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Commande adaptive dimensionelle d'une machine a mesurer tridimensionelle A. Clement (2). P. Bourdet (2) - Submitted by R. Weill (1) Ye oemonstrate it is possible to write the equations of the true trajectory of point of a "tool" on a uachine. Relying upon the hypothesis that systematical errors prevail, we modelise the mou- vements of the machine within a curvilinear coordinate system. That system of curved coordinates can be deduced from the theorical rectangular coordinate system through a deolacement field and the associated deformation tensor. We show an original ( patented ) exwrimental method to measure that tensor and propose three coefficients characterising the ouality of a machine. INTRODUCTION : Actuellement le progres en precision des machi- nes-outils, des machines 1 mesurer tridimensionnelles et des robots. ex:,ge la prise en compte des defauts systematiques de l'outil" provenant soit des erreurs de fabrication, soit des efforts appliques, soit des variations de temperature. Cette prise en compte se fait actuellement par deux approches distinctes : a) La mesure des erreurs de positions et de forme des glissieres de la machine : c'est la metro- logie classique. C'est long, cofteux et utile uniquement pour definir la classe de la machine, c'est en effet peu exploitable sur le plan pratique. b) Les essais pratiques : c'est a dire l'usinage ( cas des machines-outils ) ou le mesurage ( cas des robots et des machines a mesurer 3 D) d'une piece normalisee ou d'une piece typiaue. Ces essais sont tres utiles pour definir les performances reelles de la machine dans un cas precis, mais ils ne peuvent etre etendus a des cas differents, faute d'une modelisation adequate. C'est pourquoi il est necessaire de mettre au point un modele mathematinue susceptible de decrire les erreurs de trajectoires dans n'importe quelle configuration. champ de deplacement infiniment petit a partir d'une position de reference initiale, tout a fait analogue aux champs de deplacement en variables lagrangiennes qu'on utilise en mecanique des milieux continus. Pour simplifier l'expose nous appliouerons di- rectement la methode au cas de la machine B mesurer tridimensionnelle mais la methode s'applique a n'im- porte quelle forme de machines-outils moyennant une legere modification adequate ( emploi des coordonnees cylindriques ou des coordonnees spheriques par exem- ple ). I1 est des lors possible de calculer la vraie position en temps reel : c'est ce que nous appelons la commande adaptative dimensionnelle. LES HYPOTHESES DE DEPART : I1 s'agit d'intrcduire les transformations geo- metriques d'un repere cartesien orthonorme au voisi- nage d'un point sous l'effet des erreurs de rectitude et d'orthogonalite des glissieres d'une machine qui sont sensees representer ce repere cartesien. Pea : Le modele que nous proposons ici est celui d'un on_eeur_r!asser_cer_fra?lformatlo?f_en_2-~~~~- a) La translation et la rotation du repere global. b) La translation et la rotation du repere local. c) La deformation du repere local consistant en variation des longueurs et des angles des vec- teurs issus du point M. Les hypotheses retenues sont les hypotheses classiques des milieux contintis : -1- Les deplacements sont continus. Ce qui impose que la machine soit sans jeux ou que les jeux soient toujours rattrapes dans le meme s e n s . local sont infiniment petits. Cette hypothese est tres bien verifiee dans les machines moder- nes dont les defauts sont de l'ordre de quel- ques centiemes de millinietre sur de tres grandes longueurs. -2- Les deplacements et les deformations du repere EXPOSE DE LA METHDDE. ( Cas des coordonnees carte- siennes ). Dans cette methode on considere l'espace tridi- mensionnel de la machine rapport@ 1 un systeme d'axes orthonormes, tel que les points voient leurs coordon- nees mesurees non pas sur ce systeme d'axes, mais en fait sur un systeme de coordonnees curvilignes, defi- ni par les trajectoires r@elles d'un point caracteris- tique de la machine. Le triplet represente pour ~'operateurles coordonnees du point Mth dans le repere cartesien, il represente en realite les coordonnees du point Mr dans un systeme de coordonnees curvilignes qui ne co'incide en rien avec le repere cartesien suppose, qu'il s'agit en fait de definir, comme nous le montrg rons plus loin. k Designons par F(iT) le vecteur W] = m Soit : = RTli t iJ7Tf) Le vecteur W)est un vecteur deplacement fonc- tion du point M. 11 constitye donc un champ de vec- teurs que nous appellerons Champ de deplacement 'I. Nous u poserons constamment par la suite que ce vecteur 3) est defini par sef_erojections sur le repere cartesien. Du fait que Mth est defini par hypothese dans le mCme repere, la formule (1Lpermet de calculer les coordonnees cartesiennes de Hr, si ]'on connait m. N.E. IY iapaltc dc RC pa3 cou~cnd'lc Ye chnmp m! niacc ta clrti~b~ J(X) L'U L(YI ou ,J(:; vetel??< habc frit*YPenicrit tor5qtl'cn coslt?btc utze gtis6c?w. Comme l'indique clairement les notations on a : u ( x.0,; ) = u ( 0,Y.o' ) = : m u ( 0,o.i ) = 7i7)- Le vecteur champ n'a donc aucun rapport direct avec les nesures faites habituellement sur une machine. Nousdonnerons plus loin son expression analytique et la methode experimentale de determina- tion. tions suivantes : Si pour l'instant, on suppose connu le champ on a immediatement les 2 principales apolica- a) Determination de la trajectoire reelle de"l'outi1" 0na:E = iR6 + Par exemple pour une droite d'equations Annals of the CIRP Vol. 30/1/1981 429

Commande adaptive dimensionelle d'une machine a mesurer tridimensionelle

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Commande adaptive dimensionelle d'une machine a mesurer tridimensionelle

A. Clement (2). P. Bourdet (2) - Submitted by R . Weill (1)

Ye oemonstrate it is possible to write the e q u a t i o n s o f t h e t r u e trajectory o f point o f a " t o o l " on a uachine. Relying upon the hypothesis t h a t systematical e r r o r s prevail, w e m o d e l i s e t h e mou- vements o f the machine within a curviline a r c o o r d i n a t e system. T h a t s y s t e m o f c u r v e d c o o r d i n a t e s can b e deduced f r om t h e theorical rectang u l a r c o o r d i n a t e system t h r o u g h a d e o l a c e m e n t f i e l d and the associated deformation tensor. We sho w a n original ( patented ) e x w r i m e n t a l method t o measure that tensor and propose three coefficient s c h a r a c t e r i s i n g t h e o u a l i t y o f a machine.

INTRODUCTION : Actuellement le progres en precision des m a c h i -

nes-outils, des machines 1 mesurer tridimensi o n n e l l e s e t des robots. ex:,ge la prise en compte des de f a u t s systematiques d e l'outil" provenant s o i t d e s e r r e u r s d e fabrication, soit des efforts appliques, soit d e s variations d e temperature.

Cette prise en compte se fait actuellem e n t par deux approches distinctes :

a ) La mesure des erreurs de positions et d e f o r m e des glissieres d e la machine : c'est la m e t r o - logie classique. C'est long, cofteux et utile uniquement p o u r definir la classe de la machine, c'est en effet p e u exploitable s u r le plan pratique.

b) Les essais pratiques : c'est a d i r e l'usinage ( cas des machines-outils ) ou le mesur a g e ( cas des robots et des machines a mesur e r 3 D) d'une piece normalisee ou d'une piece t y p i a u e . Ces essais sont tres utiles pour defini r les performances reelles d e la machine dans un c a s precis, mais ils ne peuvent e t r e etendu s a d e s

cas differents, faute d'une modelisation adequate. C'est pourquoi i l est n e c e s s a i r e d e met t r e a u

point un modele mathematinue susceptible de decrire les e r r e u r s de trajectoires dans n'importe qu e l l e configuration.

champ de deplacement infiniment petit a parti r d'une position d e reference initiale, tout a fait a n a l o g u e aux champs de d eplacement en variables lagrangiennes qu'on utilise en mecanique des milieux continus.

P our simplifier l'expose nous appliouer o n s di- rectement la methode au cas d e la machine B m e s u r e r tridimensionnelle mais la methode s'applique a n'im- porte quelle forme de machines-outils moyennant une legere modification adequate ( emploi des co o r d o n n e e s cylindriques ou des coordonnees spheriques par exem- ple ) . I 1 est des lors possible d e calculer la vraie position en temps reel : c'est ce que nous ap p e l o n s la commande adaptative dimensionnelle.

LES HYPOTHESES DE DEPART :

I 1 s'agit d'intrcduire les transformati o n s geo- metriques d'un repere cartesien orthonorme au voisi- nage d'un point s o u s l'effet d e s erreurs de r e c t i t u d e et d'orthogonalite des glissieres d ' u n e machi n e qui s o n t sensees representer c e repere cartesien.

P e a :

Le m o d e l e q u e n o u s proposons ici est celui d'un

o n _ e e u r _ r ! a s s e r _ c e r _ f r a ? l f o r m a t l o ? f _ e n _ 2 - ~ ~ ~ ~ - a ) La translation e t la rotation du reper e global. b) La translation et la rotation du repere local. c ) La deformation du repere local consist a n t en

variation d e s longueurs e t d e s angles d e s vec- teurs issus du point M. Les hypotheses retenues sont les hypot h e s e s

classiques des milieux contintis :

- 1 - L e s d e p l a c e m e nts sont continus. Ce qui i m p o s e q u e la machine soit sans jeux ou que l e s j e u x soient toujours rattrapes dans le meme s e n s .

local sont infiniment petits. Cette hyp o t h e s e est tres bien verifiee dans les machine s m o d e r - n e s dont les defauts s o n t de l'ordre d e q u e l - ques centiemes d e millinietre sur de tres grandes longueurs.

-2- L e s deplacements et l e s deformations du r e p e r e

E X P O S E DE LA METHDDE. ( C a s d e s c o o r d o n n e e s carte- s i e n n e s ) .

D a n s c e t t e m e t h o d e on c o n s i d e r e l'espace tridi- mensionnel d e la m a c h i n e rapport@ 1 un s y s t eme d'axes orthonormes, tel q u e les points voient leurs coordon- nees m e s u r e e s non pas s u r c e s y s t e m e d'axes, mais en f a i t s u r un s y s t e m e d e c o o r d o n n e e s c u r v i l i g nes, defi- ni par les t r a j e c t o i r e s r@elles d'un point c a r a cteris- t i q u e d e la machine. L e t r i p l e t r e p r e s e n t e pour ~ ' o p e r a t e u r les

c o o r d o n n e e s d u point M t h dans le r e p e r e c a r tesien, i l r e p r e s e n t e en r e a l i t e l e s c o o r d o n n e e s du point M r d a n s u n s y s t e m e de c o o r d o n n e e s c u r v i l i g n es qui n e co'incide en rien a v e c le repere c a r t e s i e n suppose, qu'il s'agit e n fait de d e f i n i r , c o m m e nous le montrg r o n s plus loin.

k

D e s i g n o n s par F(iT) le v e c t e u r

W] = m

S o i t : = RTli t iJ7Tf)

L e v e c t e u r W ) e s t un v e c t e u r deplacement fonc- tion du point M. 1 1 c o n s t i t y e donc u n c h a m p d e vec- t e u r s q u e nous a p p e l l e r o n s C h a m p de d e p l a cement ' I .

Nous u p o s e r o n s c o n s t a m m e n t par la s uite q u e c e v e c t e u r 3) e s t defini par sef_erojections sur le r e p e r e cartesien. Du fait q u e Mth e s t defini par h y p o t h e s e d a n s le mCme repere, la f o r m u l e ( 1 L p e r m e t de c a l c u l e r les c o o r d o n n e e s c a r t e s i e n n e s d e Hr, si ] ' o n c o n n a i t m. N . E . IY i a p a l t c d c R C pa3 c o u ~ c n d ' l c Y e chnmp m! niacc t a c l r t i ~ b ~ J ( X ) L'U L ( Y I ou ,J(:; v e t e l ? ? < habc f r i t * Y P e n i c r i t t o r 5 q t l ' c n c o s l t ? b t c utze g t i s 6 c ? w .

C o m m e l'indique c l a i r e m e n t les notations on a : u ( x.0,; ) =

u ( 0,Y.o' ) = :m u ( 0 , o . i ) = 7i7)-

Le v e c t e u r c h a m p n'a d o n c a u c u n rapport d i r e c t a v e c les n e s u r e s f a i t e s h a b i t u e l l e m e n t s u r une machine. N o u s d o n n e r o n s plus loin son e x pression a n a l y t i q u e et la m e t h o d e e x p e r i m e n t a l e de d etermina- tion.

t i o n s s u i v a n t e s :

Si pour l'instant, on s u p p o s e connu l e champ on a immediatement l e s 2 principales a polica-

a ) D e t e r m i n a t i o n de la t r a j e c t o i r e reelle de"l'outi1"

0 n a : E = iR6 +

P a r e x e m p l e pour u n e d r o i t e d ' e q u a t i o n s

Annals of the CIRP Vol. 30/1/1981 429

Page 2: Commande adaptive dimensionelle d'une machine a mesurer tridimensionelle

I 1 vient immediatement :

x i = a + pz + Ux ( a + pz, b t q z , z j ;: = b + q z t Uy ( a + p z , b t qz. z ) = z + U z ( a + p z , b t qz, z j

1 + x '1 'Z

IP 2uz LE' . x '1 1211

b j De term i n a ti on d e s e rreu_r_s_de- 40 s i t i 0 n a n g u 1 a i re de l a brocne. -I__

BT etant le tenseur transpose de E.

On utilise a present les notations suivantes :

u x - u u y = v u z - w

La variable par laquelle on effectue la deri-

- - -

vation etant notee en indice.

Le tenseur represente la rotatioq du repere local.

1 ( w'y - v'z j

avec 't 1 ( u ' z - w'x ) (I 1 ( v'x - u ' y )

1 1 represente la rotation des axes principaux

Le tenseur - represente la deformation pure du de B. repere local.

u'x ; ( u'z + u ' x ) ; ( u ' z t w'x )

1 ( u ' z + w'x ) ; ( u ' z .t w'x ) w'z

1 1 ( v'x - v'y ) v'y ( v'z + w'y ) 2

Y

Au total un vecteur ? issu d'un point M va

a) La translation I;IF(r b) La rotation 7 c) La deformation = '.? L'application directe de ceci debouche sur 13

subir successivement les transformations suivantes :

determination de la position angulaire exacte de l'axe de la broche d'une machine q u ' o n peut imaginer port6 par l'axe V .

DETERMINATION THEORIQUE ET EXPERIMENTALE DU CHAMP Em).

La determination du champ m) comporte deux aspects differents et compl$mentaires qu'il importe de bien separer : L'asoect choix d'un repere carte- sien de reference " , l'aspect " deformation et d e - placement de ce repere " .

L e champ 'u77;if represente le deplacement qu'il faut faire subir aux points d'un repere cartesien pour l'appliquer sur le repere curviligne. Mais seul le repere curviligne est parfaitement defini ( par les glissieres de la machine. ) I 1 existe u n e large indetermination au niveau d u choix du repere carte- sien. Tous ces reperes se deduisant les uns des au- tres par une translation e t u n e rotation.

Soit :

mq = T + :JZ tm w translation t rotation

du repere R l / R E

N o u s choisirons le repere cartesien Ro qui " coi'ncide au mieux I' avec le repere curviligne au s e n s des moindres carres. Ce choix se justifie lar- gement par le fait qu'aiors m: est minimum.

On definit ainsi la premiere transformation g6om6trisue qui perrnettra d'appliquer le repere cur- viligne s u r le repere cartesien Ro.

La deuxieme transformation est la transforma- tion qui amene le repere local a coi'ncider avec Ro.

D'apres l e para7ra:he prdcedent on a :

qfq- = t ZNv; * B( ?I) 4

Translation Deformation + rotation DroDre locale

du repere local sur Ro

Enfin la troisieme et derniere transformation est la deformation ure locale qui permet de calcu- ler la deformation b d'un vecteur v par la relation

7? = -. v. Lorsqu'on ajoute successivement ces 3 transfor-

mations on peut. sans difficulte, exprimer un vec- teur ? ( en coordonnees curvi1i;nes ) dans le reoere cartesien R o .

On peut, donc a present, passer du repere caL- tesien au repere curviligne et du repere curviligne au repere cartesien aussi bien pour l e s points q E poxr les v e c t E .

1 1 n e reste donc lus qu'a determiner experi- mentalement le champ & pour resoudre enti6rement le probleme.

PROCEDURE D'IDENTIFICATION DU CHAMP m] p o s o n s ici est qu'il ne necessite aucun instrument de mesure autre que les propres compteurs de la ma- chine, ni de pieces etalons ayant des dimensions precises connues. I 1 suffit de disposer d'un marbre dont seule la forme plane est utile, ou d'ailleurs de toute autre forme parfaite ( cylindre, sphere . . . ) independamment de leiirs dimensions.

L'interet fondamental du procede que nous pro-

L'idee de base est la suivante :

Le defaut de planeite apparent du marbre indi- que en realite une " courbure ' du s y s t e m de coor- donnees.

Par exemple on comprend clairement qu'cne re- gle parfaite A B placee sur l'axe y = 10 fera appa- raitre les defauts de rectitude : ..t r 1 pour I ' o D ~ - rateur. bien que la regle soit parfaite et que seule la " courbure I' du systeme de coordonnees soit e n cause.

On procede alors de la maniCre suivante :

a) On palpe la sphere de dfgauchissage pour associer d'une maniere unique les coordon- n e e s curvilignes aux glissieres de la ma- chine.

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Page 3: Commande adaptive dimensionelle d'une machine a mesurer tridimensionelle

On palpe 3 points du marbre ( dans le cas evidemment 00 l'on prend un plan c o m e *talon, autrement on palpe le nombre de points correspondant a l'ordre de la sur- face ) . On peut definir ainsi la position du plan dans le repere curviligne.

On se donne alors uc modele de champ de deplacement. L'experience montre qu'on peut prendre par exemple :

Ux(M) = A+BxtCy+Dz+ExL+Fy'+Gz2+Hxy+Inz+Jyz t iy(H) = A'+B'x+C'ytD'z+E'x'+F'y~+~'~'tH'xy+I'x z + J ' y z

U z ( M ) A "+B "x+C " y + D " z+E " x ' + F" j ' t G" X ' t H " xy+ I " X Z t J " y 2 =

On procede alors au palpage systematique du marbre. le defaut d e planeite apparent est evidemment dO 8 la courbure de l'espa- c e de la machine c'est m. La recherche du defaut de planeite d'un marbre est u n e operation classique qui ne represerlte aucune difficult@.

Pour augmenter la precision de la determi- nation on recommence plusieurs fois la meme operation en changeant la position du mar- bre 8 chaque fois pour explorer tout l'es- pace de la machine.

Oans le cas d'une machine-outil, ou d'un robot i l est necessaire pour realiser l'ex- perimentation ( ces machines ne sont pas en effet destinees a mesurer un defaut de pla- neite ! de reillplacer l'outil par une sonde ( type Renishaw ) qui au moment du contact avec le marbre emet un signal donnant l'or- dre a l'ordinateur ( o u a l'operateur ) de lire les compteurs de la machine.

Par consequent o n peut adopter facilement la methode aux cas de toute machine 1 codage de posi- tion analogique ou numerique. ( U n e table d dessiner par exemple ) , meme en cours de travail.

PROPOSITIONS POUR UNE DEFINITION DE LA QUALITE D'UNE MACH I N E..

Le p r o b l e m qui s e pose constamment au niveau de n'importe quelle machine, mais specialement des machines 8 mesurer 30, est celui du critere de qua- lite dimensionnelle. I 1 regne actuellenent u n e gran- de confusion dans c e domaine, du fait en particulier, du caractere arbitraire du choix du referentiel ini- tial Ro.

C'est pourquoi, i l est necessaire, pour s'af- franchir du choix arbitraire de Ro. d'utiliser com- me critere de qualit6 des coefficients caracteristi- ques des transformations geometriques qui font pas- ser du repere cartesien au repere curviligne.

Si l'on suppose donne, dans le repere carte- sien, un cube parfait de dimension unite, c e m e m e cube subit les transformations geometriques prece- dentes pour Gtre realis6 dans le repere curviligne. Pratiquement c'est c e qui se passe lorsque sur une machine-outil on tente d'usiner c e cube, c'est ega- lement ce qui s e passe sur une machine a mesurer tridimensionnelle lorsqu'on mesure un cube etalon.

ra donc les deformations de l'espace de la machine, donc les defauts de cette machine.

niations du cube par :

La description des deformations du cube tradui-

On peut caracteriser tr#s simplement les defor-

a) Son defaut d'orientation dans l'espace. ( Par exemple ses faces ne sont pas exactement paral- leles aux plans de reCerences de la machine. )

b) Son defaut dimensionnel. [ Par exemple le cote parallele a l'axe xn'est pas exactement egal a 1. )

c ) Son gauchissement. ( Qu'il ne faut pas c o n - fondre avec le defaut d'orientation ) . Par exemple l'arete X n'est pas exactement perpendiculaire d l'a- rete Y .

en un point de l'espace de la machine, par le calcul de 3 coefficients C1, C2, C3 6 partir des invariants i u tenseur de rotation 3 et du tenseur de deformation

Wous pouvons traduire ces 3 sortes de defaut,

C'est le deuxieme invariant-du tenseur 9. Le vecteur I' defaut d'orientation '' 3 a c o m m e composan- tes 7 , -:, .:.

Le coefficient C 1 represente donc le module du vecteur 7 ; .

b ) C 2 = 3 v

Le defaut dimensionnel sera exprime par la v a - riation relative de volume du cube elementaire. Sur le plan mathematique C2 est alors la divergence du champ m. On le calcule en faisant la sonme des termes de la premiere diagonale du tenseur de de- formation, c'est 1 premier invariant de ce tenseur.

c) c3 =

S

Le defaut d'equerrage local du systeme d'axes sera exprime par la variation relative de la surface laterale du cube elementaire. Sur le plan mathemati- que-le coefficient C3 est @gal au premier invariant de < moins le double du second invariant

C3 = C 2 - ?(,if : j j - .ij cj i )

Sur le plan pratique des qu'on a identifie le champ l'application d'un simple jeu de formules mathematiques permet donc de calculer les 3 coeffi- cients C1, C2, C3. Ces 3 coefficients caracterisent d'une maniere intrinseque les differents defauts de la machine en un point.

I 1 est alors facile de classer les machines en fixant des bornes superieures a c e s coefficients pour u n type de machine donne.

Le procede de reperage de la position dans l'espace d'un organe mobile de machine. que nous ve- nons de decrire, s'applique 1 n'importe quel appareil dans lequel la position dans l'espace est associee d d e s coordonnees rapportees a un revere physique soli- daire de la machine. ( Machin--cutil, robot. machine a mesurer , scanner, scintigraphie, radar, sonar, ap- pareil de photogrammetrie.

VERIFICATION EXPERIMENTALE..

Les enuations de depart sont :

!p; = 0

Ce qui correspond pour un point de palpage Pr sur un plan defini par le point Ar et la normale a ecrire o u e le defaut de planeite est egal a zero.

champ

fiv) = A t B.x + Cy + 0 . 2 + Exz + Fy2 + Gzz

Si l'on prend cornme expression theorioue du

+ Hxy A Ixy + Jyz + Kx3 + Ly3 + Hz3

t NxZy + 0x2, + Py2.x + py2.z Rz2.x + szzy

et des expressions semblables du 36me degrepourUy(M) et L z ( M ) . on obtient un systeme a 5 7 inconnues. I faut donc ecrire un systeme de 57 equations. Theoriquement i 1 suffit d e palper 57 points p u i s n u ' a chaque point de palpage correspond l'eouation ( 2 ) . En fait pour augmenter la precision des calculs on palpe un nonbre de points tres superieur et l'on applique la methode d e s moindres carres.

43 1

Page 4: Commande adaptive dimensionelle d'une machine a mesurer tridimensionelle

On f o r m e a i n s i un sys teme de 57 e q u a t i o n s li- n e a i r e s a 5 7 i n c o n n u e s d o n t l e d e t e r m i n a n t n ' e s t pas nu1 s i l ' o n a c h o i s i j u d i c i e u s e m e n t l e s p l a n s d e o a l - p a w .

S o i t AT = B T h e o r i q u e m e n t = i-'. Mais l ' i n v e r s i o n de l a m a t r i c e A pose des p r o -

b lemes e x t r e n e m e n t d e l i c a t s s u r l e s o r d i n a t e u r s d o n t n o u s d i s p o s o n s ( UNIVAC 1110 ) . ( 16 c h i f f r e s s i g n i - f i c a t i f s en d o u b l e p r e c i s i o n ) . .

En f a i t t o u t e l a d i f f i c u l t e e x p e r i m e n t a l e e s t r e p p o r t e e s u r ce c a l c u l . On s a i t que l e nombre de c h i f f r e s s i g n i f i c a t i f s e x a c t s "s" que l ' o n p e u t a t - t e n d r e de l ' i n v e r s i o n d ' u n e m a t r i c e de c o n d i t i o n n e - men t

K = I lA l l . I / A - l ( l e s t e g a l a u m ieux d :

S p - l o g K

avec p = nombre de c h i f f r e s s i g n i f i c a t i f s de l ' o r d i - n a t e u r .

K = 45.10'

donc s e s t n e a a t i f ! L e r e s u l t a t e s t sans s i a i n i f i c a -

O r i c i p = 16 l o g K = 24,5

X I i

t i o n .

t 0,30280 0,49650 t0 ,55808 1 t 1,79200 -2 ,46403 t7 ,63879 I

un p r o de f a i s i a n i f

Nous avons a l o r s :te amen6 B e c r i r : s u r UNIVAC 'gramme de c a l c u l MULTIPRECISION q u i p e r m e t r e l e s 4 o p e r a t i o n s s u r un nombre de c h i f f r e s

' i c a t i f s f i x e s B l ' a v a n c e ( 50 p a r exemp le ) . Le - temps d ' i n v e r s i o n d ' u n e m a t r i c e 57 x 57 s u r 50 c h i f f r e s d e v i e n t a l o r s p r o h i b i t i f . I 1 e s t a l o r s n e - c e s s a i r e de r e c h e r c h e r un comoromis e n t r e p r e c i s i o n e t temps de c a l c u l ( donc p r i x ! ) .

A t i t r e d ' e x e m p l e s p o u r 20 c h i f f r e s s i g i n i f i c a - t i f s une m u l t i p l i c a t i o n demande 7.88 m i l l i s e c o n d e s e t u n e d i v i s i o n 453 m i l l i s e c o n d e s , ma is p o u r 48 c h i f - f r e s s i g i n i f i c a t i f s il f a u t r e s p e c t i v e m e n t 44,4 ms e t 4080 ms p o u r l e s miimes o p e r a t i o n s .

I e x u e r i m e n t e r c e t t e rnethode avec un deve loppement du l e r d e g r e ( c e q u i c o n d u i t a une m a t r i c e 12 x 12) e t 12 c h i f f r e s s i g n i f i c a t i f s , c e q u i l i m i t e s e v e r e - ment l a p o r t e e de l a v e r i f i c a t i o n e x p e r i m e n t a l e .

Remarquons t o u t d ' a b o r d q u ' u n chamn du l e r de - g r e c o r r e s p o n d B une t r a n s l a t i o n , u n e r o t a t i o n e t un d e f a u t d ' e q u e r r a g e des nouveaux axes de r e f e r e n c e p a r r a p p o r t aux a n c i e n s . Pour p r o c e d e r B l ' i d e n t i f i - c a t i o n de c e champ nous avons p r o c e d e au p a l p a g e s y s - t e m a t i q u e d ' u n m a r b r e de d i m e n s i o n s 400 x 300.

P o u r l ' i d e n t i f i c a t i o n du champ l e s d i m e n s i o n s n e j o u e n t aucun r 6 l e p u i s q u e on d e t i n i t l a p o s i t i o n du nouveau r e p e r e p a r r a p p o r t l ' a n c i e n en p l a q a n t l e m a r b r e en 6 p o s i t i o n s d i f f e r e n t e s ( r e p e r a g e i s o s t a - t i q u e : 6 n o r m a l e s de r e p e r a g e s ) p u i s d p a r t i r de l a 7eme p o s i t i o n on i n t r o d u i t l e champ de d e f o r m a t i o n p o u r l e p o i n t de r e f e r e n c e du m a r b r e .

Nous v e r r o n s p a r c o n t r e que p o u r l a v e r i f i c a - t i o n il n ' e n n ' e s t pas de meme. S u r une mach ine B m e s u r e r v o l o n t a i r e m e n t ma1 r e g l e e nous avons o b t e n u l e champ s u i v a n t :

Nous avons donc @ t e amene - f a u t e de moyens-

U~~0 ,0075+0 ,0000675929 .X+0 ,0000191872 .Y-0 ,000042756~2

Uy=0,00267+0.0000030280.Xt0,000004965.V+0,000005580~Z

U~=-0 .00693+0 .0000179207 .X-0 ,0000246403 .V +0,0000763879.2

T y p i q u e m e n t nous voyons s u r ,l,a f i g u r e (1) 9ue l e nouveau sys teme d ' a x e s r e v i e n t a r e m v l a c e r l ' a x e p a r l ' a x e E. En r e a l i t e l a n o u v e l l e p o s i t i o n E,E,E n ' e s t pas v r a i m e n t r e p r e s e n t a b l e s a u f s u r un d e s s i n e n p e r s p e c t i v e . Cependan t l a F i g u r e (1) va nous 6 t r e u t i l e p o u r a n a y s e r l e s r e s u l t a t s e x p e r i m e n t a u x . - - . _ _ .. ----.

J u s t e s s e Axe " x " r

En c o n c l u s i o n nous pouvons d i r e que s i l e s r e s u l t a t s e x p e r i m e n t a u x ne s o n t pas a b s o l u m e n t p r o - b a n t s a c t u e l l e m e n t i l s s o n t t r e s e n c o u r a g e a n t s e t a n t donne l a c o m p l e x i t e du p r o b l e m e .

sys teme o p e r a t i o n n e l s u r l e p l a n i n d u s t r i e l dans deux d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s :

Nous p o u r s u i v o n s nos e f f o r t s p o u r o b t e n i r un

- A u g m e n t a t i o n de l a p r e c i s i o n des c a l c u l s p a r l ' u t i l i s a t i o n du programme MULTIPRECISION ( 5 )

- A u g m e n t a t i o n de l a p r e c i s i o n des mesures p a r l ' u t i l i s a t i o n d ' u n m a r b r e de q r a n d e s d imen- s i o n s .

BIBLIOGRAPHIE

U e r s t a t t s t e c h n i k - Z e i t s c h r i f t F u r i n d u s t r i e l l e F e r t i g u n g . V a l . 67 N"5. Ma i 1977. K o m p a r a t o r f e h l e r b e i Y e h r k o o r d i n a t e n m e ! 2 s g e r a t e n p a r M . D i e t z s c h und M. Lang .

B r e v e t d ' i n v e n t i o n N079-30498 PARIS l e 12 -12 -79 p a r A . C lemen t .

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C o n t r o l l i n g a comp lex s u r f a c e w i t h a 3 D-measu- r i n g mach ine . P. B o u r d e t - A . C lemen t . A n n a l s o f C . I . R . P . 1976

Programme MULTIPRECISION s u r UNIVAC 1110 o a r G . de C o l i g n y . ( Non p u b l i e )

I F i g u r e -.

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