Chapitre IV Lois Usuelles Discrètes

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  • 7/31/2019 Chapitre IV Lois Usuelles Discrtes

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    1

    Chapitre IV Lois Usuelles Discrtes

    I. Loi Binomiale

    I1. Introduction

    Soit une suite finie de n expriences obissant aux conditions suivantes

    Chaque exprience peut entraner la ralisation dun vnement A ou de son

    contraire A

    La probabilit de A est la mme pour toutes les expriences et elle est gale p, son

    complmentaire est q = 1 p

    Le rsultat dune exprience est indpendant des rsultats des autres expriences

    On note Ak: lvnement A se ralise k fois dans une suite de n expriences

    La probabilit de Akest la somme de chacune des vnement ; sa probabilit est pkq

    n-k

    et elle se ralise de plusieurs manires do :

    ( )

    0,1,2....

    k k n k

    nP X k C p q

    k n

    = =

    =

    Dfinition : On dit quune variable alatoire X valeurs dans N suit une loi binomiale

    si sa loi de probabilit est donne par :

    ( )

    0,1,2....

    k k n k

    nP X k C p q

    k n

    = =

    =

    Montrons quil sagit bien dune loi de probabilit

    0

    ( ) 1n

    k k n k n

    n

    k

    C p q p q

    =

    = + =

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    2

    Cette loi est note

    X : B(n , p) ou n et p sont les paramtres de la loi binomiale

    I2. Les paramtres de la loi binomiales

    X : B(n , p)

    Calculons

    1) E(X) =E(X) =

    n

    1k

    knkkn

    n

    0k

    knkkn qpkCqpkC

    kn1kn

    1k

    knkn

    1k

    qp)!kn()!1k(

    )!1n(np

    qp)kn(!k

    !nk

    Posons n 1 = m et k 1 = r alors

    E(X) = rmrn

    0r

    qp)!rm(!r

    !mnp

    Or

    p-1qpuisque1)qp(

    qpCqp)!rm(!r

    !m

    m

    m

    0r

    rmrrm

    rmrn

    0r

    Donc E(X) = np

    2) La variancen

    1r

    knkkn

    n

    0k

    knkkn qpCkqpCk)X(E

    Posons k 1 = r et n 1 = m

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    3

    m

    0r

    m

    0r

    rmrrmr

    n

    0k

    rmr

    qpr)!-(mr!

    m!rqp

    r)!-(mr!

    m!rnp

    qp)rm(!r

    !m)1r(np)X(E

    Orm

    0r

    rmrqpr)!-(mr!

    m!r est lesprance mathmatique dune binomiale de

    paramtre m et p donc il est gal mp et

    m

    0r

    rmr 1)qpr)!-(mr!

    m!(r

    Do E(X) = np(mp + 1) = np((n 1) + 1)

    = np - np + npV(X) = E(X) E(X) = np - np + np np

    = np np = np(1 p) =npq

    V(X) = npq

    Exemple :

    Soit X une variable alatoire qui reprsente le nombre de piles que lon peut

    obtenir en jetant une pice rgulire 10 fois.

    X : B( 10 , 1/2)

    E(X) = 101/2 = 5

    V(X) = 101/21/2 = 2,5

    Une urne contenant des boules rouges en proportion . On tire successivement 25

    boules en remettant chaque fois la boule tire. Soit Y le nombre de boules rouges

    obtenues parmi les 25.

    Y : B(25 , 1/4 )

    E(Y) = 251/4 = 25/4

    V(Y) = 251/43/4 = 75/16

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    4

    I3. Soit X : B(n , p) si n = 1 alors on a X : B(1 , p) cest ce quon appelle loi de

    Bernouilli.

    Une loi de Bernouilli est une loi Binomiale avec n = 1

    Soit X1 : B(1 , p) et X2 : B(1 , p) alors

    X = X1 + X2 est une B( 2 , p)

    En gnralisant une loi Binomiale est la somme de n lois de Bernouilli de mme

    paramtre p.

    De cette dfinition, on obtient la proprit suivante :

    Soit X1 : B(n1 , p) et X2 : B(n2 , p) alors

    X = X1 + X2 : B(n1 + n2 , p)

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    5

    II. La loi hypergomtrique

    2.1. Introduction

    une urne contient N boules dont N1 rouges et N2 non rouges avec N = N1 + N2 . On

    prlve sans remise ( simultan) un chantillon de n boules de lurne ( n N).

    Soit X une variable alatoire associant un tel chantillon le nombre de boules

    rouges obtenues ; la loi de probabilit de X est dfinit

    1 2( )

    k n k

    N N

    n

    N

    C CP X k

    C

    = =

    avec N1 + N2 = N

    o k, n , N1 et N2 sont des entiers positifs tels que :

    0 n N 0 k n 0 k N1 0 n-k N2

    X une variable qui suit une loi hypergomtrique de paramtres N , n , p est note

    X : H(N , n, P)

    II.2. Les paramtres

    Calculons E(X) et V(X)

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    6

    1) E(X)

    1 2 1 2

    1 2

    2

    0 1

    1

    1 1

    1 1

    1 1 1

    1

    ( )

    N

    N !

    !( )!

    N

    k n k k n k nN N N N

    n nk kN N

    k n k

    N NnkN

    nn k

    NnkN

    kC C kC C

    E X C C

    kC C

    C N

    k NC

    C N k N k

    = =

    =

    =

    = =

    =

    =

    =

    2

    1

    1 1

    ( 1)!( 1)!( )!

    n

    n kNn

    kN

    N CC k N k

    =

    posons k 1 = Z

    1 2

    111

    1

    0

    1 1

    1 N-1 1 1

    1

    11

    ( )

    N C

    ( 1)!

    ( 1)!( 1)!( ) or N Np

    !

    !( )!

    nZ n Z

    N NnZN

    n n

    N

    n n

    N N

    NE X C C

    C

    N C

    C C

    NN

    nNn NE X

    N N

    n N n

    =

    =

    = =

    = = =

    Donc E(X) =N

    nNp= np elle est la mme que celle dune loi binomiale

    2) V(X) :

    Calculons :

    E(X(X 1)) =1 2

    1 2 2

    0

    ( 1)( 1)

    nk n k

    k n k N NnN N k

    n nk N N

    k k C C k k C C

    C C

    =

    =

    =

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    7

    1 2

    2

    1 2

    1 1

    2 1 1

    1 1 1

    2 1

    21 12

    2

    ( 1) ( 1)

    ( 1)

    ( 1) ( 2)!

    ( 2)!( )!( 1)

    nk n k

    N NnkN

    nn k

    NnkN

    nk n k

    N NnkN

    N N k kC C

    C N N

    N N NC

    C k N k

    N NC C

    C

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    Posons k 2 = m

    E(X(X 1)) =1 2

    221 1

    2

    0

    ( 1) n m n mN Nn

    mN

    N NC C

    C

    =

    E(X(X 1)) =

    21 1

    2

    ( 1) nNn

    N

    N N

    CC

    1 1

    1 1

    ( 2)!( 1)

    ( 1) ( 1)( 2)!( )!

    ! ( 1)

    !( )!

    NN N

    N N n nn N n

    N N N

    n N n

    = =

    Remplaons N1 par NP

    E(X(X 1)) = NP(NP 1)) x1N

    )1n)(1NP(np

    N

    nx

    1N

    1n

    E(X(X 1)) = E(X) E(X) or :

    E(X) = E[X(X 1)] + E(X) = np1N

    )1n)(1NP(np

    V(X) = pnnp1N

    )1n)(1NP(np

    1N

    )1N(pn)1N(np)1n)(1NP(np

    V(X) =[( 1)( 1) 1 ( 1)]

    1

    np NP n N np N

    N

    +

    1N

    )nN)(p1(np

    1N

    )]P1(n)p1(N[np

    1N

    )]P1(n)p1(N[np

    1N

    )]nPnPN1N1NPnNPn[np

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    8

    Or 1 p = q

    Dou

    V(X) =1N

    nNnpq

    O le rapport1

    N n

    N

    est appel coefficient dexhaustivit

    II.3 . Approximation dune loi Hypergomtrique par une loi Binomiale

    Rappelant qui si X : B( n , p) avec E(X) = np et V(X) = npq

    Et si Y : H(N , n p) avec E(X) = np et V(X) = npq1

    N n

    N

    On constate que la diffrence entre X et Y est au niveau de la variance ;

    Divisant le numrateur et le dnominateur du coefficient dexhaustivit par N

    1 /

    1 1 1/

    N n

    n NN

    N NN

    =

    Supposant que N est trs grand par rapport n ce qui implique que le rapport :

    n/N tend vers zro et que le rapport 1/N tend aussi vers zro. Dou

    1

    N n

    N

    tend vers 1

    et V(Y) tend vers npq

    Si N est trs grand par rapport n alors :

    H(N , n p) B(n , p).

    Exemple 1

    Un concessionnaire vend chaque jour, 5 voitures identiques des particuliers.

    Sachant que la probabilit pour que ce genre de voitures soit en tat de rouler deux

    ans aprs est 0,8 ; calculer la probabilit

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    9

    1) que les 5 voitures soient en tat de rouler deux ans aprs2) que les 5 voitures soient hors service deux ans plus tard3) que trois voitures soient hors service4) que deux voitures au plus soient hors service

    Solution

    P = 0,8

    Soit X le nombre de voitures en tat de rouler deux ans plus tard

    X : B(5 , 0,8)

    1)5 5 5 5

    5( 5) 0,8 0, 2 0,32768P X C= = =

    2)0 0 5

    5( 0) 0,8 0, 2 0,00256P X C= = =

    3)2 2 5 2

    5( 2) 0,8 0, 2 0,0512P X C= = =

    4) [ ]( 3) 1 ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P X = = + = + =

    1 1 5 1

    5( 1) 0,8 0, 2 0,0064P X C= = =

    Donc

    [ ]( 3) 1 0.00256 0.0064 0.0512 0.93984P X = + + =

    Exemple 2

    Une urne contient 10 boules blanches et 4 noires ; on tire en une seule fois trois boulesde lurne ( tirage exhaustif). Soit Y le nombre de boules blanches obtenues

    1) Donner la loi de Y2) Calculer E(Y) et V(Y)

    Solution

    N1 (Rouge) = 6 N2 (noire) = 4 dou N = 10 p = 0,6 et n = 3 le tirage est simultan

    donc :

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    10

    1) Y : H(10 , 3 , 0,6)2) E(X) = np = 30,6 = 1,8

    10 3 7( ) 3 0,6 0,4 0,72 0,56

    1 10 1 9

    N nV X npq

    N

    = = = =

    III. Loi de Poisson

    Dfinition : On dit quune variable alatoire X valeurs dans N suit une loi de

    Poisson de paramtre m, si m tant un rel donn positif, la loi de X est dfinie

    par :

    ()!

    k=0,1,2.......

    k

    mmPXke

    k

    ==

    On la note P(m)

    On dmontre que :

    0

    1!

    km

    k

    me

    k

    =

    =

    III.1- Calcul pratique :

    Prenant1

    ( 1)( 1)!

    km m

    P X k ek

    += + =

    +

    et

    ( )!

    km m

    P X k ek

    = =

    Prenant le rapport

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    11

    1

    ( 1) ( 1)!

    ( ) 1

    !

    km

    km

    me

    P X k mk

    mP X k k

    e k

    +

    = + += =

    = +

    Ce qui implique

    ( 1) ( )1

    mP X k P X k

    k= + = =

    +

    Par exemple

    X :P(2,2) on a :

    2,2( 0) 0,110803P X e= =

    2,2( 1) ( 0) 0,243767

    1P X P x= = =

    2,2( 2) ( 1) 0,268144

    2P X P x= = =

    2,2( 3) ( 2) 0,1966393

    P X P x= = =

    etc.

    III.2- les paramtres

    1) E(X)

    1 1

    1

    1

    ( )! !

    1

    k k

    m m

    k k

    km

    k

    m mE X ke e kk k

    mme k

    k

    = =

    =

    = =

    =

    Posons k 1 = r

    1r

    km

    !k

    mkme)X(E

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    12

    orm

    3

    0r

    r

    e..........!3

    m

    !2

    mm1

    !r

    m

    Dou

    ( ) m mE X me e m= =

    2) E(X2)

    =

    =

    =

    =

    ==

    1

    m-

    10

    )!1(e

    !

    !)(

    k

    k

    k

    km

    k

    km

    k

    mk

    k

    mke

    k

    mekXE

    Posons k 1 = r

    +=

    +=

    =

    =

    =

    00

    0

    !!

    )(

    !)1()(

    r

    rm

    r

    r

    m

    k

    rm

    r

    me

    r

    mremXE

    r

    mrmeXE

    Orm

    r

    mre

    r

    rm =

    =

    0 !

    Et

    =

    =

    0

    1!r

    rm

    r

    me

    Do

    E(X) = m(m + 1) = m + m

    V(X) = E(X) E(X) = m + m m = m

    Donc E(X) =V(X) = m

    III.3- Processus de Poisson

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    13

    Ltude de certains phnomnes alatoires qui sont dit suivre un processus de

    Poisson, permet dintroduire directement la loi de Poisson. Cest ainsi que le

    nombre dimpulsions que lon peut enregistrer par unit de temps est une

    variable alatoire qui suit une loi de Poisson. Lesprance mathmatique qui

    caractrise ce phnomne est le paramtre quil convient de connatre.

    Exemple : Le mouvement propre dun compteur mesur pendant 30 secondes est

    une variable alatoire qui suit une loi de Poisson de paramtre 10. Quelle est la

    probabilit dobserver un nombre dimpulsions compris dans lintervalle [8 ; 12]

    lors dun comptage de 30 secondes ?

    P(8 X 12) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) + P(X=11) + P(X=12)

    = 01126 + 0,1251 + 0,1251 + 0,1137 + 0,0948 = 0,57

    III.4- Lapproximation dune loi binomiale par une loi de Poisson

    Soit X une variable alatoire B(n ; P) ; on cherchera la limite de P(X=k) lorsque

    n tend vers linfini et P tend vers zro ; le produit nP tend vers une valeur finie

    m, on a :

    Considrons une loi binomiale k k n k k nP C p q= supposons que n est

    grand et p proche de zro et considrons deux termes successifs :

    !

    !( )!

    k n k

    k

    n

    P p qk n k

    =

    1 1

    1

    !

    ( 1)!( 1)!

    k n k

    k

    nP p q

    k n k

    + = +

    et prenons le rapport

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    14/17

    14

    1 1

    1

    !

    1!( )!

    !

    ( 1)!( 1)!

    k n k

    k

    k n k

    k

    n

    P p q n k pk n k

    nP p q k q

    k n k

    +

    += =

    +

    Ce rapport scrire

    1

    11

    1( )k

    k

    k

    P np n k np n

    P k nq k q

    +

    = =

    n tant grand1

    0k

    n

    P tant proche de zro , q est voisin de 1

    par suite1

    k

    k

    P np m

    P k k =

    Ecrivons ce rapport pour des valeurs successives de k :

    11 0

    0

    P1

    P 1

    mk P mP= = =

    22

    2 1 0

    1

    P2

    P 2 2 2

    m m mk P P P= = = =

    3

    33 2 0

    2

    P3

    P 3 3 2 3

    m m mk P P P= = = =

    4 4

    44 3 0 0

    3

    P4P 4 4 2 3 4 4!

    m m m mk P P P P= = = = =

    On voit que dans le cas gnral

    0!

    k

    k

    mP P

    k=

    Ecrivons alors la somme des probabilits qui gale un pour dterminer P0

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    15/17

    15

    2

    0 0 0..... ..... 1

    2! !

    k

    k

    m mP P mP P

    k= + + + + + =

    2

    0 (1 .... ...) 12! !

    k

    k

    m mP P m

    k= + + + + + = Or la somme entre parenthse est la srie exponentielle :

    2

    1 .... ...2! !

    kmm m

    m ek

    + + + + + =

    Donc 0 01m m

    P e P e= =

    On obtient finalement :

    ( )!

    km m

    P X k ek

    = =

    avec m = np

    Dans le cas pratique, on utilise ce rsultat chaque fois que p est proche de zro et

    n grand.

    Le tableau ci dessous une ide de lapproximation :

    B(300 , 10-2

    ) P(3)

    P(X=0)

    P(X=1)

    P(X=2)

    P(X=3)

    P(X=4)

    P(X=5)

    P(X=6)

    P(X=7)

    P(X=8

    0,0490

    0,1486

    0,2244

    0,2252

    0,1689

    0,1010

    0,0501

    0,0212

    0,0079

    0,0498

    0,1493

    0,2240

    0,2240

    0,1680

    0,1008

    0,0504

    0,0216

    0,0081

    VI5 Somme de variables de Poisson indpendantes

  • 7/31/2019 Chapitre IV Lois Usuelles Discrtes

    16/17

    16

    Soit X :P(m1) et Y : P(m2) et X est indpendant de Y alors

    X+Y : P(m1 + m2)

    Ce rsultat stend un nombre quelconque de variables de Poisson :

    EXTRAIT DES TABLES DE LA LOI DE POISSON ( )

    Pr {X = k} =!

    km

    ek

    k

    0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,5 2

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    0,848 7

    0,163 7

    0,016 4

    0,001 1

    0,670 3

    0,268 1

    0,053 6

    0,007 1

    0,000 7

    0,000 1

    0,548 8

    0,329 3

    0,098 8

    0,019 8

    0,003 0

    0,0004

    0,449 3

    0,359 5

    0,143 8

    0,038 3

    0,007 7

    0,001 2

    0,000 2

    0,367 9

    0,367 9

    0,183 9

    0,061 3

    0,015 3

    0,003 1

    0,000 5

    0,000 1

    0,223 1

    0,334 7

    0,251 0

    0,125 5

    0,047 1

    0,014 1

    0,003 5

    0,000 1

    0,135 3

    0,270 7

    0,270 7

    0,180 4

    0,090 2

    0,036 1

    0,012 0

    0,003 4

    0,000 9

    0,000 2

    k

    2,5 3 3,5 4 4,5 5 10

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    78

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    0,082 1

    0,205 2

    0,256 5

    0,313 6

    0,133 6

    0,066 8

    0,027 8

    0,009 90,003 1

    0,000 9

    0,000 2

    0,049 8

    0,149 4

    0,224 0

    0,224 0

    0,168 0

    0,100 8

    0,050 4

    0,021 60,008 1

    0,002 7

    0,000 8

    0,000 2

    0,000 1

    0,030 2

    0,105 7

    0,185 0

    0,215 8

    0,188 8

    0,132 2

    0,077 1

    0,038 50,016 9

    0,006 6

    0,002 3

    0,000 7

    0,000 2

    0,000 1

    0,018 3

    0,073 2

    0,146 5

    0,195 4

    0,195 4

    0,156 3

    0,104 2

    0,059 50,029 8

    0,013 2

    0,005 3

    0,001 9

    0,000 6

    0,000 2

    0,000 1

    0,011 1

    0,050 0

    0,112 5

    0,168 7

    0,189 8

    0,170 8

    0,128 1

    0,082 40,046 3

    0,023 2

    0,010 4

    0,004 3

    0,001 6

    0,000 6

    0,000 2

    0,000 1

    0,006 7

    0,033 7

    0,084 2

    0,140 4

    0,175 5

    0,175 5

    0,146 2

    0,104 40,065 3

    0,036 3

    0,018 1

    0,008 2

    0,003 4

    0,001 3

    0,000 5

    0,000 2

    0,000 1

    0,000 0

    0,000 5

    0,002 3

    0,007 6

    0,018 9

    0,037 8

    0,063 1

    0,090 10,112 6

    0,125 1

    0,125 1

    0,113 7

    0,094 8

    0,072 9

    0,052 1

    0,034 7

    0,021 7

    0,012 8

    1 1

    ( ) ( )k k

    h h

    h h

    P m P m= =

    =

  • 7/31/2019 Chapitre IV Lois Usuelles Discrtes

    17/17

    17

    EXTRAIT DE LA TABLE CUMULEE DE LA LOI DE POISSON ( )

    Valeur de Pr {X > k} m = Constante

    mk 1 2 3 4 5 6 7 8

    0

    12

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    1516

    17

    18

    0,632

    0,2640,080

    0,019

    0,004

    0,001

    0,865

    0,5940,323

    0,143

    0,053

    0,017

    0,005

    0,001

    0,950

    0,8010,577

    0,353

    0,185

    0,084

    0,034

    0,012

    0,004

    0,001

    0,982

    0,9080,762

    0,567

    0,371

    0,215

    0,111

    0,051

    0,021

    0,008

    0,003

    0,001

    0,993

    0,9600,875

    0,735

    0,560

    0,384

    0,238

    0,133

    0,068

    0,032

    0,014

    0,005

    0,002

    0,001

    0,998

    0,9830,938

    0,849

    0,715

    0,554

    0,394

    0,256

    0,153

    0,084

    0,043

    0,020

    0,009

    0,004

    0,001

    0,999

    0,9930,970

    0,918

    0,827

    0,699

    0,550

    0,401

    0,271

    0,170

    0,099

    0,053

    0,027

    0,013

    0,006

    0,0020,001

    0,999

    0,9970,986

    0,968

    0,900

    0,809

    0,687

    0,547

    0,407

    0,283

    0,184

    0,112

    0,064

    0,034

    0,017

    0,0080,004

    0,002

    0,001