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Préparé Par S.C. Université libanaise – faculté de génie II

Commande d’une machine à courant continu à vitesse variable

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Matlab 6.5 a été utilisé pour les simulations.

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Préparé Par S.C.

Université libanaise – faculté de génie II

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Introduction:

Ce projet a pour but l'étude de la commande d'une machine a courant continu a vitesse variable.

L'alimentation de cette machine, sera à travers un pont redresseur commandé qui fournira à cette machine un courant continu.

Nous cherchons dans ce travail à asservir deux paramètres de la machine: le courant absorbé qui ne doit pas dépasser en aucun cas le courant maximale supporte par la machine; ainsi que la vitesse de rotation qu'on cherche à varier.

Dans ce but là; ce projet comportera trois parties principales:

1- Choix et modélisation de la machine 2- Modélisation du convertisseur utilisé (pont redresseur a thyristors)3- Correction du système asservi.

I- Choix et modélisation de la machine a courant continu.

1- Modélisation et schéma bloc. La commande de cette machine est effectuée à travers la variation de la tension d'induit; le flux inducteur est donc considéré constant égale au flux maximal.

- Machine fonctionnant a vide:

Deux équations fondamentales régissent le fonctionnement d'une machine à courant continu:Soit E la force électromotrice à vide; Ω la vitesse de rotation du rotor; Ce le couple électromagnétique développé par la machine; et Ia le courant circulant dans l'induit.

{E = kmax .Ω¿ ¿¿¿ Avec kmax= k ×Φmax=c

te

La tension Va aux bornes de l'induit serait:

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V a=E+Ra I a+La

dI a

dt

Appliquons la transformée de Laplace sur ces équations:

{E ( p )=kmax .Ω( p )¿ {Ce( p )=k max . I a( p )¿ ¿¿¿D’où le schéma bloc de la machine a courant continu a vide commande par la tension d'induit

- Machine fonctionnant en charge:

L'équation mécanique fondamentale régissant la rotation de l'arbre du moteur en charge s'écrit:

Ce−∑ Cresis tan t=Jd Ωdt Avec ∑C resis tan t=f .Ω+Cr

Ou : f est le coefficient de frottement fluides de l'ensemble moteur + chargeJ est le moment d'inertie de l'ensemble moteur + charge

- Schéma bloc final:

3

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S.C. ULFG2-2009Le schéma bloc fonctionnel du moteur a courant continu pilote par tension d'induit est le suivant:

2- Simulation du modèle de la machine sur Matlab- Simulink

Pour simuler le modèle de la machine nous allons appliquer comme entrée du système une tension en échelon et visualiser comme sortie la vitesse de rotation ainsi que le couple fourni par la machine et le courant absorbe. Les caractéristiques de la machine choisie sont:- Tension d'alimentation nominale: Un=260V- Vitesse de rotation nominale: Nn=2150 tr/min= 225 rad/s- Résistance d'induit: Ra=1.26 Ω- Inductance d'induit: La=34 mH

- Couple nominal fourni par la machine en charge: Cn=14 N.m- Courant nominal absorbe Ian=13.5 A- Coefficient de frottement visqueux f = 0.01- Moment d'inertie du rotor J = 0.02 kg.m2

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- A vide:

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- En charge

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Dans la suite du travail nous allons modéliser la machine par un 'subsystem' dont les entrées sont la tension d'alimentation et le couple de charge les sorties étant la vitesse de rotation, le couple et le courant.

II- Modélisation du convertisseur

1- Schéma du circuit

Le convertisseur utilisé n'est autre qu'un pont complet commande c.à.d. un pont de six thyristors.

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De même nous allons utiliser un subsystem pour modéliser ce circuit

R

S

T

Pulse1

Pulse2

Pulse3

Pulse4

Pulse5

Pulse6

V-

V+

ThyristorSubsystem

2- Commande des thyristors

La commande des thyristors sera à travers un générateur de 6 pulses qui fourni en sortie six vecteurs dont chacun commande un seul thyristor

9

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De nouveau ce circuit sera regroupe en un subsystem

3- Simulation de l'ensemble Simulons ce circuit à l'aide du logiciel Matlab-Simulink:

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Finalement nous allons regrouper toutes les parties du redresseur en un seul bloc :

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Alpha_deg

R

S

T

V-

V+

mes_pulses

TriggeredPontThyristor

4- Simulation du système complet (machine et convertisseur) Pour mieux clarifier les idées nous allons utiliser ce bloc pour alimenter la machine à courant continu et simuler notre système sans correction

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III- Correction du système

1- Structure de la correction

La correction utilisée est une correction en cascade; les deux grandeurs corrigées sont le courant et la vitesse de rotation du moteur le système corrigé aura la forme suivante:

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S.C. ULFG2-2009Cahier de charge   : Boucle de courant   : tm=0.35ms

εs <4% D%<10%Boucle de Vitesse   : tm=0.2s

εs =0 D%<15%

Régulateurs   : Remarque : Lors de l'alimentation de l'inducteur d’une machine à courant continu, les convertisseurs généralement utilisés sont de type hacheur ou pont à thyristors. Ils sont généralement assimilés en première approche à un gain constant. On dit alors qu'on utilise un modèle à valeur moyenne instantanée, c'est-à-dire que l'on assimile la tension de sortie sur une période de fonctionnement du convertisseur à sa valeur moyenne. Un tel type de modélisation est satisfaisant si le circuit alimenté par cette source de tension présente une constante de temps relativement grande devant la période de fonctionnement du convertisseur. Dans le cas contraire, il faut rechercher une modélisation rendant compte du fonctionnement échantillonné du convertisseur, ainsi que des retards pouvant être introduit par le mode de commande.

Le principe du réglage est le suivant:1- Introduction d'un correcteur proportionnel. C1(p) K2- Réglage de K (temps de réponse, dépassement, marge de phase...)

3- Introduction d'un correcteur Proportionnel intégrale. C ( p )=1+τpτp

4- Réglage de 1/τ à une valeur << c où c représente la pulsation de coupure en boucle ouverte du système avec la correction proportionnelle.Note : il est possible de prendre une valeur de 1/τ inférieur à c/10, mais la vitesse d'intégration est alors plus lente, et on obtient une réponse du type:

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Remarque   : Il est alors plus simple de traiter l’asservissement comme un système à retour unitaire, puis de prendre en compte dans un deuxième temps le gain du capteur.

Etude de la boucle de courant   : Le schéma bloc suivant représentatif de la fonction de transfert en courant du moteur :

CeN (rd/s)

1Ia

1

J.s+f

Transfer Fcn1

1

La.s+Ra

Transfer Fcn

K

Kmax1

K

Kmax

1

U

A partir du schéma bloc au dessus il est possible de calculer (en effectuant des simplifications) la fonction de transfert C(p)=I(p)/U(p), représentative du comportement en courant de la machine :

C ( p )=K 0.

1+ pw1

(1+ pw4

) .(1+ pw3

)

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S.C. ULFG2-2009Avec W1 = 1/τm = f/J = 0.5 rd/sW2 = Sqrt( Kmax2 +Rf / LJ ) = 44 rd/s [=(W3+W4)/2]W3 = 1/τe = R/L = 37 rd/sW4 = 1/τem = Kmax2/RJ = 52.5 rd/s

K0 = f/Kmax2 = 7.56e-3

Les diagrammes asymptotiques de Bode sont alors les suivants :

Sur MatLab:

>> H = TF([15.12e-3 7.56e-3] , [5.15e-4 0.046 1]) Transfer function: 0.01512 s + 0.00756--------------------------0.000515 s^2 + 0.046 s + 1 >> bode(H)

Va Donner :

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-50

-40

-30

-20

-10

0M

agni

tude

(dB

)

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-90

-45

0

45

90

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Le schéma bloc de la boucle de courant est donné ci-dessous

e

I*

ec U I

1

I

In1 Out1

Correcteur de courant

In1 Out1

Convertisseur

In1Out1

Capteur

In1 Out1

C(p)

1

Ic

On assimilera le convertisseur à un gain de valeur Go, le correcteur à un gain de valeur Kp et le capteur de courant à un gain unitaire. Il est alors possible d’évaluer la fonction de transfert en boucle fermée H(p)=I(p) / Ic(p).

Notons Kbo=Kp.Go.Ko (gain boucle ouverte), il vient alors :

H ( p )= 1¿¿

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S.C. ULFG2-2009Il apparaît que la fonction de transfert en boucle fermée est de type premier ordre, dont la constante de temps est :

Pour obtenir un temps de monté tm=0.35ms c.à.d. s Wc= 8.8Krd/s, Il Faut Choisir :Kp.Go = 300.D’où Kbo= 2.268 ( = 7.11db)Diagramme de bode de la boucle ouverte de courant corrigée par un correcteur proportionnel simulé sur matlab :

10-2

10-1

100

101

102

103

104

-90

-45

0

45

90

Pha

se (

deg)

0

10

20

30

40

Mag

nitu

de (

dB)

System: untitled1 Frequency (rad/sec): 8.8e+003

Magnitude (dB): 0.00421

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pour annuler l’erreur statique en courant on ajoute un correcteur Pi.Tic est calculé de sorte que le système sera plus proche de l’ordre 1.Soit Tic = τe = 0.027 = 1/w3(Voire Bode asymptotique : La pente entre W1 et W3 Devient 0)

Ci ( p )=1+τipτip

Transfer function of PI:Tic s + 1----------- =

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0

20

40

60

80

M ag nit

ud e (d B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

P ha se

(d eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

S.C. ULFG2-2009 Tic s

0.027 s + 1----------- 0.027 s

Diagramme de bode de la boucle ouverte de courant corrigée par le correcteur proportionnel Integrale PI simulé sur matlab :

La réponse (du boucle de courant corrigé) à un échelon va donner :

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0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Temps en s

C ou ra nt

(A)

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On remarque que le temps de monté tm=0.35ms (plus ou moins car calcule approché) et l’erreur Statique est nulle ce qui vérifie le calcule déjà fait.

Remarque : Sans le correcteur PI l’erreur statique est de 2% (très acceptable) donc on peut seulement utiliser un correcteur Proportionnel P pour réguler le courant.

Etude de la boucle de vitesseLe schéma bloc de la boucle de vitesse est donné ci-dessous :

En reprenant l’application du principe fondamental de la dynamique, et en supposant le correcteur de type proportionnel, on obtient le schéma bloc suivant :

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En boucle ouverte, la fonction de transfert de vitesse est donc :

Ω(p)Ωc( p)

= 1

f +( f τ e' +J ) p+τ e

' J p2

Rappelons que la fonction de transfert en boucle fermée du courant est :

H ( p )= 1¿¿

Avec :

Il est alors possible de calculer la fonction de transfert en boucle fermée /c:Il apparaît alors un dilemme entre stabilité et précision. En effet, une augmentation de KBO, ayant pour objectif de réduire l’erreur statique entraîne une diminution de z, et donc déstabilise le système. Il va donc être nécessaire d’introduire un le correcteur PI ayant pour rôle d’annuler l’erreur statique, sans pour autant déstabiliser le système.

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S.C. ULFG2-2009AN : K= 0.7 τe’= 3.69e-4

Reprenons l’étude de la fonction de transfert de vitesse en boucle ouverte :

Ω(p)Ωc( p)

= 1

f +( f τ e' +J ) p+τ e

' J p2= 1

0.01+0.02 p+¿¿

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (

dB)

System: G Frequency (rad/sec): 49.9 Magnitude (dB): 0.0125

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Calcule du correcteur de vitesse :peut prendre 1/Tv =15.7rd/s ou Tv = 0.06 pour réduire le temps de monté qui est 0.05s a 0.02s par exemple on peut ajoute un correcteur proportionnel qu’on peut encore calculer graphiquement :À 157 rd/s on a -9.95 db donc il faut ajouter  9.95 db d’où Kp =3.14On peut prendre 1/Tv = Wc/10 =15.7rd/s ou Tv = 0.06

D’où le correcteur PI de Vitesse :

C ( p )=Kp1+τvp

τvp = 3.14

1+0.06 p0.06 p

Bode de la boucle de Vitesse corrigée est alors :

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10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

-180

-135

-90

Pha

se (

deg)

-100

-50

0

50

100

150

System: untitled1 Frequency (rad/sec): 136 Magnitude (dB): 1.27

System: untitled1 Frequency (rad/sec): 157 Magnitude (dB): 0.0586

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

La réponse à un échelon de Wc (consigne) nous donne :

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

On remarque que le tm= 0.02s, εs =0 et le dépassement est de 6% (acceptable)

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S.C. ULFG2-2009Dans ce cas la réponse du courant (à vide) devient :

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

I*

I

I* : le courant de consigne (a la sortie du régulateur de vitesse)I : le courant absorbé par la machine.

Si on ajoute un couple 4 N.m après 0.5 secondes les courbes seront   :

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Temps en s

Cou

rant

en

AII*

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps en s

N e

n rd

/s

NN*

Avec «   Saturation block   »   : Si on ajoute un couple 4 N.m après 2.5 secondes et pour Nc=100rd/s, les courbes seront   :

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0 1 2 3 4 50

50

100

150

200V

itess

e en

rd/

s

0 1 2 3 4 5-5

0

5

10

15

Temps en s

cour

ant

en A

NNc

IcI

Ic : le courant de consigne (a la sortie du régulateur de vitesse)I : le courant absorbé par la machine.Nc: Vitesse de consigne en rd/sN : Vitesse de rotation de la machine« Saturation block » : Limite Ic entre 0 et 13 A

Finalement on a obtenu   : Boucle de courant   : Tm = 0.35ms

εs =2% (si correction proportionnelle), εs =0% (si correction PI)Pas de dépassement lorsqu’on applique un échelon (I*=U(t) page 23) Le courant de consigne sera limité par un « Saturation block »Boucle de Vitesse   : Tm = 0.02s sans « Saturation block » (ou pour I*<Ilimite si avec)

Entre 0.02s et 0.25s avec « Saturation block »

εs =0 D% = 6%

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