C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, SCrie I, p. 789-794, 1999 GomCtrie diff&entielle/DifTerentia/ Geometry

Cohomologie de l’al&bre de Lie des op&ateurs diff&entiels sur une vari& & coefficients dans les fonctions

Norbert PONCIN

Dt:partrment tie mathbmatiqurs, wntrr universitaire dr Luxrmhour,B, avenue drs la Fai’mwrir, 162 A, I,-15 1 I. T,uxenibour~ Courrirl : p0ncinBku.lu

( Kryu le 20 f6vrier IYYY, awrptP lr 1”’ mars 1YYY)

R&urn& L’espace des cl-cochaines locales de I’algkbre de Lie des opkrateurs diffkrentiels sur une variCt6, B coefficients dans les fonctions, est naturellement bigraduk. On ordonne totalement les termes homogbnes d’une cochaine et on reprksente les dCrivCes symboliquement par des formes IinCaires sur R”‘. Cela conduit & une mCthode permettant de calculer les trois premiers espaces de cohomologie. 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier. Paris

Cohontology of the Lie algebra of differential operators

on cc manifold, with coeficients in the space of functions

Abstract. The spclce of local q-cochains of the Lie algebra of d$ftrential operators on (I tnatz~fold. ,t,ith c.oe~c.~ents in the space qf:finc~ions, is ncrturull~ gruded. The hotnotgetzeous terms of u cwhaitt tcre total1.v ordered and the detkttirw may be synboked by linrtrr,fimns MI R”‘. This 1ead.r to ~1 method gi\itt,g the ,first three cohotnologq spaces. 0 Acadkmie des Sciences/Elsevier, Paris

A bridged English Version

If Af is a smooth manifold and N is the space of smooth functions on M, denote by (A(IV), [., .I) the Nijenhuis-Richardson graded Lie algebra of N [2]. The space & = A(JV)~,,~.,~, (. of local, i.e. support preserving elements of A(N), which are vanishing on 1 E N, is a graded Lie subalgebra. Let

Ha~t(~)-~.~or be the graded cohomology of & associated to the adjoint representation, all cochains being support preserving and of weight -1. Observe that E” = gl(N)1,,,.,,,.,.. is a Lie algebra, subalgebra of gl(ni). It can be shown (see [ 11) that the local Chevalley-Eilenberg cohomology H(&“, IL’)],,,. (of the Lie algebra E” of differential operators on M (&WY [IS]), valued in N) is a part

Note prksentke par Alain CONNES.

0764.4442/YY/O328078Y 0 Acadimie des Sciences/Elsevier, Paris 789

N. Poncin

of the graded cohomology:

HAlt(5)-r,t,>(. = H(korH) $ H(E”,N)r,,,.,

where B is the restriction mapping of graded cochains to E” x . . x Eu. The purpose of this Note is to give an idea of the proof of the following result:

THEOREM 1. - If n/f is o smooth connected second-countable Hausdotf manifold of dimension VL > 3, the space H”(&“. N)r,,,. (q E { 1.X.3)) is isomorphic to the corresponding space H&(bf) of the de Rham cohomology of M.

Let E be a certain space constructed on an arbitrary manifold T/ and let U be an open subset of V. We denote by Eti the space of same type than E, on U.

PROPOSITION 1. - y’ HY(&$: Nr~)t,,~. = 0, ,#i,r each q E { 1, . . ! 7~) (71, E N*) arid each contractible

domain U qf chart. the11 Hq( E”, N)r,,, TZ Hbn (!1f), ,for each q E { I 1 . , II}.

In the sequel, (2 is an open, possibly contractible, subset of R”‘. We set E” = Ei and N = NC?. Moreover, we identify the space of homogeneous polynomials of degree T on (R”‘)*, with the space V”R”’ of r-contravariant symmetric tensors on R”‘.

In view of the preceding result, it is enough to show the following proposition:

PROPOSITION 2. - For each (I E { 1. 2, S}, H”(EO, N)r,,,. = 0.

Let us give some details concerning the method used in the proof of this assertion. It follows frorn a well-known theorem of J. Peetre (see [3]), that the arguments A E ,%?’ =

~4(Nhw.,,,.~.. of our cochains are locally differential operators. If we symbolize each derivative

D$f = D,“: . . . D,$::: f of j’ E N by the monomial tx = <:’ . f . <;,“’ in the components of [ E (R”‘)*, we see that the subspace Diff” c E” (r E N*) of all homogeneous differential operators of degree r, identifies with the space C-(0. V”b!“‘). Hence, the restriction T,, to Dill” of any 1-cochain T, is a local N-valued operator on C”(S2, V”[w”‘). Applying again Peetre’s theorem, shows that T,. also is a locally differential operator, which may be symbolized by a smooth function on 62 valued in the polynomials in ‘11 E (6!“‘)* with coefticients in the dual of V’R”‘. This notion of symbolic representation can be extended in a simple way to q-cochains (q E N”).

It is easily seen that the space of l-cochains is naturally bigraded. The homogeneous part T; (a E N, r E N*) of any I-cochain T, is the sum of all terms of T,, containing exactly II. derivatives. Thus, the bidegree (O/l) corresponds to constant vector fields and (l/l) to linear vector tields. Generalizing this bigraduation to q-cochains T (q E N*). furnishes homogeneous terms T; = T:!,y:::.i!;:: (~1,; 6 N, 7‘; E N*), called monomials of T, which may be totally ordered by the lexicographic order associated to the total order on columns, defined by:

The method allowing us to show that the first three cohomology spaces are vanishing, is essentially based on the concepts of symbolic representation and ordered monomials. Indeed, symbolizing the equation X7’ = 0, where 8 is the Chevalley-Eilenberg coboundary operator, leads to a purely algebraic equation, much easier than the original; in the main, we use this equation to prove that an arbitrary monomial of a certain cohomologous cocycle is vanishing, if each preceding monomial fades.

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Cohomologie de I’algebre de lie des opkrateurs diffkrentiels

1. Introduction

Les problemes de deformation de I’algebre N = C=(M) des fonctions d’une variete M, symplectique ou de Poisson, ont mis en lumiere certaines structures algebriques et les cohomologies associees. Ceci est en particulier valable pour l’espace Z = A(N)I,,,,,, (des applications multilineaires. antisymetriques de N x . . x N dans N, qui sont locales et nulles sur les constantes), que le crochet de Nijenhuis-Richardson (voir [2]) munit d’une structure d’algebre de Lie grad&e, et la cohomologie grad&e de E associee a la representation adjointe, soit Watt (X)-t,,,,,., les indices - 1 et I()(. indiquant qu’on se limite aux cochaines locales, de poids -1.

II est clair que le terme E” = AO(N)t,,,,,,.,.. = g l(~V)t~,~.~, <.. est une algebre de Lie, admettant N comme espace de representation canonique. On montre que la cohomologie grad&e et la cohomologie H(E’“, N)l,,,. de Chevalley locale de I’algebre de Lie E” des operateurs differentiels sur M (vail- [3]). a valeurs dans les fonctions, sont likes par la relation (voir [l]):

%I+(&)-I.I,,,. = H&r 0) ie H(E’, N)I,,,..

ou H designe I’application u restriction des cochaines alternees a E” x . . x E” >). Nous prouverons le

THI%R~ME 1. I. - Si iIi est une varitW de dimension 771, > 3. de classe C”‘, skpar&, 2 base dPnombruble et connexe. on a H”( &‘I, IV),,,,. M HLn (M) (y E { 1: 2, 3)). 06 Hbn(M) est la cohomologie de de Rham de M.

2. Symbolisation et graduation des q-cochaines

Si E represente un espace lie a une variete arbitraire V et si U designe un ouvert de I/‘, nous noterons EC- I’espace de m6me type que E, construit sur U.

PROPOSITION 2.1. - Snir 1~ E N*. Si Hq(E pr, NC,),,,,. = 0, pour tout q E { 1,. . ,,n} et pour taut domaine contractile IT de coordonnPes locales de M, alors H”(&“; IV)tor M HLn(M), yuel que soit q E {I ,.... II.}.

Duns toute la suite, $2 dksigne un ouvert de W”‘. yue nous supp0serons e’ventuellement contractile, E0 = &i et IV = No. D’autre part, VR”’ (resp. V”k!“‘) est l’espace des tenseurs symetriques (resp. 1‘ fois) contravariants sur IT”, que nous identitierons a I’espace des polyniimes (resp. homogbnes de degre T) sur (W”‘)*.

Soient Vet TV deux espaces vectoriels reels de dimension finie et 0 E gl(C”(U: CT), CF’(Q. IV)),,,,.. D’apres un theoreme de J. Peetre 131, si S E C”(12) et u E I/, on a

la serie sur X = (Xl, . . . , A”‘) E W’ Ctant localement finie et les coefficients 0~ E C”(c2, gl( V, W)) &ant univoquement determines par 0 (il est clair que Dcf = D,“: . . D:::: f). Nous representons les

derivees D’f par rl’, avec ‘rl E (IT”)* (oti 7+ = 7jf’ .. .v;:” ), de sorte que 0 admet le polynome symbolisant 0 E C-(cl. VR”’ @ gl( V, IV)). defini par

Cette regle permet de symboliser les arguments .4 E Ea = gl( C”(0), C”(Q))r,,.5,,.,., de nos cochaines, done notamment les elements A,. de I’espace Diff’ (1. E N*) des operateurs differentiels homogenes

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N. Poncin

de degrk I’ et de constater que Diff’ z C-(0, V’w”“). Si T dksigne une l-cochaine et T, sa restriction

B Diff”, il s’ensuit que TV E gl(C”(n:V~wln,),C’~(n)),o,, done que

T,.(.fP,.) = c T,,x ((DXfU’7.)

(,f E C-(at), P,, E v”R”“). Finalement, le polyn8me symbolisant ?;. E C-(Q,vlw”’ @ (VT,“‘)*)

de T,. est donn6 par

L’espace des I-cochaines est naturellement bigraduk. Le terme homogkne T; (n E N, T E I”d*) d’une I-cochaine T est la somme des termes de T? dkrivant exactement CL fois. 11 sera appelC ci-dessous monrime de T de bidegre’ (a/,~). Ainsi, le bidegrk (O/l) correspond aux champs de vecteurs constants et (l/l) aux champs linkaires.

La gCnCralisation de cette bigraduation aux q-cochaines ((I E N*), foumit des monames du type T:;- = T;;?::;f,l,m /I ((1; E N, 7‘; E N*), que nous ordonnons totalement par l’ordre lexicographique associC & l’ordre total sur les colonnes, dCfini par

(fb,/7’i) < ((b,) /7. j ) - “ I + T; < "j + 'F,j OU (Q,i + ri = a,) + rj et Ti < rj),

On Ctend la notion de reprksentation symbolique aux q-cochaines (9 E N*) et g leurs monBmes.

PROPOSITION 2.2. - I1 existe une correspondance biunivoque entre les mon8me.s

T$ = T:l;::::fC;~~; (.4~,+,.,, , . . , A,l-~,+, )

des q-cochaines et les applications

T; = 5q(y:::;;.;, (71”. , rp 1 PO,!.,,. . . 1 lyl,l.,,~,)’

qui sont de classe C” en :I: E 12 et ti valeurs duns l’espace E: des polyncimes homogtnes de degrks respect@ a(). . , aCIwI en $>. . if-1 E (P)*, eux-mr^mes 2 valeurs duns les formes line’aires en PO ,. E V”[’ R”’ p,I-l+, E V7’*i-’ R”” et antisymktriques en les arguments ($. Pi,,., ) correspondant h” des colon&~ ‘e’gales de (S/T+.

Dans la suite, nous utiliserons la m&me notation pour dksigner un objet et sa reprksentation symbolique.

3. Constance des coefficients et invariance sous gl(rn; R)

PROPOSITION 3.1. - Tout q-cocycle (q E N*) est, ir un bord prks, 2 coejjficients constants et saris colonne (O/l) (i.e. les bidegrks de ses moncimes ne contiennent pas la colonne (O/l)).

La preuve est bake sur une utilisation privilkgite de la colonne (O/l), i.e. des champs constants et une relation entre l’opkrateur de cobord de Chevalley de E” (associk a la reprksentation sur N) et celui de de Rham.

Le deuxikme rCsultat escomptC, l’invariance sous gl(m, a;S), n’appardt que graduellement et doit Ctre Ctabli s6parCment pour les cocycles de degrk 1, 2 et 3. La principale raison de cet &at des chases est li6e B l’absence dans 8’ d’un idCal raisonnable, supplkmentaire B gl(rrb, W). Notre mkthode se fonde sur une utilisation privilCgiCe de la colonne (l/l), i.e. des champs linkaires et une relation entre les cobords de Chevalley de E” et de gl(nb, R) :

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Cohomologie de I’algtibre de lie des opCrateurs diffkrentiels

PROPOSITION 3.2. - Soient T une y-cochaine a coejjicients constants et suns colonne (O/l) et

T; = T;:::; ;;;::;;;,’ (x:, E (0,. . . , q}, (l/l) < (akO/rkO) 5 ... 5 (uq--l/rp-l)) un mon6nze de

T. St’ d designe le cobord de Chevalley de E’ et a,, celui de gl(m, R) (associe a la representation naturelle p sur E”,$~.‘::~J~~L’ ), on a

(i)T)$ r -3J’; + . . ! (1)

od T; = T;:::; ;:;:::;,;I~, est interprete comme k~j-cochaine de gl(m, R) a valeurs duns E~:~:::~,~.~,’ et

ou les termes supplementaires, Pventuels . . . . sont dus a des monomes dont les bidegres renferment au

moins une colonne (l/l) de plus que (Z/f’).

4. DCmonstration du thborkme

Vu 2.1, il sufft de demontrer que Hq(E”, N)t,< = 0, quel que soit Q E { 1,2,3}. Nous d&irons ici uniquement le calcul de H3(Eo3 N)t,,. Si X E W”, n E (R*“)* et T E N*,

now posons X, = r/(X) et (Xr)l, = (XT)I’ = X7$, de fagon a definir X“ E V”b!“‘. De plus,

si X, E W et r/J E (R’“)* (1.. j E {1,2,3}). nous &irons X;,, et T,” i 1’ au lieu de X1,711 et T; ,t ;‘(7$, 7+. 7j3 ; XL, X;. X;).

L’application de (1) montre que le monome minimum T, 1 1 ’ ’ 1 d’un 3-cocycle arbitraire T est donnt

par T, 1 1 - , 1 l1 - ktu(trg) 00 k E R et oti (% designe l’operateur d’antisymetrisation et tr3 la trace d’un produit de trois ‘matrices. Or, la constante h: ne peut etre annulee B ce stade des calculs. I1 est facile de voir que les monomes Ti : ;’ t( l/l) < (c/t)) sont nuls, mais Ti : t engendre, lors de l’utilisation de (1) dans l’etude de certains monbmes du type T: t ‘t ((l/l) < (b/s) 5 (c/t)), des termes supplementaires, qui ne sont pas en somme directe avec le bord de gl(7n. R). Ces termes constituent cependant eux-memes un bord de gl(rr~,; W) et finalement,

oti 6 designe le symbole de Kronecker et ob 1Jt ; appartient a I’espace Et 5 i,,,, des elements de Et ‘;, qui sont invariants par gl(m, R). Dans le cas des monbmes TF ,fC ((l/l) < (a/r) < (b/s) 5 (c/t)), la relation (1) contient les termes supplementaires (i3K) : F s l du aux precedents termes en X: et (a(tr $3 V)): F t F dA ’ u a ceux du type produit tensoriel. On montre que K est cocycle aux ordres consider& Une sorte d’antilinearite pour la trace, du cobord de Chevalley de &O, permet alors de voir que les deux termes restants de (l), - i),Tz s F et (a(tr 8 U)): z .t F = -tr @ (au): ,t ;‘, sont en somme directe. La nullite du premier implique l’invariance globale de T. Celle du second entraine que CJ est un 2-cocycle de I”, done un 2-bord, conclusion conduisant a la suppression de la quasi-totalite des termes du type produit tensoriel dans Ti i ;‘ :

oti k’ E W. Vu l’invariance de T, on sait a present prouver que k = 0, mais I;’ ne pourra &tre annul6 que plus tard : un S-cocycle arbitraire est cohomologue a un cocycle T a coefficients constants, invariant et saris colonnes (O/l) et (l/l), sauf que Ti “1: = PXrrXasX& (t 2 2).

L’ttude des monomes a une ou plusieurs colonnes (O/2) est essentiellement une recurrence sur le bidegre. De plus, pour annuler un monome Tt i ; ((O/2) < (b/s) < (c/t), b + c = 2 + s + t>, nous corrigeons T systematiquement par les bords 8Y des cochaines invariantes, a coefficients constants, admettant les monomes minima (iJV)!j z ;.

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N. Poncin

L’organigramme des cas & distinguer ne peut &tre donnC ici. Signalons toutefois l’apparition d’un mon6me critique, T, t--l t - ’ t+l ’ - CtXolXo2X~,‘X.& (t 2 3, C, E W), difficile 2 annuler. On note alors

que lors de I’Ctude de T 4 2t112tT2, on corrige T notamment par a&-,,, = ~(cY(&IXI~X,~~-~))

et i3&-1.2 = ~)(N(E~~-IX&X~~-~)) (P2t--1. ~~~~~ E W, &-I arbitraire). Les mon6mes minima de ces bords &ant

et pv2+4; 2t;12t:2 = -2~jat-1XolXozX12X,3:-2

(w2++~.2); 2t;12t:2 = -2E2*--l-7i01X02X12X22:-3:

il est possible de corriger W 2t 1,1, de man&e B obtenir un bord i)(V2t--l,l + V2t--1,2) de monbme _ minimum nature], nul. Ce type de construction, r&56, fournit un bord iSl&~-~, admettant le moname minimum (ij)V2t-l)i i?: : = ( -1)f+12ij2t-1XolX02X:‘,1-~Jih1. Le monBme critique

7’; :‘:; = c&~xo&~lx;, (t > 3)

peut done &re annul& grke au choix convenable de /jztP1 (al; - 1 E {5,7: 9,. . .}). Le cocycle Ctudik &ant dksormais sans colonne (O/2), on voit enfin que k’ = 0 : tout 3-cocycle est

cohomologue B un cocycle B coefficients constants, invariant et saris colonnes (O/l), (l/l) et (O/2). Une nouvelle r&urrence sur le bidegrk et I’Ctude de certains mon6mes TF <:; 2 partir d’un type

d’kquations (aT)jj zg: = 0, oti (iJT)G :Fe n’est pas le plus petit mon6me du bord auquel T; i ; contribue, permettent d’annuler tous les monbmes restants.

Ici encore, la place nous manque pour dkrire utilement l’organigramme des cas B distinguer. Un autre moniime critique

T Yf-1 1 -2 2t-11

1 I t =ijn--- [(( t(t - 1)

ct,Jx12x;, >)I (t 2 4, G,l E w

1 1 t (2)

se manifeste. le mon6me minimum de ce bord Ctant de bidegrk (0 t 2/2 1 1; - 1). Or, en considkrant T” t 2 z 1 t--l, on corrige T en particulier par iW+,, = i3(a(,fJtX12X&)) ([?t arbitraire pour t pair). On

montre que le choix convenable de /&, annule Ct,l au tours de I’Ctude de Ti i :-1. II est clair que les corrections par bords, effectukes ultkieurement, peuvent rkintroduire C,-l, accident se produisant effectivement pour t E { 5,7.9, .}. Dans ce cas, (2) peut etre gCn&ralisC sous la forme

7’Kp I-’ - a fY > t-p+1 -

[CC

fi c,,JX:;X;;“fl ))I y,“,,“_, (,t {l;.?}); oti i, est B calculer formellement et (Y h supprimer, si y = F. Une equation en le demier maillon

T 2 ‘7’ ItI 1 ,i, ,4, de la prkkdente chaine, annule alors CT;;?,. Finalement, le mon6me critique est nul, pour

tout i >L 4 : H”(E”; IV),,, = 0.

Les dCmonstrations dCtaillCes de ces r&uItats sont prCsentCes dans [4], [5].

Remerciements. Ce travail a Ct6 r6alisC dans le cadre du projet R&D no MEN/CUL/96/006. L’auteur remercie les Professeurs M. De Wilde et P.B.A. Lecomte pour les discussions fructueuses qu’il a pu avoir avec eux.

Refkrences bibliographiques

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Poisson Lie Algebra. Lett. Math. Phys. 18 (1989) 275-285. 121 Nijenhuis A., Richardson R., Deformation of Lie algebra structures, J. Math. Mech. 17 (1967) 89-105. [3] Peetre J., Une caractkrisation des opkrateurs diffkentiels, Math. Stand. 7 et 8 (1959 et 1960) 21 l-218 et 1 l&120.

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dans les fonctions. Bull. Sot. Sci. Liege 67 (6) (1998) 339-393.

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