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Chapitre 6 Analyse spectrale des Signaux non Périodiques Ce chapitre présente la Transformation de Fourier, aussi connu comme l'Intégrale de Fourier. La définition, les théorèmes et les propriétés sont présentés et prouvés. La transformée de Fourier des fonctions les plus communes sont tirés, la fonction de système est définie et plusieurs exemples sont fournis pour illustrer son application dans l'analyse de circuit. I- TRANSFORMATION DE FOURIER 1. Définition Nous nous souvenons que la série Fourier des signaux périodiques du temps, comme ceux que nous avons vus au chapitre précédent, produit des spectres de raies séparées avec les valeurs non-nulles seulement aux fréquences spécifiques appelées harmoniques. Pourtant, d'autres fonctions d'intérêt comme le pas d'unité, l'impulsion d'unité, la rampe d'unité et une impulsion rectangulaire simple ne sont pas des fonctions périodiques. Les spectres d’amplitude pour ces fonctions sont continus comme nous verrons plus tard dans ce chapitre. Le passage d’un signal périodique à un signal apériodique peut se faire en considérant que la période T devient de plus en plus grande pour tendre vers l’infini. On constate alors que les raies spectrales distantes de 1/T se rapprochent pour se transformer en spectre continu. Mais en même temps, l’amplitude de celui-ci diminue pour tendre zéro. 1 | ©Signaux et systèmes avec Matlab M.OULOBLY Stéphane R.

Chapitre 6: Analyse spectrale des signaux non périodiques

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Chapitre 6Analyse spectrale des

Signaux non Périodiques

Ce chapitre présente la Transformation de Fourier, aussi connu comme l'Intégrale de Fourier. La définition, les théorèmes et les propriétés sont présentés et prouvés. La transformée de Fourier des fonctions les plus communes sont tirés, la fonction de système est définie et plusieurs exemples sont fournis pour illustrer son application dans l'analyse de circuit.

I- TRANSFORMATION DE FOURIER1. Définition

Nous nous souvenons que la série Fourier des signaux périodiques du temps, comme ceux que nous avons vus au chapitre précédent, produit des spectres de raies séparées avec les valeurs non-nulles seulement aux fréquences spécifiques appelées harmoniques. Pourtant, d'autres fonctions d'intérêt comme le pas d'unité, l'impulsion d'unité, la rampe d'unité et une impulsion rectangulaire simple ne sont pas des fonctions périodiques. Les spectres d’amplitude pour ces fonctions sont continus comme nous verrons plus tard dans ce chapitre. Le passage d’un signal périodique à un signal apériodique peut se faire en considérant que la période T devient de plus en plus grande pour tendre vers l’infini. On constate alors que les raies spectrales distantes de 1/T se rapprochent pour se transformer en spectre continu. Mais en même temps, l’amplitude de celui-ci diminue pour tendre zéro.

D’où, la transformée de Fourier dex ( t ), notéeX (ω ) ou X ( f ) ouF {x ( t )} , et la transformée inverse, notée F−1 {X ( f )}  :

X ( ω)=∫−∞

+∞

x ( t ). e− jω. t dt

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x ( t )=1

2π∫−∞

+∞

X ( f ) . e+ j .w . t .dω

Pour que la transformée de Fourier de x(t) existe et soit réciproque, il suffit que x(t) soit une fonction de carré sommable. Cela signifie que x(t), ainsi que sa transformée, sont à énergie finie. Tous les signaux physiques vérifient ces conditions parce qu’on les observe sur un temps fini.

2.Formes spéciales de la Transformée de Fourier

Le signal temporel x(t), est en général complexe et peut ainsi être écrit comme la somme de ses parties

réelle et imaginaire :x ( t )=xRe( t )+ j . xIm( t )

En substituant dans la définition on a :

X ( w )=X ( jf )=∫−∞

+∞

xRe (t ) . e− j .ω . t . dt + j ∫−∞

+∞

xIm( t ) . e− j .ω . t dt

Et d’après l’identité d’Euler :

X ( ω)=X ( jf )=∫−∞

+∞

[ xRe( t ) . cos( ω .t )+xIm( t ) . sin(ω . t )] . dt− j ∫−∞

+∞

[ xRe( t ). sin(ω . t )−xIm ( t ). cos (ω .t ) ]dt

De cela on tire les parties réelle et imaginaire du spectre de x(t) :

X Re( jf )=XRe(ω )=∫−∞

+∞

[ xRe( t ) .cos (ω . t )+xIm( t ). sin( ω .t )] . dt

X Im( jf )=X Im( ω)=−∫−∞

+∞

[ xRe( t ) . sin(ω . t )−xIm( t ) . cos(ω . t )] . dt

En procédant de même on obtient l’original x(t) :

xIm( t )=12 π

∫−∞

+∞

[ XRe(ω ) .sin (ω .t )+ X Im(ω ) . cos(ω . t )] .dω

xRe( t )=12 π ∫

−∞

+∞

[ XRe(ω ) .cos (ω . t )−X Im(ω ). sin( ω .t )] .dω

Maintenant, nous utiliserons les relations ci-dessus pour tirer dans le tableau suivant la correspondance des domaines des fréquence et des temps pour les signaux réels, imaginaires, pairs et impairs.

X(t) X(ω)

Réelle Imaginaire Complexe Paire Impaire

Réelle

Réelle et Paire

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Réelle et Impaire

Imaginaire

Imaginaire et Paire

Imaginaire et Impaire

II.PROPRIETES DE LA TRANSFORMEE DE FOURIER

L’intérêt de la transformation de Fourier réside également dans la grande variété de ses propriétés. Outre sa linéarité, qui découle de sa définition,

∀ λ1 , λ2 , ∀ x1 ( t ), x2( t ) , y ( t )= λ1 x1( t )+λ2x2 ( t )⇒Y (ω )=λ1 X1(ω )+λ2 X2 (ω )

Elle vérifie en effet de nombreuses relations caractéristiques, qui peuvent être présentées comme suit :1. Réversibilité

Le retournement de l’axe temporel conduit au retournement de l’axe fréquentiel, c'est-à-dire à la transformation des fréquences positives en fréquences négatives et réciproquement :

Si y ( t )=x (−t ) , alors Y (ω )=X (−ω )

Ce résultat se comprend aisément, car le retournement de e

jω0 . t conduit à e

− jw0 .t, ce qui se traduit dans le

domaine fréquentiel par un passage de δ (ω−ω0) à δ (ω+ω0 )

2. Translation temporelles et fréquentiellesLa translation temporelle d’un signal ne modifie que la phase de transformée de Fourier :

Si y ( t )=x ( t−t0 ) , alors Y (ω )=X (ω ). e− jω0 . t

De même, la modulation d’un signal par une exponentielle complexe conduit à un décalage de sa transformée de Fourier :

Si y ( t )=x ( t ) . ejω0 . t

, alors Y ( f )=X (ω−ω0 )Bien souvent, ces différentes relations permettent de simplifier le calcul de transformées de Fourier, ou de vérifier si le résultat obtenu est plausible.

3. Dilatation / compression

Si a est un réel et X(ω) la TF de x(t) alors : x (at ) ←−−→1|a|

X (ωa )

En combinant avec la propriété précédente on a : e j ω0 t x (at )←−−→1|a|

X (ω−ω0

a )

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On en déduit que : x (t ) . cos (ωt ) ←−−→X ( ω−ω0 )+X ( ω+ω0 )

2 et

x (t ) . sin (ωt )←−−→X (ω−ω0 )−X ( ω+ω0 )

2 j4. Dérivation temporelle

Si X(ω) est la TF de x(t) alors : dn x (t )

dt n ←−−→ ( jω )n X (ω )

5. Dérivation fréquentielle

Si X(ω) est la TF de x(t) alors : (− jt )n x ( t ) ←−−→dn X (ω)

dωn

6. Intégration temporelle

Si X(ω) est la TF de x(t) alors : ∫−∞

t

x (t ) dt ←−−→X (ω)

jω+πX (0 ) δ (ω)

7. Aire en dessous de x(t)

Si X(ω) est la TF de x(t) alors : X (0 )=∫−∞

+∞

x ( t )dt

8. Aire en dessous de X(ω)

Si X(ω) est la TF de x(t) alors : x (0 )= 12 π

∫−∞

+∞

X (ω ) dω

9. Produit de convolution et modulationLa transformée de Fourier du produit de convolution de deux signaux est le produit simple de leur transformées de Fourier :

Si ∀ t ∈R , y ( t )=∫

−∞

+∞

h( v ) . x ( t−v ). dv , alors ∀ f ∈R , Y (ω )=H (ω ). X (ω )

Ce résultat est une conséquence directe (et une généralisation) du fait que les exponentielles complexes sont des valeurs propres du produit de convolution :

y ( t )=∫−∞

+∞

h( v ) . x ( t−v ). dv=∫−∞

+∞

h( v )∫−∞

+∞

X ( f ).e jω .( t−v ) .df . dv

=∫

−∞

+∞

(∫−∞

+∞

h( v ).e− jω. v dv) X ( f ) .e jω .t dω

=∫

−∞

+∞

H (ω ). X (ω) . e j 2π . f .t . dω

donc Y (ω )=H (ω ). X (ω )

L’effet d’un produit de convolution peut être facilement examiné dans le domaine fréquentiel, alors qu’il est moins intuitif dans le domaine temporel. De même, la transformée de Fourier du produit d’un signal par une fonction modulante est égale au produit de convolution fréquentiel de leurs transformées de Fourier :

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Si ∀ t , y ( t )=m( t ) x ( t ), alors Y (ω )=∫

−∞

+∞

M (v ). X (ω−v ) .dv

Car ∫−∞

+∞

M (v ). X (ω−v ) .dv=∫−∞

+∞

M ( v )(∫−∞

+∞

x ( t ) . e− j(ω−2 π . v ). t . dt)dv

=∫

−∞

+∞

(∫−∞

+∞

M (v ) . e j 2π .v . t dv) x( t ) . e− jω . t dt

=∫

−∞

+∞

m( t ). x ( t ). e− j 2 π . f . t dt

10. Intercorrélation et autocorrélationL’Intercorrélation de deux signaux est une fonction qui traduit la ressemblance entre un signal et la version décalée d’un autre signal. Sa transformée de Fourier, appelée interspectre est égale au produit conjugué de leurs transformées de Fourier :

Si φxy( τ )=∫

−∞

+∞

x ( t ). y¿( t−τ ) . dt ,

Alors Φxy( f )=∫

−∞

+∞

φxy( τ ) .e− jωτ dτ=X ( ω) . Y ¿(ω )

Ce type d’opération est utilisé par exemple dans des systèmes de radar (Radio Detection And Ranging) ou de sonar (SOund NAvigation and Ranging). En effet, l’intercorrélation permet alors de comparer une onde émise à son écho reçu après réflexion sur un objet, que l’on peut considérer comme une version atténuée et retardée du signal. La position du maximum de l’intercorrélation permet alors de mesurer le temps de parcours de cette onde :

Si y ( t )=Kx ( t−t0 ), alors φxy( τ )=K ∫

−∞

+∞

x( t−t0 ) . x ( t−τ ). dt

∀ τ∈ R , |φxy (τ )|2≤|φxy( t0)|2

Ce temps de parcours peut également être obtenu dans le domaine fréquentiel, par une dérivation de la phase de l’interspectre :

Φxy( f )=KX( ω) . ejω . t0 . X ¿ (ω ), donc

d argΦxy (ω )dω

=t0

Comme cas particulier, l’autocorrélation, qui traduit la ressemblance entre un signal et se versions décalées, a pour transformée de Fourier le module carré de la transformée de Fourier du signal :

Si φxx( τ )=∫

−∞

+∞

x ( t ). x¿( t−τ ). dt , alors

Φx ( f )=∫−∞

+∞

φxx( τ ) .e− j2 π . f . τ . dτ=X (ω ). X¿ (ω )=|X (ω )|2

La fonction Φx (ω ) est appelée Densité Spectrale d’Energie (DSE) ou spectre d’énergie du signal réel

x ( t ).

Remarques   : - la fonction d’autocorrélation est paire en effet :

φxx(−τ )=∫

−∞

+∞

x ( t ) .x ( t−τ ) .dt=∫−∞

+∞

x (τ+u ). x (u) . du=φxx( τ )

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- les fonctions d’inter et d’autocorrélation de signaux périodiques de période T sont également périodiques et de même période.

- la valeur à l’origine (τ=0 ) de la fonction d’autocorrélation est égale à l’énergie du signal.

φxx ( τ )=∫−∞

+∞

x ( t ). x (t ).dt=∫−∞

+∞

|x ( t )|2.dt=W

Ce qui permet de compléter la relation de Parseval :

Pour tous signaux x ( t ) à énergie finie on a :

W =∫−∞

+∞

|x ( t )|2 dt=∫−∞

+∞

|X (ω )|2 dω=∫−∞

+∞

Φx (ω ).dω

- l’énergie totale du signal se calcule soit en intégrant sa distribution temporelle|x ( t )|2 ou

en intégrant sa densité spectrale d’énergie Φx (ω )

- de la relation Φx (ω )=|X ( ω)|2 on déduit que la DSE est indépendante du spectre de

phase, donc insensible, en vertu du théorème du retard à toute translation du signal sur l’axe des temps.- la fonction d’autocorrélation est paire par conséquent la DSE est aussi une fonction réelle et paire.- la DSE est une fonction positive.

Tableau récapitulatif des propriétés et théorèmes de la Transformée de Fourier

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III.TRANSFORMEES DES SIGNAUX USUELS

1.

Impulsion de Dirac

δ (t ) ←−−→ 1

En combinant ce résultat avec la propriété de translation temporelle on a :

δ ( t−t0 ) ←−−→ e− jwt0

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2.

Signal constant A

A ←−−→2 Aπδ (ω)

De même en combinant avec la modulation on obtient :

A . e jωt ←−−→2 Aπδ (ω−ω0)

3.

Signal cosinus

cos ( ω0 t )=12

(e jωt+e− jωt )←−−→ πδ (ω−ω0 )+πδ (ω+ω0 )

4.

Signal sinus

sin (ω0 t )= 12 j

( e jωt−e− jωt ) ←−−→ jπδ ( ω−ω0 )− jπδ (ω+ω0 )

5.

Signal saut unité

u0 ( t )←−−→ πδ(ω)+ 1jω

6.

Signal signe ou signum

sgn ( t )=u0 (t )−u0(−t)←−−→2jω

7.

Signal causal

e− jωt u0 ( t )←−−→ πδ(ω−ω)+ 1j(ω−ω)

8.

Signal cosines causal

cos ( ω0 t )u0 ( t )=12

(e jωt+e− jωt )u0 ( t )←−→π2 [ δ (ω−ω0 )+δ ( ω+ω0 ) ]+ 1

2 j ( ω−ω0 )+ 1

2 j(ω+ω0)

9.

Signal sinus causal

sin (ω0 t ) u0 ( t )=12

(e jωt−e− jωt )u0 ( t )←−→π2 j

[ δ (ω−ω0 )+δ ( ω+ω0 ) ]+ ω2

ω02−ω2

IV.UTILISATION DE MATLAB

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MATLAB a les fonctions intégrées fourier et ifourier pour calculer la Transformée de Fourier et son inverse. Leurs descriptions et exemples, peut être affiché avec help fourier et help ifourier. Dans les exemples suivants nous présentons des transformations de Fourier et comment ils sont vérifiés avec MATLAB.

Exemple 1 :

Exemple 2 :

Exemple 3   :

V.EXERCICES

TF1 À partir de la seule observation du signal temporel de la figure 2.1, précisez ce que vaut sa densité spectrale en f = 0 [Hz] puis calculez et esquissez sa transformée de Fourier.

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TF2 Partant de la TF d’une impulsion rectangulaire et de la propriété d’intégration, calculez les TF de x(t) et

y(t) (fig. suivante). Après calculs, vous remarquerez que : Y ( j . f ) peut s’écrire sous la forme d’un sinc2

.

TF3

Considérant le signal x ( t )défini comme suit :

x ( t )=¿¿On demande :

1. esquissez x ( t )2. calculez sa fonction d’autocorrélation pour les valeurs particulières suivantes 

τ=0 τ=±Δt τ=±2 . Δt

3. esquissez la fonction avec −∞< τ <+∞

TF4 Soit un signal carré symétrique (à valeur moyenne nulle) d’amplitude A.

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Esquissez :

1. le signal x ( t ) ;2. le spectre que l’on obtient avec les séries de Fourier ;3. le spectre que l’on obtient avec la transformée de Fourier

TF5

Considérons le signalx ( t )=e−a .|t|, calculez et esquissez x ( t ) etX ( f ), puis vérifiez les 2 égalités

suivantes :

a) X ( 0)=∫

−∞

+∞

x ( t ). dt, b)

x (0 )=∫−∞

+∞

X ( f ). df

TF6

1. considérant les quatre propriétés du tableau ci-dessus, exprimez leur équivalent temporel dans la colonne de droite.

2. pour chacun des signaux temporels de la figure ci-après, quelles sont les propriétés du tableau qui s’y appliquent ?

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3. construisez un signal qui ne possède aucune des quatre propriétés mentionnées dans le tableau.

TF7 Soit X(f) la transformée de Fourier du signal x(t) de la figure suivante. Sans calculer explicitement X(f), recherchez :

1. la densité spectrale de X(f)2. la valeur de X(f = 0)

3. la valeur de ∫−∞

+∞

X ( f ).df

4. la valeur de ∫−∞

+∞

|X ( f )|2df

TF 8

Connaissant la TF d’une sinusoïde amortie x ( t )=A .e−a. t .sin (2 . π . f 0 .t ) .∈( t ) :

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1. calculez la transformée de Fourier d’une sinusoïde démarrant à l’instant zéro :y ( t )=A . sin (2 . π . f 0 . t ) .∈( t )

2. esquissez les spectresX ( j . f ) , Y ( j . f ) et celui d’une sinusoïde permanente ;3. discutez les différences existant entre ces trois spectres.

TF 9

On applique une exponentielle décroissanteu1 ( t )=U 0 . e−a . t .∈ (t ) , d’amortissement a=100 [s−1 ] à un filtre passe-bas de constante de temps τ=1 [ms ] ;1. calculez la TF U2 ( j . f ) de la tension de sortie u2 ( t ) du filtre ;

2. utilisez le tableau des transformées pour déduire l’expression temporelle deu2 (t ) .

TF 10

Soit un message m( t )=A . cos (2 .π . f 1. t ) modulé en amplitude par une porteuse sinusoïdale p( t )=sin (2. π . f 0 . t ) :1. calculez la TF du signal modulé x ( t )=m( t ) . p( t )=A . sin (2 .π . f 1 . t ) .cos (2. π . f 1 .t ) ;2. esquissez le spectre du signal modulé |X ( j . f )|si f 1=10 [ kHz ] et f 0=800 [ kHz ] ;3. idem que le point 2) lorsque le signal m(t) possède un spectre continu|M ( j . f )| triangulaire et non-nul entre 2 [kHz] et 10 [kHz].

VI.SOLUTIONS DEX EXERCICES (seuls quelques exercices sont corrigés)

TF 1

Selon la propriété de la transformée de Fourrier

Le signal de la figure est constitué de 3 impulsions rectangulaires décalées et pondérées. Si y(t) est une

impulsion rectangulaire définie comme

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dont la transformée de Fourier est

alors x(t) peut être exprimé comme suit :

En faisant usage des propriétés de linéarité et de décalage

de la transformée de Fourier, on a :

TF

2 :

x(t)

est

constituée de la superposition de 2 impulsions de largeur ∆t = 200 [ms], l’une avancée de

td1 = 100 [ms] = ∆t/2 et l’autre retardée de td2 = −100 [ms] = −∆t/2 et de polarité négative. On a donc :

Application numérique :

y(t) correspond, à un facteur 1/∆t près, à l’intégrale de x(t)14 | © S i g n a u x e t s y s t è m e s a v e c M a t l a b

M . O U L O B L Y S t é p h a n e R .

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Connaissant la propriété de la TF

Application numérique :

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