« Chutes » ou mouvement d'un projectile dans le

champ de pesanteur uniforme

Plan

● Vocabulaire

● Poussée d'Archimède

● Chute freinée : bilan des forces

● Equation différentielle

● Solution de l’équation différentielle

Dans le manuel PHYSIQUE

NATHAN TS

2002● Chapitre 12

Exercices 1 à 10, 14, 18, 21p 231, à 234

Vocabulaire

• Le mot chute est synonyme de mouvement vertical, le problème est à une seule dimension, sur une droite définie par

• Chute verticale avec frottement : chute freinée

• Chute verticale sans frottement : chute dite libre

• Le champ de pesanteur uniforme est caractérisé par le vecteur dit « accélération de la pesanteur » de caractéristiques connues et constantes

g

g

Poussée d'Archimède

● « Tout corps plongé dans un liquide... »

● Caractéristiques de la poussée : Verticale, vers le haut, la norme est la même que le poids du liquide déplacé

jgVsolidefluideA

�

...ρ−=Π

Chute freinée● Bilan des forces

● Caractéristiques de la force de frottement fluide

Cette force est une force qui ne fait que freiner, le - signifie que le sens de la force est contraire à celui de la vitesse, INDEPENDAMENT DU REPERE, La généralisation de cette propriété à toutes les forces de frottement est la cause de grosses erreurs de compréhension.

frottP A ;; Π�

Vfrott�

.λ−=

Chute freinée étude

mécanique

● Référentiel d'étude : le référentiel terrestre

● Repère de projection : un seul vecteur unitaire suffit vers le haut

● La deuxième loi de Newton appliquée au centre d'inertie dans le Référentiel Galiléen

j

∑==⋅ Famdt

dm

�

�

�

.V

Chute freinée les forces

● Projection dans le repère ascendantj _

jVfrott ..λ−=

0;. >−= gjmgP

jgm fluideA

�

..=Π

∑==⋅ Famdt

dm

�

�

�

.V

Chute freinée les forces

● Projection dans le repère ascendantj _

jVfrott ..λ−=

0;. >−= gjmgP

jgm fluideA

�

..=Π

jamamjdt

dVm

dt

dm

��

�

�

... ===⋅ V

L'équation différentielle en V(t)

● Projection dans le repère j

jVjmgjgmjdt

dVm fluide ..... λ−−+=

��

Vmggmdt

dVm fluide .. λ−−+=

gmm

mV

mdt

dV fluide ).(. −=+ λ

L'équation différentielle en V(t)

● Nouvelle écriture de l’équation différentielle

● Analyse dimensionelle de chacun des termes

● Dimension, unité de

gm

mtV

mtV fluide )1()(.)(' −=+ λ

m

λ

Solution de régime permanent

● En régime permanent, (établi) les dérivées temporelles sont nulles

● V(t) = Vlimite

On résout une équation plus simple

0=dt

dV

gm

mtV

mfluide )1()(. −=λ

gmmV fluide )(1

lim −=λ

Allure de la courbe v(t)V

(ms)t

Vlim

(ms)t100 200 300 400 500 600 700 800 900

V

-2

-1.5

-1

-0.5

La solution complète v(t)

● La solution est de la forme :

● V(0) est déterminée par une condition initiale sur la vitesse.

● Tau est égal au rapport

● Dans le cas V(t=0) = 0

limlim ])0([)( VeVVtVt

+−=−

τ

λm

)1.()( limτt

eVtV−

−=

Compléments sur

l’exponentielle

0lim =−

∞→τt

t e

)1.()( limτt

eVtV−

−=

0lim =−∞→x

x e

limlim )01.()(lim VVtVt =−=∞→

Compléments sur

l’exponentielle)1.()( lim

τt

eVtV−

−=

0)1.()0( lim =−=−

τt

eVV

10

=−

τe

10 =e

Compléments sur

l’exponentielle● Exp(x) est toujours positive

●

●

0lim =−

∞→τt

t e

)1.()( limτt

eVtV−

−=

0)1.()0( lim =−=−

τt

eVV10

=−

τe

0lim =−∞→x

x e

10 =e

limlim )01.()(lim VVtVt =−=∞→

Compléments sur

l’exponentielle

● Calcul de la dérivée de v(t)

)1.()( limτt

eVtV−

−=

)(1

)'()( ττ

τ

τ

ttt

eedt

ed −−−

−==

)()'( .. xaxa eae −− −=