Commande linaire des systmes multivariablesBenot BergeonProfesseur2011-2012Commande linaire des systmes multivariables............................................................................... 1Chapitre 1 :CommandeLinaireQuadratique.............................................................................. 11 Introduction..................................................................................................................................12 La Commande L.Q...................................................................................................................... 22.1 Formulation du problmede commande retour dtat....................................................................................... 22.2 Le critre doptimalit L.Q.................................................................................................................................... 32.3 Gestion des objectifs et spcification des matrices de pondration....................................................................... 43 La solution du problme L.Q stationnaire................................................................................ 64 La matrice HAMILTONIENNE et la solution de lquation de Riccati.................................95 Stabilit de la boucle ferme..................................................................................................... 11Chapitre 2 : Commande Linaire Quadratique Gaussienne........................................................... 131Problme de commande stochastique retour de sortie....................................................... 132 Observateur dtat et principe de sparation .........................................................................143 Lobservateur optimal de Kalman............................................................................................174 Solution du problme L.Q.G.....................................................................................................21Annexe............................................................................................................................................23Chapitre 3: De la commande modle interne au systme augment............................................251 Introduction................................................................................................................................252 Le modle interne de Francis et Wonham............................................................................... 272.1 Le principe du modle interne............................................................................................................................. 272.2 Reprsentation gnrale....................................................................................................................................... 282.3 Spcifications....................................................................................................................................................... 302.4 Dtectabilit......................................................................................................................................................... 312.5 Le modle interne................................................................................................................................................ 32 3 Commandes LQG sur modle augment................................................................................ 383.1 Rappels.................................................................................................................................................................393.2 LQG modle interne..........................................................................................................................................403.3 Bruit color.......................................................................................................................................................... 43 4 Le problme standard...............................................................................................................45Chapitre 4 : Commande Robuste monovariable : Aspects frquentiels.......................................... 471 Robustesse et dsensibilisation............................................................................................... 472 Description des incertitudes...................................................................................................... 482.1 Origine des erreurs de modle............................................................................................................................. 492.2 Structuration dincertitudes................................................................................................................................492.3 Reprsentations dincertitudes ............................................................................................................................ 503 Description de performances.................................................................................................. 523.1 Stabilit de la boucle ferme..............................................................................................................................523.2 Rgulation.......................................................................................................................................................... 543.3 Compromis performances / robustesse.............................................................................................................. 553.4 Conclusion........................................................................................................................................................... 57Chapitre 5 : Systmes Linaires Multivariables, reprsentations et quelques proprits.............. 591 Reprsentation dtat et matrice de transfert....................................................................... 592 Systme boucl par retour dynamique de sortie................................................................... 613 Dfinitions gnrales des L.F.T............................................................................................... 623.1 L.F.T Suprieure (Fu).........................................................................................................................................623. 2 L.F.T Infrieure (Fl).......................................................................................................................................... 634Reprsentation par matrice de systme.................................................................................. 6325 Les zros de systmes multivariables..................................................................................... 646 Thorme de Nyquist gnralis............................................................................................. 667 Critre de Nyquist multivariable............................................................................................66Chapitre 6 : Reprsentations frquentielles des systmes multivariables....................................... 691Les valeurs singulires de matrices......................................................................................... 692Dcomposition dune matrice en valeurs singulires.............................................................693 Proprits des valeurs singulires.............................................................................................704 Normes H2 et H de matrices de transfert............................................................................. 714.1 Rappels sur la norme L2...................................................................................................................................... 714.2 Transmission de signaux alatoires......................................................................................................................714.3 Les gains principaux de matrices de transfert......................................................................................................734.4 Les normes de matrices de transfert.................................................................................................................... 734.5 Interprtation frquentielle de LQG.................................................................................................................... 745 Calcul de norme H.................................................................................................................. 766Thorme du faible gain (Zames 1981)................................................................................... 777Description dincertitudes non structures multivariables ..................................................788 Thorme de stabilit robuste................................................................................................... 79Chapitre 7 : Synthse multivariable robuste, minimisation de sensibilit mixte............................ 821 Optimisation L2 et modelage de transfert de boucle (Loop Shaping).................................. 822 La spcification de performance...............................................................................................863La contrainte de stabilit robuste............................................................................................ 874 La contrainte sur la commande.............................................................................................. 875Le systme augment : problme standard............................................................................ 886 La spcification H....................................................................................................................897 Matrices de transfert premires............................................................................................... 907.1 Dfinitions............................................................................................................................................................907.2 Thormes............................................................................................................................................................908 L'algorithme de Glover-Doyle.................................................................................................. 94Chapitre 8 : Synthse multi-objectifs................................................................................................991 Les valeurs singulires structures........................................................................................... 992 Thorme de stabilit robuste structure.............................................................................. 1003 Le problme de performance robuste.................................................................................... 1023.1 Performance nominale....................................................................................................................................... 1023.2 Performance robuste.......................................................................................................................................... 1034 Calcul de ,D-K itrations..................................................................................................... 10534Chapitre 1 :CommandeLinaireQuadratiqueBibliographie :KWAKERNAAK SIVAN : Linear optimal control system, Wiley, 1972KAILATH : Linear systems, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1979ASTRM WITTENMARK : Computer controlled systems, Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall, 1984.de LARMINAT : Automatique, commande des systmes linaires, Herms, 1993.1 IntroductionLacommandeLinaireQuadratiqueestprsentedanscechapitresurlessystmesdynamiquestemps continu:(i) linaires,(ii) coefficients constants.(iii) stabilisables par retour dtat.Un systme linaire est stabilisable sil existe une commande en boucle ferme telle que le systme command soit stable. Si la commande utilise un retour dtat, il suffit que les ventuels modes instables du systme soient gouvernables (commandables).Dune faon gnrale, la commande en boucle ferme cherche rpondre des objectifs de (i) stabilit : retour ltat dquilibre aprs une perturbation ;(ii) performance de rgulation : rejet dune perturbation, ainsi que la rapidit du rejet. Entermesdeperformances, il sagit doncdedplacerlesvaleurspropresdela boucle ferme dans le demi-plan complexe gauche, le plus loin possible de l'axe imaginaire.Exemple :Soit le systme scalaire : x=a x ; x(0)0 1-1La solution de ce systme scalaire est :t 0; x(t )=eatx(0)1-2Le systme est stable si a < 0et la solution est dautant plus rapide queaest grand.Les contraintes de la rgulation se situent au niveau de lamplitude ou de lnergie de la commande : soit cause de saturations dactionneurs, soit pour des raisons de cot nergtique.1BAC- Kux zFinalement, le problme de la rgulation en boucle ferme, avec stabilit, est toujours le rsultat dun compromis entre la rapidit et lnergie de la commande.2 La Commande L.Q2.1 Formulation du problmede commande retour dtatSoit le systme rgler dcrit par le modle dtat : x(t )=A x(t )+Bu(t )z( t )=C x(t )1- 3x(t): vecteur dtat, dim x(t) = n x 1u(t) : vecteur de commande de dimension : l 1, o l est le nombre dactionneurs.z(t): vecteur des grandeurs rgler, dim z(t) = m x 1A: matrice dtat du systme, dim A = n nB: matrice de commande, dim B = n lLe problme est de trouver un retour dtat stabilisant, optimal au sens du compromis rapiditnergie de commande. Il sagit donc de trouver la matrice de gain du retour dtat K :u(t) = K x(t) 1- 4avec : dim K = lx n 1- 5Figure11- 1 schma-bloc de commande retour dtat.En boucle ferme, lquation dtat devient, aprs calcul de K: xbf(t )=| AB K xbf(t )z(t )=C xbf(t )1- 62Les conditions initiales sont rejetes dautant plus rapidement que les valeurs propres de la matrice (A B K),ont une partie relle trs ngative. Les gains de la matrice Kseront dautant plus grands que lon dsire acclrer le rejet de perturbation.2.2 Le critre doptimalit L.Q2.2-1 Vitesse de rejet de perturbationSoient 2 systmes monovariables du 1er ordre : x1(t )=x1(t )x1(0)=01- 7 x2(t )=2 x2(t )x2(0)=01- 8Les solutions sont respectivement :x1(t )=et,t0;1- 9 etx2(t )=e2t, t0 1- 10On peut valuer les rapidits respectives en comparant les aires des courbesxi2t ( ):Figure 1-2: comparaison daires.Onconstateaisment que 0x12(t )dt >0x22(t )dt, si bienquonpeut dire quunobjectif de rapidit de rejet de perturbation est respect par la minimisation de :0x2(t )dt1- 11Gnralisation un problme multivariable. Soit :3Jx=0xT(t ) Q x(t ) dt1- 12Q : est une matrice symtrique dfinie non ngative:xTQ x 0Cest une matrice de pondration : elle donne un poids diffrent chaque composante du vecteurdtat dans le critre.Exemple :Soient : x=|x1x2et Q=|q100 q2xTQ x=| x1 x2|q100 q2 |x1x2=q1x12+q2 x22si on prend : q1 = 1 et q2 = 1000il vient : xT Q x=x12 + 1000 x22le critre scrit alors :Jx=0xT(t ) Q x(t ) dt=0| x12+1000 x22 dt2.2-2 Energie de commandeDe la mme faon on peut valuer lnergie de commande par le critre :Ju=0uT(t ) Ru(t )dt1- 13R est une matrice symtrique dfinie positive :uT(t) R u(t) > 0 , si u(t )0 . Cest la matrice de pondration de la commande. On peut ainsi affecter un poids diffrent chaque composante du vecteur de commande.2.2-3 Critre de compromisJLQ=J x+Ju=0| xT(t )Q x(t )+uT(t ) Ru(t ) dt1- 14Danscecritre, lesmatricesQetRdoiventtrespcifies :lesperformancesdelacommande dpendent fortement des valeurs numriques des coefficients de ces matrices.2.3 Gestion des objectifs et spcification des matrices de pondrationEn gnral, les objectifs de performance portent sur certaines combinaisons linaires de ltat, qui sont regroupes dans un vecteur de sorties rgler. La dimension de z(t) est :m x 1, avec : m ndim(C)=mx nSoit Q=CTS C4JLQ=0xT(t )CTS C x(t ) dt+0uT(t ) Ru(t ) dt1-15zT(t ) S z (t )=xT(t )CTS C x(t ) 1-16Le problme est ramen au choix de la matrice SSi on choisit cette matrice diagonale, il y a m coefficients choisir. S=|s10 . 0 . 00 s2. 0 . 0. . . . . .0 0 . si. 0. . . . . .0 0 . 0 . sm1- 17Pour que S soit non ngative, il faut que tous les si soient positifs ou nuls. La matrice R est la matrice de pondration des commandes. On pose :R=jR' , oj est un rel positif.j est un paramtre de Lagrange qui sert rgler le poids relatif de R par rapport Q. On peut alors choisir la matrice R diagonale, en posant : R' =|r '10 . 0 . 00 r '2. 0 . 0. . . . . .0 0 . r'i. 0. . . . . .0 0 . 0 . r 'm1- 18On commence par choisir les diffrents ri qui pondrent les nergies de commande des diffrents actionneurs.R=j|r '10 . 0 . 00 r '2. 0 . 0. . . . . .0 0 . r 'i. 0. . . . . .0 0 . 0 . r 'm1- 190uT(t ) Ru(t )dt =j0uT(t ) R' u(t ) dt1- 205Le critre optimal linaire quadratique scrit finalement :JLQ=0zT(t ) S z (t ) dt+j0uT(t ) R' u(t ) dt1- 21Le problme est de choisirj-si j crot lapart relativeducritrej0uT(t ) R' u(t ) dtcrot : lobjectifest dconomiser lnergie de commande,- si j dcrot le terme 0zT(t ) S z(t )dtprend plus dimportance : lobjectif est daccrotre les performances. Figure 1- 3: parts relatives des critres de performance Jx et dnergie de commande Ju, selon la valeur de j3 La solution du problme L.Q stationnaire.Soit le systme linaire invariant : x(t )=Ax(t )+Bu(t ) 1- 22Le problme est de calculer la matriceK qui permet de dterminer le retour dtat :u(t )=K x(t ), et telle que le critre L.Q:JLQ=0(| xT(t )Q x(t )+| uT(t ) Ru(t )) dt1- 23soit minimum.Qest une matrice symtrique dfinie non ngative,Rest une matrice symtrique dfinie positive.Soitu0(t)la commande optimale, solution du problme. Toute commande u(t) peut scrire : u(t )=u(t )+c u(t ) ; c 1- 246JuJxLe systme est linaire donc il vrifie le thorme de superposition :x(t )=x (t )+c x(t ); c 1- 25o x0(t) est la solution optimale du systme (cest la trajectoire dtat obtenue lorsque lon applique la commande optimale). x (t )=Ax (t )+Bu(t ) 1- 26Ce qui nous permet dcrire de la mme manire : x(t )=A x(t )+B u(t ) 1- 27On suppose x(0)0(tat initial indpendant de u(t) ; t 0), donc x (0) = x0 (0) et x(0)=0 .Pourt 0 , la solution scrit :x (t )=eAtx(0)+0teA(tt)Bu (t)d t 1- 28 x(t )=0teA( tt)B u(t) d t 1- 29donc :JLQ=0| x(t )+c x(t )TQ| x(t )+c x(t ) dt +0| u (t )+c u(t )TR| u (t )+c u(t ) dt1- 30JLQ=0| xT(t )Q x (t )+uT(t ) Ru(t ) dt+2c0| xT(t ) Q x(t )+ uT(t ) Ru (t ) dt+c20| xT(t )Q x(t )+ uT(t ) R u(t ) dt1- 31si u0(t) est la commande qui minimise JLQ, toute autre commande conduit augmenter la valeur de JLQ.La commande scrivant :u(t )=u(t )+c u(t ) , le minimum du critre JLQ se trouve enc=0 .Il faut donc rsoudre :c JLQ(c=0)=0cest--dire: 720| xT(t )Q x (t )+ uT(t ) Ru(t ) dt =01- 32donc :0|0t uT(t) BTeAT( tt)d t Q x (t )+ uT(t ) Ru (t )dt =0 1- 33aprs calcul (permutation dintgrales), on obtient :0 uT(t )BTteAT( tt)Q x (t) d t+Ru (t )dt =01- 34on dfinit alors :p(t )=teAT( tt )Q x (t) dt1- 35p(t) est donc un vecteur de dimension : n x 1, dfini par une intgrale de convolution. Ce vecteur peut donc tre considr comme unvecteur dtat dunsystme dynamique dont lquation dvolution serait :p(t )=ATp(t )Q x (t )limt -p(t )=01- 36Lquation 1-34 devient0 uT(t )BTp(t )+Ru (t )dt=01- 37qui doit tre vrifie quel que soit uT(t ) tout instant t 0, cest--dire :BTp(t )+Ru (t )=0 , t >0 1- 38Finalement on obtient :u(t )=R1BTp(t ) 1- 39On a introduit le vecteurp(t)comme vecteur dtat dun systme fictif de dimension n. On peut dfinir un vecteur dtat tendu :8((t )=|x (t )p(t )1- 40Les quations 1-26 et 1-36 scrivent((t )=|A B R1BTQ AT((t )=2((t ) 1- 412est une matrice de dimension 2n x 2n, et qui est de structure HAMILTONIENNELacommandeoptimalechercheest unecommanderetourdtatu(t) =- Kx(t),vrifiant lquation 1-39.Il reste donc calculer une matrice constante P, telle que :p(t )=P x(t ) ,p(t )=Px (t )1- 42De lquation 1-41 on obtient : x (t )=Ax (t )B R1BTP x (t ) p(t )=Q x(t )ATP x (t )1- 43Des quations 1-42 et 1-43 on dduit la relation :P A+ATP+QP B R1BTP=0 1- 44connue sous le nom dEquation de RICCATI algbrique. La matrice P est lunique solution de cette quation, stabilisant la boucle ferme.Remarque :sin = l = 1 , on rsout en fait une quation du 2nd degr en P:2 P AP2B2R+Q=0 1- 45qui a 2 solutions. Une seule de ces 2 solutions permet dobtenir une boucle ferme stable.4 La matrice HAMILTONIENNE et la solution de lquation de Riccati2=|A B R1BTQ AT2n x2n1- 46R est une matrice symtrique dfinie positive, donc : R > 0 et R-1 existe. est une matrice symtrique dfinie non ngative, donc : Q 0Soit\ une valeur propre et V un vecteur propre associ droite :2V=2|v1v2=\|v1v21- 47avec dim v1 = n x 1 dim v2 = n x 19Alorslecouple\;( v2T,v1T)est uncoupledevaleurpropreet vecteurpropregauche associ la matrice2 , cest--dire:| v2T,v1T 2=\| v2T,v1T1- 48Vrification :|A B R1BTQ AT|v1v2=|\v1\v21- 49c..d.Av1B R1BTv2=\v1Qv1ATv2=\v21- 50et :|v2T,v1T|A BR1BTQ AT=|v2TA+v1TQ ,v2TBR1BT+v1TAT1- 51|v2T,v1T|A B R1BTQ AT=|v2T\, v1T\1- 52Les 2n valeurs propres du systme2sont symtriques 2 2 par rapport laxe imaginaire (si \1 est valeur propre, alors - \1lest aussi).Si aucune des valeurs propres nest imaginaire pure, il y anvaleurs propres partie relle etn valeurs propres partie relle> 0.Soit Alamatricediagonale (nxn) dontleslments (\1,\2,\3,... , \n) sontles valeurs propres partie relle ngative.SoitXune matrice compose des vecteurs propres droite associs ces nvaleurs propres, Xest une matrice de dimension 2n x n :2 X =X A|A B R1BTQ AT|X1X2=|X1X2A1- 53doncA X1B R1BTX2=X1AQ X1ATX2=X2A1- 54Soit :P=: X2 X11, alors :QATP=X2( X11X1)AX11=P( A X1B R1BTX2) X111- 5510cest--dire que P vrifie lquation de Riccati 1-44:P A+ATP+QP B R1BTP=05 Stabilit de la boucle fermeLe systme linaire de lquation 1-22, auquel on applique la commande retour d'tat dcrite aux quations 1-39 et 1-42:u (t )=K x(t )K=R1BTP1-56 devient le systme dynamique homogne : x ( t )=( AB R1BTP) x ( t ) 1- 57qui est stable si et seulement si toutes les valeurs propres de sa matrice dvolution sont dans le demi-plan complexe gauche. De lquation 1-54 on obtient ; :A X1B R1BTX2=X1A 1- 58Les valeurs propres delamatricedvolutiondelabouclefermesont doncles coefficients (\1,\2,\3,... , \n)de la matrice diagonaleA . Ces coefficients sont les valeurs propres partie relle ngative de la matrice hamiltonienne2donc le systme est stable en boucle ferme.Remarque :Dans MATLAB : CONTROL SYSTEM TOOLBOX, aprs avoir dfini les matrices A,B,Q et R, la commande lqr(A, B, Q, R) gnre le calcul de la matrice K.1112Chapitre 2 : Commande Linaire Quadratique Gaussienne1Problme de commande stochastique retour de sortieSoit le systme de lquation 1-3 dans lequel on suppose que la sortie et ltat sont perturbs par des bruits (signaux alatoires gnants). On peut lcrire : x(t )=Ax(t )+Bu(t )+w1(t )z (t )=C x(t )+w2(t )2- 1x(t): vecteur dtat, dim x(t) = n x 1u(t) : vecteur de commande de dimension : l x 1, o l est le nombre dactionneurs.z(t): vecteur des grandeurs rgler, dim z(t) = m x 1w1(t): vecteur de bruits blancs gaussiens centrs, dim w1(t) = n x 1w2(t): vecteur de bruits blancs gaussiens centrs, dim w2(t) = m x 1A: matrice dtat du systme, dim A = n x nB: matrice de commande, dim B1 = n x lC : matrice dobservation, dim C = m x nUn bruit w(t) est un signal alatoire qui est : blanc lorsque sa fonction dautocorrlation est de la forme :1ww(t ,t)=V (t )6(tt) 2- 2 gaussien si V(t) est une variable alatoire gaussienne (loi de probabilit normale), centr si lesprance mathmatique E(V(t)) est nulle.Le critre doptimalit doit porter sur une grandeur probabiliste : lesprance mathmatique dun critre quadratique. Par ailleurs la sortie (vecteur des grandeurs rgler, ou des variables mesures) est soumise des perturbations : le rejet ou attnuation de ces bruits ne peut pas tre obtenu par retour dtat. Dun autre ct, il nest pas toujours possible (voire jamais) de mesurer ltat dont on a besoin pour le retour dtat. Le critre LQG scrit donc :JLQG=E0| xT(t ) Q x(t )+uT(t ) Ru(t ) dt 2- 3o Q et R sont symtriques, dfinies positives.132 Observateur dtat et principe de sparation Unobservateur dtat (oureconstructeur)est unfiltredont lentreest levecteurdesmesures bruites de sortie dun systme dynamique, ainsi que le vecteur de ses entres. La sortie de ce filtre est unvecteur procheduvecteurdtat dusystme. Laconnaissancedunmodledusystme dynamique et de ses entres permet de restituer un tat du systme partir des mesures de sortie.Soit le systme dterministe (pas de bruit alatoire) : x(t )=Ax(t )+Bu(t )z(t )=C x(t )2- 4 on peut construire un autre systme dynamique : x(t )=A x(t )+Bu(t )+Le(t )z(t )=C x(t )e(t )=z (t )z(t )2- 5Figure 2- 1 structure dobservateur dtatOn peut calculer lcart entre les vecteurs dtat :c(t )=x(t ) x(t ) c(t )= x(t ) x(t )2- 614BuBACxzAC^xLw1 w2-e^z c(t )=Ax(t )+Bu(t )| A x(t )+Bu(t )+Le(t ) c(t )=A| x(t )x(t )LC| x(t )x(t ) c(t )=| ALCc(t )2- 7Si les valeurs propres de A LCsont toutes dans le demi-plan complexe gauche, ce systme est asymptotiquement stable et le vecteur derreur entre ltatxet ltat x tend exponentiellement vers zro. On aconstruitunobservateur :son tattend x exponentiellement vers ltatxdu systme.Pour raliser unecommanderetour desortie, onpeut doncutiliser unobservateur dtat et effectuer une commande retour dtat en utilisant ltat observ (tat de lobservateur).Figure 2- 2 : structure de commande retour dtat observOn peut alors crire les quations dtat : x(t )=Ax(t )B K x(t )+w1( t ) x(t )=A x(t )| B K+LC x(t )+Lw2(t )+LC x(t )2- 8que lon peut mettre sous la forme :15BuBACxzAC^xLw1 w2-e^z- K x(t )=A x(t )B K| x(t )c(t )+w1(t ) c(t )=| ALC c(t )+w1(t )Lw2(t )2- 9ou encore :| x(t ) c(t )=|AB K B K0 ALC|x(t )c(t )+|I 0I L|w1(t )w2(t )2- 10La matrice dvolution est bloc-triangulaire. Ses valeurs propres sont les valeurs propres des blocs de la diagonale : | AB K ,| ALC . Les dynamiques duretour dtat dune part, et de lobservateur dautre part, sont spares : on peut rgler les valeurs propres de la commande par la matrice de retour dtatK, de faon indpendante des valeurs propres de lobservateur que lon rgle par le choix de la matrice L. Cest le principe de sparation.Le critre LQG de la relation (2-3) scrit :JLQG=E0| xT(t ) Q x(t )+uT(t ) Ru(t ) dt De lquation 2-6 on dduitx=x+cJLQG=E 0|( x+c)TQ( x+c)+uTRu dt J LQG=E 0| xTQ x+uTRudt +2 E 0| xTQc dt +E0|cTQc dt 2- 11Comme xnest pas alatoire, il vient :JLQG=0| xTQx+uTRu dt +20| xTQ Ec dt+E0| cTQc dt 2- 12et donc siE c=0(cest une variable alatoire centre), il vient :JLQG=JLQ+E0|cTQc dt 2- 13o JLQ est un critre de type LQ, portant sur ltat xde lobservateur.16LobservateurdevradonctreconupourquelaquantitE 0|cTQc dt soitlapluspetite possible.Un tel observateur est un observateur optimal, de Kalman.3 Lobservateur optimal de KalmanDans le critre de lquation 2-13, la matrice Qest symtrique dfinie positive, donc la quantit cTQcest une forme quadratique :cTQc>0, c2- 14Le minimum de E 0|cTQc dt est obtenu pour la matrice Ltelle que la variance E cTcsoit minimum.Par ailleurs,cTcest le carr scalaire du vecteur c , cest donc une norme de la matriceccT. En effet :cTc=ici2=tr (ccT)tr (ccT)=0ici2=0ccT=02- 15tr (\ccT)=i\ci2=\tr (ccT)tr (c1c1T+c2c2T)=i(c1, i2+c2, i2)=ic1, i2+ic2, i2=tr (c1c1T)+tr (c2c2T)La matrice Lqui minimise la variance de lerreur dobservation minimise nimporte quelle norme de la matriceEccT .De lquation 2-1 et 2-2 reproduites ici, x(t )=Ax(t )+Bu(t )+w1(t )z (t )=C x(t )+w2(t ),1ww(t ,t)=V (t )6(tt)on dduit, en utilisant la dfinition de la fonction dautocorrlation :171ww(t ,t)=Ew(t )wT(t)=V (t ) 6(t t)soit en formant le vecteur w(t )=|w1(t )w2(t ), dans lequel on suppose que les bruits w1(t) et w2(t) sont indpendants et stationnaires, on obtient :Ew(t ) wT(t)=|V100 V26(t t)2- 16La matriceV=|V100 V2estune matricede variance-covariance, constante, danslaquelle les matrices V1 et V2 sont symtriques dfinies positives.Les conditions initiales du systme ne sont pas connues :x(0) est un vecteur alatoire, que lon caractrise par :son esprance mathmatiqueEx(0)=x0,sa matrice de variance-covarianceE| x(0)x0 | x(0)x0T=Q0De lquation (2-9) on tire : c(t )=| ALCc(t )+| I ;L|w1(t )w2(t )2- 17avec la condition initiale : c(0)=x(0)x(0) .Le vecteur x(0) reprsente la condition initiale de lobservateur : cest un vecteur que lutilisateur doit dterminer pour rgler lobservateur. Lerreur dobservationc(t )est un vecteur alatoire de caractristiques :Ec(t )=c(t )c(t )=c(t )+ c(t )E c(t )=0E c(t ) cT(t )=Q(t )Ec(t )cT(t )=c(t ) cT(t )+Q(t )2- 18Leminimumdunenormedecettematricedecovarianceest obtenusi les2termes(qui sont positifs) sont minimums. Pour le premier, on cherche :c(t )=0, t 0 2- 19Or, puisque les bruits w1 et w2 sont centrs :18c(t )=| ALCc(t ) , c(t )=| ALC c(t )+| I ;L|w1(t )w2(t )2- 20A chaque instant t > 0 :c(t )=e| ALCtc( 0) 2- 21il faut et il suffit donc que :c(0)=0, x(0)=x02- 22Ltat initial de lobservateur doit donc tre rgl sur lesprance mathmatique de ltat initial du systme.Il reste trouver la matrice L qui minimise une norme de Q(t )=E c(t ) cT(t ) .Soient :A=ALCB=| I ;Lw(t )=|w1(t )w2(t )alors : c=A c+Bw cT= cTAT+wTBT2- 23On peut calculer chaque instant : c(t )=eAt c(0)+0teA(t t)Bw(t)d t cT(t )= cT(0) eATt+0twT(t)BTeAT(t t)d t2- 24En posant191(tt)=eA( tt)2- 25on peut calculer :Q(t )=E1(t ) c(0) cT(0)1T(t )+E1(t ) c(0)0twT(t)BT1T(t t)d t+E0t1(tt)Bw(t) d t cT(0)1T(t )+E0t1(tt)Bw(t) d t0twT(t)BT1T(t t) d t2- 26Q(t )=1(t ) E c(0) cT(0)1T(t )+1(t )0tE c(0) wT(t)BT1T(tt)d t+0t1(t t)B E w(t) cT(0)d t1T(t )+E 0t1(t t)B w(t) d t0twT(t)BT1T(t t) d t2- 27Or, par causalit, lerreur initiale ne peut tre corrle avec les bruits dentre futurs :E c(0) wT(t)=0Ew(t) cT(0)=02- 28Q(t )=1(t )Q(0)1T( t )+0t0t1(t t)B E w(t) wT(0)BT1T(t0) d 0d t2- 29Q(t )=1(t )Q(0)1T( t )+0t0t1(t t)BV 6(0t)BT1T(t0) d 0d t2- 30Q(t )=1(t )Q(0)1T( t )+0t1(t t)BVBT1T(t t) d t2- 31Cette relation exprime la solution du systme diffrentiel :20Q(t )=AQ(t )+Q(t )AT+BVBT2- 32(voir annexe).Q( t )=| ALC Q(t )+Q(t )| ALCT+| I ;L|V100 V2|ILT2- 33Q( t )=| ALC Q(t )+Q(t )| ATCTLT+V1+LV2LT2- 34Lasolutionstationnaireexprimequelavariancedelerreurdobservationest indpendantedu temps :0=| ALC Q+ Q| ATCTLT+V1+LV2LT2- 35Si on pose (par analogie avec la commande LQ) :L=QCTV212- 36on obtient une quation de Riccati algbrique :0=AQ+ Q AT+V1 QCTV21CQ 2- 37et la matrice hamiltonienne associe :H=|ATCTV21CV1A2- 38Uncalcul semblable celui utilis auchapitre 1 permet donc de calculer la matriceLde lobservateur de Kalman.4 Solution du problme L.Q.GLa commande optimale retour de sortie du systme dfini par les relations 2-1 et 2-16 x(t )=Ax(t )+Bu(t )+w1(t )z (t )=C x(t )+w2(t ), Ew(t ) wT(t)=|V100 V26(t t)

et le critre LQG de la relation 2-3 :21JLQG=E0| xT(t ) Q x(t )+uT(t ) Ru(t ) dt est dfinie par la structure observateur/retour dtat, du schma de la figure 2-2, dans laquelle on calcule les matrices K et L par les relations 1-44, 1-56, 2-36 et 2-37:P A+ATP+QP B R1BTP=0u(t )=K x(t )K=R1BTPL= QCTV210=AQ+ Q AT+V1 QCTV21CQRemarque :Dans MATLAB : CONTROL SYSTEM TOOLBOX :[AF,BF,CF,DF] = LQG(A,B,C,D,W,V) , o W=|Q 00 R, V =|V100 V222AnnexeSoit :(t )=o(t )(t )f ( x , t ) dxof, f x sont continues, et (t) et (t) sont diffrentiables, alors :d (t )dt=o(t )( t ) f ( x , t ) xdx+ f((t ) ,t ) ddt (t )f(o(t ) , t ) ddt o(t )La solution de lquation dvolution dun systme :x(t )=ea(t t0)x(t0)+t0tea( tt)Bu(t) d t ,sa drive par rapport au temps scrit : x(t )=aea(t t0)x(t0)+t0taea(t t)Bu(t) d t+ea( tt )Bu(t )cest--dire, sit0-t : x(t )=a x(t )+Bu(t )qui est bien lquation dvolution correspondante.Pour trouver unequationdvolutiondont lquation2-31ci-dessusserait lasolution, il faut successivement driver par rapport t, puis faire tendre t0 vers t :Q(t )=1(tt0)Q(t0)1T(t t0)+t0t1(t t)BVBT1T(t t) d tddt 1(t t0)Q(t0)1T(t t0)=A1(t t0)Q(t0)1T(t t0)+1(t t0) Q(t0)1T(tt0)ATddtt0t1(t t)BVBT1T(t t) d t=t0tt |1(t t)BVBT1T(t t) d t+1(t t )BVBT1T(t t )231(tt)=eA( tt)ddt 1(t t)=Ae A(t t)1(t t )=Iet donc :limt0-tddtQ(t )=AQ(t )+ Q(t )AT+BVBT24Chapitre3: Delacommandemodleinterneau systme augment1 IntroductionClassiquement, leproblmedelacommandeautomatiquedesystmessest posentermesde rgulationetasservissement. Lutilisateur final fixe une consigneque le systme automatis doit atteindre, malgrlaprsencedeperturbationsoubruits divers. Ces objectifs depoursuitede consigne et de rejet de perturbation sont spcifis dans un cahier des charges soumis au concepteur de la loi de commande.Le travail de lautomaticien est alors de confronter ce cahier des charges avec le systme physique dont il doit assurer le contrle : la premire tape consiste en obtenir un modle mathmatique directement utilisable (quation diffrentielle, fonction oumatrice de transfert, reprsentation dtat, ...)pour lasynthsedurgulateur(loi decommande). Ladmarchegnralepeut tre reprsente par le diagramme de la figure 1 ci-dessous.Figure 3-125modleSpcificationsde boucle fermeRgulateurCahier des chargesdu clientSystme rglersynthseidentification InterprtationtechniquevalidationLes dveloppements rcents des thories de la commande et des outils informatiques de calculnumrique permettent dautomatiser cette dmarche, en dfinissant un modle augment comportant un modle du systme rgler, un modle de son environnement (bruits, perturbations, consignes, ...) ainsi quune description oprationnelle des spcifications.La synthse du rgulateur se met alors sous la forme dun problme standard dfini par un critre sur ce modle augment.Cette dmarche se rsume par le diagramme de la figure 2.Figure 3-2La rsolution du problme standard se fait par optimisation sous contrainte du critre.26modleSpcificationsde boucle fermeRgulateurCahier des chargesdu clientSystme rgleridentification InterprtationtechniquevalidationBruitsetconsignesRsolution du problme standardSystme augmentcritre2 Le modle interne de Francis et Wonham.Bibliographie: The Internal Model Principle for Linear Multivariable Regulators, Francis & Wonham, Applied Mathematics & Optimization, Vol. 2, n 2, 1975. LinearMultivariableControl, aGeometricApproach,Wonham, Springer Verlag, New York 1974.2.1 Le principe du modle interne."Une synthse de rgulateur nest structurellement stable que si le rgulateur utilise en feedback les variables rgules etincorpore, dans la boucle ferme, un modle convenablement recopi de la structure dynamique du signal exogne que le rgulateur est cens contrler."Exemple lmentaire:Soit unsystmelinaire, stationnaire, monovariable(SingleInput SingleOutput)dcrit parune fonction de transfertF(p). Lutilisateur dsire que l'effet de la prsence ventuelle dune perturbation constante (offset) sur la commande de ce systme n'engendre pas d'erreur asymptotique entre la rfrence et la sortie.La structure de la commande en boucle ferme est dcrite par la figure 3:Figure 3-3La "structure dynamique" de la perturbation est :D( p)=1p La synthse est dite "structurellement stable" si et seulement si :limt -c(t )=0.Il est bienconnuquecetteerreur asymptotiqueest nullesi et seulement si lergulateurC(p) contient (au moins) un intgrateur. Cet intgrateur est le modle interne de la perturbation.C( p)=1pC ' ( p) , avec limp -0C' ( p)0.27F(p)C(p)-rdyc2.2 Reprsentation gnrale.Le systme rgler (SAR) est reprsent par le modle d'tat temps continu (mais aussi bien temps discret ou temps pseudo-continu) linaire invariant (Linear Time Invariant, LTI):x=|x1x2, est le vecteur d'tat, comprenant d'une part la partie commandable (stable ou instable) etla partie non commandable stable x1 (n1 x 1) et d'autre part la partie non commandable instable (de la perturbation) x2 (n2 x 1).L'quation d'volution s'crit:|x1 x2=|A11A120 A22|x1x2+|B10 u2+|61623-1o:6( n1+n21)A est un vecteur d'impulsions de Dirac (ou bien reprsente les conditions initiales);u2( m1)Uest le vecteur des commandes (issu du rgulateur);x1( n11)X1;x2(n21)X2;L'quation des sorties :|y1y2=|C11C12C21C22|x1x23-2o:y1( p11)Y1est le vecteur des variables rgler;y2( p21)Y2est le vecteur des mesures utilises par le rgulateur).La figure 4 reprsente le schma-bloc correspondant:28Figure 3-4Commentaires:1. Le sous-systme dont le vecteur d'tat est x2 reprsente les dynamiques des entres exognes: les signaux de consigne ou rfrences; les signaux de perturbation et bruits d'tat, de sortie, de mesure.2. Le vecteur6 reprsente des impulsions de Dirac assurant la mise en conditions initiales non nulles.3. La matrice d'volution A22de ce systme a toutes ses valeurs propres dans le demi-plan ferm droit. Les ventuelles dynamiques stables (asymptotiquement) des signaux exognes sont incluses dans le systme de matrice d'voluionsA11.Il faut galement reprsenter le rgulateur:xR=AR xR+BR y23-3u2=CRxR+DR y2o:xR( nR1)XRest le vecteur d'tat du rgulateur.En boucle ferme, l'tat du systme command est dfini par :xBF=|x1xRXBF=X1X Ret les quations :29A22C21C12C22C11B1A11A12u2x2x1y1y2..6261 xBF=|A11+B1DRC21B1CRBRC21ARxBF+|A12+B1DRC22BRC22x2+|6103-4y1=C11x1+C12x23-5y2=C21x1+C22x2. 3-6La figure 3- 5 reprsente le systme boucl.2.3 Spcifications. Stabilit de la boucle: xBF(0) , xBF(t )-t -0, si x2(0)=0.3-7 Rgulation de la sortie:y1(t ) -t -0 ; xBF(0) , x2(0).3-830Figure 3-52.4 DtectabilitLa spcification de rgulation porte sur le vecteur y1(t), qui contient donc les variables rgler. Les entres du rgulateur sont les sorties des capteurs, contenues dans le vecteur y2(t)des mesures. Il faut doncs'assurerquecesmesurescontiennent lesinformationsncessairessurlesvariables rgler, et en particulier que :y2(t )=0y1(t )=0 . 3-8Il faut donc:|C21C22|x1x2=0| C11C12|x1x2=0,c'est dire:31A22C21C12C22C11B1A11A12u2x2x1y1y2..CRDRARBR.xR6261|x1x2Ker | C21,C22 |x1x2Ker | C11,C12et donc:Ker | C21C22Ker | C11C12 3-9On dit alors que la paire(| C21C22 ,|C11C12) est dtectable.Il en rsulte qu'il existe une transformation Q telle que:y1=Q y2.La relation (10) implique que la dimension de y2 est plus grande que celle de y1. ( p2p1)Il existe donc un sous-espace W de Y2, qui vrifie:Y2=Y1W 3-10La transformation Q est donc une projection de Y2 surY1, et on peut crire:|C21,C22=| E1E2C11C123-11y2=|wy13-12ow=E1x1+E2 x2. 3-13Il est donc clair que le vecteur des mesures doit contenir les informations sur les variables rgler.2.5 Le modle interne.La figure 6 ci-dessous montre le schma de synthse canonique : l'tat du rgulateur xR est scind en 2 parties :xR=|xR1xR2Le principe du modle interne est vrifi si:32 les modes de la perturbation instable (les valeurs propres de A22) sont recopis dans le rgulateur, commandablesdey1et observablesdeu2. Ilsuffitquecesmodescorrespondent auxvaleurs propres de AR2 . La dimension de cette matrice doit tre au moins gale la dimension de y1 .Remarque: Il ne s'agit ici que de condition suffisante. Le thorme nonce une condition ncessaire et suffisante plus technique.Figure 3-633A22E1C12E2C11B1A11A12u2x2x1y1w..CR1DR1AR1BR1.xR1CR2DR2AR2BR2.xR2y2AR21u1Exemple.Soit le systme:x1=A1x1+B1u2x2=A2 x2+B2 u1y1=C1x1+C2 x2avecA1=|0 11 2, B1=|03,C1=| 1,0 , A2=|0 11 0, B2=|01,C2=|1, 0Le signalC2 x2estde la formesin(ot ) , de pulsation 1 rad/s mais d'amplitude inconnue (qui dpend de la condition initiale).L'objectif de commande est d'annuler asymptotiquement le signal y1(t).On suppose par ailleurs (dans un premier temps) que l'on peut mesurer l'tat x1. On va donc raliser un systme augment, comportant un modle interne du gnrateur de bruit sinusodal, puis calculer la commande optimale LQ sur l'tat augment.La figure 3- 7 donne le schma-bloc.Figure 3-734A2C2C1B1A1u2x2x1y16..K1K2AR2BR2.xR2dLe modle interne de la perturbation est ici :xR2=AR2 xR2+BR2 y1, AR2=A2, BR2=B2.Le modle d'tat du systme augment s'crit donc:| x1xR2=|| A10 00 0| BR2. C1 | AR2.| x1xR2+|| B100.|u2On peut alors se donner le critre LQ sur cet tat augment:JLQ=0| x1T, xR2TQ| x1xR2+Ru22dt , Q=|1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1, R=2.Le rsultat donne alors les matrices de retour de l'tat augment:K1=| .2 ,.2/ 2 , K2=|0,6933 , 0,7207 .Les simulations numriques montrent:1. L'volution de y1:35Figure 3-8362. l'volution de la commande u2:Figure 3-9Cette dernire figure 9 montre que la commande ne tend pas asymptotiquement vers zro, mais reproduit un signal sinusodal.37On peut galement tracer le diagramme de Bode de la boucle ferme entre le signal de bruit d et la sortie y1. On constate un "trou" dans cette rponse frquentielle la pulsation 1 rad/s, pulsation correspondant au bruit rejeter.Figure 3-10L'incorporationdumodleinternedelaperturbationagnrleszrosdetransmissiondansla boucle ferme, ncessaires la simplification des ples instables du gnrateur de bruit. Les modes oscillants de ce gnrateur sont donc rendus inobservables de la sortie.Cependant, la figure 9 montre que ce signal de bruit est reproduit sur la commande : dans le cas de bruitsinstablesdivergents(detypeexponentiel)lacommandeestgalement divergente. Cequi conduit (ventuellement) la saturation des actionneurs.Toutefois, ce schma de commande modle interne est intressant du point de vue de poursuite asymptotique de consigne. 3 Commandes LQG sur modle augment.Bibliographie: Linear Optimal Control Systems, Kwakernaak & Sivan, Wiley 1972. Linear Systems, Kailath, Englewoods Cliffs, NJ, Prentice-Hall 1979. Multivariable feedback design, J. M. Maciejowski, Addison Wesley 1989.383.1 RappelsLeproblmeLinaireQuadratiqueGaussienconsistetrouver leretour d'tat et l'observateur optimaux vis vis d'un critre stochastique. L'hypothse fondamentale est que les bruits sont blancs et gaussiens.Soit le systme :x=A x+Bu+w 3-14y=C x+vLes bruits w et v sont supposs indpendants, blancs et gaussiens, c'est dire:E|w(t )v(t )| wT(t) , vT(t) =|W 00 V6(t t)3-15Les matrices W ( n x n) etV (l x l) sont les matrices de covariance des bruits, donc symtriques, dfinies positives.La commande LQG stationnaire ( horizon infini) consiste calculer le retour d'tatK et le gain d'observateur L tel que le critre JLQG=E 0| xTQ x+uTRu dt soit minimis.Le schma-bloc est :Figure 3-1139ACxyw.vBuKARL.BRCRxR--3.2 LQG modle interneLorsque l'tat de la partie commandable n'est pas mesurable et/ou bruit, il convient d'implanter un observateur optimal.Soit le systme:x1=A1x1+B1u2+G wx2=A2 x2+B2u13-16y=C1x1+C2x2+vavecA1=|0 11 2, B1=|03,G=|11, C1=| 1, 0 , A2=|0 11 0, B2=|01, C2=| 1,0 .Comme prcdemment, le modle d'tat du systme, augment du modle interne, s'crit:| x1xR2=|| A10 00 0| BR2. C1 | AR2.| x1xR2+|| B100.|u2 3-17On construit l'observateur de la partie commandable :xR1=AR1 xR1+BR1u2+L1cc=yCR1 xR1avec AR1=|0 11 2, BR1=|03La matrice L1 minimise la variance:Jobs=E0| x1xR1T| x1xR1 dt ,avec :E|w(t )v(t )| w(t) , v(t)=|0.01 0 00 0.01 00 0 0.016(t t)On obtient ainsi les matrices de gain:40L1=|1,4230,513, K1=| 1,4140 ; 0,7071 , K2=| 0,6933; 0,7207.Figure 3-1241A2C2C1B1A1u2x2x1yw..K1K2AR2BR2.xR2AR1L1.BR1CR1xR1-vB2Gu1Les rsultats de simulation:1. L'volution de y1:Figure 3-132. l'volution de la commande u2:Figure 3-14423.3 Bruit color.On appelle bruit color le signal de sortie d'un systme dynamique (linaire stationnaire): le filtre formeur du bruit, dont l'entre est un bruit blanc.Ainsi, on peut gnraliser la notion de systme bruit selon le schma de la figure 15, o w est un bruit color de sortie et v un bruit de mesure :Figure 3-15Ce schma-bloc reprsente le modle augment du systme rgler et des bruits. Les entres d, u11 et u12 sont supposes tre des bruits blancs gaussiens (indpendants), tels que :E| d (t )u11(t )u12(t )| dT(t) , u11T(t) , u12T(t)=|V 0 00 U1100 0 U126(t t)3-18Ce modle augment a pour quations d'tat :| xb1xb2x=|Ab10 00 Ab200 0 A|xb1xb2x+|00Bu2+|Bb100 Bb20 0|u11u123-1943ACxy1w.vBu2Ab1Cb1xb1.Bb1u11Ab2Cb2xb2. Bb2u12y2dy1=|0, Cb2 ,C|xb1xb2x3-20y2=|Cb1, Cb2, C|xb1xb2x+d3-21On crit donc ce modle sous la forme condense :xaug=Aaug xaug+Baug 1u1+Baug 2u2|y1y2=|Caug 1Caug 2xaug+|0Id3-22Le critre LQG :JLQG=E 0| y1TQ y1+u2TRu2 dt 3-23ou encore:JLQG=E 0| XTQc X +u2TRu2 dt avec :X =|xb1xb2x, Qc=Caug 1TQCaug 1o Qc est symtrique dfinie positive si Q l'est,permet de calculer:la matrice K de retour d'tat :K=R1Baug 2TPc3-24o Pc est solution de l'quation algbrique de Riccati :Pc Aaug+AaugTPc+QcPc Baug 2R1Baug 2TPc=0 3-25la matrice L de gain de l'observateur :44L=P f Caug 2V13-26o Pfest solution de l'quation algbrique de Riccati :Aaug P f+Pf AaugT+Q fP f Caug 2TV1Caug 2P f=0 3-27dans laquelle :Qf=Baug 2|U1100 U12Baug 2T. 3-28Le rgulateur est de la forme reprsente la figure 16:Figure 3-16On peut alors crire :u2( p)=K| p I AaugLCaug 2Baug 2 K1L y2( p) 3-29 4 Le problme standard.On peut gnraliser les procdures prcdentes pour donner une formulation gnrique du problme de commande optimale: c'est le problme standard.45KAaugL.Baug 2Caug 2xR1-u2 y2-Figure 3-17Le systme P contient : le modle du systme rgler; les modles de bruit et des rfrences ou consigne; les pondrations reprsentant les objectifs de commande.Les vecteurs exognes sont : u1: contient les entres ; y1: contient les variables rgler, les erreurs minimiser, etc : doivent vrifier la proprit de dtectabilit depuis le vecteur des mesures.Les vecteurs endognes sont : u2: vecteur des commandes qui doivent rester bornes, si possible infrieures aux niveau des saturation d'actionneur ; y2: vecteur des mesures.Le problme standardd'optimisationconsiste calculer le rgulateurKselonune procdure d'optimisation adapte au critre de performance.Si lecritre estdetypetemporel,on utiliseral'optimisationLQG.Onva cependant montrer au chaptre 6 qu'il existe une formulation frquentielle quivalente utilisant la normeL2 des matrices de transfert.La normeL2de matrice de transfert est une norme qui value le gain en nergiedu vecteur de signauxde sortie par rapport auvecteur d'entre. Ce gainest une intgrale sur l'espace des frquences. Il enrsulte que le minimumde cette norme est unrsultat global, obtenu"en moyenne" sur l'ensemble des frquences.. Il est en particulier pratiquement impossible de modeler prcisment les sensibilits dans des plages rduites de frquences.Ds 1981, Zames, Doyle et Athans (et quelques autres) ont utilis la norme Hpourexprimer le critre d'optimisation. La solution numrique au problme d'optimisation n'a t publie qu'en 1989, par Glover, Doyle, Kargonekar et Francis.46P- Ku1y2y1u2Chapitre 4 : Commande Robuste monovariable : Aspects frquentiels1 Robustesse et dsensibilisationLa commande L. Q. est une commande retour dtat, calcule sur un modle, suppos parfait et non bruit, dusystmergler. Lintroductiondunobservateur de Kalmana permis de relcher lhypothse de mesurabilit de ltat, tout en prenant en compte lexistence de bruits supposs blancs et gaussiens. Cependant, llaboration de la commande L.Q.G. utilise un modle dtat, dont on connat parfaitement lordre (les dimensions des matrices) ainsi que les valeurs numriques prcises des coefficients de ces matrices. Dans la ralit, les modles ne sont que des reprsentations simplifies des comportements mesurables des systmes : il est donc ncessaire de rflchir aux performances rellement atteintes par ces commandes lorsquon les applique au systme rel.On peut galement prendre en compte ce problme lors de la conception de la commande. Pour cela il existe 2 approches trs diffrentes :La Dsensibilisation:on cherche minimiser un critre du type :6 performance6modledanslequel : 6 performance est unemesuredcart deperformanceobtenupouruncart de modle6modle.Un tel critre est un critre local, qui na de sens que pour un cart de modle petit, dont on ne peut prciser une limite.La Robustesse:une commande est dite robuste si on peut garantir la satisfaction dun certain niveau de performances malgr la prsence derreur (borne) de modle (notion dincertitude).La robustesse a un caractre global.Exemple de dsensibilisation : Soit unsystmemonovariablePet sonmodleP0. Soit P lerreur demodle, selonla relation :P=P0(1+6 P) 4-1SoitRun rgulateurcalcul sur lemodleP0.Cergulateurpermettaitdobtenir lafonctionde transfert de boucle ferme (sensibilit complmentaire):T0=P0 R1+P0 R4- 2La fonction de transfert en boucle ferme correspondant au schma de la figure 4-1 scrit :T =P R1+P R4- 347Figure 4- 1 Schma fonctionnel de boucle fermeSi on crit :T=T0(1+6T ) 4- 4on peut calculer :6T= TT01=11+R P6 P4- 5La fonction de transfert :S=11+R P4- 6est appele fonction de sensibilit.Si la quantit T reprsente lcart de performance de la boucle ferme, et P lcart de modle, alors la dsensibilisation est dautant meilleure que le rapport 6T6 P est petit, cest--dire que lon cherche minimiser :S=11+RP. 4- 7Bien entendu, il faut respecter la contrainte de stabilit, et on ne peut obtenir S1 que dans une bande de frquences limite. Dans cette bande de frquences, il suffit alors dassurer queR P1: cest la dsensibilisation par grand gain.Exemple du rgulateur action intgrale : siRp ( ) est un rgulateur action intgrale, alors on peut lcrire sous la forme R( p)=R' ( p)/ p. Il est alors bien connu que le gain statique de la boucle ferme (sensibilit complmentaire T) vaut 1, quel que soit le gain statique du systme. En effet :limp-0S=0limp-0T=1. 4- 82 Description des incertitudesDanslecadredelacommanderobuste, il est ncessairedeprciser lensembledesmodlespossibles reprsentantlesystmecommander. Untel ensembleest dfini parunmodlenominaletundomaine dincertitude :PH( P0, AP) 4- 948RP-2.1 Origine des erreurs de modleLes systmes physiques sont essentiellement des systmes dynamiques nonlinaires, dont on approxime le comportement par celui dun modle linaire, plus ou moins proche. Le systme nonlinaire peut fonctionner autour de plusieurs points dquilibre (points de fonctionnement, dans lespace dtat) au cours de son volution normale : on peut alors calculer en chaque point un modle linaire tangent par drivation au premier ordre. Lensemble des modles possibles doit donc contenir lensemble de ces modles linariss. Certains paramtres de modle linaire peuvent changer de valeur par saut (cest le cas de linertie dun bras de robot qui prend un objet pesant) : lensemble des modles possibles doit alors contenir les diffrents modles correspondant aux valeurs possibles de ces paramtres.Souvent lesmodlessontobtenus(ou cals )partirdidentificationutilisant desmesures dentre-sortie (analyse harmonique, moindres carrs ou autres). Dans ce cas, les erreurs ou bruits de mesure induisent des erreurs de modles quil faut quantifier. En gnral le rapport signal/bruitdes signaux se dgrade en haute frquence : les modles sont donc imprcis ces hautes frquences Les modles linaires utiliss pour la synthse de commande, sont souvent des modles dordre fini et rduit, alors que les systmes physiques sont souvent dordre infini (paramtres rpartis ou systmes retard). Il faut donc caractriser cette erreur de troncature (dynamiques non modlises) et la borner. 2.2 Structuration dincertitudesOn distingue 2 types dincertitudes- Les incertitudes structures:ce sont les incertitudes sur les paramtres de modle.- Les incertitudes non structures:ce sont les incertitudes sur les rponses de systmes. 2.2-1 Incertitudes structuresIl y a 2 types dincertitudes structures :- Les incertitudes fortement structures : Les incertitudes sont donnes sur les paramtres physiques ( m=m0 Am) . - Les incertitudes faiblement structures : Les incertitudes sont donnes sur les paramtres de modle.Exemples: fonction de transfert :G( p)=bm pm+bm1 pm1+...+b1 p+b0an pn+an1 pn1+...+a1 p+1pour (i = 1, 2, 3, , n),ai=ai( 0) o0est un vecteur de paramtres physiques. Chaque ai est de la forme ai=ai0Aai. 49 modle dtat : x(t )=Ax(t )+Bu(t )z(t )=C x(t )A=A0+AAB=B0+ABC=C0+ACCette description dincertitude est moins prcise que la structuration forte.2.2-2 Incertitudes non structuresCes incertitudes dfinissent des domaines dappartenance dune rponse de type : rponse transitoire un chelon. rponse transitoire une impulsion. rponse frquentielle.Ces incertitudes sont facilement observables et quantifiables. De plus elles contiennent les incertitudes sur les grandeurs physiques (incertitudes structures) et elles peuvent tenir compte des dynamiques ngliges.2.3 Reprsentations dincertitudes On utilise les formes additives et les formes multiplicatives : additives :P( j o)=P0( j o)+6a( j o) ,6a( j o)Aa(o)4- 10 multiplicatives :P( j o)=P0( j o)| 1+6m( j o) ,6m( j o)Am(o)4- 11A chaque valeur de pulsation on reprsente lensemble H( P0( j o) , Am(o)) par un disque dans le plan complexe (figure 4-2).On peut donc tracer un tel disque autour de chaque point du lieu de Nyquist deP0( j o) , et on obtient un tube qui contient tous les lieux de Nyquist possibles (figure 4-3).50A cause des dynamiques ngliges, des retards non reprsents et plus gnralement de la difficult didentifierprcismentlessystmesdanslesfrquencesleves(causedeladiminutiondes gains et donc de la dgradation des rapports signal/bruit des signaux issus des capteurs), lincertitude crot avec la frquence, selon une courbe qui a, en gnral, lallure de la figure 4-4.

P0( j o)Am(o)Figure 4- 2 : Ensemble des valeurs de P la frquence Figure 4-3 : Ensemble des lieux de Nyquist possibles.51ImRe 0123ImReFigure 4- 4: allure de la reprsentation frquentielle de lincertitude multiplicative.Remarques : 1 Lesincertitudesstructuresneremettent pasencauselecomportement frquentiel asymptotique. Ellesinterviennent danslabandepassantedusystme, cest--direla plage de frquences dans laquelle la structure du modle est bien connue (ordre fini).2 Les incertitudes non structures sont prpondrantes dans les hautes frquences, cest--dire dans les plages de frquences o le rapport signal/bruit des mesures est faible et o les modles de connaissance sont imprcis du fait des dynamiques ngliges et de lapproximation inhrente aux lois de la physique.3 Par consquent, la notion de comportement frquentiel asymptotique est remettre en cause : les modles dordre fini et connu ne constituent quune approximation qui nest utilisable que dans une plage de frquences limite.3 Description de performances3.1 Stabilit de la boucle fermeLa stabilit dusystme command est la premire performance exige. Dans le cadre de la commande en boucle ferme de systmes linaires monovariables partir de modles exacts, les mthodes habituelles danalyse de stabilit de boucle ferme suffisent :- lieu des racines,- plan de phase,- critre de Nyquist- critres algbriques,Sil sagit decommanderobuste, lapremireexigenceest larobustessedelastabilit. Dsles travaux de Bode et Nyquist (1930-1950) cette exigence est prsente travers les notions de marge de stabilit : marge de gain et marge de phase. Dans lapproche moderne (1980-) les marges de stabilitdoivent trespcifiesenfonctiondesincertitudes, pourgarantirdefaoncertainela stabilit.On peut ainsi formuler un critre de Nyquist robuste :5220 log (m())log()Si :1. lesystmeincertainet sonmodlenominal ont lemmenombredeplespartierellepositive,2. lelieudeNyquistdelaboucleouvertenominale(rgulateur+modlenominal)vrifielecritre de Nyquist (nombre de tours encerclant le point (-1, 0) gal au nombre de ples partierelle positive), cest--dire que la boucle ferme nominale est stable,3. le point critique (-1, 0) est lextrieur de tous les disques dincertitudes (contenant de faoncertaine le systme incertain) centrs sur le lieu de Nyquist nominal (figure 4-2),alors labouclefermedecommandedusystmeincertainest stable : onparledestabilit robuste.Il est en effet vident que le lieu de Nyquist de la boucle ouverte relle fait le mme nombre de tours encerclant le point critique que la boucle ouverte nominale, et le critre de Nyquist est donc vrifi.Thorme 4-1 : cas dincertitudes multiplicatives non structuresSoitP( j o)la fonction de transfert dun systme incertain,P0( j o)un modle nominal de ce systme, alors, soit :(i) R( j o) est lafonctiondetransfert dunrgulateur qui stabilise(enboucle ferme) le modleP0( j o) ,(ii) Lensembledessystmespossiblesest dcrit pardesincertitudesmultiplicatives non structures : P( j o)=P0( j o)| 1+6m( j o) ,6m( j o)Am(o) ;(iii) P( j o)etP0( j o)ont le mme nombre de ples partie relle positive,Le rgulateurR( j o)stabilise certainementP( j o)si et seulement si :o;1+P0( j o) R( j o)>P0( j o) R( j o)Am(o) . 4- 12Remarque : ce thorme impose de fixer une marge de stabilit suffisante pour stabiliser le systme dans le cas le plus contraignant.Thorme 4-2 : cas dincertitudes additives non structuresSoitP( j o)la fonction de transfert dun systme incertain,P0( j o)un modle nominal de ce systme, alors, soit :(i) R( j o) est lafonctiondetransfert dunrgulateur qui stabilise(enboucle ferme) le modleP0( j o) ,(ii) Lensembledessystmespossiblesest dcrit par desincertitudesadditivesnon structures : P( j o)=P0( j o)+6a( j o) ,6a( j o)Aa(o) ;(iii) P( j o)etP0( j o)ont le mme nombre de ples partie relle positive,Le rgulateurR( j o)stabilise certainementP( j o)si et seulement si :o;1+P0( j o) R( j o)>Aa(o) . 4- 13Corollaire 4-1 : cas dincertitudes multiplicatives non structuresLe choix de la frquence au gain unit de la boucle ouverte (crossover frequency) est impos par le 53profil frquentiel de lincertitude. En effet, si o0est la frquence au gain unit de la boucle ouverte, elle vrifie :P0( j o0) R( j o0)=1 4- 14et il faut donc choisiro0 telle que :Am(o0)2 . 4- 15Corollaire 4-2 :Le choix a priori deo0 et de la marge de phase nominale M1 impose une valeur maximale lincertitude :Am(o0)2sin(M2) 4- 16Il faut donc soigner lidentification pour obtenir la prcision requise par le niveau de performance spcifi.3.2 RgulationLe premier objectif dun systme de rgulation est la rduction des effets des signaux perturbateurs (bruits) sur les grandeurs rgler. Dans lapproche linaire, les signaux perturbateurs sont reprsents par des signaux additifs sur lentre (biais ou offset dactionneur, couple induit par un coup de vent en aronautique, ), ltat ou la sortie. Poursimplifierla prsentation, nous ne traiterons, dans ce chapitre, que la perturbation de sortie sur un systme monovariable.La structurede rgulationest prsente lafigure 4-5 ci-dessous. Leproblme est donc de concevoir le rgulateur R tel que le signal de perturbation de sortie d affecte peu la sortie z.Figure 4- 5 : Schma fonctionnel de rgulation de sortie.Dans le domaine frquentiel, on peut dfinir une fonctionm( o) , relle positive, dont la valeur soit une borne suprieure au transfert z/d :z ( j o)d ( j o) m(o) ; o 4- 1754RP-dzsoit :S( j o)=11+P( j o) R( j o) m(o) , o4- 18Cette fonction doit vrifier les contraintes :m(o)1 si o-0m(o)1 si o-4- 19Pour le rejet exact de perturbation constante on imposera :limo-0 m(o)=0. 4- 20La figure 4-6 donne lallure dune telle fonction cible.Figure 4- 6: allure de la fonctionm(o) .Remarque : On peut comparer les relations 4-17, 4-18, 4-19 et 4-20 avec les relations 4-7 et 4-8 : en basses frquences, une bonne rgulation assure une bonne dsensibilisation aux erreurs paramtriques (dcrites par des incertitudes structures). 3.3 Compromis performances / robustesseOn distingue gnralement 3 plages de frquences distinctes :a) les frquences basses , correspondent la plage de frquences o le systme rgler est bien modlis : les incertitudes sont faibles et la boucle ouverte peut donc prsenter un gain important (voire un ou plusieurs intgrateurs) ;b) lesfrquencesintermdiairesolesincertitudescroissent, imposant dediminuer legainde boucle ouverte et de prendre en compte les marges (gain, phase) ;c)lesfrquenceslevesolacontraintederobustesseimposedediminuerlegaindeboucle ouverte.5510 dBm()Log Dans les frquences basses :oob;m(o)1La relation 4-18 est vrifie si :R( j o) P( j o)1m(o)4- 21puisque R( j o) P( j o)1R( j o) P( j o)1+R( j o) P( j o) 4- 22 Dans les frquences hautes :o>oA; Am(o)>1La relation 4-12 est vrifie si :R( j o) P( j o)1Am(o)4- 23puisque R( j o) P( j o)11+R( j o) P( j o)1 4- 24Dans les frquences intermdiaires :obooAIl faut vrifier les relations 4-12, 4-15 et 4-16, cest--dire que la frquence au gain unit de boucle ouverte,0,doit tre fixe dans cet intervalle,de faon pouvoir respecter la marge de phase spcifie.Onpeut reprsenter cet ensembledecontraintes sur lelieudeBodedumoduledelaboucle ouverte :R( j o) P( j o)dBFigure 4- 7 : Contraintes sur le lieu de Bode du module de la boucle ouverte.56b0Log 1Am( o)1m(o)3.4 ConclusionLes tapes des mthodes modernes de synthse de commande robuste :- dfinition dincertitudes (lies au processus didentification),- contraintes sur la commande (saturation dactionneurs, ),- contraintes de stabilit robuste (dcroissance du gain en hautes frquences : roll-off),- spcification des performances (bande passante de boucle ferme, gain en basses frquences).5758Chapitre 5 : Systmes Linaires Multivariables, reprsentations et quelques proprits.1 Reprsentation dtat et matrice de transfertUn systme dynamique linaire peut tre dcrit par un modle dtat du type de la relation 1-3 que lon gnralise ici en reprsentant un transfert direct de lentre vers la sortie : x(t )=Ax(t )+Bu(t )z(t )=C x(t )+Du(t )5- 1 x(t): vecteur dtat, dim x(t) = n 1u(t) : vecteur de commande de dimension : l 1, o l est le nombre dactionneurs.z(t): vecteur des grandeurs rgler, dim z(t) = m 1A: matrice dtat du systme, dim A = n nB: matrice de commande, dim B = n lC : matrice dobservation, dim C = m nD: matrice de transfert direct, dim D = m lOn peut grouper les 2 quations matricielles en une :| xz=|A BC D|xu5- 2et on peut le reprsenter par le schma fonctionnel :Figure 5- 1: schma fonctionnelEn fait, lentre x dpend de la sortie x:59A BC Dxu zxx(t )= ddt x(t ) x( p)=1p Lx(t ) 5- 3do le schma fonctionnel boucl de la figure 5-2 ci-dessous.On peut calculer la matrice (m l) de transfert entre le vecteur des entres u(p)et le vecteur des sorties z(p), en transformes de Laplace :z ( p)=| C( p InA)1B+D u( p) 5- 4Figure 5- 2 : schma fonctionnel bouclSoit M la matrice du systme, dfinie par :M=|A BC D5- 5on note :z( p)=Fu(M ,1p In)u( p) 5- 6La transformation :(M ,1p In)-Fu(M ,1p In)=|C ( p InA)1B+D5- 7sappelle TransformationLinaireFractionnellehaute(upperLinearFractionnalTransformation, upper LFT). 60In/pA BC Dxu z2 Systme boucl par retour dynamique de sortieFigure 5- 3 : schma fonctionnel de systme commandLa figure 5-3 reprsente un systme dynamique command. Sur ce schma, on reconnat : G : matrice de transfert du systme rgler, H : matrice de transfert des capteurs, F : matrice de transfert du prcompensateur (feedforward) de consigne, K : matrice de transfert du correcteur de boucle (feedback).On peut crire les quations :y1=G F u1+Gu2y2=H G F u1+H Gu25- 8soit en posant :P=|G F GH GF H G5- 9|y1y2=P|u1u25- 10et puisque :u2=K y25- 1161F GH- Ku1u2y1y2on obtient en boucle ferme :y1( p)=| G F+G( I +K H G)1K H G F u1( p)5- 12On note :y1( p)=Fl( P , K)u1( p) 5- 13La transformation :( P , K) -Fl( P , K )=| G F+G( I +K H G)1K H G F5- 14sappelle TransformationLinaireFractionnellebasse(lowerLinearFractionnalTransformation, lower LFT).3 Dfinitions gnrales des L.F.T3.1 L.F.T Suprieure (Fu)Selon le schma de la figure 5-4, on peut crire la matrice de transfert du vecteuru vers le vecteur zz=Fu(|P11P12P21P22, A)uz=|P21( I AP11)1AP12+P22uz=| P21A( I P11A)1P12+P22 u5- 15Figure 5- 4 : Schma fonctionnel de LFT haute.62P11P12P21P22u zA3. 2 L.F.T Infrieure (Fl)De mme, la figure 5-5 reprsente une LFT basse dont on peut crire la matrice de transfert :Figure 5-5 : schma fonctionnel de LFT basse.z =Fl(|P11P12P21P22, K)uz =|P12( I K P22)1K P21+P11uz =| P12K ( I P22K )1P21+P11 u5- 164Reprsentation par matrice de systmeSoit le systme dynamique multivariable : x=A x+Buz=C x+Ducrit en transforme de Laplace :0=( Ap I ) x+Buz =C x+Du5- 17ou sous une forme plus gnrale :0=T ( p) x+Buz =C x+Du5- 1863P11P12P21P22Ku zOn appelle matrice du systme:2( p)=|T ( p) BC D5- 19Ce systme est stable si et seulement si les zros dedet[T(p)]sont dans le demi-plan complexe gauche. Dans le cas du systme de lquation 5-17, ces zros sont les valeurs propres de la matrice dvolution A.5 Les zros de systmes multivariablesThorme :Soit le systme : x=A x+Buz=C x5- 20 A est de dimension n x n B est de dimension n x m C est de dimension m x nsoitH( p)=C| p I A1B5- 21sa matrice de transfert (carre, de dimension m x m) ;alors :det | H ( p)=1( p)1( p)5- 22o :1( p)=det | p I A 5- 23et (p) est un polynme de degr n m, ou moins.Dmonstration :En utilisant un lemme dinversion matricielle :Soit M une matrice mxn et N une matrice nxm, alors :(i)det | Im+M N =det | I+N M64(ii) sidet | Im+M N 0 , alors| Im+M N 1=ImM| In+N M1NOn peut calculer : det | \ Im+C( p InA)1B=\m det| p InA+1\ BCdet | p InA5- 24Cest une fraction rationnelle des 2 polynmes :1( p)=det | p InAet\mdet|p InA+1\BC.On obtient alors :det | H ( p)=lim\-0det | \ Im+C( p InA)1B1( p)=lim\-0 \mdet|p InA+1\BC5- 25Pour dterminer le degr de (p), il faut calculer :limp-pm1( p)1( p)=lim p-pmdet|C ( p InA)1B5- 26or :limp-p( p InA)1=limp-(In1p A)1=In5- 27limp-pmdet | C( p InA)1B=limp-det | C p( p InA)1B=det | C B5- 28 si det[CB] 0, alors deg[(p)] = n m ; si det[CB] = 0, alors deg[(p)] < n m .Les ples du systme (5-20) sont les racines de1( p) , ses zros sont les racines de1( p) .656 Thorme de Nyquist gnralisPour les systmes monovariables, la condition de stabilit dun systme boucl sexprime par le thorme de Nyquist, selon lequel il faut et il suffit que les racines du dnominateur de la boucle ferme soient dans le 1/2 plan complexe gauche. En ce qui concerne le systme boucl multivariable de la figure 5-6, dans lequel :G:|0z=|TG( p) BGCGDG|xGu ,K :|0u=|TK( p) BKCKDK |xKz,Figure 5- 6 : systme boucl multivariable.elle est stable si et seulement si les racines du polynme :det |TH( p)=det | I +G( p) K( p) det | TG( p) det |TK( p) 5- 29sont toutes dans le 1/2 plan complexe gauche.7 Critre de Nyquist multivariableSoient : D un contour ferm dans le plan complexe, englobant tous les ples partie relle positive de la boucle ouverte, cest--dire les racines RHP de det[TG] det[TK]. On construit ce contour en prenant laxe imaginaire (en contournant lorigine par la droite), et en fermant par un demi-cercle droite,de rayon infini. p0 le nombre de ces ples RHP,alors, la boucle ferme de la figure 5-6 est stable si et seulement si limage de D par det[I + GK] entoure lorigine p0 fois.66G- KPreuve : de lquation 5-29 on dduitdet | I +G( p) K( p)=det | TH( p)det | TG( p) det | TK( p)5- 30Les ples de la boucle ouverte sont les racines de det[TG] det[TK], et det[TH] ne doit pas avoir de racine RHP.Remarque : Dans le cas monovariable les matrices de transfert G(p) et K(p) sont des fractions rationnelles et :det | I +G( p) K( p)=1+G( p) K ( p) ,5- 31le nombre de tours de lorigine par limage de Dpar det | I +G( p) K( p)=1+G( p) K ( p) est gal au nombre de tours du point critique (-1, 0) par limage de D parG( p) K( p) .Pour que la boucle ferme soit stable, il faut que det[TH] nait pas de racine RHP, donc quelimage deDpar det[TH] nentoure pas lorigine. Si det[TG] det[TK] a p0racines RHP, limage de Dpar 1det | TG( p) det | TK( p) fait (- p0) tours de lorigine.Dans le cas multivariable, on montre facilement que :det | I +G( p) K( p)=1+H( p) 5- 32oH( p)est une fraction rationnelle dont on peut calculer limage du contour D et compter le nombre dencerclement du point critique (-1, 0).Utile pour analyser la stabilit dun systme multivariable boucl, ce critre est inutilisable pour la synthse de rgulateur multivariable. 6768Chapitre 6 : Reprsentations frquentielles des systmes multivariablesBibliographie :J. M. MACIEJOWSKI: Multivariable feedback design, Addison Wesley, 1989.B. A. FRANCIS :AcourseinHcontrol theory,Lecture Notes inControl andInformation Sciences, Springer-Verlag, 1987.G. DUC et S. FONT : Commande H et -analyse, des outils pour la robustesse, Hermes Science, 1999.1Les valeurs singulires de matricesLes valeurs singulires dune matrice A, de dimension m x n, coefficients complexes, de rang r, sont lesracinescarresnon-ngativesdesvaleurspropresdeATA, oATest lamatrice adjointe, cest--dire conjugue et transpose de A.On peut noncer quelques proprits des valeurs singulires : les nvaleurs singulires de Asont relles, puisque ATAest une matrice hermitienne dfinie non-ngative, par construction ; on peut ordonner ces valeurs singulires :c1c2c3... cr... cn6- 1 si r < n, il y a n r valeurs singulires nulles. Donc, le rang de A est gal au nombre de valeurs singulires non nulles. 2Dcomposition dune matrice en valeurs singuliresPour toute matrice A, de dimension m x n, coefficients complexes, de rang r, il existe 2 matrices unitaires : U mm, V nn, telles que :2m,n=U AVT2m,n=|c10 ... 00 c2... 0 0 0 cr0r ,nr0mr ,r0mr , nr6-2692m,n=|2r0r , nr0mr ,r0mr ,nro r est une matrice relle positive, diagonale.Remarque : ( M est unitaire) (MTM=IMMT=IM1=MM u=u)6- 33 Proprits des valeurs singulires(i )c( A)=maxi r|ci( A)=maxxnA xx=: c1(ii) c( A)=mini r|ci( A)=minxnA xx=: cn(iii) c( A)\i( A) ci( A) , o les\i( A) sont les valeurs propres de A(iv) si A1existec( A)=1 c( A1)(v) si A1existec( A)=1c( A1)(vi ) c(o A)=o c( A) ,o scalaire(vii) c( A+B) c( A)+ c( B)(viii ) c( A. B) c( A) . c( B)(ix) c( A)c( B) c( A+B) c( A)+c( B)( x) max c( A) , c( B) c(| AB).2max c( A) , c( B)( xi ) maxi , jaij c( A) nmaxi , jai , j( xii )ci2( A)=trace(ATA)( xiii) i =1, 2,... , n; ci( A) c( B) ci( A+B) ci( A)+ c( B)704 Normes H2 et H de matrices de transfert.DanscechapitreonsupposequeGest unematricedetransfert stableet propredunsystme dordre minimal (observable et commandable).4.1 Rappels sur la norme L2.Soit x(t) un vecteur de signaux. Alors on appelle norme L2 de ce vecteur la quantit :x2=|| xT(t ) x(t ) dt 1/26-4si l'intgraleconverge. Par lethormedeParseval-Bessel, si x( j o) est latransformede Fourier de x(t) on obtient galement :x2=|12n| xT(j o) x( j o) d o1/ 26-5Le vecteur x est ditL2 si ces intgrales convergent, c'est dire que le vecteur de signaux a une "nergie" finie.Remarque: On dfinit galement la norme H2 :x2=:|max(>0(12nxT((+ j o) x((+j o)d o)1/ 2Souvent les normes L2 et H2 sont gales. On appelle H2 lensemble des vecteurs dont la norme L2 ou H2 est finie :4.2 Transmission de signaux alatoires.On suppose maintenant que le vecteur x(t) est un vecteur de signaux alatoirescentrs dont les proprits sont :E x (t )=0E x (t ) xT(t ) est la variance et1xx(o) est la densit spectrale de puissance (DSP), dfinie comme la transforme de Fourier de la fonction d'auto-corrlation :1xx(o)=F Ex(t ) xT(t +t)Par ailleurs :71xTx=tr ( x xT)tr ( Ex xT)=E xTx . 6-6Soit un systme linaire SISO (monovariable) dfini par :y( p)=G( p) u( p)et soit1uu(o) la DSP de u(t), on calcule alors la DSP de y(t) :1yy(o)=G( j o)21uu(o) .Dans le cas MIMO:E y yT=12n1yy(o) d o ,E yTy=12ntr |1yy(o) d o .Si W est une matrice symtrique dfinie positive de dimension adquate,E yTWy=12ntr | W1yy(o) d o. 6-7Si G(p) est une matrice de transfert stable, alors :y( p)=G( p) u( p)1yy(o)=G( j o)1uu(o)GT(j o) .Comme :tr |W 1yy(o)=tr| W1/ 21yy(o)W1/2=tr | W1/ 2G( j o) 1uu(o)GT(j o) W1/ 2 6-8on dduit que :E yTWy=12ntr | W1/ 2G( j o) 1uu(o)GT(j o) W1/ 2 d o . 6-9On dfinit les valeurs singulires d'une matrice A coefficients complexes par :72ci( A)=.\i( AAA) , o AA( j o)=AT(j o).On a donc tr | AAA=ici2( A)etE yTWy=12nici2| 1uu1/ 2(o)G( j o)W1/ 2 d o 6-104.3 Les gains principaux de matrices de transfertPour chaquevaleur de o ,on peut dcomposerlamatrice detransfert G( j o) en valeurs singulires, ordonnes dans le sens dcroissant. On peut alors crer 2 fonctions relles positives et continues :o>0,c|G( j o)=: maxici| G( j o)o>0, c| G( j o)=: infici|G( j o) 6-11Ces fonctions sappellent les gains principaux (suprieur et infrieur) de la matrice de transfert.4.4 Les normes de matrices de transfertLanormeL 2 induite: G( j o)2=:y( j o)2x( j o)26- 12G( j o)2=12ntrace |GT( j o)G( j o) d o1/ 26- 13Remarque:Si1uu(o)=I , alors la relation 6-10 devient :E yTWy=GW1/ 2226-1473La normeL : G( j o)=: maxxG( j o) x( j o)2;x( j o)2=16- 15On montre que :G( j o)=maxoc|G( j o)6- 16La norme H est induite de la mme manire partir de la norme H2.Remarques : Dans le cas monovariable : g ( j o)=maxog( j o) G est une matrice de transfert propre si limo-c| G( j o) G est une matrice de transfert strictement propre si limo-c| G( j o)=0.4.5 Interprtation frquentielle de LQG.Soit le systme d' quations :x=A x+Bu+w 6-17y=C x+vLes bruits w et v sont supposs indpendants, blancs et gaussiens, c'est dire:E|w(t )v(t )| wT(t) , vT(t) =|W 00 V6(t t)6-18Les matrices W ( n x n) etV (l x l) sont les matrices de covariance des bruits, donc symtriques, dfinies positives.La commande LQG stationnaire ( horizon infini) consiste calculer le retour d'tatK et le gain d'observateur L tel que le critre JLQG=E 0| xTQ x+uTRu dt soit minimis.Soient z=|xuetM=|Q 00 Rsymtrique dfinie positive; alors74JLQG=E 0| zT(t ) M z(t ) dt 6-19 Comme| zT(t ) M z(t ) est une forme quadratique (donc positive) ce critre LQG est minimum si et seulement si la quantitJ =E zT(t ) M z(t ) est minimise,t >0 :J =E zT(t ) M z(t )=12ntr | M1zz(o) d o6-20SoitH( j o) la matrice de transfert du systme d'entre |wvet de sortie z=|xu, alors:1zz(o)=H ( j o)|W 00 VHT(j o) 6-21donc:J =12ntr| M1/ 2H( j o)|W 00 VHT(j o) M1/ 2d o 6-22J =12ntr| |Q1/ 200 R1/ 2H( j o)|W 00 VHT(j o)|Q1/ 200 R1/ 2d o 6-23En dveloppant le calcul selon la relation 6-10:J =12n| ci2(Q1/ 2H11( j o)W1/ 2)+ci2(Q1/2H12( j o)V1/2)+ci2( R1/ 2H21( j o) W1/ 2)+ci2( R1/ 2H22( j o)V1/ 2)d o6-24Si61 et62 sont des bruits blancs gaussiens de variance unitaire, le schma-bloc du systme est :75xuW1/ 2R1/2Q1/ 2V1/2H116261H12H21H22z1z2Figure 6-1SoitT ( j o) la matrice detransfert de |6162vers z=|z1z2, la commande optimale (u = f(y)) minimise le critre :J =T ( j o)226-255 Calcul de norme HSoit G la matrice de transfert dfinie partir dune reprsentation dtat :G=Fu|A BC 0,1p I, 6- 26alors :(G) ( Mn' a pas devaleur propre imaginaire pure )o la matrice Mest une matrice hamiltonienne dfinie par :M=|AB BTCTCAT6- 27Preuve :Soit G( p)=GT(p) , la matrice conjugue spectrale de G(p).On montre successivement :(G) (o, i ,ci| G( j o))(o, i , \i| G( j o)G( j o)2)( o, i , \i| 2I G( j o)G( j o)>0)( o,| 2I G( j o)G( j o)>0)( | 2I G( j o)G( j o) n' a pas de zro sur l ' axe imaginaire)6-28Une ralisation de | 2I G( p)G( p)1 est reprsente sous la forme de la matrice de systme :76|AB BTB2CTCAT00BTI26- 29Les zros de| 2I G( p)G( p)sont les valeurs propres de la matrice dvolution :M=|AB BTCTCAT6- 30Algorithme: Pour valuer la norme H dune matrice de transfert, on choisit une valeur arbitraire de , on calcule les valeurs propres de la matrice M,, si aucune nest imaginaire pure on diminue et on recommence, sinon on augmenteet on recommence. On ne peut dons pas calculer la valeur de la norme H, mais seulement en donner une borne suprieure, aussi proche que lon veut.6Thorme du faible gain (Zames 1981)Soit le systme boucl de la figure 6-6 dans laquelle les systme G et K sont stables, une condition suffisante de stabilit de la boucle ferme est que :G K1 6- 31Preuve :dcoule du thorme de Nyquist. Par labsurde. Supposons que la relation 6-31 soit vraie et que la boucle ferme soit instable : alors selon le thorme de Nyquist, limage du contour D pardet | I +G K entoure lorigine. Il existe donc une pulsationo0 etc| 0,1tels quedet | I +c G( j o0) K( j o0)=0 .Par consquent, il existe une valeur propre \i| I +cG( j o0) K ( j o0)=0 , cest--dire quil existe une valeur propreji|cG( j o0) K( j o0)=1 ,ji|G( j o0) K ( j o0)=1c.Par la proprit (iii) des valeurs singulires :77ji|G( j o0) K ( j o0) c| G( j o0) K( j o0) 6- 32donc :c| G( j o0) K( j o0) 1c6- 33Comme0c 1 , les relations 6-31 et 6-33 sont contradictoires.7Description dincertitudes non structures multivariables Le chapitre 3 traite de systme monovariable, il est donc ncessaire dadapter les dfinitions au cas multivariable : forme additive :G( p)=G0( p)+Aa( p)avecc| Aa( j o) 6a(o) , o>0Figure 6-2: incertitudes additives forme multiplicative en entre :G( p)=G0( p)| I +Ae( p)c| Ae( j o) 6e(o) , o>0Figure 6-3 : incertitudes multiplicatives en entre forme multiplicative en sortie :G( p)=| I +As( p)G0( p)c| As( j o) 6s(o) , o>0Figure 6-4 : incertitudes multiplicatives en sortie 78G0G0G0AaAeAs8 Thorme de stabilit robusteSoit le systme incertain (incertitudes multiplicatives en entre), boucl par un rgulateur K :Figure 6-5 : systme incertain boucl.On peut redessiner ce schma fonctionnel :Figure 6-6: systme incertain boucl.Ou encore :Figure 6-7: systme incertain boucl.Dans lequel T0e reprsente la boucle ferme nominale :T0e( p)=| I +K ( p)G0( p)1K ( p)G0( p) 6- 34Thorme : SiAe( p)est une matrice de transfert stable inconnue, vrifiant :c| Ae( j o) 6e( o) , o>0 si T0e est stable,alors la boucle ferme incertaine de la figure 6-6 est stable si et seulement si :c| T0e( j o)16e(o), o6- 3579T0eG0- KG0- KAeAeAePreuve : condition suffisante :La relation (6-35) permet dcrire,o:6e(o)c|T0e(o)1 c| Ae( j o) c| T0e(o)1 c| Ae( j o)T0e(o)1et donc:Ae( j o)T0e( j o)1Le thorme du petit gain permet de dire que la boucle ferme est stable. Condition ncessaire :Supposons que la relation (6-35)ne soit pas vrifie, cest--dire :o0tq.c|T0e( j o) 16e(o0)et donco0tq.c1( j o0)6e(o0)>1On peut dcomposerT0e( j o0)en valeurs singulires :T0e( j o0)=U 2( j o0)VT2( j o0)=|c1( j o0) 0 0 cn( j o0)On choisit la matrice derreur :Ae( j o0)=V D( j o0)UT80D( j o0)=|c 0 00 0 0 0 0 06e(o0)Sic1 on vrifie bien que c| Ae( j o0)6e(o0) .Pour appliquer le thorme de Nyquist on calcule :det | I T0e( j o0)Ae( j o0)=det | I U 2( j o0)V TV D( j o0)UT=det | I U 2( j o0) D( j o0)UT=det | U det | I 2( j o0) D( j o0) det |UT=det | I 2( j o0) D( j o0)=det|I |c1( j o0) 0 00 c2( j o0) 0 0 0 cn( j o0)|c6e(o0) 0 00 0 0 0 0 0=det||1 0 00 1 0 0 0 1|c1( j o0)c6e(o0) 0 00 0 0 0 0 0=1c1( j o0)c6e(o0)soit alors : c=1c1( j o0)6e(o0)on a bienc1 etdet | I T0e( j o0)Ae( j o0)=0et le thorme de Nyquist nest plus vrifi. On a construit un systme boucl, vrifiant la relation dincertitude, instable.La relation 6-35 est bien une condition ncessaire. Remarque : On peut crire des thormes quivalents pour des incertitudes multiplicatives en sortie ou additives.81Chapitre 7 : Synthse multivariable robuste, minimisation de sensibilit mixte1 Optimisation L2 et modelage de transfert de boucle (Loop Shaping)Reprenons le systme du chap. III, 3, figure 3-15, quations 3-19 3-23. Soient les matrices de transfert :F ( p)=C | pI A1B , Fv( p)=Cb1| pI Ab11Bb1 , Fw( p)=Cb2| pI Ab21Bb2.SoitK(p)la matrice de transfert du rgulateur calculer. Le systme boucl peut se reprsenter selon la figure 7-1 :Figure 7-1Les entres exognes ( +, j1 ,j2) vrifient :E|+(t )j1(t )j2(t )| +T(t) ,j1T(t) , j2T(t)=|I 0 00 I 00 0 I6(t t)7-182y1wF(p)u2Fv(p)Fw(p)y2U111/ 2U121/ 2V1/2-K(p)+j1j2du11u12xOnpeut crirelesmatrices detransfert desensibilitet sensibilitcomplmentaireenboucle ferme:S=| I +F K1T=| I +F K1F K3-2et exprimer les vecteursu2 et y1:u2=K S V1/2+K S FvU111/ 2j1K S FwU121/ 2j2y1=T V1/ 2+T FvU111/ 2j1+S FwU121/ 2j27-3La commande LQG qui minimise le critre de l'quation 3-24minimise galement :J =E y1TQ y1+u2TRu2 7-4En appliquant les relations 6-20 6-24, on trouve:J =12n|ci2(Q1/ 2T V1/2)+ci2(Q1/ 2T FvU111/ 2)+ci2(Q1/ 2S FwU121/ 2)+ci2( R1/ 2K S FvU111/ 2)+ci2( R1/ 2K S V1/ 2)+ci2( R1/ 2K S FwU121/ 2)d o7-5 Ce critre reprsente donc le carr de la norme L2 de la matrice de transfert des entres exognes +, j1,j2vers les sortiesu2ety1.On peut remarquer que si on forceV -0 etR-0 , il reste :J =12n| ci2(Q1/2T FvU111/ 2)+ci2(Q1/ 2S FwU121/2)d o 7-6Il s'agit alors de minimiser la norme L2 des matrices de sensibilit et sensibilits complmentaires, pondres en frquences. C'est la procdure de modelage de sensibilits (Loop Shaping).Dans lecas SISO, ce critreportesur les modules des fonctions desensibilit et sensibilit complmentaire :J =12n(QT2Fv2U11+QS2Fw2U12) d o 7-783Le module de Sest rendu petitdans les plages de frquences o le module de Fwestgrand,alors que le module de T est rendu petit dans les plages de frquences o le module de Fv est grand.Bien entendu les contraintes habituelles persistent: en basses frquences: T1 quel que soitFv S1/Fw en hautes frquences: T-0 mais il faut queFv pour que l'intgrale converge, S-1 mais il faut queFw-0 pour que l'intgrale converge.ExempleSoient les fonctions de transfert:F ( p)=30p2+p+1Fv( p)=1000p+3000p2+60p+900Fw( p)=100p2+0,1 pLe critre LQG:JLQG=E 0| y1Ty1+u2TRu2 dt avec|U1100 U12=|1 00 1,R=0,001; V=0,001donne le rgulateur :K ( p)=4,34 e4 p5+2,75e6 p4+4,78e7 p3+1,37 e8 p2+1,35e8 p+9e7p6+3,16e4 p5+1,68e6 p4+4,33e7 p3+2,68e8 p2+2,64e7 p+300184le diagramme de Black de la boucle ouverte :Figure 7-2le diagramme de Bode des fonctions de sensibilit et des pondrations (module):Figure 7-3(+ : S ; --- : Fw; * : T ; --- Fv )852 La spcification de performanceAu chapitre 3 on a dfini les fonctions de sensibilit pour les systmes monovariables. Cette notion doit tre tendue aux systmes multivariables, en utilisant le gain principal (suprieur). sensibilit en sortie : cest la matrice de transfert entre une perturbation de sortie et la sortie, selon la figure 7-1 :S0, s( j o)=:| I +G0( j o) K ( j o)17- 8Figure 7-4: sensibilit en sortie. sensibilit en entre : cest la matrice de transfert entre une perturbation dentre (consigne) et lerreur, selon la figure 7-2 :S0, e( j o)=:| I +K ( j o)G0( j o)17- 9Figure 7-5 : sensibilit en entre.On peut alors, par exemple, fixer un objectif de performance sur la sensibilit en entre sous la forme dune contrainte sur son gain principal : la relation (7-18) devient :c| S0, e( j o) m(o) , o 7- 1086G0- KdzG0- KrCettefonctionest delaformedcriteparlafigure3-6. Pourquelonpuisselutiliserdansla synthse, il faut reprsenter cette fonctionm( o)par le module dune fraction rationnelle propre et stable, dinverse propre et stable. Soit par exemple la fraction rationnelle:W11( j o)=a1+ j.baoo01+ j.aboo07- 11alors :limo-0W11( j o)=a; (a1)limo-W11( j o)=b ;(b1)7- 12Pour a et b fixs, le problme est de trouver la plus grande valeur deo0possible telle que :c| S0, e( j o) W11( j o), o 7- 133La contrainte de stabilit robusteElle est donne par le thorme de stabilit robuste et la relation 6-35, adapte l'incertitude de sortie. Cette contrainte doit tre rcrite laide dune fraction rationnelle propre et stable, dinverse propre et stable. Soit W3 une telle fraction rationnelle, vrifiant:W31( j o) c| As( j o) , o 7- 14alors la contrainte de stabilit robuste scrit : c| T0, s( j o) W31( j o), o 7- 154 La contrainte sur la commandeOn peut contraindre le niveau de commande par le gain principal suprieur de la matrice de transfert87R0 dfini par :R0( j o)=| I +K( j o)G0( j o)1K ( j o) 7- 16Il faut alors crer une fraction rationnelle (souvent un simple gain) W2 telle que: c| R0, s( j o)W21( j o), o 7- 175Le systme augment : problme standardLeproblmedesynthseconsistechercherlergulateurKstabilisantG0et tel quelabande passanteo0 soit la plus grande possible, tout en respectant les contraintes 7-6, 7-8 et 7-10.On peut rcrire les relations 7-6, 7-8 et 7-10 sous la forme:W1( j o).c| S0, e( j o) 1W2( j o). c| R0( j o) 1W3( j o). c|T0, s( j o) 17- 18et reprsenter le schma fonctionnel:Figure 7-6: schma fonctionnel reprsentant le problme standard88W1 IW2 IW3 IG0- KPu1y11y12y13y2u2On peut crire :Y=|y11y12y13y2=P|u1u2=PU 7- 19et u2=K y26 La spcification HLa proprit (vi) des valeurs singulires permet d'crire:W1( j o).c| S0, e( j o)=c| W1( j o). S0, e( j o)W2( j o). c| R0( j o)= c| W2( j o). R0( j o)W3( j o). c|T0, s( j o)= c| W3( j o).T0,s( j o)7- 20La proprit (x) permet d'crire la condition suffisante:(c|W1( j o). S0, e( j o)W2( j o). R0( j o)W3( j o).T0, s( j o)1, o)(c|W1( j o). S0, e( j o) 1, o c| W2( j o). R0( j o) 1, oc| W3( j o). T0, s( j o) 1, o)7- 21Il suffit donc d'assurer que:W1( j o). S0, e( j o)W2( j o). R0( j o)W3( j o). T0, s( j o) 1. 7- 22La synthse consiste chercher la plus grande valeur deo0 pour laquelle on puisse trouver un rgulateur K, qui stabilise G0, et pour lequel on vrifie:Fl( P , K)1 7- 2389Remarque:Dans tous les cas, la relationS0+T0=I 7- 24permet d'crire:1=c(T0+S0)c(T0)+c(S0)W31+W11 7- 25qui exprime une condition ncessaire l'existence d'une solution au problme de synthse:o,W31+W11 1 7- 26Cette relation exprime le dilemme performance / robustesse.7 Matrices de transfert premires7.1 DfinitionsDeux matrices de transfert U(p) et V(p) sont premires droite (resp. premires gauche) si leur facteur commun est stable et d'inverse stable:(U( p) et V ( p) sontpremires droite)(U ( p)=W( p) X ( p)V ( p)=Z ( p) X ( p)X ( p)et X1( p) sont stables)7- 27(U ( p) et V ( p) sontpremires gauche)(U( p)=X ( p)W( p)V ( p)=X ( p) Z ( p)X ( p)et X1( p) sont stables)7- 287.2 Thormes Bezout:U(p) et V(p) sont premires droite si et seulement si il existe X(p) et Y(p) telles que:X ( p) U( p)+Y ( p)V ( p)=IU(p) et V(p) sont premires gauche si et seulement si il existe X(p) et Y(p) telles que:90U( p) X ( p)+V ( p)Y ( p)=I factorisations premires de matrices de transfert:Soit G(p) une matrice de transfert propre, alors:U ( p) ,V ( p) premires droite et stablesU ( p) , V ( p) premires gaucheet stablestelles que:G( p)=U ( p)V1( p)G( p)=V1( p) U ( p) LemmeSoit G(p) une matrice de transfert propre, alors:U( p) , V ( p) premires droite et stablesU ( p) ,V ( p) premires gaucheet stablestelles que:G( p)=U ( p)V1( p)=V1( p)U( p)alors( G( p) est stable) (V1( p) est stableV1( p) est stable)7- 29Preuve:det | G( p)=det |U( p) det |V1( p)or on a vu (5-22)det | G( p)=1G( p)1G( p)91o1G( p)=det ( p IAG) .On a de mme:det | U( p)=1U( p)1U( p)det | V1( p)=1V1 ( p)1V1 ( p)et donc 1G( p)=1U( p). 1V1 ( p).Comme U(p)est stable par hypothse, les ventuels zros RHP de 1G( p) sont des zrosde 1V1 ( p) . Thorme de stabilit interneLe systme boucl de la figure 7-7 vrifie la proprit de stabilit interne si toutes les matrices de transfert que l'on peut crire sont stables. C'est dire:(|uy=|H11H12H21H22|rd)et Hijstable i , jFigure 7-7 : systme multivariable boucl.Une condition ncessaire et suffisante de stabilit interne est:|I KG I1est stablePreuve:92G- KrudyH=|( I +K G)1( I +K G)1K( I +G K )1G ( I +G K)1puis on vrifie que:H|I KG I=|I KG IH=Id'o:H=|I KG I1.Remarque: la condition de stabilit interne est plus forte que la stabilit simple: il peut arriver que des ples RHP de la boucle ferme soient simplifis par des zros RHP. La stabilit interne interdit detellessimplificationspuisqu'ellesnepeuvent pasapparatresurtouslestransfertsdeboucle ferme simultanment. Thorme de stabilit des factorisations premires.Soient les factorisations premires de G et K:G=N M1=M1NK=U V1=V1U o : (M , N ,M ,NU , V ,U ,Vsont premires 22)alors la paire (G, -K) est stable de manire interne (c'est dire que la boucle ferme de G et K est stable de manire interne) si et seulement si:| M UN V1est stableou |VU NM1est stablePreuve:|I KG I=|I U V1N M1I=| M UN V|M100 V193|I KG I1=|M 00 V|M UN V1Par le thorme de Bezout:( N et M premires ) ( X1et Y1stables tq. X1M+Y1N=I)( U et Vpremires) (X2et Y2stables tq. X2V +Y2U=I)Soient:X =|X1Y1X2Y2et Y=|0 Y1X20, ce sont 2 matrices stables.Alors:X|M 00 V+Y|M UN V=I|M 00 Vet|M UN Vsont premiresdonc(|I KG I1stable)(|M UN V 1stable)La dmonstration est identique pour la factorisation gauche.8 L'algorithme de Glover-DoyleBibliographie:DOYLEJ.C., GLOVERK., KARGONEKARP.P., FRANCISB.A., "State-space solutions to standard H2 and H control problems", I.E.E.E. Trans. Automatic Control, Vol. 34, n 8, 1989.94Le problme standardHest detrouver unefamille dergulateursKstabilisant le systme augment P, et tel que :Fl( P , K), rel positif donn. 7-30Le systme augment de la figure 7-3 s'crit:P=| A B1B2C1D11D12C2D21D227- 31Lecalcul dergulateur retour de sortiencessitelarsolutiondes 2quations deRiccattiassocies aux matrices hamiltoniennes H1 etH2 :X=Ric( H1)Y =Ric ( H2)7- 32o:H1=|AB2D12TC12B1B1TB2B2TC1TC1( AB2 D12TC1)TH2=|AB1D21TC22C1TC1C2TC2B1B1T( AB1 D21TC2)7- 33B1=B1( I D21TD21)C1=( I D12 D12T)C1Alors, le problme est rsolu si :X 0, Y 0 7- 34 le rayon spectral :j( X Y )27- 35Fl( P , K). 7- 3695La famille dergulateurs K est donne parK=Fl( J ,Q)o Q est stable, propre etQ .J =|A+B2F+2B1 B1TX +Z H(C2+2D12B1TX ) Z H Z ( B2+2Y C1TD12)F 0 I(C2+2D21B1TX ) I 0F=( B2TX +D12TC1) 7- 37H=(Y C2T+B1D21T)Z=( I 2Y X )1Si toutes les conditions ci-dessus ne sont pas vrifies, il faut augmenteret recommencer. La solution optimale est donne par la plus petite valeur depour laquelle on trouve une solution.Remarques: Si leproblmeest detypeMinimisationdeSensibilitMixte, onchercheplutt lejeude pondrations tel que l'on trouve une solution pour= 1: c'est une solution sub-optimale. On s'attachedans cecasvrifier lecaractre"passe-tout"dusystmeaugmentboucl: legain principal doit avoir une rponse en frquence plate 0dB, sur la plage de frquence la plus large possible. On peut de cette faon rsoudre des problmes d'optimisation sous contrainte trs divers.96JAB2B2C2-2D21B1TXA-2B1B1TXC1D21B1D12Z(B2 + -2 YC1TD12Q- ZHF-u1u2y2Py3u3y1C2Figure 7-8 : structure du rgulateur H.9798Chapitre 8 : Synthse multi-objectifs.1 Les valeurs singulires structuresConsidronslesystmereprsentsouslaformedite"M-"delafigure8-1, dans lequel les matrices M et sont des matrices de transfert stables. Alors ce systme est stable pour toute matrice qui vrifieA1si et seulement siM 1 : c'est le thorme de stabilit robuste.Figure 8-1 : ReprsentationMA .Il n'existe donc pas de matrice vrifiant les conditions, telle quedet ( I MA)=0 .Dans l'ensemble des matrices considres, on peut dfinir un sous-ensemble des matrices qui ont une structure particulire, de type "diagonale par blocs", chaque bloc tant par ailleurs dfini par ses dimensions. Un tel sous-ensemble tant naturellement plus petit que l'ensemble des matrices sans structure, le thorme de stabilit robuste n'est qu'une condition suffisante sur cet ensemble. Pour prendre en compte les structures particulires des matrices , il a t ncessaire d'introduire la notion de valeur singulire structure1.Dfinition:Soit la structure de matrice :A=|A10 0 00 A20 00 0 A3 0 0 0 0 An8- 1dans laquelle par exemple:A1=|61rIr10 0 00 62rIr20 00 0 63rIr3 0 0 0 0 6irIri8- 21J. C. Doyle: Analysis of feedback systems with structured uncertainty; Proc. IEE, PtD, 129, 242-250. (1982)99MAo les6ir sont des coefficients rels,A2=|61cIc10 0 00 62cIc20 00 0 63cIc3 0 0 0 0 6jcIcj8-3oles 6jcsont des coefficients complexes, et les matrices A3,, Ansont des matrices complexes pleines; alors on appelle "valeur singulire structure de la matrice M, pour la structure Ala fonction :jA( M)=1minAAc(A) ; det ( I MA)=08- 4jA( M)=0 si AA; det ( I MA)0 8- 5Il s'agit en fait d'une "mesure" de la d