Lycee Janson de Sailly Annee 2017-2018ECS1

Chapitre 16 - Bilan

Cette fiche resume les erreurs classiques a eviter et les methodes a connaıtre pour le chapitre 16.

Methodes a retenir

• J’ai en tete les espaces vectoriels de references.

• Rn, R[X], RN, F(I,R) et Mn(R) sont des R-espaces vectoriels.

• Cn, C[X], Mn(C) sont des C-espaces vectoriels.

• Pour montrer qu’un ensemble F est un sous espace vectoriel de d’un espace vectoriel E j’appliquela methode suivante :

1. On montre que F ⊂ E et on rappelle que E est un espace vectoriel (souvent de reference).2. On montre que 0E ∈ F .3. On montre F est stable par combinaison lineaire :

∀(u, v) ∈ F 2,∀(λ, µ) ∈ K2, λu+ µv ∈ F.

Il est parfois plus facile de decomposer l’etape 3. et deux sous-etapes :3.a On montre que F est stable par somme (loi interne) :

∀(u, v) ∈ F 2, u+ v ∈ F.

3.b On montre que F est stable par multiplication par un scalaire (loi externe) :

∀u ∈ F, ∀λ ∈ K, λ.u ∈ F.

I Exemples du cours. Exercices 1 a 10 du TD.

• Le sous-espace vectoriel engendre par les vecteurs (ei)i∈{1,...,n} est note V ect(e1, . . . , en). Seselements sont les combinaisons lineaires des (ei)i∈{1,...,n}. De plus, il est le plus petit sous-espacevectoriel qui contient tous les vecteurs (e1, . . . , en). Par consequent :

• Si tous les (ei)i∈{1,...,n} sont des elements de E, alors V ect(e1, . . . , en) est un sous-espace vectorielde E.

• Si un sous-espace vectoriel F et E contient tous les (ei)i∈{1,...,n}, alors V ect(e1, . . . , en) ⊂ F .

Ainsi, pour montrer que V ect(e1, e2) = V ect(e3, e4), on peut raisonner par double inclusion :

• pour montrer que V ect(e1, e2) ⊂ V ect(e3, e4), il suffit de montrer que e1 ∈ V ect(e3, e4) et quee2 ∈ V ect(e3, e4).• pour montrer que V ect(e3, e4) ⊂ V ect(e1, e2), il suffit de montrer que e3 ∈ V ect(e1, e2) et quee4 ∈ V ect(e1, e2) .

I Exercices 6 et 7 du cours. Exercice 11 du TD.

• Pour determiner l’equation d’un sous-espace engendre par une famille de vecteurs (ei), on adoptele plan d’etude suivante :

1. On ecrit d’abord que X = (x1, . . . , xp) ∈ V ect(e1, . . . , en) est equivalent a

∃(λ1, . . . , λn) ∈ Kn /X = λ1e1 + · · ·+ λnen.

1

2. On ecrit ensuite que ceci est equivalent a l’existence de solutions pour un certain systeme a pequations d’inconnues les λi.

3. On resout ce systeme par le pivot de Gauss (en n’oubliant pas de mettre des signes equivalentsentre chaque systeme).

4. Les conditions sur les xi qui apparaissent dans le systeme et qui doivent etre verifiees pour quele systeme ait des solutions fournissent les equations du sous-espace vectoriel.

I Exercice 8 du cours. Exercice 18 du TD.

Remarque 1 : cela fournit une seconde methode pour montrer que V ect(e1, e2) = V ect(e3, e4).On peut en effet chercher les equations des deux espaces et montrer que ce sont les memes.

I Exercice 1 du DS5.

Remarque 2 : cela fournit une seconde methode pour montrer que F est un sous-espace vectorielde E. En effet, si on montre que F = vect(e1, . . . , en) et que les (ei) sont des elements de E, alors onpeut conclure que F est un sous-espace vectoriel de E.

I Exercice 23 du TD et exercice 2 du DS5.

• La famille (e1, . . . , en) est dite generatrice d’un espace vectoriel E des lors que E = V ect(e1, . . . , en).Pour montrer que la famille (e1, . . . , en) est generatrice de E, il faut donc montrer que E = V ect(e1, . . . , en).Nous avons vu plusieurs manieres de faire cela.

• On peut raisonner par equivalence directement en montrant que

X ∈ E ⇔ · · · ⇔ X ∈ V ect(e1, . . . , en)

ce qui permet de conclure directement. On utilise souvent cette methode lorsqu’on ne connaitpas encore les (ei) mais qu’on connait une equation verifiee par les elements E ou une formeexplicite des elements de E.

I Exercice 9 du cours. Exercices 19, 20 et 23 du TD.

• On peut raisonner par double inclusion en montrant d’abord que tout element de E peuts’ecrire comme combinaison lineaire de (e1, . . . , en) (ce qui montre que E ⊂ V ect(e1, . . . , en)).Puis montrer ensuite que tous les ei ∈ E (ce qui montre que V ect(e1, . . . , en) ⊂ E).

On utilise souvent cette methode lorsqu’on nous donne la famille (e1, . . . , en) qui est generatrice.

I Exercices 16, 21 et 24 du TD.

• La famille (e1, . . . , en) est dite libre dans un espace vectoriel E si lorsque (λ1, . . . , λn) ∈ Kn verifie

∑k=1n

λiei = 0E

alors forcement λ1 = · · · = λn = 0. Pour montrer que la famille (e1, . . . , en) est libre, il faut donc :

1. Introduire (λ1, . . . , λn) ∈ Kn quelconques verifiant∑k=1n

λiei = 0E .

2. Tirer le maximum d’informations de la relation precedente pour en deduire que λ1 = · · · =λn = 0.

Remarque : la plupart du temps, l’equation∑k=1n

λiei = 0E porte en elle plusieurs equations ! Par

exemple :

• si E = Rn alors on egalisant les n coordonnees, de l’equation, on trouve n equations dans R.

2

• si E =Mn(R) alors en egalisant les n2 coefficients des matrices, on trouve n2 equations dansR.

• si E = F(R,R), en utilisant la definition d’egalite des fonctions, on trouve une infinite d’equationsdans R (une pour chaque reel x !).

• ...

Comme nous devons montrer que∑k=1n

λiei = 0E implique que tous les λi sont nuls, on raisonne

uniquement par implications. On peut donc utiliser seulement les equations qui nous interessent (ellesne sont pas toutes utiles !).

I Exercice 10 du cours. Exercices 12, 13, 24 et 25 du TD.

• Une famille (e1, . . . , en) est dite liee des lors qu’elle n’est pas libre. Cela signifie qu’il existe unecombinaison lineaire non triviale de (ei) qui est nulle. Nous avons egalement montre que cela signifiaitqu’au moins un des ei etait combinaison lineaire des autres. Ainsi, pour montrer qu’une famille estliee, il suffit d’exhiber une telle combinaison lineaire.

I Exercice 11 du cours. Exercices 12, 16 et 17 du TD.

• Une famille (e1, . . . , en) est dite base de E si c’est une famille libre qui est generatrice de E. Onsait egalement que (e1, . . . en) est une base de E si et seulement si la decomposition de tout vecteur xsur la famille (e1, . . . , en) est unique. Ainsi, pour montrer qu’une famille (e1, . . . , en) est une base deE, on peut appliquer une des deux methodes suivantes.

• Montrer que la famille est generatrice et qu’elle est libre en deux temps.

• Montrer que tout element x ∈ E se decompose de maniere unique sur la famille (cela marchetres bien avec les polynomes grace a l’identification et plus generalement lorsque trouver unedecomposition revient a resoudre un systeme dont il est facile de montrer qu’il n’en existequ’une unique solution).

I Exercices 12 et 13 du cours. Exercices 16, 21 et 24 du TD.

• Lorsqu’on me demande d’exhiber une base, il faut d’abord trouver la famille de vecteurs puismontrer ensuite s’il s’agit d’une base. Pour cela,

1. On cherche une famille generatrice (voir point precedent, ou alors l’exercice nous a aide a entrouver une).

2. Soit on a montre, en exhibant la famille generatrice que la decomposition de tout vecteur etaitunique et c’est termine ; soit on montre que cette famille est libre (voir point precedent).

I Exercices 14 et 15 du cours. Exercices 20 et 23 du TD.

Erreurs a eviter

• Pour E un K-espace vectoriel, je ne confonds pas les elements de E qui sont appeles des vecteurset qui sont souvent notes avec l’alphabet latin et les elements de K qui sont appeles des scalaireset qui sont souvent notes avec l’alphabet grec. Donnons quelques exemples :

• Rn est un R-espace vectoriel : les elements X = (x1, . . . , xn) ∈ Rn (les n-uplets) sont desvecteurs et les elements λ ∈ R (les reels) sont des scalaires.

• F(R,R) est un R-espace vectoriel : les elements f : R → R (les fonctions reelles) sont desvecteurs et les elements λ ∈ R (les reels) sont des scalaires.

• Mn(C) est un C-espace vectoriel : les elements M ∈ Mn(C) (matrices a coefficients com-plexes) sont des vecteurs et les elements λ ∈ C (les complexes) sont des scalaires.

• Je ne confonds donc pas 0K et 0E . 0R et 0C sont les zeros que nous connaissons dans R et dansC. Puis par exemple,

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• Rn est un R-espace vectoriel ; 0Rn = (0, . . . , 0).

• F(R,R) est un R-espace vectoriel ; 0F(R,R) est la fonction nulle.

• Mn(C) est un C-espace vectoriel ; 0Mn(C) est la matrice nulle.

• Bien que l’intersection d’un nombre quelconque de sous-espaces vectoriels reste un sous-espacevectoriel, on ne peut rien dire en regle generale pour une union.I Exercices 4 et 5 du cours. Exercice 2 du TD.

• Un C-espace vectoriel est un R-espace vectoriel mais la reciproque est fausse. Par exempleMn(R) est un R-espace vectoriel mais pas un C-espace vectoriel car par exemple i.In /∈Mn(R)(mise en defaut de la loi de composition externe).

• De la meme maniere, je ne confonds pas ”etre liee dans C et ”etre lie dans R”. Dans le premiercas, les scalaires sont des complexes et dans le second des reels. Cela peut tout changer !I Exercice 17 du TD.

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