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1 Communication C 1 ENTRER DANS LE CODE ECRIT : LE SYSTEME DE NUMERATION EN CYCLE 2 Claudine CHEVALIER, Professeur de mathématiques IUFM de Créteil [email protected] Comment enseigner aux élèves notre système de numération ? A quel âge peuvent–ils le mieux appréhender son fonctionnement ? Ce sont les questions envisagées ici dans le cadre d’expérimentations menées dans deux classes de CP, depuis deux ans, d’une situation adaptée de celle proposée par Bassis (texte initial 1984) en prenant appui sur les travaux de l’équipe Ermel (1991) autour des « groupements échanges » et de Briand – Salin concernant les processus de désignation (2004). Cette situation a également servi de support de formation en formation initiale et continue des Professeurs des Écoles. Des éléments de ces expérimentations et leur analyse, qui emprunte à la terminologie de Duval (2005), sont l’objet de cette communication. 1 CONTEXTE 1.1 Origine du questionnement A l’origine de ces questions, un constat de difficultés récurrentes, voire d’échecs, constatés aux évaluations CE2, difficultés qui persistent en se prolongeant en 6 ème par des erreurs d’interprétation du fonctionnement des nombres décimaux. Voici un exemple issu d’une évaluation en CE2 de 2004 et deux exemples d’évaluation 6 éme de 1995 et 2004. En CE2, les erreurs commises - ajout du chiffre des unités (avec une erreur de comptage) au premier nombre puis ajout du chiffre des dizaines au résultat dans le premier calcul, alignement par la gauche dans l’addition posée - dénotent un traitement incertain des chiffres d’un nombre, témoin de la non compréhension du rôle de la position des chiffres dans un nombre.

Communication C 1 ENTRER DANS LE CODE ECRIT : …arpeme.fr/documents/2EDDE513C64E2CADB957.pdf · Claudine CHEVALIER, ... d’une situation adaptée de celle proposée par Bassis

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    Communication C 1

    ENTRER DANS LE CODE ECRIT : LE SYSTEME DE NUMERATION EN CYCLE 2

    Claudine CHEVALIER, Professeur de mathmatiques

    IUFM de Crteil [email protected]

    Comment enseigner aux lves notre systme de numration ? A quel ge peuventils le mieux apprhender son fonctionnement ? Ce sont les questions envisages ici dans le cadre dexprimentations menes dans deux classes de CP, depuis deux ans, dune situation adapte de celle propose par Bassis (texte initial 1984) en prenant appui sur les travaux de lquipe Ermel (1991) autour des groupements changes et de Briand Salin concernant les processus de dsignation (2004). Cette situation a galement servi de support de formation en formation initiale et continue des Professeurs des coles. Des lments de ces exprimentations et leur analyse, qui emprunte la terminologie de Duval (2005), sont lobjet de cette communication.

    1 CONTEXTE

    1.1 Origine du questionnement

    A lorigine de ces questions, un constat de difficults rcurrentes, voire dchecs, constats aux

    valuations CE2, difficults qui persistent en se prolongeant en 6me par des erreurs

    dinterprtation du fonctionnement des nombres dcimaux. Voici un exemple issu dune

    valuation en CE2 de 2004 et deux exemples dvaluation 6me de 1995 et 2004.

    En CE2, les erreurs commises - ajout du

    chiffre des units (avec une erreur de

    comptage) au premier nombre puis ajout

    du chiffre des dizaines au rsultat dans

    le premier calcul, alignement par la

    gauche dans laddition pose - dnotent

    un traitement incertain des chiffres dun

    nombre, tmoin de la non

    comprhension du rle de la position

    des chiffres dans un nombre.

  • 2

    En 6me (1995) cette valuation tmoigne dune liaison

    langage oral crit digital dfectueuse.

    Ici (6me, 2004), la pose de laddition est

    faite sans rfrence lexistence de la

    virgule. On pourrait supposer quil ne sagit

    que dune incomprhension des nombres

    dcimaux mais un entretien avec llve

    montre quil na jamais peru le rle de la

    position des chiffres dans un nombre mme entier. Lalignement des chiffres par la droite dans

    une addition pose relve dun apprentissage dautomatisation sans comprhension.

    Ces erreurs constates dans les valuations

    depuis toutes ces annes confirment

    les observations trs souvent effectues par

    des enseignants de cycle 3.

    Ces difficults de conversion entre reprsentations symboliques verbales et digitales sont

    frquentes et posent, pour moi, la question du passage privilgi, dans lenseignement franais

    actuel, de lapprentissage de la numration par lnumration verbale. Les travaux effectus par

    Des erreurs frquentes rencontres en cycle 3

    cent trois traduit 1003

    mille vingt trois traduit 1000203

  • 3

    Briand Salin avec des enfants dge maternel montrent, mon sens, que les processus de

    dsignation autre que verbale sont galement considrer dans lapprentissage des notions de

    nombre et de numration.

    1.2 Des regards sur ces difficults spcifiques des lves

    De nombreux chercheurs et praticiens ont attir lattention sur les difficults de cet enseignement.

    Le regard dun chercheur : Complexit du concept, Fayol (1990)

    Les activits numriques prsentent un double aspect. [] Dune part, elles renvoient la

    numration comme systme organis, labor et mis en uvre au sein dune culture donne. Il

    sagit l dun produit socio-historique extrieur lenfant mais quil doit sapproprier et

    intrioriser pour rsoudre les problmes. Dautre part, elles font appel un certain nombre de

    notions logicomathmatiques sriation, quivalence, itration, addition, soustraction - qui

    structurent le systme de manire sous-jacente et qui conditionnent son organisation interne. On

    a l affaire aux fondements logiques du nombre et de la numration. Or il va de soit que ces

    fondements ne peuvent tre socialement transmis au mme titre que la chane numrique

    verbale1. Ils doivent faire lobjet dune construction de la part de lenfant lui-mme 2

    Cette conclusion de Fayol nous impose de nous saisir de cette difficult denseignement pour

    tenter de la rsoudre.

    Le regard de rducatrices : Difficult dapprentissage

    Comment accepter quun enfant dintelligence normale, qui a su lire et crire sans difficult,

    se voit en fin de CE ou CM contraint de redoubler cause du calcul ? [.] Dix annes de face

    face avec lchec en mathmatiques nous ont convaincues que quel que soient la classe, le

    niveau ou les points dimpact des blocages, on doit revenir la numration. 3

    Le constat de ces rducatrices, Bacquet et Gueritte-Hess (1996) la suite de leur longue

    pratique, tmoigne de limportance de la comprhension du concept de numration pour toute

    acquisition ultrieure concernant le domaine numrique.

    Le regard de praticiennes : Des questions en cours

    1 Soulign par moi 2 Michel Fayol, Lenfant et le nombre, Delachaux et Niestl, 1990, p. 185 3 Michelle Bacquet, Bernadette Gueritte-Hess, rducatrices en mathmatiques, p. 2-3 in Le nombre et la numration, Pratique de rducation, Isoscel, Editions du Papyrus, 1996

  • 4

    Dj, en 2004, des praticiennes, Aigoin et Debourg, avaient fait part de leur questionnement sur

    ce sujet. La conclusion de leur article montrait que la question restait ouverte.

    Ainsi, nous pouvons nous demander dans quelle mesure les connaissances a priori des lves

    sur les nombres (connaissance de la comptine numrique orale sans relation avec le nombre en

    tant que mmoire dune quantit, connaissance partielle du code, limite la connaissance des

    chiffres au dtriment des rgles dcriture) ne sont pas, elles-mmes, un obstacle didactique la

    construction de la numration et la comprhension des fondements de notre systme

    dcimal. 4

    A la suite de lensemble de ces rflexions, de nombreuses annes daide aux lves en difficult

    en CM et en 6me, daide des plus jeunes et de nombreuses lectures, jai t intresse par une

    proposition de situation de Bassis (1984) qui me semblait correspondre au questionnement

    exprim.

    Il semble bien que la question qui se pose est celle de lcriture du nombre qui se prononce, la

    suite de neuf encore avec un mot nouveau, mais qui scrit avec un chiffre dj utilis et un

    signe qui signifie rien

    Jai donc adapt et expriment une situation les moutons , comme situation de rfrence dont

    je vais vous dcrire tout dabord les grandes tapes. Vous trouverez en annexe un crit dtaill

    rdig destination denseignants de CP.

    1.3 Prsentation de la situation

    Et aprs 9, quelle criture ? : Les moutons , une situation de rfrence qui permet aux lves

    lapprentissage de la numration positionnelle, leur vite linstallation de conceptions errones et

    permet aux Professeurs des Ecoles en formation la comprhension de la difficult intrinsque

    notre numration, les oblige une remise en question de leurs connaissances automatises. Les

    tapes dcrites ici sont celles de la situation telle que prsente aux lves de CP. Quelques

    4 Chistine Aigoin,conseillre pdagogique et Valrie Debourg, professeur des coles, membre du groupe dEtudes et de Recherches lIREM de Montpellier in Grand N n73, 2004 : dans leur article intitul Du dnombrement terme terme aux groupements rguliers : un pas ncessaire vers la comprhension de notre systme de numration positionnelle !

  • 5

    adaptations mineures - sont ncessaires pour la prsenter en situation de formation de

    professeur des coles.

    Les grandes tapes5

    1.3.1 La dsignation ORALE dune quantit

    Cration dun contexte imaginaire rpondant au contexte dhistoricit, introduisant le concept de nombre mmoire de quantit , sans induire de procdure de dnombrement usuel.

    1.3.2 La dsignation ECRITE dune quantit

    Cration des conditions de la comprhension de la ncessit dun code crit commun pour

    dsigner une quantit et de la ncessit de ralisation de groupements.

    1.3.3 La dsignation ECRITE dune quantit laide de chiffres

    Utilisation du code crit usuel pour provoquer la prise de conscience du rle conventionnel de la

    position des chiffres dans un nombre.

    1.3.4 Lintroduction du chiffre 0

    Dcouverte de la ncessit de coder la place de labsence dun groupement (ou dun isol).

    1.3.5 La dsignation ECRITE dune quantit laide des dix chiffres disponibles

    Comprhension de lusage des groupements par dix pour permettre le codage laide des chiffres

    disponibles.

    Je vais prsent vous relater quelques lments de ces exprimentations en formation de

    professeurs des coles puis en classes de CP.

    5 cf. annexe 1

  • 6

    2 EXPERIMENTATION

    2.1 En formation de Professeurs des Ecoles

    Je vais, en un premier temps, vous prsenter quelques productions crites ralises au cours des

    stages. Je veux toutefois vous prciser que cette situation a toujours provoqu chez les PE, devant

    ce tas dobjets dnombrer, sans pouvoir compter en utilisant la suite numrique des mots appris,

    un premier moment de perplexit. Les trs jeunes (proches de leur concours) ou les plus anciens

    (ayant vcu les maths modernes ) ont ensuite en gnral ragi en disant : mais a cest des

    bases , les uns cherchant calculer aprs avoir compt en base dix (prisonniers de la

    dnomination usuelle et la recherche de formules de traitement) puis transposant en base 4, les

    autres un peu perplexes puis constituant des groupes et des groupes de groupes et sengageant

    dans des actions provoquant rflexion et changes dopinions

    Les trois premires tapes (aprs manipulation de trombones (ou jetons), crit laide de

    mots , crit laide de dessins , crit laide de chiffres ) suffisent en gnral pour

    provoquer une discussion de fond sur les diffrentes facettes de notre numration dcimale et les

    conditions de prsentation aux lves pour leur assurer une bonne comprhension de la notion de

    numration de position et de systme .

    La premire tape orale qui permet de formuler les actions ralises, est suivie dune ralisation

    crite avec comme objectif : se souvenir du nombre de moutons de sa tribu .

    Voici quelques exemples de ralisations.

    2.1.1 En formation initiale

    Je vais, en un premier temps, vous prsenter quelques productions crites ralises au cours des

    stages. Je veux toutefois vous prciser que cette situation a toujours provoqu chez les PE, devant

    ce tas dobjets dnombrer, sans pouvoir compter en utilisant la suite numrique des mots appris,

    un premier moment de perplexit. Les trs jeunes (proches de leur concours) ou les plus anciens

    (ayant vcu les maths modernes ) ont ensuite en gnral ragi en disant : mais a cest des

    bases , les uns cherchant calculer aprs avoir compt en base dix (prisonniers de la

    dnomination usuelle et la recherche de formules de traitement) puis transposant en base 4, les

  • 7

    autres un peu perplexes puis constituant des groupes et des groupes de groupes et sengageant

    dans des actions provoquant rflexion et changes dopinions

    Les trois premires tapes (aprs manipulation de trombones (ou jetons), crit laide de

    mots , crit laide de dessins , crit laide de chiffres ) suffisent en gnral pour

    provoquer une discussion de fond sur les diffrentes facettes de notre numration dcimale et les

    conditions de prsentation aux lves pour leur assurer une bonne comprhension de la notion de

    numration de position et de systme .

    La premire tape orale qui permet de formuler les actions ralises, est suivie dune ralisation

    crite avec comme objectif : se souvenir du nombre de moutons de sa tribu .

    Voici quelques exemples de ralisations.

    2.1.2 En formation continue

    Etape 1

    Groupe C Groupe D Le choix de dnomination faisant appel

    nettement un imaginaire figuratif

    rsulte-t-il des pratiques auprs denfants

    de ces enseignants expriments et de leur

    souci de se mettre leur porte ? En tout tat de cause, jai trs frquemment

    fait le constat de cette diffrence de symbolisation entre professeurs stagiaires et professeurs dj

    expriments.

    Etape 2

    Le groupe C a simplement traduit en dessin sa dnomination verbale et a choisi

    de structurer additivement ces dsignations.

    Le groupe D a cherch une reprsentation plus abstraite

    des groupements.

    Groupe C Groupe D

    Etape 3

    Groupe C Groupe D

  • 8

    Le groupe C a choisi de reprsenter les diffrents ordres en

    symbolisant le rang par une position rappelant notre notation

    conventionnelle sous forme de puissance, en conservant

    toutefois une criture de type additif pour le groupement de

    premier ordre. Il est noter que le symbole 4 a t choisi en rappel de la constitution de base

    de chacun des groupes. Le groupe D a lui choisi un codage additif, tout en gardant une

    prsentation positionnelle mais verticale le 1 reprsentant les isols, le 2 un groupe de quatre, le

    3 un groupe de quatre fois quatre, le 4 un groupe de quatre fois quatre fois quatre (le langage

    utilis ici est celui par lequel sexpriment les PE et cela dune manire courante).

    2.2 Des ralisations dlves en classe de CP

    Lexprimentation a lieu depuis deux ans dans deux classes de CP de milieux socioprofessionnels

    diffrents (une cole recrute dans un milieu plutt favoris, lautre plutt dfavoris). Le suivi

    des lves en CE1 est galement assur.

    La squence a lieu en dbut danne scolaire, sur huit sances environ. Le dbut danne est

    consacr sassurer que les lves possdent bien la notion de cardinal ainsi que lcriture des

    nombres jusqu 9.

    La phase de reprsentation verbale crite na pas lieu, comme avec les adultes, avec des lves de

    CP. La communication orale collective et le choix du vocabulaire employ a lieu aprs la

    premire tape.

    Des ralisations dlves :

    Etape 1 : Les groupements Etape 2 : les reprsentations iconiques

    Groupe E groupe F groupe E groupe F

  • 9

    Le passage de la ralisation matrielle la reprsentation iconique sest fait facilement. Pour le

    groupe E, reprsente le grand groupe, un petit groupe, un isol6. On pourrait

    parler ici, linstar de Duval, de pseudo-objets qui permettent une reprsentation figure de

    ce qui a t ralis et est trs proche de la ralit des objets dnombrs. Pour le groupe F, le

    besoin de figurer ce qui tait en ralit est encore plus prgnant.

    La synthse collective a permis ensuite de choisir la reprsentation la moins coteuse en

    termes de temps dcriture et dencre dpense.

    Etape 3 : Les dsignations laide de chiffres

    Dans la classe, dont une des reprsentations est extraite ci-contre, les

    petits, moyens et grands ronds ont t choisis pour symboliser

    respectivement les tout seul , les moyens groupes et les grands

    groupes . Le groupe concern ici, na pas pu en un premier temps se

    dtacher de la proximit entre la reprsentation iconique et la reprsentation symbolique chiffre.

    Il a fallu lexigence, par la matresse, dune criture sans dessin , sur une seule ligne, pour

    admettre le choix impos par la transmission de notre code issu de cet hritage socio-historique

    dont parle Fayol (cf. citation ci-dessus).

    Etape 4 : La ncessit du chiffre 0

    Cette photographie tmoigne de la synthse faite le 16 octobre 2006 dans lune

    des classes. Un des groupes navait pas de tout seul , lautre pas de moyen

    champ et pourtant ils avaient cod leur nombre de moutons 12 sans avoir

    le mme nombre de btonnets. La ncessit de lintroduction dun symbole

    nouveau comme marqueur de place vide a lgitim lemploi du 0 .

    Etape 5 : Dsignation crite laide des dix chiffres

    Il sagit ici de la synthse crite collective finale permettant la mmorisation

    de la conversion entre reprsentation iconique et reprsentation symbolique

    digitale, cette fois dans notre systme conventionnel de groupement par dix et

    6 La terminologie utilise ici est celle qui a t employe dans les classes et qui a correspondu aux dnominations utilise spontanment par les lves.

  • 10

    dcriture laide des chiffres disponibles. La reprsentation des groupements par dix laide des

    doigts des mains sest impose tout naturellement, tmoignage de la liaison doigts cerveau -

    pense numrique dont parle Dehaene (2007) dans ses travaux. En aucune manire la chane

    numrique verbale nest ce moment concerne. Le passage des reprsentations iconiques,

    quelles quelles soient, aux systmes de reprsentations symboliques , dont parle Duval (2005)

    est ici directement travaill.

    3 ELEMENTS DANALYSE DE CETTE SITUATION

    3.1 Apports pour les Professeurs dEcole

    Rcemment encore, des enseignants engags dans un PPI7 mont tmoign du grand intrt que

    leur apportent le vcu et lanalyse de cette situation. Elle leur permet de comprendre

    concrtement les origines possibles des difficults de leurs lves et de les lgitimer. Elle leur

    permet galement de comprendre les diffrents aspects de la construction dune relle

    comprhension de la notion de numration : la ncessit de groupement rgulier et optimal

    (manque de mots pour dsigner le suivant - on ne peut pas compter -), la contrainte

    defficacit, la ncessit dune dsignation non seulement orale mais crite convenir en

    commun le code -, la ncessit de comprendre le fonctionnement du code la position des

    chiffres -.

    En formation initiale, cette situation permet aux stagiaires de prendre conscience de la diffrence

    entre possder une connaissance et la transmettre. La ncessit dune rflexion dordre didactique

    simpose alors eux comme pralable lacte denseigner.

    3.2 Apports pour les lves de CP

    Voici quelques lments dvaluation qui permettent de percevoir un apport positif de cette

    situation pour lapprentissage par les lves du systme de numration.

    Un cas de remdiation

    Mathieu est maintenu au CE1 cause des mathmatiques, les autres apprentissages

    7 Enseignants travaillant depuis plusieurs annes dans le Plan de Prvention de lIllettrisme de la circonscription

  • 11

    ne lui causent aucune difficult. En janvier il ne dpasse pas le 9 . Sa matresse dclare avoir

    tout essayer (manipulations, groupements/changes). Il travaille avec elle la situation Les

    moutons qui agit sur lui comme un lment dclencheur de comprhension. En mars, il a

    tendu la comprhension de son champ numrique jusqu 69

    En CP

    - Une aisance rapidement acquise dans les processus de conversion des reprsentations

    symboliques en reprsentations iconiques et rciproquement.

    Les couleurs, apparaissant ci-contre, ont t une aide la mmorisation pour certains lves, la

    comprhension du rle diffrent du chiffre des dizaines et de celui des units tant assur par le

    recours rgulier au rappel de la situation vcue et du moyen champ ou petit groupe ralis

    avec dix tout seul .

    - Des rsultats trs encourageants sur tous les

    exercices de comparaison de nombres en criture

    symbolique digitale et cela pour une grande

    majorit dlves ds le mois de novembre.

    Dautres exemples de rsultats encourageants en

    CE1 et CE2 ont t communiqus par les enseignants ayant particip cette exprimentation

    dans les deux coles. La remdiation en CE2 a t mene par la matresse de CP.

    En CE1 :

    Des lves ayant travaill Les moutons en CP deviennent moteurs pour les autres lves

    grce au rappel de cette situation rfrente qui se travaille aisment galement en CE1 et

    devient vite une rfrence pour toute la classe.

    En CE2 :

    Des lves en chec dans le domaine numrique, aprs avoir travaill en petits groupes de

    remdiation cette situation, ont pu reprendre le travail du domaine numrique avec lensemble de

    leur classe, avec succs cette fois.

    Depuis plusieurs annes, cette matresse avait dj pris en charge des lves prsentant des

    difficults similaires et jusqu prsent ces aides, prenant appui sur les ouvrages de lquipe

    Ermel, navaient pas produit les effets attendus.

  • 12

    3.3 Une rponse des questionnements thoriques ?

    Cette situation permettrait-elle de rpondre des avis de diffrents chercheurs qui ont dj longuement tudi cette question ?

    3.3.1 Un accord avec certaines prises de position thoriques :

    - Ancrage socio-historique pour llve :

    La situation prsente ici semble permettre cette appropriation dont parle Fayol (1990)8 en

    favorisant cet ancrage dans une histoire de tribus et de troupeaux et lexprimentation partir

    dune situation imaginaire, processus si familier aux jeunes enfants qui favorise

    lapprentissage.

    - Travail des notions logico-mathmatiques sous-tendues :

    Par les manipulations permises et la ncessit de linvention dun code commun, elle engage

    lenfant dans la comprhension [.] des fondements logiques du nombre et de la

    numration. Or il va de soit que ces fondements ne peuvent tre socialement transmis au

    mme titre que la chane numrique verbale. Ils doivent faire lobjet dune construction de la

    part de lenfant lui-mme. Fayol (1990)9.

    Par la possibilit de raliser des groupes et des groupes de groupes elle lui permet de

    percevoir certaines notions logicomathmatiques. Dautre part, elles font appel un certain

    nombre de notions logicomathmatiques sriation, quivalence, itration, addition,

    soustraction - qui structurent le systme de manire sous-jacente et qui conditionnent son

    organisation interne. Fayol (1990)10.

    3.3.2 Un choix diffrent de certains autres :

    - Dissociation comptage et langage

    8Cf. citation infra p.2 Fayol, Lenfant et le nombre, Delachaux et Niestl, 1990, p.185. 9 Fayol, Lenfant et le nombre, Delachaux et Niestl, 1990, p. 185 10 ibidem

  • 13

    Cest seulement lorsque le comptage des dizaines est conu comme un rsum de celui des

    units quil permet lui aussi de se reprsenter les units. [] On voit que la langue joue un rle

    essentiel dans cet apprentissage Brissiaud (2003)11

    - Groupements autres que dix

    Nous avons choisi de ne faire crire les rsultats des groupements que lorsque ceux-ci se font

    par dix, de manire viter les mlanges dcritures []. Lexprience a montr que la majorit

    des enfants de six ans ne tiraient pas profit du travail effectu dans des bases autres que dix.

    Ermel (1991)12.

    Il nest pas question ici de ngliger le rle de la langue ni de faire travailler criture ou

    groupements de faon systmatique dans plusieurs bases13, mais de permettre de dissocier

    temporairement comptage et dsignation symbolique orale dune quantit. Notre langue

    franaise impose la mmorisation de seize mots diffrents pour dsigner les seize premiers

    nombres14 avant de permettre la possibilit dun appui ventuel sur le langage pour comprendre

    les rgles de fonctionnement interne du systme de dsignation symbolique chiffre. Il semble

    donc ncessaire dviter de prendre appui sur le langage pour dbuter cet apprentissage. Dautre

    part, la comprhension du fonctionnement du systme ne peut se faire sans la prise de conscience

    de lexistence de groupements (groupe et groupes de groupes) et leurs dsignations symboliques

    crites. Mais le groupement par dix, par son tendue et limpossibilit destimation visuelle de la

    quantit dix, impose le passage par une procdure de dnombrement verbal oral et empche donc

    une liaison directe quantit dsignation crite.

    Ainsi la situation dcrite permet-elle denvisager de rpondre aux recherches et prises de

    positions dautres chercheurs.

    3.3.3 Prise en compte des points de vues ci-aprs.

    11 Brissiaud, Comment les enfants apprennent calculer, Retz, 2003 p. 232, 233 12 Ermel , Apprentissages numriques et rsolutions de problmes, CP, Hatier, 2005, p.271 13 Ce nest pas la notion de base qui est privilgie ici mais celle de groupement (groupe et groupe de groupes) dune dimension qui permet la manipulation de jeunes enfants et la perception visuelle de la quantit regroupe. 14 cf. annexe 3

  • 14

    - Complexit des reprsentations des nombres Il y a la situation dans laquelle les objets tudis sont inaccessibles en dehors de

    reprsentations relevant dune activit smiotique, comme en mathmatiques. [] Quand un

    enfant utilise une, voire mme deux, de ces reprsentations devient-il pour autant capable de

    reconnatre les nombres dans une troisime reprsentation ? [] Lenjeu essentiel de

    lenseignement est le passage des reprsentations iconiques, quelles quelles soient, aux

    systmes de reprsentations symboliques. Duval (2005)15

    Duval16 classe le langage naturel, comme les reprsentations chiffres parmi les reprsentations

    symboliques, reprsentations chiffres dont lemploi est ncessaire dans la dsignation crite des

    nombres et leur utilisation dans les calculs. Les difficults dapprentissage mentionnes ci-dessus

    engendres par lutilisation de la langue orale ncessitent donc de pouvoir travailler dans un autre

    registre plus accessible aux lves. Or laccs aux reprsentations iconiques est plus ais car

    proche des activits de manipulations possibles. Dans la situation propose, ces reprsentations

    iconiques sont la porte (physiquement partir de manipulations simples) des lves et la

    possibilit de raliser des groupements facilite par le petit nombre dobjets manipuler. Ainsi,

    trs rapidement les reprsentations iconiques correspondantes ralises par les lves prennent

    sens et les reprsentations symboliques chiffres amenes alors peuvent prendre appui sur la

    notion mme de quantit isole ou de groupement.

    - Intuitions spatiales des quantits chez le jeune enfant.

    Cette exprience [] a permis de dterminer que certaines rgions crbrales rpondent

    lidentit des objets, et dautres la quantit numrique. [] Il est remarquable de penser que

    le cerveau de lenfant est dj organis chez des bbs de trois mois. []. Il sagit du socle sur

    lequel se feront les apprentissages ultrieurs. [] Je crois quil serait particulirement

    intressant de renforcer dans les coles le lien entre chiffres arabes et quantits

    correspondantes. Dehaene (2007) 17

    Dans la situation propose, le groupement par 4 permet de se passer de compter . La

    reprsentation du nombre en tant que quantit est trs nettement favorise car visuellement

    disponible. Ainsi le le lien entre chiffres arabes et quantits correspondantes est nettement

    15 Duval, Actes du XXXIIme colloque COPIRELEM, 2O05, p.67 ; 69 16 cf. annexe 2 17 Dehaene, Actes du Sminaire de mathmatiques (novembre 2007), publication 14 mars 2008

  • 15

    renforc. La correspondance entre chiffre arabe et groupement par quatre tant ralise, passer

    du groupe de quatre au groupe de dix ne perturbe pas la comprhension du lien criture

    symbolique chiffre quantit correspondante et dans les expriences faites, la comprhension de

    la ncessit du groupement par dix na pos aucun souci. La liaison groupement de dix criture

    symbolique chiffre est ainsi effective.

    4 CONCLUSION

    Les expriences ralises, autant en formation des matres quen classe de CP, permettent de

    faire lhypothse que la situation dcrite pourrait servir de situation de rfrence pour

    lapprentissage par les jeunes enfants de notre systme de numration et la comprhension par les

    matres des difficults de cet enseignement. Elle semble respecter les conclusions des diffrents

    travaux sur la ncessit de dsignations des groupements mens par lquipe Ermel et sur les

    difficults inhrentes notre langue franaise soulignes particulirement par Brissiaud. Elle

    semble pouvoir apporter une rponse aux recommandations faites par Duval concernant le

    passage des reprsentations iconiques aux systmes de reprsentations symboliques et Dehaene

    concernant le renforcement dans les coles du lien entre chiffres arabes et quantits

    correspondantes. Il reste, de toute vidence, en poursuivre lexprimentation de faon pouvoir

    apporter une conclusion plus rigoureuse de lefficacit de sa mise en uvre.

    5 REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

    - Aigoin C., Guebourg V. (2004) Grand N 73, 49-65 - Bacquet M., Gueritte-Hess B., (1996) Le nombre et la numration, Isoscel, Du

    dnombrement terme terme aux groupements rguliers : un pas ncessaire vers la

    comprhension de notre systme de numration positionnel

    - Bassis O., (2003) Concepts cls et situations problmes, Hachette Ed. 17-76

    - Bideaud J., Lehalle H., (2002) d. Le dveloppement des activits numriques chez

    lenfant, Lavoisier

  • 16

    - Briand J., Salin M.H., Loubet M., Apprentissages mathmatiques en maternelle Hatier

    2004 CD.

    - Brissiaud R., (2003) Comment les enfants apprennent calculer Retz 232-238 - Brousseau G. (1998) Thorie des situations didactiques La Pense sauvage - Dehaene S. (2007) in Actes du sminaire national Enseignement des mathmatiques

    lcole primaire http://webtv.ac-versailles.fr 117-132

    - Duval R. (2005) Actes du XXXII colloque Copirelem 67-89

    - Ermel, (2005) Apprentissages numriques et rsolution de problmes CP Hatier 245-273

    - Fayol M. (1990) Lenfant et le nombre, Delachaux et Niestl, 180-190 - Fayol M. in Bideaud J., Lehalle H., (2002) d. Le dveloppement des activits numriques

    chez lenfant, Lavoisier 151-170

    - Rouche N. (2006) Du quotidien aux mathmatiques Ellipses 15-33

  • 17

    ANNEXE 1 Squence CP Et aprs 9, quelle criture ? Etapes 1 5 : Connaissances : Connatre et savoir interprter la valeur des chiffres en fonction de leur position dans lcriture dcimale18 dun nombre. Prambule Lobjectif principal, ce moment de lanne, de la dmarche dapprentissage19 expose ici est double. Il sagit tout dabord de donner llve, et la classe, une situation de rfrence dans le domaine de la numration. Nous proposons en effet dans ce chapitre une situation problme , dans lacception faible du terme, situation qui pourra galement tre rinvestie en CE1, favorisant ainsi la continuit des apprentissages. Il sagit galement de construire un apprentissage de la numration positionnelle ne permettant pas aux conceptions errones des lves de sinstaller de manire prenne. La situation des moutons a t conue dans le but dluder les erreurs classiques connues depuis longtemps des lves, mais aussi avec lobjectif dapprhender la numration positionnelle dans tous ces questionnements (pistmologiques notamment). Il faudra, dans cette situation, porter attention lcrit et aux rgles rgissant celui-ci, en mathmatiques. Attention : En ce dbut danne de CP, avec des lves encore trs jeunes, le plaisir de manipuler le matriel utilis dans cette situation (des btonnets) peut lemporter sur la rflexion. Il faut donc prvoir une sance de dcouverte (dvolution) du matriel, de la situation et des questions quelle implique.

    Les moutons

    1re Etape : La dsignation ORALE dune quantit Crer un contexte imaginaire qui rponde aux objectifs dhistoricit et de communication.

    Nous sommes dans un pays imaginaire, compos de tribus qui possdent chacune un troupeau de moutons et qui, le soir, dsirent trouver un moyen pour se souvenir du nombre de leurs moutons.

    Contraindre le champ numrique disponible de faon provoquer un problme de codage (oral puis crit) sans dpasser les capacits manipulatoires de jeunes enfants.

    Dans ce pays, les habitants ne savent compter que jusqu quatre et .il leur arrive des choses bizarres .

    Introduire le concept de nombre en tant que mmoire de quantit , sans induire de procdure de dnombrement usuel de faon ne pas interfrer avec le savoir social et

    Vous avez votre disposition ces petits btonnets qui reprsentent les moutons de votre tribu. Vous devrez trouver un moyen pour savoir, la prochaine fois que vous

    18Lexpression Ecriture dcimale signifie : criture des nombres entiers laide de chiffres qui prennent une valeur diffrente suivant la position o ils se trouvent, la base tant rgulire et en groupements par dix. 19 Dmarche adapte de celle exprimente dans le cadre du GFEN (Groupe Franais dEducation Nouvelle) - cf. Odette Bassis, Concepts Cls et situations problmes, Hachette Education, 2005 -

  • 18

    scolaire dj acquis (comptine numrique orale usuelle).

    retrouverez vos moutons, si vous nen avez pas perdu. Attention, dans ce pays, les habitants ne savent ce moment que parler .

    Mettre disposition de chaque groupe vingt-sept, trente, trente-neuf, quarante-cinq, cinquante-quatre, ou cinquante-sept btonnets (suivant laisance des lves) de faon obtenir des groupements de trois ordres sans avoir le mme nombre de groupes de chaque ordre. 20 Le nombre de btonnets est une variable didactique de la situation : ce nombre est en effet la disposition de lenseignant. Lenseignant choisira diffrentes valeurs de cette variable en fonction : - de la familiarit des lves avec les nombres - du questionnement relatif la ncessit du zro (absent ce stade de la situation)

    Difficults prvisibles, rle du matre : Grouper par quatre les btonnets est une ide qui vient assez spontanment aux lves. Cependant le rle du matre est essentiel pour permettre la verbalisation de ces groupements et par l - mme la prise de conscience de ce qui est en train de se passer. Le vocabulaire employ le plus souvent est le petit groupe , le petit champ , le petit troupeau . Certains groupes dlves cependant ne parviennent pas immdiatement ni au groupement rgulier, ni au groupement optimis par quatre. L encore le rle du matre est essentiel. Il est ncessaire de rappeler les objectifs doptimisation : Les habitants des tribus voudraient trouver un moyen le plus efficace possible pour se souvenir du nombre de moutons quils possdent : en disant le moins de mots possible et en trouvant le systme le plus astucieux possible . Grouper ensuite les groupes par quatre (il sagit l de la rcursivit des groupements, aspect fondamental et nallant pas de soi, de la numration positionnelle) est souvent plus difficile concevoir pour les lves. Ils sont gnralement surpris par le problme du nombre de groupes de quatre quils ne peuvent pas compter et une deuxime sance peut tre ncessair ; Provoquer la dsignation orale des groupements raliss par la ncessit de communication distance au grand groupe.

    Vous pouvez coller (scotcher) lorganisation de vos btonnets de faon pouvoir montrer aux autres tribus comment vous vous y tes pris. Expliquez oralement aux autres votre dmarche.

    20 Codages correspondants ( retrouver la fin de la 3me tape) : pour vingt-sept btonnets : 123 ; trente : 132 ; trente-neuf : 213 ; quarante-cinq : 231 ; cinquante-quatre : 312 ; cinquante-sept : 321.

  • 19

    Permettre le lien dune sance lautre dans le processus dapprentissage.

    Je vais garder (ou photographier) vos ralisations de faon ce que vous puissiez avoir une aide pour vous souvenir la prochaine fois de ce que vous avez fait.

    Attention : Bien conserver la trace des ralisations des lves. Le support matriel est la rfrence pour eux pendant tout le droulement de cette situation.

    Difficults prvisibles, rle du matre : Si les lves ont besoin dune deuxime sance, il suffit alors de terminer le collage des groupements par quatre et prvoir ensuite un redcoupage des affichages pour pouvoir rorganiser ces groupes et obtenir les groupes de groupes . Le vocabulaire employ alors peut tre le grand groupe , le grand champ , le grand troupeau . Attention : Laisser une libert dinitiative aux lves, ce vocabulaire nayant aucun caractre officiel . Il reprsente la mmoire (locale, dans le temps et dans lespace) de la classe qui assurera le passage vers linstitutionnalisation de la dizaine lors du choix du groupement par dix. La seule contrainte respecter est de retenir un vocabulaire qui image lide de groupement (petit et grand). Les lves ont souvent, au moment de la mise en commun, des difficults faire un choix dans le vocabulaire qui leur permet de dsigner les groupements quils ont effectus. L encore le rle du matre est essentiel. Il doit les aider choisir le vocabulaire pertinent qui deviendra la rfrence pour la classe. Il sagit dun moment dinstitutionnalisation, ici uniquement orale, des rfrents : Nous avons donc dcid que, pour nous, les moutons isols sappelleront les Tout Seul , les moutons groups par quatre les petits champs et les petits champs groups par quatre les grands champs . Attention : Ne pas oublier de garder une certaine libert dans le choix du vocabulaire, mais si les lves nen proposent pas un adquat (cf. les contraintes ci-dessus), le professeur se doit de le proposer. 2me Etape : La dsignation ECRITE dune quantit et la ncessit dun code commun Crer les conditions de la comprhension de la ncessit de linvention dun code crit pour dsigner une quantit.

    Toujours dans notre pays imaginaire, les habitants des tribus sont atteints dune drle de maladie passagre : ils ne savent plus parler, ils ne savent que dessiner. Ils vont essayer cette fois de trouver un moyen par le dessin de se souvenir du

  • 20

    nombre de leurs moutons. Provoquer la dsignation crite des groupements raliss par la ncessit de communication distance au grand groupe.

    Vous pouvez reprsenter lorganisation de vos btonnets de faon pouvoir montrer aux autres tribus comment vous vous y tes pris.

    Crer les conditions de la comprhension de la ncessit de linvention dun code crit commun

    Comparez vos reprsentations. Est-ce que vous pouvez savoir si votre tribu a autant de moutons que les autres tribus ?

    Provoquer lmergence de la notion defficacit et la comprhension du rle doptimisation des groupements par quatre dans la dsignation crite minimale de la quantit.

    Essayez de vous mettre daccord sur un code commun. Attention, il devra tre le plus efficace possible (prendre le moins de temps possible pour raliser le dessin).

    Difficults prvisibles, rle du matre : A ce stade, il est possible quil soit ncessaire de recommencer, pour certains, de nouvelles manipulations (tape 1), compte tenu de la varit possible du choix de groupements (rguliers, irrguliers, optimiss ou non) et des rgressions possibles dans les choix doptimisation cause du nouveau contexte (passage lcrit) ; lobjectif tant que tous les lves parviennent obtenir des groupements par quatre et des groupements de groupements par quatre et les reprsenter avec le code crit convenu en commun. Le matre doit alors bien insister sur : il [le code] devra tre le plus efficace possible (prendre le moins de temps possible pour raliser le dessin). 3me Etape : La dsignation crite dune quantit laide de CHIFFRES Permettre dutiliser la graphie du code usuel pour provoquer la prise de conscience du rle conventionnel de la position des chiffres dans un nombre. Soulignons ici que ce passage un crit conventionnel (celui de la communaut scientifique mais aussi celui du quotidien) renferme invitablement une part

    Cette fois, dans notre pays imaginaire, les habitants des tribus ont rencontr un mathmaticien un peu magicien : il leur a apport, pour remplacer leur code dessin, un code crit, conomique : 1 pour dsigner une chose , 2 pour dsigner deux choses , 3 pour dsigner trois choses , 4 pour dsigner quatre choses .

  • 21

    darbitraire. Cependant, la discussion collective dans la classe va permettre de faire merger un consensus, et ainsi souligner que, parfois, il faut se mettre daccord sur des dfinitions et des crits (symboles et rgles rgissant ces symboles) pour ensuite parler de la mme chose.

    Ils vont essayer alors de reprsenter laide de ce code un dessin souvenir du nombre de leurs moutons. A vous dessayer

    Permettre, par la confrontation des crits en grand groupe, la formulation explicite du rle de la position de chaque chiffre dans un nombre dans notre systme usuel.

    Comparez vos crits. Formulez ( loral) le mode demploi de votre code. Avez-vous tous le mme ?

    Crer les conditions de la comprhension de lefficacit du code de numration usuel.

    Pouvez-vous maintenant savoir si votre tribu a autant de moutons que les autres tribus ?

    Difficults prvisibles, rle du matre : Les lves positionnent souvent leurs chiffres ct des dessins dans une organisation non rflchie. Le matre devra alors imposer dcrire sur une autre feuille, cest ce moment que les problmes poss par linterprtation des significations apparaissent lors de la confrontation en grand groupe. La demande dexplicitation par le matre doit tre rigoureuse : Comment positionnez-vous vos chiffres ? Que signifient-ils ?

    Il est alors ensuite indispensable de bien prendre le temps de linstitutionnalisation et de faire un choix explicite dans le codage des groupements. Certains lves peuvent avoir choisi de coder non pas le nombre de groupes, mais la nature des groupes : dans le cas ci-dessus, par exemple 4 4 4 4 dsignant le grand champ ; 3 le moyen champ 3 et 1 les tout seul 1 1 Il ny a donc ici aucune numration de position. Une discussion avec la classe permettra de convenir quil est ncessaire d utiliser tous le mme code et quil vaut mieux utiliser le code qui est partag par la communaut des adultes depuis trs longtemps : on commence par crire, sur une mme ligne, le nombre de grands champs , ct le nombre de moyens champs et ensuite le nombre de tout seul . Attention : Bien prendre conscience que la convention dcriture des nombres est inverse de ce que les lves de CP sont en train dapprendre concernant lcriture du langage. A expliciter au besoin : Pour crire un mot, on crit les lettres dans lordre dans lequel on les entend, de gauche

  • 22

    droite. Pour crire un nombre, jcris les tout seul , puis sil y a des moyens champs isols, jen cris le nombre sa gauche, puis sil y a des grands champs , jen cris le nombre encore sa gauche. 4me Etape : La ncessit de lintroduction du CHIFFRE 0 Permettre de dcouvrir la ncessit de coder la place de labsence dun groupement (ou dun isol). Remettre (par groupe changeant en duo) : lun dix-huit btonnets, lautre vingt-quatre. Les codages correspondants ( retrouver la fin de la 4me tape) sont 102 pour dix-huit btonnets et 120 pour vingt-quatre btonnets. NB : ici encore, nous jouons sur la valeur de la variable didactique nombre de btonnets

    Cette fois, dans notre pays imaginaire, les habitants des tribus ont voulu, trs fiers de savoir employer le code que leur a apport le mathmaticien, envoyer un message crit la tribu voisine pour comparer le nombre de leur nouveau troupeau de moutons. Vous changerez vos messages entre deux groupes. Comparez vos crits puis vrifiez laide de vos btonnets votre conclusion.

    Permettre la comprhension du rle du 0 dans le code usuel en faisant le lien avec lcriture connue du 10 .

    Ne connaissez-vous pas un signe qui permette de noter cette place vide ?

    Difficults prvisibles, rle du matre : Les lves sont trs tonns de trouver la mme criture code pour leurs deux groupes (12) et un nombre de btonnets diffrents (contrls pour certains laide de groupements, pour dautres, plus dstabiliss, par une correspondance terme terme). Ils pensent stre tromps en codant. L encore lintervention du matre est dterminante. Il sagit dinsister sur le fait quils ne se sont pas tromps, mais quil sagit dun problme avec le code et quil faut trouver un moyen pour lever lambigut . La recherche en groupe ne doit pas se prolonger car il peut arriver que les lves ne pensent pas au Zro (0). Il est ncessaire de bien insister, lors de la confrontation collective, sur labsence de moyens champs pour un groupe et labsence de tout seul pour lautre. Le 0 est situ la place du groupement ou des isols qui nexistent pas.

  • 23

    5me Etape : La dsignation crite dune quantit laide des DIX CHIFFRES disponibles Crer les conditions de la comprhension de la ncessit des groupements par dix pour permettre le codage dune quantit suprieure dix laide des chiffres disponibles. Contraindre le passage lcrit avant tout rappel de la comptine usuelle orale. Donner un nombre de btonnets en rapport avec laisance des lves (au besoin par duos de groupes daisance quivalente) ;( dix-sept, vingt) ; (dix-huit, vingt) ; (vingt-sept, trente) ; etc. (cent sept, cent dix) Permettre la comprhension de la spcificit du code crit utilisant les chiffres par rapport au code oral (qui deviendra code crit en lettres petit petit).

    Cette fois, dans notre pays imaginaire, les habitants savent compter jusqu dix. Le mathmaticien est alors revenu et a complt le code reprsent par les chiffres : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; et le drle de 0 . 1 pour dsigner une chose , 2 pour dsigner deux choses , 3 pour dsigner trois choses , 4 pour dsigner quatre choses , etc. Mais attention, le mathmaticien, un peu malicieux, les a tous rendus muets Ecrivez laide de ce code un message qui va permettre de comparer les diffrents troupeaux des tribus. Les habitants des tribus ont subitement retrouv lusage de la parole. Mettez-vous daccord dans chaque groupe sur une faon de lire votre nombre de moutons. Ne retrouvez-vous pas la possibilit dutiliser la comptine numrique ?

    Il sagit, ce stade, dassurer, pour tous, la comprhension de lexistence dun code crit utilisant dix chiffres, fait partir de groupements par dix. Le 0 dsigne labsence dlments isols (dans 10 ; 20 ). La systmatisation du systme ne peut se faire que lorsque le nombre dlments compter dpasse la centaine, pour permettre une criture symbolique des groupements dordres diffrents et labsence de groupements par 0 et sera donc un objectif dapprentissage pour tous en CE1. Difficults prvisibles, rle du matre : Pour viter le dcouragement prouv souvent par certains lves - pourtant capables de grer une grande quantit de btonnets - ou les erreurs de comptage des groupements de dix toujours possibles, il peut-tre judicieux de rpartir les rles au sein des groupes en compteurs et contrleurs . Certains lves sont trs vite laise et comprennent la rcursivit des groupements (au niveau de la structure qui se rpte). Pour dautres, il faudra attendre une nouvelle manipulation avec les groupements par dix ( poursuivre en CE1). Note : Le matriel utilis ici peut tre des trombones (ralisation facile de groupes attachs). Ce matriel peut tre ensuite repris avec des groupements par dix pour aborder la centaine.

  • 24

    ANNEXE 2

    Duval, confrence, in Actes du XXXII colloque, 2005, p. 71

    Duval, confrence, in Actes du XXXII colloque COPIRELEM, 2005, p. 73

  • IIc alcuf raplde .. " . -',"_ .."." ~".~~'''"lIo.'''', La multiplication (1) : . Trouver 10 dfza;ne entierefa plus proche. JL ;. ~~36; 1.2L.. . ..J '.. ~j:C:~:~'~Ui~e:on~p~~p:dU~E:::::S Date: _

    sous la forme a x b et trouver sa valeur. .";"_~~~a-,- .....~'__ .'''"lIo.~;,:_._~''''''''_'_'''';'__~._... "'I-""--:--":~"~''''''~",-"~'~'-': ~""'- ..~ ..__ ~,..,...,.~ ..,_::.~_ ~"'_.-'-_~""'" .~-"~. ~ _L- ....-_._:_..,;.__...--.;..J--.;.:,.. _, f :1'; I Une bette de chocofats I '(

    Combien de chocolats contient cette bofte ? Colorie les rectangles qui permettent de calculer Ie nombre de chocolats.

    iJ

    } ~

    i. ','

    j ~

    Le nombre de chocolats peut s'ecrlre 5 x 4 ou 4 x 5. Effl1ECornplete : 5x4= xI~ .

    'i.~

    t ~ :~ IE~~~ ...... ~.j I"r

    ~ \!~ 0 Colorie Ie rectangle qui permet de calculer Ie nombre de carreaux de ce tapis. "f

    ~ i " J ~ ;t

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    . ,.I "f Complete: __ x _..__ = x =__ ~__ " iNombre de carreaux du tapis :.,I t

    f & Ecris et calcule les produits. { '.'. 1 ~:), ,;.< .:,}~~j~~ ,; I'

    _.._._,_ x ._....._._ =__.... xt 1

    _._.x x

    1 ~ .~ I I I I I ~.. L.~~=:.:~ =:=:,:~~-~ ..~:=~::-:=:~.~",,_ ..~.;:~=.~.~.,-~_=2.='.---: =::~.:~::~.:-='-:=,:~J

    ANNEXE 1

    = e ..~ .......~ "C ~ ... ~ =

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    OBJECTIFS - Construlre Ie concept de prodult : eertreun produit SOU5 la forme: a lit b et trouver sa valeur.

    OBSERVATIONS PRElIMINAIRES Naus proposons d'introduire Ie concept de produft apartir de la resolution d'un probleme. Le produit est alors le nom et l'ecriture qui exprime la solution de ce problerne. II n'est pas introduit a priori, de facon abstraite, mais representedes Iedepart un nombre,encore inconnu,que I'onva determineret calculer avecles enfants. II ne faut pas hesltera consacrerdeux [ournaesa cette premiereleccn sur les produits. II irnporte en effet que les entants mettent du sens SOU5 la notion. La premiere journee peut etre consacree aux activites collectives, nDUS en proposons un nombre sufflsant pour que l'enseignant dispose d'un cholx assez large. La seconde journee porte alorssur lesactivites individuelles qui sont un bon moyen d'evaluer lescornpetencesacquises par res enfants. Sur la justification de nos choix pedagogiques, se reporter aI'annexe 4 du guide, Produit de deux nombres, la multiplication.

    CALCUL RAPIDE Trouver la dlzaine entlere la plus proche. Le maitre dlt : deux cent trente-sx ,'!'eleve ecot: 240 e , 236,124,74,98,207,844,392,708,403,329.

    MATERIEL ~:;.:. ACTIVlTES COLLECTIVES

    + ACTIVITE1: COMBIEN DE LOGOS DlfFERENTS ? Lesenfants sent repartls en equtpesde deux ou trois. Ilssont muntsde leur cahler d'essals et de leurs crayons de couleur.

    t'enseignent expose Ie problerne : on veut dessiner des logos. Les l; formes de ceux-d sent irnposees: ce sont des cer-es, des triangles, des .'pliur:rangtf.J~.'_o"bje~;.:J::lOite:s.ae rendset des courormes. 115 sont de couleurs rouge, noir, bleue, verteou ;"_Ci~gcola~?iP:a~'!S,~~e,~:mJ1tS.,~:~;,',~blanche. Onvoudraitsavoir combien de logos dtfferentson peut fabri- '., ..' ..' '. ... . quer et s'll yen a suffisamment pour en attribuer un a chaque enfant de la cresse. npose quelques questions pour s'assurer que tous tesenfantsont composla situation:

  • IIc alcuf raplde .. " . -',"_ .."." ~".~~'''"lIo.'''', La multiplication (1) : . Trouver 10 dfza;ne entierefa plus proche. JL ;. ~~36; 1.2L.. . ..J '.. ~j:C:~:~'~Ui~e:on~p~~p:dU~E:::::S Date: _

    sous la forme a x b et trouver sa valeur. .";"_~~~a-,- .....~'__ .'''"lIo.~;,:_._~''''''''_'_'''';'__~._... "'I-""--:--":~"~''''''~",-"~'~'-': ~""'- ..~ ..__ ~,..,...,.~ ..,_::.~_ ~"'_.-'-_~""'" .~-"~. ~ _L- ....-_._:_..,;.__...--.;..J--.;.:,.. _, f :1'; I Une bette de chocofats I '(

    Combien de chocolats contient cette bofte ? Colorie les rectangles qui permettent de calculer Ie nombre de chocolats.

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    Le nombre de chocolats peut s'ecrlre 5 x 4 ou 4 x 5. Effl1ECornplete : 5x4= xI~ .

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    ANNEXE 1

    = e ..~ .......~ "C ~ ... ~ =

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    OBJECTIFS - Construlre Ie concept de prodult : eertreun produit SOU5 la forme: a lit b et trouver sa valeur.

    OBSERVATIONS PRElIMINAIRES Naus proposons d'introduire Ie concept de produft apartir de la resolution d'un probleme. Le produit est alors le nom et l'ecriture qui exprime la solution de ce problerne. II n'est pas introduit a priori, de facon abstraite, mais representedes Iedepart un nombre,encore inconnu,que I'onva determineret calculer avecles enfants. II ne faut pas hesltera consacrerdeux [ournaesa cette premiereleccn sur les produits. II irnporte en effet que les entants mettent du sens SOU5 la notion. La premiere journee peut etre consacree aux activites collectives, nDUS en proposons un nombre sufflsant pour que l'enseignant dispose d'un cholx assez large. La seconde journee porte alorssur lesactivites individuelles qui sont un bon moyen d'evaluer lescornpetencesacquises par res enfants. Sur la justification de nos choix pedagogiques, se reporter aI'annexe 4 du guide, Produit de deux nombres, la multiplication.

    CALCUL RAPIDE Trouver la dlzaine entlere la plus proche. Le maitre dlt : deux cent trente-sx ,'!'eleve ecot: 240 e , 236,124,74,98,207,844,392,708,403,329.

    MATERIEL ~:;.:. ACTIVlTES COLLECTIVES

    + ACTIVITE1: COMBIEN DE LOGOS DlfFERENTS ? Lesenfants sent repartls en equtpesde deux ou trois. Ilssont muntsde leur cahler d'essals et de leurs crayons de couleur.

    t'enseignent expose Ie problerne : on veut dessiner des logos. Les l; formes de ceux-d sent irnposees: ce sont des cer-es, des triangles, des .'pliur:rangtf.J~.'_o"bje~;.:J::lOite:s.ae rendset des courormes. 115 sont de couleurs rouge, noir, bleue, verteou ;"_Ci~gcola~?iP:a~'!S,~~e,~:mJ1tS.,~:~;,',~blanche. Onvoudraitsavoir combien de logos dtfferentson peut fabri- '., ..' ..' '. ... . quer et s'll yen a suffisamment pour en attribuer un a chaque enfant de la cresse. npose quelques questions pour s'assurer que tous tesenfantsont composla situation:

  • : ANNEXE2 ~ .~I~I~I~'~~~~~-~ .:' " Moitied'unnombr~ d~ deuxchiffres. ~ .'.. ~\ 32 ; 50 ; 66.... ; .. ,~ SItuatIons de dlstrfbutton (1),..~."....~.~.~ ......

    ~"l. ,,J: " ObJectlfs - Reconnaitre une situation de division euclidlenne. Calculer empiriquement Ie quotient et Ie reste,

    1",

    !1""- .: ......._ ................ :7IL.._.;:.::-...._~:.._:_:'OO:::O'''''lI... ~.''t...~,-~..........~r'~~~:_,...~::: ...~.....~....

    ~l

    ~ Des nougats ~ Arnelie a rapporte de voyage un paquet i de 32 nougats. Elle les distribue I 11 ses 5 freres et sceu rs. I . Chacun recolt Ie rnerne nombre I~

    ~ jI j ~

    de nougats.

    Com bien de nougats chacun recolt-il ?

    Com bien de nougats Amelie ne peut-elle

    ~d~~~?

    0) Reproduis les trois dernieres lignes du tableau, puis cornplete-les.

    0, [oris range ses 50 soldats dans 8 boites. ", Chaque bolte doit contenir Ie rnerne

    :,I nombre de soldats. ~ 0) Com bien de soldats contient chaque'f :,, boite ? I i b) Tous les soldats sont-ils ranges? J

    ~ ';0 Emilie a ach~te une boite de .64 p:rles. ~: ' Elle veut fabnquer 9 bracelets identlques. ~ ~ 0) Com bien de perles chaque bracelet 'f t '1 7 ;: aura- -I

    ~ b) Com bien de perles restera-t-ll ?

    ...~~..........,...:..:.--.-..,...,.~.r_..::~~..~~.... 1'~.. ...: ......::.....~1j

    b) Recopie et complete I'egalite suivante : 32 = (5 x ....) + ....

    c) Rediqe les reponses aux questions.

    Tu as divise 32 par 5 ; 5 est Ie diviseur, 6 est Ie quotient, 2 est Ie reste.

    0: Le pirate Barberousse partage , equltablernent un sac de 47 ecus

    entre ses 6 compagnons.

    0) Combien chacun recevra-t-il ?

    b) Si Barberousse ajoute un ecu, combien aura alors chacun de ses compagnons ?

    0 Aurelie p.oss.ede 5,6i~ages d'insectes. 'Elle les dlstribue equitablernent

    aux 10 enfants de son club de nature. Elle garde Ie reste.

    J

    ~ ~

    I ~

    I

    i;,I

    ;

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    j ~ 1\

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    i"'II i .,f. " ,

    , ~; l ~ :J I .~

    l .........:"":.............._, ~.....~_"!>_l',r:'.~:: ...,...-

    26 x 4 =(26 x 2) x 2 =52 x 2 =104 j,!

    ~ t

    17 x 4 35 x 4 28 x 4 87 x 4 115 x 4 ) .... lo. .........._ .......".".,......l.>:'_._~;r:-...lIl.-:;-'lI ... __ '''!.-.~ .. -~-o.-r..::>..,....~t'''''''=-...~t,~~.:.........._ .~~ ..._.....-....." ...~....--=-,_~...............".... ~.. ,,'......:.."-('.....:-...:;,.-~.,il.

    ce~uit

    0) Combien d'images chaque enfant recolt-il ?

    b) Combien d'images Aureliegarde-t-elle ? ;

    .." Q) M"C ~ .~

    U~ e-:

    -+~ Q) f'-l Q)= Q)~> .~ ~Q) -+-....-4 ~ "'Q)

    a "'Q) ~ ~ .~

    -+-~ ~ u a~ f'-l .." Q)M

    ....-4 C o Q)M ~

    "C .."= Q)Q)t: ~ Q)

    a ~~ u c ~u= ~ = = e e .~ -+

    .~

    ~ "C ~ "'Q)

    Q)

    = e.~

    eJJ C eJJ ~

    "C "'Q) ~

    Presentation de l'organisation de la classe prevue par les auteurs, dans Ie guide pedagogique correspondant. Deux seances sont prevues : 1re seance Les enfants travaillent directement sur I'activite de la piste de recherche de leur fichier: apres avoir pris connaissance du texte, Ie maitre s'assure de la bonne comprehension de l'enonce et repartit les eleves par groupe de 4. Dans chaque groupe les enfants doivent repondre aux questions de l'enoncc, sans tenir compte du tableau de droite. Les equipes ont a leur disposition des jetons representant les freres et sceurs d' Amelie et des buchettes representant les nougats. En fin de travail un representant de chaque groupe vient au tableau presenter les resultats de son equipe. Le tableau a droite de la piste de recherche est reproduit au tableau, collectivement il est complete en synthese du travail des enfants . Individuellement les enfants repondent a la question a) et aux questions de l'enonce de la piste de recherche. Puis collectivement l'enseignant demande de repondre a la question b) et introduit Ie vocabulaire diviseur , !< quotient et reste . Les exercices 1 a5 sont traites individuellement ou en petits groupes. L'enseignant s'assure collectivement que les enonces sont bien compris. La correction de chacun, collective, est I'occasion d'exposer les differentes methodes de calculs utilises. IIs peuvent utiliser un tableau comme celui de la piste de recherche, dessiner la situation ou ecrire directement I'egalite de la division. Des I'exercice 2 I'enseignant attire I'attention sur I'expression partage equitable .

    20 seance Les enfants travaillent directement sur l'activite de la piste de recherche de leur fichier: Ie tableau a ete reproduit par Ie maitre sur Ie tableau de la classe, les enfants lisent individuellement la description de la situation proposee puis une discussion coIlective a lieu auteur de deux questions: que peut bien vouloir dire grand pere a triche ? et quel est Ie mot important pour comprendre la situation? , (equitable). L'enseignant peut faire mimer la situation en cas de difficultes, Une fois la comprehension de la situation assuree, Ie maitre demande ce qui se passe Ie jeudi. La reponse attendue est: Grand pere n'a pas fait d'erreur de calcul. II a triche en ne distribuant pas jusqu'au bout ses poires Ie jeudi et Ie samedi . A la suite de cela Ie maitre precise que Ie reste d'une division est toujours inferieur au diviseur , Individuellement ou par groupes de 3 ou 4 les eleves resolvent les exercices I et 2. Le maitre s'assure au prealable que les enonces sont correctement compris et la correction est collective apres mise en forme des resultats,

    http:1),..~."....~

  • -..,,,

    t --1

    163= (25x .....) + ......

    Verilie Ie nombre de lois et Ie reste avec ton compas et ton double decimetre,

    Domina Arithmetiq~e: calcul rE3Ih3chi, d~,ja ANNEXE3 Geometrie et rnesure :construd

    Tu vas apprendre acalculer la division de 163 par 25 (163: 25 ?j,

    Verlfle que L = 163 mm et t = 25 mm. L

    l-'

    I- Diviser 16'3 par 25, 0" peut te(a;'re SOnS camp~3 !c'est chercJrer COt1I b/e ~ A's

    Complete lega/lti.il'l a Z-S dan:; 1C3. I-; ~.... ..= (,J

    I.e: "' ~

    Q Q M

    i ~ = C ~.... "0 ,~

    e-;

    M ~

    U ~ Calcule ces divisions. Si tu n'es pas sOrCe), tu peux tracer les segments correspondants sur ton cahier. &

    'Il .... ..= ell? q = ..... ( q = ...... .., C107 : 25 . car 107 = 25 x .... ) + ...... 199: 25 ? car r = ...... r= e ~

    "0q = ...... q = ...... 'Il ,~108: 25 ? car 108 = ( 25 x .... ) + ...... 200: 25? car r = ...... r = ...... ~ ~

    'Il ~ q = ...... q = ......

    175: 25 ? car175=(25x ... )+ ...... 201 : 25 ? car 'i ~Ir = ...... r = ...... ~ bJ 1-;.., ~~253: 25? q = . car

    l29 : 25? q = car

    "~ "' ~

    r = .. r = ..

    ~~ q = .. 18:25? q e car .. ~ ,~80: 25? car .

    r =... r =,;.;:.~''''',. .. [ll. " '/'-1 'hllp; II) "r1-> .CC_

    Repasse en bleu les droites perpendiculaires.

    ~~ ~ c, ;">,,X~'. ;;'~'.+'i'__'''i.'r.:~~ ;.~,\"..~

    Presentation de I' organisation de la classe prevue par les auteurs, dans Ie livre du maitre correspondant, pour travailler sur la fiche 96, Le maitre debute la lecon en annoncant l'etude d'une nouvelle operation. Les auteurs proposent un discours du genre ; Vous connaissez deja I' addition, la soustractiion, la multiplication, vous allez apprendre la division , tout en ecrivant 163 + 25 au tableau qu'il lit on va calculer 163 + 25 . La lecon se deroule en quatre phases: l" phase (appelee Anticipation ) Les eleves prennent connaissance de la situation decrite dans Ie cadre A du fichier. D'apres les auteurs, c'est une situation qui est familiere aux enfants: ils savent qu'il faut chercher combien de fois la petite longueur est contenu dans la grande . lei ce qui est nouveau est la donnee de longueurs L = 163 rom et I = 25 mm. Dans un debat collect if, on fait emerger qu'il n'y a pas besoin d'utiliser un compas, qu'il suffit de chercher combien de fois il y a 25 dans 163 ; Ie maitre precise, si besoin est, qu'on cherche aussi sil reste une longueur et combien de millimetres elle mesure puis il annonce que quand on cherche combien de fois il y a 25 dans 163 et combien il reste, on fait la division de 163 par 25 . On peut faire la division et verifier que l'on trouve ce qu'on aurait trouve avec Ie compas.

    2' phase (appelee Calcul et ecriture du resultat ) Au cours d'un debat collectif, les enfants trouvent qu'il y a 6 fois 25 dans 163 et quil reste 13. Le maitre ecrit 163 = (25 x 6) + 13 sous 163 + 25. Cette egalite est comparee a celle qui aurait ete ecrite avec Ie compas L = (1 x 6) + r, la valeur de rest discutee, on remarque que dans cette operation, contrairement aux autres operations, on trouve deux nombres, les terrnes de quotient et de reste sont introduits. D'autres exemples peuvent etre traites, L'encadre J'ai appris peut etre utilise a ce moment.

    3' phase (appelee Verification avec compas et double decimetre ) Le travail habituel est conduit avec Ie compas pour decouper Ie grand segment et Ie reste est mesure avec Ie double decimetre .

    4' phase (appelee Un autre probleme et d'autres divisions ) L'enseignant propose un probleme analogue au precedent avec un segment d'une autre longueur, par exemple L = 191 em et I =25 em. Apres avoir ecrit 191+ 25 au tableau Ie maitre demande Ie quotient q et Ie reste r. Les expressions utilisees precedemment sont reprises (on cherche combien de fois 25 dans 191 et combien il restera), Les eleves cherchent individuellement. L'ecriture 191 = (25 x 7) + 16justifie la reponse puis on verifie au compas et au metre au tableau, D'autres divisions par 25 sont proposees collectivement avec des cas particuliers, comrne un reste egal a 24 ou un quotient nul. Les deux premiers exercices du cadre B sont traites collectivement les autres individuellement.

    Presentation de I'organisation de la classe prevue par les auteurs, dans Ie livre du maitre correspondant, pour travailler sur la fiche 97. Le merne schema que dans la seance precedente est preconise : on annonce explicitement Ie but de la seance, que I'on va anticiper par Ie calcul et verifier avec Ie cornpas. Si I'erreur correspondant a un reste superieur au diviseur se produit, on peut avoir recours au problerne geornetrique pour expliquer ce qui se passe. Des divisions par 5 peuvent etre proposees en prolongement, (jusqu'a 12 x 5).

    ~ el [!!J La divisionest introduile dans son sens "dlvlslon-groupement" (Ia"dlvision-partage"sera abordeep.108). Le point de depart est un problems ~.c. __ .c. :_ ~' __'"_~..J~_ ~_~__~_ ,., . , .. . ..., . _.....~ H

  • ................................................

    Place aux maths ! , CM1, editions Bordas, 2004, fichier eleve

    Lee fractions (1)

    Je calcule

    .l=~ car 2 4

    Complete: 1 _........3=6=-=

    A. Lea, Lucie. Alex et Sami veulent mesurer 1alongueur de leur saut. Pour cela. ils ne disposent que de j'untte u. Sami a une bonne idee: il taut partager J'unite u.

    ,I Jl,---'--~-~-~------=J0 -a 3 ~

    ~ r .- -;;'r&I

    I , ,~~0 1- .- .. .. Que peux-tu dire de ~ et de *? de ~ et de ~? 1- (un tiers), ~ (deux tiers), ~ (trois quarts), sont des fractions. 3 3 4

    B. Sur du papier calque, reproduis les deux instruments de mesure que Sami a fabrlques, puis utillse-les pour mesurer, sur l'image, 18longueur des quatre sauts.F-f.~~-~-~.- r'";""~F-~:'-' I Compare ton tableau avec celur de tes camarades. Avez-vous taus indlque les mesures de la rneme tecon pour Ies sauts d'Alex et de Sarru ?

    c. Trouve d'autree nombres pour exprlmer la longueur des sauts de Lucie et de Lea. LUcie:i=2=S Lea:~=6

    b. Comment sont les fractions eqales a1 ? egales a2 ? .....................................................................

    62 - sobrante-deux

    - - Arithmetique : la division-fraction; les fractions (comparaisons, semmes): ,- ,,- la technique ecrite de fa division (2e etape}: la prcportlcnnalite. Gimmetrieet mesure : triangles; parallelcqremrnes quelconques et particuliers; aires. Tu vas apprendre une nouvelle division, celie au ron partage Ie reste. Probleme :7 verres de [us d'orange sont apartager entre 3 enfants.

    Quelle sera la part de chaque enfant?

    7 dMse par 3, c'este~ala 2 ... plus leresu T, dlvlse par 3.

    8 Problema: 12 barres de chocolat sent apartager entre 10 enfants. QueJlesera la part de chaque enfant?

    C'est 12 divise par 10.Ma;s att.!!ntion, Iaauss; ...\.

    1111111111114 tttttttttt ABC 0 E F G H I J

    l" 1/ ~ l~. >..,j 1 12 dM pa'10, ""logo'a,,.. plu. 1.....ttI 2,alvl.o pa'10.

    Onecrit _~ = 1 +2.10 10 i

    Et s'i/ faflait partager 24 barres de chaco/at entre 10 enfants? Ecris l'egalite correspondante. Et s'i/ fallait partager 123 barres de chaco/at entre 10 enfants? Ecrisl'eqellte correspondante.

    :~ o a g L'eerhur" 7f3 de"gn" a la f"i~ 101 diVISIon de 7 par 3 et Ia Iran'on .. 7 ners . 0" ser,,,,,,, argumMt, pla,d"nt "n r~\leur dun" lntmductlon

    Je m'exerce 1. Reproduis et complete.

    1 3 6 3" :3 3"

    2~ 1 !1--~--~--~'--~--8

    4 4 4

    2. A son deuxieme essal, LUCie fait un saut de d'unite.t Que lUI manque-t-H pour amver a l'urute 1 ?

    l u ?4 .

    ~~ ! i

    Complete.

    ~ *'..:.:.:.=1 ~+ ..::.:=1 .. *'.::..:.=1 1 + ... = 1 8 "2 4 3

    5 + ... = 2 7 + .., =2 ~ + ..:.:..:.=2 3 + ... -= 24 - 4 - 3 "2

    3. Reproduis et complete.

    8

    9 4 4 4 4 4 4 4 4 4

    8 2" 8 2" 8

    / 2" 8 2" 8 2"

    Parmi ces fractions, trcuve ceues qui sont plus grandes que 1, puis cefles qui sont plus petites que 1.

    8

    Caleuls proposes pat ecrlt au ubleau

    Une nouvelle division 1. Div;sio~ par 2 de n c 200 (voir p 11). 2. DiVIsions par 3, 4 ... dans d~ cas (ceux et de nouveaux nombres de la sq n" 55) oe q:c 10, 25, SO.100..

    Prcbleme : 13 tartelettes sent apartager equitabJement entre 4 perscnnes. Quefle sera /a part de chaque personne ?

    Dessine Jes tartelettes et effectue Ie partage. EcrisI'egalite correspond ante.

    G Cakute ces divisions-fractions. .ill. .a, .2 li 7024 2 10 6 100 103 1m. li mil 704125 3 8 5 1000

    " Problemes Remus ces problems, en indiquant si tu utilises la division avec reste au la division~fraction.

    1 .....On partage 7 brioches en 2 parts eqeles. 3 ..... On partage equttablement.ta pains au la entre 5 enfants.

    dans chaque part ? Combien de brioches y a-tMiI

    QuefJe sera la part d'un enfant?

    2 ..... On repartit equitablement 13 bules 4 ..... On partage equitablement 26 gaufrettes entre 4 enfants. entre 3 freres. Combien de'bmes aura chaque enfant? Combien de gaufrettes chacun aura+iI ?

    J'apprends les maths , CE2, edition Retz, 2001,

    fichier eleve

    "......,.,.. d" recri\ur" .. Ib dlln~ '" senl~" dWl1epar b_I...oi, P. 4 ~I S). D..s len" secuence. etJusqu" III"I n" 61. on nre dcne l"s .n'lut"~ 7f3. 12/10, "Ie..

  • 1

    Grer la rsolution des problmes, non pas seulement pour

    chercher, mais aussi et avant tout pour apprendre des

    mathmatiques

    Annie NOIRFALISE 1

    IREM de Clermont Ferrand et ICFP Auvergne Limousin

    A. Introduction

    Llaboration et la mise en uvre de travaux de formation initiale et continue de professeurs

    dcole2 ont t loccasion de rassembler les matriaux sur lesquels sappuie cet article.

    Les analyses faites dans cette perspective, sur lensemble des thmes abords lcole

    primaire, dextraits douvrages de collections varies, font apparatre des difficults

    rcurrentes, objet de notre propos, lies lutilisation de problmes pour apprendre ; en

    particulier de problmes pour la construction dune nouvelle connaissance .

    Ces analyses didactiques dextraits douvrages scolaires sont motives, dans le cadre des

    formations voques, par les faits suivants :

    - la grande majorit des professeurs dcole conduisent les tudes mathmatiques dans

    leur classe en ayant essentiellement recours aux lments dorganisation didactique

    donns dans un ouvrage scolaire, (livret lve et quelques fois livre matre

    correspondant) ; les charges considrables qui leur incombent les obligent limiter le

    temps de prparation dans chaque discipline tudie,

    - lanalyse de plusieurs de ces documents montre que nanmoins un travail important

    devrait tre fait avant la squence, par lenseignant, pendant la squence par

    lenseignant et les lves, et aprs la conduite de la squence, afin que les diffrentes

    1 Cette contribution a t rdige en collaboration avec Yves MATHERON, INRP, UMR-ADEF Marseille. 2 Lensemble des lments labors, constituant un programme complet de formation de professeurs dEcoles, est rassembl dans un ouvrage paratre MATHERON Yves et NOIRFALISE Annie, (2008).

  • 2

    tudes conduites par le collectif matre/lves en mathmatiques, sarticulent en un

    tout cohrent afin que cette cohrence, elle-mme, soit accessible aux lves.

    - ces analyses ne visent, en aucune faon, la dvalorisation du travail des auteurs

    douvrages qui sont, eux aussi, soumis des contraintes. Il sagit, au contraire, de

    proposer en formation des outils pouvant permettre aux professeurs dcole dutiliser

    quotidiennement, et de meilleure faon, les documents mis leur disposition par les

    auteurs.

    Les matriaux sur lesquels nous nous appuyons sont des analyses didactiques essentiellement

    conduites dans le cadre de la thorie anthropologique du didactique3. Pour les lecteurs non

    familiers de lusage de cette thorie, prcisons que dans cet article, nous nutilisons

    essentiellement, dans ce qui suit, quun nombre restreint des lments thoriques qui la

    constitue : ceux utiles la comprhension de notre propos.

    Prcisons tout dabord que, dans un tel cadre, un objet mathmatique nexiste jamais en soi.

    Si lon prend lexemple de la division euclidienne, parmi les diverses pratiques la mettant en

    jeu, on trouvera des dclarations que lon range sous la rubrique dfinition : on appelle

    division de lentier a par lentier b , dclaration qui est une activit consistant donner

    une dfinition. On pourra aussi calculer, dune faon ou dune autre, le reste et le quotient

    dun entier par un autre, tudier ou utiliser les proprits du reste et du quotient, etc. Mais on

    ne mettra jamais la main sur lobjet division euclidienne lui-mme. Tout seul il nexiste

    pas, mais il nexiste quinsr dans des activits : par exemple, dfinir, calculer, dterminer

    des proprits, etc., dont on a dcid quelles voquaient, plus ou moins directement, la

    division euclidienne. Ce que nous appelons division euclidienne est, en fait, lensemble de

    toutes ces pratiques dont on ne saurait, toutefois, dresser un rpertoire exhaustif.

    Poursuivant lexemple de la division euclidienne, tudier un objet mathmatique revient

    tudier un type de tches dont on donne dans ce qui suit quelques occurrences : dterminer le

    montant de chaque part ou le nombre de parts dans des situations de partage ou de distribution

    quitables, calculer le quotient et le reste de la division euclidienne dun nombre entier (dau

    plus 4 chiffres) par un nombre entier (dau plus 2 chiffres).

    3 Nous nous rfrons la thorie didactique dveloppe par Yves Chevallard et les didacticiens qui se rclament de cette approche. On pourra se reporter la bibliographie de rfrence (Chevallard 1998 & 1999, Matheron & Noirfalise 200X, Cirade 2006).

  • 3

    Ce type de tches peut tre accompli grce une ou plusieurs techniques ce terme signifiant

    tymologiquement qui concerne un art . Il sagit, dans notre exemple et plus

    prosaquement, dune manire de faire : par un calcul pos, un partage effectif, un

    encadrement entre deux multiples conscutifs du diviseur, etc. Une technique rpond la

    question Comment accomplir les tches de ce type ? On sait historiquement que depuis les

    Grecs, et en rupture avec les mathmatiques dveloppes par les Babyloniens et les Egyptiens,

    se limiter lusage de techniques permettant de rsoudre certains problmes nest plus

    considr, en Occident tout dabord puis au niveau international, comme une pratique

    mathmatique qui se suffirait elle-mme. Dans lhistoire de lhumanit, les mathmatiques

    ne sont pas regardes, depuis plus de 2000 ans, comme une pratique qui consisterait

    appliquer des recettes , mais comme un savoir fond en raison.

    Aussi, les techniques mathmatiques peuvent-elles tre dcrites, et leur adquation

    laccomplissement dun type de tches donn peut-elle tre justifie par un discours, que lon

    nomme technologique en recourrant pour cela ltymologie de ce terme constitu laide de

    logos qui signifie parole ou raison ; la technologie dsigne ainsi le discours

    raisonn tenu sur la technique. A son tour, la technologie dune technique peut tre justifie

    dans le cadre dune thorie mathmatique. Ce dernier terme, emprunt un verbe grec qui

    signifiait observer, contempler , a pris en latin le sens de spculation ou de recherche

    spculative . Llment thorique peut tre de nature mathmatique ou relever du recours au

    bon sens, lordre des choses qui se font. Lensemble des quatre lments constitu dun type

    de tches, dune technique permettant de laccomplir, dune technologie associe la

    technique, et dune thorie, dfinit une organisation praxologique. Pour un type de tches

    donn, une telle organisation dpend videmment de linstitution dans laquelle on laccomplit

    et o une praxologie peut tre partiellement incomplte. Dans le vaste champ des

    praxologies de toutes natures, nous ne nous intressons pour cet article quaux praxologies

    de deux types. Les praxologies mathmatiques, soit ce que lon nomme des organisations

    mathmatiques, telles quelles se prsentent lissue du processus de transposition didactique,

    ainsi que les praxologies qui permettent de les mettre en place dans les classes, de les faire

    rencontrer et tudier par les lves, soit ce que lon nomme des organisations didactiques.

    Pour chaque squence tudie, notre travail danalyse consiste essentiellement se poser les

    questions suivantes : quelle est lorganisation mathmatique dont ltude est vise et comment

  • 4

    cette tude est-elle conduite, autrement dit quelle est lorganisation didactique propose par

    les auteurs de louvrage ? En particulier, en quoi les activits proposes permettent-elles de

    faire avancer ltude de lorganisation mathmatique vise ?

    Afin de prciser notre propos, nous donnons dans un premier temps un extrait dun tel travail,

    puis nous prcisons les phnomnes rcurrents relevs en les illustrant dautres exemples

    voqus plus succinctement.

    B. Enseignements tirs de quelques extraits danalyses didactiques

    I. Analyse dune squence sur lintroduction du produit de deux entiers :

    Nous travaillons sur la squence 66 extraite de louvrage Pour comprendre les

    mathmatiques , CE1, dition Hachette, 2002, fichier lve et guide pdagogique.

    Voir documents de rfrence en ANNEXE 1 (nous utilisons tout dabord la prsentation du

    guide pdagogique)

    I. 1. Quel(s) objet(s) dtude ?

    La squence tudie est intitule : Le produit de deux nombres ,

    Les objectifs annoncs sont : Construire le concept de produit. Ecrire un produit sous la

    forme a b et trouver sa valeur

    I. 1. a) la lecture de cet intitul, il sagit entre autres de trouver la valeur du produit de deux

    nombres. Une des questions propose ltude, mais non la premire, est donc la suivante :

    comment dterminer la valeur du produit de deux nombres entiers ? . Nous la noterons Q

    1, et son tude concerne la construction dune organisation mathmatique qui peut se dcrire a

    priori ainsi :

    - type de tches : trouver la valeur produit de a et b, o a et b sont deux entiers

    quelconques donns,

    - techniques possibles : des techniques porte limite du type je fais a tas de b jetons

    et je dnombre la collection obtenue par runion de tous les tas , ou encore je fais

  • 5

    un quadrillage de a lignes et b colonnes et je dnombre les cases , vers une technique

    de multiplication pose, en passant par le recours des additions ritres et lusage

    dune calculatrice,

    - lments technologiques et thoriques : ils dpendent de la technique utilise et de

    linstitution dans laquelle saccomplit ce travail.

    I. 1. b) cette tude sen adjoint au moins une seconde, voque en premier lieu, et la

    question laquelle elle rpond, ncessite dtre prcise. Il sagit, disent les auteurs de

    louvrage, de construire le concept de produit , donc, daprs la dfinition du mot

    concept donne par le Larousse, duvrer dfinir les caractres spcifiques de lobjet

    produit . Que peut-on entendre par l ? Comme on la dit plus haut, un objet

    mathmatique nexiste quinsr dans une pratique, on ne rencontre jamais lobjet produit

    de deux entiers , on peut rencontrer une criture dun produit, (4 7), par exemple comme

    compte rendu4 dactions produisant lorganisation dune collection en lignes et colonnes

    rgulires, loccasion du calcul dun produit, avec une calculatrice ou tout autre technique,

    loccasion de la rsolution dun problme o on se pose une question laquelle le calcul dun

    produit permet de rpondre ; soit ce que lon nomme une situation multiplicative.

    Dans leur ouvrage, les auteurs prcisent quils se proposent dintroduire le concept de

    produit partir de la rsolution dun problme. Le produit est alors le nom et lcriture qui

    expriment la solution de ce problme . On peut donc comprendre quon commence ici

    dfinir les caractres spcifiques des problmes qui se rsolvent avec un produit et peut-

    tre mme rpondre la question : comment reconnatre quune exprience matrielle

    pourra donner lieu un compte rendu multiplicatif ? , que nous noterons Q 2. Lorganisation

    praxologique construire pour rpondre cette seconde question nest pas simple dcrire.

    A partir des lments trouvs dans louvrage de rfrence, lorganisation qui sbauche alors

    semble tre la suivante :

    4En rfrence une terminologie utilise par H. Lebesgue propos des nombres et cite par A. Mercier : Le mathmaticien Henri Lebesgue (1935, rdition 1975), qui disait aux futurs professeurs que un nombre est le compte-rendu complet de laction qui le produit [...] le reste est mtaphysique dclarait en conclusion de son cours sur La mesure des grandeurs que ltude des mathmatiques lmentaires tait essentielle pour leur enseignement : cette tude permettait par exemple de comprendre quun nombre est le rsultat dune exprience particulire sur une grandeur. Il travaillait pour que, peut-tre, les professeurs au fait de ce quest la mesure des grandeurs envisagent leur enseignement sur les systmes de nombres comme portant sur les manires de produire des mesures par un algorithme vrifi ou des dispositifs valids, selon les cas, et den rendre compte par un nombre, que lon considrerait alors comme le compte-rendu dune exprience de mesure. . Pour notre part, nous parlerons de compte rendu dactions ou dactivits.

  • 6

    - type de tches : pour une collection donne, dfinie ici en comprhension, dterminer

    sil est possible dcrire son cardinal sous la forme a b,

    - technique : dterminer deux caractres permettant de qualifier tous les objets de la

    collection ; dterminer toutes les valeurs possibles, pour chacun de ces deux

    caractres, prises par au moins un lment de la collection, a est le nombre de valeurs

    possible pour le premier caractre, b pour le second ; ranger les objets de la collection

    en un tableau double entre : dans une ligne donne, on range les objets ayant une

    mme valeur pour le premier caractre, ces objets tant ordonns dans chaque ligne en

    respectant une mme valeur, pour le second caractre dans une colonne donne ;

    vrifier si tous les lments de la collection sont rangs et si toutes les cases du tableau

    sont remplies,

    - lments technologiques : la description de la technique ; lorganisation de collections

    en tableaux de a ranges et b lignes compltes assure lexistence dune

    correspondance terme terme, par superposition des tableaux par exemple, et lgitime

    la mme criture pour le cardinal de toutes les collections constitues de tous les

    objets caractriss par deux variables, prenant respectivement a et b valeurs,

    reprsentes une fois et une seule ; pour des collections pour lesquelles a et b sont

    grands, cette criture permet de garder en mmoire une organisation possible de la

    collection, comme une empreinte numrique et spatiale de celle-ci,

    - thorie : produit cartsien en thorie des ensembles.

    Cette tude pralable permet donc denvisager au moins deux questions dont ltude

    dbuterait dans cette squence. Ces deux questions sont interdpendantes : pour que le

    collectif enseignant / lves puisse se lancer dans ltude de la dtermination du produit de

    deux nombres, il semblerait naturel davoir a priori, ou au moins rapidement en cours de

    travail, quelques prcisions sur les objets dont il est question, sur leur nature, sur lintrt de

    cette tude et son devenir. Les auteurs ayant fait le choix dintroduire le concept de produit

    partir de la rsolution dun problme , cela signifie que lon va sans doute dbuter le

    travail par un exemple dexprience matrielle pouvant donner lieu un compte rendu

    multiplicatif, mais en poursuivant le projet dinstruire une rponse la premire question :

    comment dterminer la valeur du produit de deux nombres entiers ?

    I. 2. Quels lments dorganisation didactique trouve-t-on voqus dans le guide

    pdagogique?

  • 7

    Notre travail consiste ici essentiellement examiner si les activits proposes permettent de

    faire avancer llaboration des praxologies dont la construction est vise, et ce qui pourrait

    optimiser ce travail.

    En formation, le reprage des diffrents moments de ltude et de la manire dont ils sont

    grs5 permet de sinterroger sur la place donner aux lves dans cette laboration, et

    dvaluer les places accordes dune part lostension et, dautre part, la collaboration

    attendue de la classe. Pour ne pas surcharger cette prsentation, nous ne proposons dans ces

    lignes quune analyse incomplte de lorganisation didactique.

    Nous examinons lensemble des activits prvues par les auteurs, y compris celles dont on ne

    trouve pas trace dans le livret lve, ce qui suppose la prise de connaissance pralable du

    contenu du guide pdagogique correspondant la leon, (cf. ANNEXE 1).

    Durant la premire activit intitule les logos , une tche de dnombrement dune

    collection dobjets reprs par deux variables dont les valeurs possibles sont prcises, est

    confie aux lves :

    - aprs une premire prsentation des rsultats que lon attend divergents, lenseignant

    propose de noter le nombre inconnu de logos 4 5 ou 5 4 au choix , puis de

    poursuivre le travail de dtermination des lments de la collection laide dune

    technique dnumration recourrant lusage dun tableau double entre. Il justifie

    ainsi sa proposition : le tableau double entre est un bon outil pour trouver tous

    les logos sans oubli et sans rptition . On ignore comment les symboles 4 5 et

    5 4 sont introduits. Comment sont-ils motivs ? Quelle place occupent-ils dans

    lactivit dnumration en cours, dans le dnombrement vis ? Comment

    lquivalence de ces deux symboles est-elle justifie ? Toutes ces questions

    demeurent sans rponse, car elles semblent procder dun allant de soi non

    questionnable. On peut relever que leur introduction prcde le recours au tableau

    rectangulaire. Lnumration exacte des lments de la collection nest pas encore

    ralise. Rien ne permet en ce point de justifier une telle notation. Les auteurs crivent

    simplement : Il y a 4 formes