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Cinématique dans l'espace-temps d'un observateur
Objectif : Savoir définir et utiliser différents référentiels pour décrire les
mouvements dans l'espace-temps. Savoir définir et utiliser un système de coordonnées. Distinguer mouvement de rotation et de translation Savoir utiliser les concepts de trajectoire, de vitesse et d'accélération par
rapport à un référentiel donné mais exprimé dans des repères différents. Pré-requis :
Connaître et utiliser le calcul vectoriel Savoir dériver un vecteur
Changement de référentiel
En mécanique on est amené à changer de référentiel pour différentes raisons.
Citons par exemple le cas de deux observateurs mobiles l'un par rapport à l'autre, chacun à l'origine de son référentiel, et qui observent un même point mobile. S'ils veulent échanger leurs informations, ils doivent connaître les règles de passage du référentiel de l'un à celui de l'autre.
Certains mouvements peuvent prendre une forme plus simple dans un référentiel convenablement choisi : par rapport au sol le mouvement de la valve d'une roue de bicyclette, est compliqué (cycloïde) ; par rapport à un référentiel lié au centre de la roue il est simple (mouvement circulaire). Le mouvement des planètes par rapport à la terre est compliqué alors qu'il est simple par rapport au soleil.
Pour expliciter les règles de changement de référentiel nous devons rechercher comment se transforment : les durées, les longueurs, l'équation du mouvement, la vitesse, l'accélération.
On considère en mécanique classique que les horloges sont synchronisées dans tous les référentiels, donc la mesure du temps est un invariant.
De même une longueur est invariante par changement de référentiel : si M et M' sont deux point matériels séparés de la distance d dans le référentiel [R], la distance d est invariante dans un autre repère [R’], au même instant.
La cinématique des changements d'espace-temps (ou des changements de référentiels) a pour objet de relier les grandeurs de position, vitesse et accélération mesurées dans deux référentiels et par exemple, de déduire de la trajectoire d'un mobile dans un référentiel celle qu'il suit dans un autre.
Nous considérons ici deux observateurs dont les espaces-temps (E, T) et (EI ,TI) sont donnés. Le but est de déterminer les relations entre ces deux espaces-temps.
En mécanique classique, on admet que les deux observateurs ont la notion de simultanéité d'un instant t de T et tl de T1.
Ce principe de simultanéité suppose que la transmission de signaux entre les deux observateurs est instantanée, donc suppose la possibilité d'une vitesse infinie. Cette hypothèse n'est pas maintenue en Théorie de la Relativité Restreinte.
Translation
Oj
i
k
x
y
z
R
O’j
i
k
x’
y’
z’
R’
Le référentiel R est fixe, le référentiel R’ se déplace par rapport à R à la vitesse ve
MOOOOM
kzjyixMO
kzjyixOM'' avec
''''R' dans
R dans
relative vitessententraînemed' vitesse'
'
''
Rv
dtMOd
evdtOOd
dtOMdvR
''ReR vvv D’où :
Vitesse :
Accélération :
relativeaccélntentraînemedaccél
Re
dtvd
dtvd
dtMOd
dtOOd
dtvd ReR
R
.'.'
'2
2
2
2 ')'()'(
''ReR D’où :
Oj
i
k
x
y
z
R
Rotation :
En plus de la translation, le référentiel R’ peut être soumis à une rotation. Nous supposerons par la suite que R’ tourne autour de l’axe O’z’ (vecteur rotation = k en plus de la translation OO’.Rappel : '''' j
dtjdeti
dtidquetelkk
On a aussi : ''0'' kdeautourtourneRicicarkdtkd
O’
j
i
k
x’
y’
z’
R’
dtkd
zdtjd
ydtid
xkdtdz
jdtdy
idtdx
dtOOd
dtMOd
dtOOd
dtOMd
v
Ràrelativevitesse
R
Rv
''
''
'')
'''
'(
'''
''
'
MOkzjyixkzjyix
dtkdz
dtjdy
dtidxor ')''''''('''''''''''':
La vitesse d’entraînement est :
MOdtOOdve ''
Elle dépend de la translation
et de la rotation du repère R’ par rapport au repère R.
Vitesse :
'
'
'
'
'''
ReR
R
ntentraînemedvitesse
R
vvv
vMOdtOOdv
ev
D’où
accélération :
L’accélération dans le repère R est :dtvdMO
dtd
dtOOd
dtvd RR
R'
22 ')'('
''''
RvMOdtMOd
et
dtMOd
MOdtd
MOdtd
avec
'
')'(
)'(
)''''''('''''')''''('
''
...)'(
22
2
2
22'
'''
'
RR
idtdx
R
v
dtkd
dtdz
dtjd
dtdy
dtid
dtdxk
dtzdj
dtydi
dtxdk
dtdzj
dtdyi
dtdx
dtd
dtvdet
RvR
Coriolisaccél
R
RRdeRotation
angulaireaccélcentripèteaccélntranslatio
RR
R vMOdtdMO
dtOOd
dtvd
.
'
/'
..
22
' )'(2')'(''
Finalement :
'')'(')'( RvMOMOdtdMO
dtd
On a :
cbabcacbaavec
)()()(
MOMOMOMOMO ')'(')()'()'( 2
O’j
i
k
x’
y’
z’
Un manège tourne autour de l’axe vertical O’z’ avec une vitesse angulaire constante. Le point M se déplace avec la vitesse constante vo sur l’axe Ox’ du manège : soit '''' itvixMO o
..
'''''''entraîn
o
rel
ooooR jtvivitvkivxivv
Exemple :
'2')(2)'( 2'
Coriolis
o
centripète
oRR jvitvvx
MOdtdMO
dtOOd
e ')'('2
2
Accélération d’entraînement :