Cinématique du solide I) Le solide indéformable 1) Notion de solide indéformable

Cinématique du solideI) Le solide indéformable

1) Notion de solide indéformable

Le solide indéformable :

Un solide indéformable ou idéal est un système tel que les distances mutuelles de tous ses éléments restent constantes au cours du temps.

M

m = (M).d

V

Répartition continue volumique de la masse

M

m = (M).dS

Répartition continue surfacique de la masse

Répartition continue linéique de la masse

M

m = (M).d

M1, m1

M3, m3

M2, m2

Répartition discrète des masses



2) Degrés de liberté d’un solide




3) Centre d’inertie et référentiel barycentrique

a) Le centre d’inertie

Le centre d’inertie ou centre de masse ou barycentre G d’un solide (S) de masse m est l’unique point défini par la relation :

Définition :

• Pour un solide à répartition de masse continue, de densité volumique de masse (M) :

solide solide

.dm (M) .d GM GM 0 = =òòò òòò

Avec une origine O arbitraire :

solide

1 .dm

mOG OM= òòò




3) Centre d’inertie et référentiel barycentrique

a) Le centre d’inertie

b) Le référentiel barycentrique

Le référentiel barycentrique :

On appelle référentiel barycentrique ou référentiel de Kœnig R* relatif au référentiel R, le référentiel de centre G animé d’un mouvement de translation par rapport à R.

Le référentiel barycentrique

O

x

y

z(R) G

x’y’

z’R* à la date t1 G

x’y’

z’R* à la date t2

Cinématique du solideII) Champ de vitesse d’un solide

1) Rappels sur les dérivations

O

x

y

z(R)

O’

x’y’

z’

(R’)

'RR dtdA

dtdA

U

UU

' x

dtd

dtd

RRΩ

Dérivations avec changement de référentiel



2) Relation de Varignon

O’

x’y’

z’

(RS)

Solide (S)

La relation de Varignon

O

x

y

z(R) M

P

V(M/R) = V(P/R) + MP x



2) Relation de Varignon

3) Décomposition du mouvement

Décomposition du mouvement

Dans un référentiel barycentrique R*, le solide (S) possède un mouvement de rotation pure autour de G


La loi de la composition des vitesses :

v(M) = ve(M) + v*(M) = v(G) + v*(M),

montre que l’étude du mouvement du solide (S) peut se décomposer en deux mouvements élémentaires :


• L’étude du mouvement de G dans R qui traduit la translation d’ensemble du solide ;

• L’étude du mouvement du solide dans R* qui correspond à un mouvement de rotation autour de G

Cinématique du solideIII) Éléments cinétiques d’un solide

1) Résultante cinétique d’un solide

Définition :

solidesolide Rdm).RM(dm

dtd

/vOM

P

)RG(.m /vP

La résultante cinétique d’un solide dans un référentiel R d’origine O fixe par la relation :

La résultante cinétique P d’un solide (S) dans un référentiel R est égale à la quantité de mouvement d’un point matériel fictif situé au centre d’inertie G du solide et affecté de la masse totale du solide (S) dans R : P = m.v(G/R).



2) Moment cinétique d’un solide

a) Moment cinétique par rapport à un point

Rappel :

Un moment vectoriel d’une grandeur vectorielle A s’appliquant en M et calculé en O dans R :

MO(A/R) = OM x A.

Définition :

solide

dm).RM( x )RS( /vOML/L OO

On définit le moment cinétique d’un solide (S) dans un référentiel R par rapport à un point arbitraire O, mobile ou fixe par la relation :

LO’ = LO + O’O x P

Propriété :

Cinématique du solide

b) Moment cinétique par rapport à un axe

III) Éléments cinétiques d’un solide



a) Moment cinétique par rapport à un point

Définition :

L(S/R) = L = LO.u

On définit le moment cinétique d’un solide dans un référentiel R par rapport à un axe passant par un point O de direction définie par le vecteur unitaire u par la relation :

u

Moment cinétique par rapport à un axe

O

LO

L

L(S/R) = L = LO.u




3) Énergie cinétique d’un solide

Définitions :

2c

solide

1E (S R) v (M R).dm

2/ /= òòò

Energie cinétique de (S) dans R :

Energie cinétique barycentrique de (S) :

2c c

solide

1E (S R ) E v* (M).dm

2*/ * = = òòò

Cinématique du solideIV) Théorèmes de Kœnig


1) Premier théorème de Kœnig

Premier théorème de Kœnig

Le moment cinétique LO en O d’un solide (S) en mouvement dans un référentiel R est égal à la somme :

• Du moment cinétique barycentrique L* du solide ;

• Du moment cinétique en O d’un point matériel fictif situé en G et affecté de la masse totale du solide dans R, OG x m.v(G).

LO = L* + OG x m.v(G) = L* + OG x P


1) Premier théorème de Kœnig

2) Second théorème de Kœnig

Second théorème de Kœnig

L’énergie cinétique Ec d’un solide (S) en mouvement dans un référentiel R est égale à la somme :

• De l’énergie cinétique barycentrique du système (S), Ec* ;

• De l’énergie cinétique d’un point matériel fictif situé en G et affecté de la masse totale du solide dans R.

Ec = Ec* + m.v2(G)21


Comme la loi de composition des vitesses qui a été utilisée dans les deux démonstrations, les deux théorèmes de Kœnig montrent que l’étude du mouvement du solide (S) dans R peut se décomposer en deux mouvements élémentaires plus simples :


• L’étude du mouvement de G affecté de toute la masse du solide dans R qui traduit la translation d’ensemble du solide ;

• L’étude du mouvement du solide dans R* qui correspond à un mouvement de rotation autour de G

Cinématique du solideV) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe

Solide en rotation autour d’un axe fixe

(S)

x

y

z

ur

u

uz

M

rH


1) Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe

Dans le cas du mouvement d’un solide (S) en rotation autour d’un axe a priori mobile de direction fixe, son moment cinétique par rapport à , L, son énergie cinétique Ec et vérifient les relations :

L = J. Ec = J.2

21


1) Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe

2) Moments d’inertie élémentaires

La boule homogène de masse m, de rayon R :

• Moment d’inertie par rapport à un axe G passant par G :

2G mR

52

J Δ

La barre homogène de masse m, de longueur :

• Moment d’inertie par rapport à la médiatrice :

2G m

121

J Δ

Le disque homogène ou cylindre homogène de masse m, de rayon R :

• Moment d’inertie par rapport à l’axe de révolution, G :

2G mR

21

J Δ

Le cerceau homogène de masse m, de rayon R :

• Moment d’inertie par rapport à l’axe de révolution, G :

JG = mR2

Cinématique du solideVI) Cinématique du contact de deux solides

1) Définitions

I2

I1

I

S1

S22

1

()

Contact entre deux solides

I2 de (S2) possède la trajectoire (2) sur (S2) ;

I1 de (S1) possède la trajectoire (1) sur (S1) ;

I de () possède une trajectoire () dans l’espace car () change à chaque instant.


1) Définitions

2) Vitesse de glissement

I2

I1

IS1

S2

()

Décomposition du mouvement :Vitesse de glissement

N

pivotement

Troulement

glissement

vg(I)

G

I2 A

GI2

GI2

GI2

Non – glissement

Glissement

AC périmètre

AB = périmètre B

G

I2

G

I2 A

G

I2C


1) Définitions


3) Exemples

a) Premier exemple : disque roulant sur un plan horizontal fixe

Disque roulant sur un plan horizontal fixe

O

y x

z

G

AI

vG

Photographie de la distribution des vitesses

O

y x

z

I

v(M) = IM. : sur un arc de cercle de centre I, v = Cste


1) Définitions


3) Exemples

a) Premier exemple : disque roulant sur un plan horizontal fixe

b) Second exemple : Cylindre roulant sur un cylindre fixe

Cylindre roulant sans glissement sur un autre cylindre

uz

O

G

I

(C1)

(C2)

ur

u

x

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