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Cours de Mathématiques – Classe de Seconde - CHAPITRE 7 – Fonctions de référence

CHAPITRE 7 – Fonctions de référence

A) Les Fonctions Affines (rappels et compléments)

1) Définition

a et b étant deux réels donnés, on appelle fonction affine une fonction du type f(x) = a x + b.

Lorsque b = 0, on parle de fonction linéaire.

Lorsque a = 0, la fonction f est une fonction constante.

2) Représentation graphique

Théorème 1

La courbe représentative d'une fonction affine est une droite, de coefficient directeur (pente) a et qui passepar le point (0 ; b). Le nombre b s'appelle donc l'ordonnée à l'origine.

Les droites représentatives de fonctions linéaires passent par le point O (0 ; 0).

Les droites représentatives de fonctions constantes sont des parallèles à l'axe des abscisses.

Remarque

Les seules droites non représentatives de fonctions affines sont les droites parallèles à l'axe desordonnées.

3) Fonctions affines et taux de variation

a) Définition

On appelle taux de variation d'une fonction f entre les valeurs a et b distinctes le nombre :

t=f (b) – f (a)b – a

b) ExemplesCalculer le taux de variation t dans les cas suivants :

• f(x) = 2x – 3 entre 0 et 7• f(x) = 5x + 1 entre 1 et 2• f(x) = 2x – 3 entre 1 et 2• f(x) = 2x + 1 entre 0 et 7

c) ThéorèmeSoit f une fonction affine f(x) = a x + bL'accroissement de la fonction f est proportionnel à l'accroissement de la variable, soit

Pour tous u et v réels , on aura : f u – f v

u – v=a

a est le taux de variation de f entre u et v.

Donc, le taux de variation d'une fonction affine est constant et égal à son coefficient directeur a.

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Démonstrationf (u) – f (v )

u – v =

(au+b)– (av+b)

u – v =

a u+b – av – bu – v

= au – a v

u – v =

a (u – v)u – v

= a

Théorème 3Si une fonction f définie sur ℝ a un taux de variation constant t pour tout x∈ℝ , Alors f est la fonction affine y = a x + b, avec a = t et b = f(0).

Démonstration :Prenons v = 0 et u = x, on aura :

f ( x) – f (0)

x – 0 = t , soit

f ( x) – f (0)

x = a , d'où f ( x )– f (0)=t×x , donc f ( x )=t x+ f (0) .

On a donc bien f(x) = a x + b, en posant a = t et b = f(0).

Autrement dit :Les fonctions affines ont un taux de variation constant, et ce sont les seules dans ce cas.

Conséquence :Si une fonction est telle que pour tous k et x réels on a f(k x) = k f(x), alors cette fonction est une fonctionlinéaire du type f(x) = a x (à faire démontrer).

4) Variations d'une fonction affine

a) Définitions

On appelle variations d'une fonction le fait qu'elle soit croissante ou décroissante selon l'intervalle quel'on considère.

Une fonction est croissante lorsque plus x grandit, plus f(x) grandit aussi.

Elle est décroissante si quand x grandit, f(x) diminue.

On résume ces variations dans un tableau de variations qui représente ces variations à l'aide de flèches,montantes si f est croissante et descendantes si elle est décroissante.

b) Variations d'une fonction affine

Soit f(x) = a x + b, définie sur ℝ .

- Si a = 0, f(x) = b, f est donc constante sur ℝ .

- Si a > 0, soit u et v deux réels avec u < v :

f(u) – f(v) = au + b – (av + b) = au – av = a (u – v)

Donc, comme a > 0 et u – v < 0 on aura a(u - v) < 0 donc f(u) < f(v)f est donc strictement croissante sur ℝ .

- Si a < 0, le même raisonnement amènera u < v ⇒ f(u) > f(v), doncf est strictement décroissante sur ℝ .

En représentation graphique on voit que :

Si a = 0, la droite est parallèle à l'axe des abscisses.Si a > 0, la droite monte de la gauche vers la droite (fonction croissante).Si a < 0 la droite descend de la gauche vers la droite (fonction décroissante).

Notes :⇒ veut dire "implique". Dans le cas ci-dessus, cela signifie "Si u < v, Alors f(u) < f(v)".De même, ⇔ signifie "est équivalent à", ce qui veut dire que l'implication est dans les deux sens.

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Par exemple, ∀ u et v ∈ℝ , f (u)− f (v )

u−v=a ⇔ f est affine et son coefficient directeur est a.

Remarque :Si ∀u et v∈ℝ f (u+ v )= f (u)+ f (v) , Alors f est une fonction linéaire.

Démontrez-le pour tout x dans ℕ , puisℤ , puisℚ .

5) Signe d'une fonction affine

Soit f(x) = a x + b, définie sur ℝ .

Si a = 0, f(x) garde toujours la même valeur b, donc elle a le signe de b.

Si a > 0, la droite monte, donc elle passe d'abord par des points au-dessous de l'axe des abscisses , doncd'ordonnée négative (f(x) < 0), puis coupe cet axe (avec f(x) = 0), et passe ensuite par des pointsd'ordonnée positive (f(x) > 0).

Si a < 0, la droite descend, donc elle passe d'abord par des points au-dessus de l'axe des abscisses , doncd'ordonnée positive (f(x) > 0), puis coupe cet axe (avec f(x) = 0), et passe ensuite par des pointsd'ordonnée négative (f(x) < 0).

Pour trouver la valeur pour laquelle f(x) = 0, il suffit de résoudre l'équation f(x) = 0, soit :a x + b = 0 <=> a x = - b <=> x = - b/a.

Ceci peut se résumer dans les tableaux suivants, qui donnent le signe de f(s) = a x + b :

Si a > 0 :x - ∞ -b/a + ∞

f(x) __ + ∞

0 +- ∞

Si a < 0 :

x - ∞ -b/a + ∞

f(x) + ∞ __

+ 0 - ∞

6) Signe d'un produit ou d'un quotient de fonctions affines

Pour cela, on fait un tableau de signes avec en plus de la ligne des x, autant de lignes qu'il y a de facteurs,plus une ligne pour le produit ou le quotient.

Exemples :a) f(x) = (x – 2)(3x + 1)b) f(x) = (x-1)(x – 4)c) f(x) = (2x – 5)(x + 1)(x – 7)

d) f (x)=x –3x+5

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e) f (x)=2x+1x+9

f) f (x)=(x+2)(x−3)

x+1

B) La fonction "carré" : f(x) = x²

1) Domaine de définition

Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deux nombres entre eux).

2) Sens de variation

Elle est strictement croissante sur [0 ; +∞[ et décroissante sur ]-∞ ; 0]

Démonstration :Soient a et b deux réels avec a > b.

On aura f(a) – f(b) = a² - b² = (a – b) (a + b), d'où : Si a et b sont positifs, a + b sera positif, donc la différence f(a) – f(b) = a² - b² sera du même signe que

a – b, donc positive. La fonction est donc croissante. Si a et b sont négatifs, a + b est négatif et f(a) – f(b) = (a – b) (a + b) sera du signe contraire de a – b

soit négatif, la fonction est donc décroissante.

3) Tableau de variation

x -∞ 0 +∞

f(x) = x²+∞ | +∞

||0

4) Courbe représentative

Pour tout réel x, f(-x) = (-x)² = x² = f(x)La fonction est donc paire, et sa courbe est donc symétrique par rapport à l’axe (Oy), axe desordonnées. Cette courbe s’appelle une "parabole".

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Si on la renverse vers le bas (ce qui revient à étudier f(x) = - x²), c’est la trajectoire d’un projectile lancéen l’air, qui monte puis qui retombe.

5) Propriétés

a) Comparaison entre x et x²

Graphiquement : comparez la courbe avec la droite y = x / x < 0 : x² > x x² – x > 0

Que déduisez-vous sur x et x² ? < 0 < x < 1 : x² < x x² – x < 0 \ x > 1 : x² > x x² – x > 0

Par le calcul :x² - x = x(x – 1), on étudie son signe à l'aide d'un tableau de signes :

x -∞ - 0 + 1 + +∞

x - 1 - -1 - 0 +

x² - x + 0 - 0 +

Ce qui confirme les résultats constatés sur le graphique.

ExemplesComparer : ½ et (½)² ; 2 et 2² ; 0,9 et 0,9² ; -3 et (-3)² ; -0,1 et (-0,1)².

b) Équations

Principe de la résolution de x² = kOn peut s'aider de la résolution graphique ou utiliser la règle :

• Si k < 0, pas de solution.• Si k = 0 une seule solution x = 0• Si k > 0, 2 solutions x=√k ou x=−√k

Exemples :x² = 4 x² = -3 x² = 9 x² = 0 x² = 2 x² = 7

c) Inéquations

Principe de la résolution de x² ≤ k ou x²< kOn peut s'aider de la résolution graphique ou utiliser la règle :

• Si k < 0, pas de solution.• Si k = 0 une seule solution x = 0 dans le cas x² ≤ k, aucune sinon.• Si k > 0, la solution est l'intervalle [−√k ; √k ] si x² ≤ k ou ]−√k ; √k [ sinon.

Exemples :x² ≤ 4 x² ≤ -3 x² ≤ 0 x² ≤ 7

Principe de la résolution de x² ≥ k ou x² > kOn peut s'aider de la résolution graphique ou utiliser la règle :

• Si k < 0, la solution est ]−∞;+∞[ (c'est vrai pour tout x).• Si k = 0 la solution est ]−∞;+∞[ pour x² ≥ 0, ou ]−∞; 0[U ]0;+∞ [ sinon.• Si k > 0, la solution est ]−∞;−√k [U ]√k ;+∞ [ si x² > k, ou ]−∞;−√k ]U [√k ;+∞ [ sinon.

Exemples :x² > 9 x² ≥ -3 x² > 0 x² ≥ 7 x ≥ 0

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C) La fonction inverse : f(x) = 1/x

1) Domaine de définition

Attention : on ne peut pas calculer f(x) = 1/x pour x = 0 !Donc la fonction inverse est définie seulement sur ℝ \ {0}=ℝ* = ]-∞ ; 0[ a ]0 ; +∞[.

2) Sens de variation

La fonction f(x) = 1/x est strictement décroissante sur chacun de ses deux intervalles de définition.

Démonstration :

Calculons le taux de variation de f entre les valeurs a et b :

t=f (a)− f (b)

a−b=

1a

– 1b

a−b=

b – aa b

a−b=

b−aa b(a−b)

=−(a−b)

a b(a−b)=

−1a b

donc du signe de –ab.

Si a et b sont positifs, a b > 0 donc t < 0, la fonction f est donc décroissante sur ]0 ; +∞[. Si a et b sont négatifs, a b > 0 aussi, donc f est décroissante aussi sur ]-∞ ; 0[.

3) Tableau de variation

x -∞ 0 +∞

f(x) = 1/x0 || +∞ || -∞ || 0

Quand |x| (valeur absolue de x) est très grand, |1/x| = 1/|x| est très petit et se rapproche donc de zéro.

Exemples :1/10 000 = 0,0001 ou 1/-20 000 = -0,00005.

On dit que la fonction 1/x "tend vers zéro" quand x "tend vers plus l’infini".

On écrit :1x

→ 0 quand x → +∞.

Si au contraire |x| devient très proche de zéro, |1/x| devient très grand ("tend vers l’infini"), et donc 1/xdevient très grand en positif (tend vers plus l'infini) si x > 0, ou très grand en négatif (tend vers moinsl'infini) si x < 0.

On dit que quand x tend vers zéro en étant négatif (on écrit x → 0-), f(x) tend vers moins l'infini (on écritf(x) → -∞) et que quand x tend vers zéro en étant positif (x → 0+), f(x) tend vers plus l'infini (f(x) → +∞).

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4) Courbe représentative

Cette courbe (en rouge ci-dessus) s’appelle une "hyperbole".

Elles est symétrique par rapport au point O, car f(x) = 1/x est ce qu'on appelle une fonction impaire car

f(-x) = -f(x) (en effet, on a1

−x=−

1x

).

5) Propriétés

Dire que y=1x

équivaut à dire que x=1y

(démonstration facile)

Ceci implique que la courbe possède aussi une symétrie axiale par rapport à la première bissectrice (droited'équation y = x), puisque l'on peut intervertir les coordonnées en restant sur la courbe.

Étant de plus impaire, cela veut dire qu'elle est aussi symétrique par rapport à la seconde bissectrice durepère (droite d'équation y = -x).

6) Applications

a) Comparer 1/x et 2 – x quand x > 0

1x

– 2 – x =1x

– 2x=1 – 2 x x²

x, du signe de x² - 2x + 1 = (x – 1)² ≥ 0, nul seulement pour x = 1.

L’hyperbole de f(x) = 1/x est donc au-dessus de la droite y = 2 – x pour x > 0 et elle la touche pour x = 1.De même, on montre qu’elle est toujours au-dessous de la droite y = -2 – x pour x < 0 (c’est immédiat parsymétrie de l’hyperbole par rapport à 0) et elle la touche pour x = -1.

Exemples :

Calculer 1/x et 2 –x pour x = ½ ; 2/3 ; 1 ; 1,1. Calculer 1/x et –2 – x pour x = -2/3 ; -1 ; -1,2.

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b) Équations

Principe de la résolution de 1x=k

On peut s'aider de la résolution graphique ou utiliser la règle :• Si k = 0 pas de solution.

• Si k ≠ 0, une solution unique x=1k

.

Exemples :1x

= 4 1x

= -3 1x

= 9 1x

= 0 1x

= 0,5 1x

=23

c) Inéquations

Principe de la résolution de 1x

≤ k ou 1x

< k

On peut s'aider de la résolution graphique ou utiliser la règle :

• Si k < 0, la solution est [1k;0 ] si

1x

≤ k et ]1k;0] sinon.

• Si k = 0 la solution est [−∞ ;0 [ .

• Si k > 0, la solution est [−∞ ;0 [ U ]0 ;1k

] si1x

≤ k ou [−∞ ;0 [ U ]0 ;1k

[ sinon.

Exemples :1x

≤ 41x

< -31x

≤ 01x

< 7

Principe de la résolution de 1x

≥ k ou 1x

> k

On peut s'aider de la résolution graphique ou utiliser la règle :

• Si k < 0, la solution est ]−∞ ;1k

] U ]0 ;+∞ [ si1x

≥ k ou ]−∞ ;1k

[ U ]0 ;+∞ [ sinon.

• Si k = 0 la solution est [0 ;+∞ [ .

• Si k > 0, la solution est ]0 ;1k

] si1x

≥ k et ]0 ;1k

[ sinon.

Exemples :1x

> 91x

≥ -31x

> -11x

≥ 71x

≥ 0

d) Cas où x est remplacé par une expression

Résoudre graphiquement, puis par le calcul :

1x−3

=5 (Solution : d’où x−3=15

donc x=15+3=

165

=3,2 )

1x−1

<5 (Solution : x−1∈[−∞ ;0 [ U ]0 ;15

] et15=0,2 donc en faisant passer le -1 à

droite comme +1, on trouve x∈[−∞ ;1 [ U ]1 ;1,2 [ )Essayez aussi :

12 x−1

=0,5 2≤1x<5

1x+1

=7,2 2< 1x−1

<3 3

2 x – 3=1

23x –1

≤5

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D) Fonctions associées (montrer avec Geogebra)

1) Fonctions f(x) = a x² + b

a) Cas où a = 1

f(x) = x² + b : cette fonction est juste une fonction f(x) = x², décalée de |b| vers le haut si b > 0 ou décaléede |b| vers le bas si b < 0.

Exemples :

b) a ≠ 1

Cette fois, en plus du décalage vertical produit par le b, la courbe sera plus "pointue" si |a| >1 ou plusouverte si |a| < 1, et elle sera tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0.

Exemples :

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2) Fonctions f(x) = a/x+ b

a) a = 1

La courbe sera la même que pour f(x) = 1/x, mais décalée vers le haut si b > 0 ou vers le bas sinon.

b) a ≠ 1

Cette fois, en plus du décalage vertical produit par le b, la courbe sera plus déformée : si |a| >1 elle colleramoins aux axes, ou elle en sera plus proche si |a| < 1.

Si a < 0, la courbe s’inverse par rapport à l’axe (Ox) : le côté gauche passe au-dessus et le côté droit passeau-dessous de l’axe des abscisses.

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