAPHIQUEMENT LA RÉGION-SOLUTION

Exemple 1 : Un agriculteur doit acheter de l’engrais et a le choix entre deux marques

(ENGRAIS PLUS et POUCE VERT). Un sac de ENGRAIS PLUS coûte 20$ et contient 400 g de

potassium et 350 g de phosphore. Un sac de POUCE VERT coûte 25$ et contient 325 g de

phosphore et 250 g de potassium. Pour une de ses cultures, l’agriculteur doit appliquer un

minimum de 3 kg de potassium. Sachant qu’il ne souhaite pas dépenser plus de 300$, tracez la

région-solution qui correspond à ces contraintes.


Exemple 2 : Le comité organisateur d’une grande fête de quartier veut louer au plus huit tables pour recevoir

les convives. Le centre de location offre deux modèles de tables, des tables de 20 places à 20 $ chacune et

des tables de 50 places à 40 $ chacune. Le budget pour la location a été établi à 280 $. Le comité souhaite

disposer du plus grand nombre de places possible sans dépasser ce budget. Tracez la région-solution qui

correspond à ces contraintes.

Exemple 3 : Marie-Ève veut créer un jardin dans sa cour avec au plus 15 plantes différentes. De plus, elle veut

qu’il y ait au moins deux plantes vivaces de plus que les annuelles. Tracez la région-solution qui

correspond à ces contraintes.


Exemple 4 : Un musée a fixé le prix d’entrée à une exposition de photographies à 8 $ par personne, avec un

rabais de 3 $ pour les élèves. La clientèle adulte est au plus cinq fois plus élevée que la clientèle étudiante.

Les responsables de l’exposition espèrent que celle-ci générera des revenus d’au moins 300 $ par jour.

Tracez la région-solution qui correspond à ces contraintes.


Exemple 5 : La longueur totale des arêtes d’un prisme à base carrée est d’au plus 120 cm. De plus,

la hauteur de ce prisme est au moins deux fois plus grande que la mesure des côtés de sa base. Tracez la

région-solution qui correspond à ces contraintes.

Exemple 6: Dans un centre de ski, la location de skis coûte 25 $ pour une journée complète et la location d’une

planche à neige 40 $. La direction du centre souhaite générer des revenus d’au moins 4000 $ par semaine grâce

à la location d’équipement. Ouverte toute la semaine, la boutique possède 130 paires de ski et planches à neige. Tracez la région-solution qui correspond à ces contraintes.


1.7 CONSTRUCTION DU POLYGONE DE CONTRAINTES.

Le polygone de contraintes est dit « fermé » si la région qu’il délimite est bornée de toutes parts par des segments

(lignes pleines ou pointillées). Lorsque le polygone de contraintes n’est pas fermé, alors il est « ouvert ».

On peut utiliser la méthode graphique si on est certain de la précision des coordonnées des sommets.


Exemple 1:

On veut former un rectangle dont la longueur mesure au moins 4 cm de plus que la largeur et dont le périmètre est

moins de 28 cm.

a) Définissez les variables (x et y) de cette situation.

b) Traduisez algébriquement les contraintes

de cette situation.

c) Tracez, dans le plan cartésien ci-dessous, le polygone de contraintes du système d’inéquations linéaires.

d) Est-il fermé ou ouvert? _____________________________

e) Donnez les sommets du polygone de contraintes.


Exemple 2:

Une école organise un séjour de plein air dans le parc de la Gaspésie. Un groupe d’au moins 60 élèves peut participer à

cette activité. Pour l’hébergement, les responsables ont l’intention de louer au moins 10 tentes. Deux formats de tente leur

sont proposés : des grandes tentes pouvant accueillir dix personnes et des petites pouvant accueillir quatre personnes.



de cette situation.

c) Tracez, dans le plan cartésien ci-dessous, le polygone de contraintes du système d’inéquations linéaires.

c) Est-il fermé ou ouvert? _____________________________

d) Donnez les sommets du polygone de contraintes.


Exemple 3 :

Dans un quartier d’une ville, on offre des cours de réparation de vélo qui sont limités à un maximum de 12 participants et

participantes. Il y a deux types de cours offerts : un cours pour personnes débutantes, qui dure une heure, et un cours avancé,

qui dure trois heures. La municipalité prête l’équipement requis pour un maximum de 18 heures par semaine. Il a été établi

que le nombre d’inscriptions au cours avancé doit être au plus égal au double de celui du cours pour débutants.



de cette situation.

c) Tracez, dans le plan cartésien ci-dessus, le polygone de contraintes du système d’inéquations linéaires.




Exemple 4 :

Un magasin qui se spécialise dans la vente de cadeaux veut embaucher des étudiants pour les ventes de fin

d’année. Le gérant veut embaucher au moins 12 étudiants et au plus 20 étudiants. Il veut au maximum 2 fois plus

de filles que de garçons. Il a besoin d’au moins 3 filles pour le rayon des bijoux.



de cette situation.

c) Tracez, dans le plan cartésien ci-dessus, le polygone de contraintes du système d’inéquations linéaires.




Exemple 5 : Voir manuel page 16 numéro 5

1)

2)

3)

4)


Exemple 6 : Voir manuel page 17 numéro 7

1)

2)

3)

4)


1.8 OPTIMISATION D’UNE FONCTION ÉCONOMIQUE À DEUX VARIABLES.

(fonction à optimiser F ou Z ou autres)

Exemple1 : (impliquant des valeurs discrètes):

Une compagnie fabrique des chaises et des tables. Chaque

semaine,

elle produit :

• au moins 20 tables et 80 chaises ;

• au moins 4 fois plus de chaises que de tables ;

• au plus 200 chaises et tables au total.

La compagnie fait un profit de 15 $ par chaise et de 25 $

par table. On veut déterminer la quantité de chaises et de

tables qu’elle doit fabriquer par semaine pour réaliser un

profit maximal.

Étape 1 :

Étape 2 :

Étape 3 :

Étape 4 : voir plan cartésien

Étape 5 :

( x et y )

[ couples (x, y) ]

(Résoudre le système d’équations selon la méthode graphique ou une des méthodes algébriques)

(F ou Z = Ax + By + C )

On répond à la question par une courte phrase précise et complète.

(L’ORDRE DES ÉTAPES PEUT VARIER)


Étape 6 :

Étape 7 :

REMARQUE : On doit maximiser ou minimiser la fonction économique et

habituellement on maximise les revenus et on minimise les coûts.

Exemple 2 : La capacité maximale d’un parc d’attraction est de 4000 personnes pour une journée. On sait qu’il y a toujours autant d’enfants ou plus d’enfants que d’adultes et, par sécurité, on demande qu’il n’y ait pas plus de quatre enfants par adulte. Le propriétaire du parc espère dégager des revenus d’au moins 75 000$ par jour. Il demande donc un prix d’entrée de 18$ par enfant et de 25$ par adulte. Pourra-t-il atteindre son objectif?

1)

2)

3)

Sommets Fonction économique Z = Valeurs de Z


4)

5)

6)

7)



Exemple 3 : (impliquant des valeurs continues cette fois)

Rose est chimiste et a mis au point un détergent qui est sans danger pour l’environnement. Pour fabriquer son

produit, une compagnie utilise deux liquides conservés dans des réservoirs différents remplis à pleine capacité

chaque semaine. De plus, la compagnie emploie au moins 5000 litres du liquide 1 et au moins 2000 litres du

liquide 2 hebdomadairement.

Le réservoir qui contient le liquide 1 a une capacité de 60 000 litres et celui qui contient le liquide 2 a une capacité

de 20 000 litres.

Chaque semaine, la compagnie utilise au moins deux fois plus de liquide 1 que de liquide 2 et n’emploie jamais plus

de 50 000 litres de liquide au total.

La compagnie veut minimiser les coûts de production. Quelle quantité de chaque liquide Rose doit-elle utiliser

pour fabriquer son détergent si le liquide 1 coûte 10$ le litre et le liquide 2 8$ le litre?

1)

2)

3)

4)


5)

6)

7)

Exemple 4 : L’équipe de hockey d’isabelle espère remporter au plus 34 victoires cette saison sur un total

de 50 matchs. Elle croit que le nombre de matchs nuls sera d’au moins 8. De plus, elle prévoit que le

nombre de victoires sera au moins 3 fois plus grand que le nombre de matchs nuls. On attribue 2 points

pour une victoire et 1 point pour un match nul. L’entraîneur de l’équipe croit pouvoir obtenir un

minimum de 60 points cette saison. Est-ce possible?

1)

2)

3)



4)

5)

6)

7)



1.8.1 SOLUTION OPTIMALE NON UNIQUE.

Si une fonction économique à optimiser atteint sa valeur maximale ou minimale en deux sommets A et B

consécutifs d’un polygone de contraintes, alors cette fonction atteint cette même valeur maximale ou

minimale en tout point du côté AB du polygone. Il existe alors plus d’une solution possible.

Exemple :

Déterminer le minimum de cette fonction F = 12x + 12y soumise à ces contraintes :

y + x 1

120x + 60y 600

x 0

y 0

x 4y changer le plan cartésien


Sommets Fonction F = Valeurs de F

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CHAPITRE 1 - École secondaire St-Lucst-luc.csdm.ca/files/2015-16-CST-NOTES-CHAP-11.pdf · math 063504-cst 19 michel dufour École saint-luc c) Quels sont les nombres naturels possibles