Composants d’un rotor • Formulation du problème ...solar.energy.cours.free.fr/doc cours ing/dynamique/rotor.pdf · Dynamique des structures (J.P. Laîné) Introduction à la

Dynamique des structures (J.P. Laîné)

Introduction à la dynamique des rotors

• Composants d’un rotor

• Formulation du problème

• Principales phénoménologies

• Résolution du problème aux valeurs propres

• Rigidification centrifuge

• exemples


Composant d’un rotor

arbre

disquepalier

Arbre:

Disques:

• rigide • flexible

rigide déformable

-flexibilité isotrope-flexibilité anisotrope

paliers: • rigide • flexible -flexibilité isotrope

-flexibilité anisotrope

-symétrie de révolution-symétrie cyclique

-dissipatifs-non-dissipatifs


Pièces en rotation


Imperfection, déséquilibre

G e

ε

e: déséquilibre statiqueε: déséquilibre dynamique


Mise en équation

2 repères possibles peuvent être utilisés :Z

X

YΩt

x

y

z

Lorsque les parties tournantes sont essentiellement axisymétriquesl’utilisation de ce repère permet une modélisation simple de rotordont les paliers présente une rigidité anisotrope

La rotation uniforme autour de l'axe du rotor

est considéré comme le mouvement de corps

rigide auquel se superposeront des pet

Le repère t

its

mouvements

xyz

(c

ournant

f. chap I)

.

•

Le repère fixe XYZ•

y zk k≠


I-5 Application à la dynamique d’un solidedéformable

•Rm repère lié ausolide en mouvementconfondu avec Rgdans la position deréférence (non déformé)

• x vecteur position de M (solide non déformé) dans Rm

• u vecteur déplacement de M/Rm dans Rm

• v vecteur position de M (solide déformé) dans Rm

• s vecteur déplacement de O ’/Rg dans Rg

• y vecteur position de M/Rg dans Rg

O

O'

(S)

Rg: repère galiléen

Rm : repère mobile

s

x

x

uv

y


I-5-1 Cinématique

t t 1

t t

R : matrice rotation dont les colonnes sont les cosinus directeurs

des vecteurs de base de Rm exprimés dans Rg; R R I ; R R

y s R(x u) : vecteur déplacement absolu dans Rg

R y R s (x u)

−

⋅

= =⋅ = + +

⋅ = + +

1

2

3

3 2

3 1

2 1

: vecteur déplacement absolu dans Rm

: vecteur vitesse de rotation Rm/Rg exprimé dans Rm;

0

: matrice vitesse de rotation associée au vecteur ; 0

0

ω ⋅ω ω = ω ω −ω ω

⋅Ω ω Ω = ω −ω −ω ω

R R : dérivée de la matrice de changement de base

y Ru s R (x u) : vitesse absolue exprimée dans Rg

⋅ = Ω⋅ = + + Ω +


I-5-2 Contraintes, déformations

1

2

3

3 2

3 1

2 1

: vecteur associé au teneur des contraintes de Cauchy

: vecteur associé au tenseur des déformations ; u

: opérateur différentiel ;

/ x 0 0

0 / x 0

0 0 / x

0 / x / x

/ x 0 / x

/ x / x 0

⋅σ⋅ε ε = ∇⋅∇

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∇ =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

: vecteur taux de déformation; u

Loi généralisée de hooke (viscoélasticité linéaire): A( )

A : matrice des coefficients élastiques; : coefficient d'amortissement visq

⋅ε ε = ∇

⋅ σ = ε + ηε⋅ η ueux


I-5-3 Formulations énergétique

t

V

t t t 2 t t

V V V V

t t t t t 2

V V

Expression de l'énergie cinétique :

1Ec y y dV

2

1 1Ec u u u u u u u (R s x)

2 2

1 u (R s x) (s s 2s R x-x x)

2

⋅

= ρ

= ρ + ρ Ω + ρ Ω − ρ Ω +Ω

+ ρ +Ω + ρ + Ω Ω

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

u.A.)u(2

1 .A.

2

1Ep

ndéformatio de epotentiell energiel' de Expression

V

t

V

t ∇∇=εε=

⋅

∫∫


Rm dans expriméeset t fSf frontière lasur surface de forces t ; volumede forces : f

fufxRfs()fufxRfs( tRyRfyWext

données forces des du travail Expression

Sf

ttt

V

ttt

Sf

t

V

t ∫∫∫∫ +++++=+=

⋅

uA)u(2

1Fd

:ndissipatio deFonction

t

V

∇∇η=

⋅

∫

Formulation énergétique (suite)


I-5-4 Équations du mouvement discrétisées

données forcesecteur v tfF

entamortissemd' matrice AGG C

raideur de matrice G ; AGGK

inertiesd' forces vecteur )xxsR(-r

angulaireon accélératid'tion rigidifica de matrice G2

1P

centrifugetion rigidifica de matrice N

uegyroscopiq matrice 2G

masse de matrice M

FrN)P(KG)C(M:ematriciell forme sousécrivent s' Lagrange de équations Les

û :ncrétisatioDis

SF

t

V

t

t

t

2tt

t

2t

t

t

∫∫∫∫∫∫∫∫∫

φ+φ=

η=

φ∇==

Ω+Ω+ρφ=

=φΩρφ=

φΩρφ=

φΩρφ=

φρφ=

+=Λ+++Λ++Λ

Λφ=⋅


Formulation dans le repère tournant

e

e

Matrice de raideur: ; Matrice d'amortissement:

Matrice de masse: Matrice gyroscopique: G

Matrice de rigidité centrifuge:

Force d'inertie éléme

t te e

t te

t 2

K G AG C G AG

M N N; 2 N N

N N N;

η

ρ ρ

ρ

= =

= = Ω

= Ω

∫ ∫∫ ∫

∫ntaire:

Vecteur force ( f: densité volumique, t:densité surfacique):

t 2e

t te

SF

r N x

F N f N t

ρ= − Ω

= +

∫∫ ∫

AGUˆ ; GUˆ ; NUu =σ=ε=

C’est un cas particulier du solide en grand déplacement de corps rigide et petitesdéformations (cf chap 1-5 et chap 2-3).Le repère est lié au solide idéal indéformable entraîné dans un mouvement de rotationuniforme d’axe fixe.Le vecteur u représente le déplacement d’un point matériel dans ce repère.

U: vecteurs des déplacement nodaux; N: matrice des fonctions d’interpolation nodale approximation interpolée du champ de déplacement uu :


Principales phénoménologies

Vibrations libres:Fréquences propres fonctions de la vitesse de rotation

Vitesses critiques:Résonances: 1 fréquence propre est un multiple de lavitesse de rotation

Instabilités:Le mouvement est instable pour certaines plages devitesse de rotation


Vibrations libres

Evolution des fréquences propres en fonction de la vitesse de rotation (diagrammes de Campbell)

•Effet gyroscopique

•Effet de rigidification due à la précontrainte centrifuge

•Effet de spin-softning

( ) ( )lin géom _MU C U K K N UG 0Ω ΩΩ+ + + + + =

( ) ( )lin géom _MU C G U K N U 0K ΩΩΩ+ + + + + =

( ) ( )lin géom _MU C G U K K U 0NΩΩ Ω+ + + + + =

Dédoublement des pulsations propres d’ordre multiple


Vitesses critiquesRésonances dues aux harmoniques de la vitesse

de rotation, diagramme de CampbellLes fréquences d’excitation sont souvent liées à la vitesse de rotation Ωou à un de ses multiples

•déséquilibre statiqueou dynamique durotor (balourd)•couple moteur nonconstant•sillageaérodynamique(turbines,compresseurs)


Instabilité

•Spin-softning: la matrice K+N n’est pas toujours définie positive

•Arbre asymétrique (excitation paramétrique)

•Dissipation associées aux parties en rotation

•...


modes propres d ’un système gyroscopiqueconservatif

( )lin géom _

K

MU G U K K N U 0 (1)Ω Ω Ω+ + + + =

L’équation (1) est écrite sous forme d ’équation d ’état:

A B

U K 0 0 KW ; W W 0

U 0 M K G

− = + =

A: matrice symétriqueB: matrice antisymétrique

Ket M : matrices symétriquesG : matrice antisymétrique


Propriétés des modes propres d’un systèmegyroscopique conservatif

t

tt

t

t

t

t

t

soit une solution du type W=Xe

2n valeurs propres et vecteurs propres conjugués 2 à 2

X BXen prémultipliant (1) par X (transconjugué de X) =-

X AX

X BXˆde m

A X+BX=0 (

eme =-X AX

X BXor

1

-X A

)

λ

λ ⇒

λ

λ

( )tt t t t

t t

t t t t

i i i

i

les valeurs propres sont imaginaires pu

X BX X B X X BX- = B B;A A

X X AX X A X X AX

=-

si i est une valeur propre associée au vecteur

res

X

( i ) est une valeur

:

= = − = − =

⇒ λ λλ = ω

− ω i

tk k

t tk j k j

propre associée au vecteur X

On peut normer les vecteurs propres par rapport à la matrice A: X AX 1

les vecteurs propres sont orthogonaux au sens des produits scalaires X AX et X BX

=


Vibrations libres

k

k

(la solution temporelle est réelle)

conditions initiales de déplacement et de vitesse

= +

=

=

=

∑ ∑k kt tk k k k

k k

k

0

tk 0

W(t) X e X e

i

W(0) W

(0) X AW

λ λα α

λ ω

α

X

YZ

k

k

O

A

ψ

t=0


modes propres d ’un système gyroscopiquenon-conservatif

( ) ( )lin géom

K

MU C G U K K N U 0 (1)+ + + + + =

L’équation (1) est écrite sous forme d ’équation d ’état:

A B

U K 0 0 KW ; W W 0

U 0 M K C G

− = + = +

Ket M et C: matrices symétriquesG : matrice antisymétrique


Propriétés des modes propres d ’un systèmegyroscopique non-conservatif

t

i

t t

i

soit W=Xe

solution: 2n solution , X 2 à 2 conjuguées

les valeurs propres de (1) vérifient: det(A B) 0

soit le problème aux Valeurs propres assoc

A

ié:

les valeurs

X+BX=0 (1)

A Y+B Y=0

propr

(2)

λ

λ

µ

•

λ + =•

λ

t

t tj i j

t t

i

i

i

Y est dit vecteur propre gauche de (

es de (2) vérifient: det(A B ) det(A B

(2) peut aussi s'écrire Y (A B) 0

Bi-orthogonalité:

Y AX Y BX 0 pour i j

en normant les vecteur

) 0

s prop

1

r

)

⇒ λ = µµ + =

λ + =

•

= ≠

µ

⇒

=

+ =

ti i

t tj i ij j i ij i

es tel que Y AX 1

Y AX Y BX

=

= δ = −δ λ


Effet des précontraintes ‘statiques’

•Rappel: (1) (2)ij ij

j m miij

j i i j

i

i

Les déformations sont infinitésimales:

1 pour i=1,2,3

uu1 u u

2 x x x x

-u

x

= +

<<

∂∂ ∂ ∂ε = + + ε ε∂ ∂ ∂ ∂

∂∂

Mesure des déformations : tenseur de Green

Hypothèses de linéarité :

(1)ij

i

j

jiij

j i

-Les rotations sont de faible amplitude:

1 pour i j

d'où l'expression du tenseur des déformations:

ux

uu1

2 x x

<< ≠

=

∂∂

∂∂ε = + ε∂ ∂

linéaire


Effet des précontraintes ‘statiques’

•Etat non déformé

V0 V* V(t)

0 0ij ij , ε σ * *

ij ij , ε σ

*iu

•Etat précontraint •Déformation autourde l’état précontraint

0 * 0 *ij ij ij ij ij ij + , ε = ε ε σ = σ +σ

•Si on ne retient que les termes quadratique dans la variation de l’énergie potentiellede déformation, il apparaît un terme supplémentaire du à la partie non-linéaire dutenseur des déformation:

( )* *(1) 0 *(2)ij ij ij ij(Ep)δ = δ σ ε + σ ε∫ ∫

0 *(2)ij ij : Energie potentielle

de précontrainte (géométrique)

σ ε∫


Matrice de rigidité géométrique

•Discrétisation de l’énergie interne de précontrainte:

En ordonnant le vecteurs des déplacement nodaux sous la forme:

Ut=[U1 U2 …Un V1 V2 …Vn W1 W2 …Wn]

La matrice de raideur géométrique s’écrit:

t 0

V

1 2 n

0 0 0xx xy yz

0 0 01 2 nyy yz

0zz

1 2 n

kg 0 0

Kg 0 kg 0 avec kg= H H dV

0 0 kg

N N N

x x xN N N

H et y y y

symN N N

z z z

= σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ σ σ σ ∂ ∂ ∂ = σ = σ σ ∂ ∂ ∂ σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫


Phénoménologies associées aux précontraintes

•L’effet d’une précontrainte statique est particulièrement important dans lecas de structures minces (aubes de compresseur, de ventilateur) :

• poutre avec chargement axial (effort normal élevé)

•Coques avec chargement dans leurs plans (contraintes membranairesélevées)

•Des contraintes positives (traction) accroissent la rigidité transverseet les fréquences propres associées (flexion)

•Des contraintes négatives (compression) diminuent la rigiditétransverse et peuvent provoquer une instabilité de flambement.


Exemple1

Une poutre de longueur L est encastrée perpendiculairementsur un disque rigide à une distance d de l’axe.La poutre a une section circulaire de surface S et d’inertie I

d L

Ω

X

Y

x

Ωt

y

O

U(t) et V(t) sont les déplacements de l’extrémité libre de lapoutre dans le repère tournant oxyzLes déplacements u(z,t) , et v(z,t) d’un point de la fibremoyenne s’expriment à l’aide de la fonction d’interpolationN(z)=z2/L2:u=U.N(z)v=V.N(z)

( ) ( )( ) L 22

0

1Ec S u v v d u dz

2ρ= −Ω + + + Ω∫

[ ]

N

u N 0 0 1 0U

v 0 N ; 1 0 0V

w 0 0 0 0 0

− = = Ω

Ω


Equation du mouvement (repère tournant)

L Lt t

0 0

tL

2 2 30

L Lt 2 2 t 2 2

0 0

L 5 0 0 L 5M SN Ndz S ; G 2 SN Ndz 2 S

0 L 5 L 5 0

4 0N N EIK EI dz ; C= K

0 4z z L

dL 5 0 L 3

N SN Ndz S ; r SN 0 dz Sd0 L 5 0

z

ρ ρ ρ ρ

η

ρ ρ ρ ρ

− = = = = Ω

∂ ∂ = = ∂ ∂

= = −Ω = − = Ω

Ω

Ω Ω

∫ ∫

∫

∫ ∫

( )2 2 2 20 0

1 0 0 1 1 0 1 0 U 5 3U U2 d

0 1 1 0 0 1 0 1 V 0V Vηω ω

− + Ω + + −Ω = Ω

( )2

2 20

déplacement 'statique' du aux forces centrifuges:

5Us= d ;Vs 0

3 ωΩ

=−Ω


Valeurs propres propres

λ1

λ2

λ3

λ4

λ1,λ4

λ2,λ3 instable

Résonance pour une excitation dontla fréquence est égale à la vitesse de

rotation

Limite de stabilité:la partie réelle d’uneou plusieurs valeurs propres devientpositive

Parties imaginaires

Parties réelles

t0

U

VW ; W=W e

U

V

λ

=

Ω/ω0


Formulation dans un repère fixe

Hypothèses:

- Les parties tournantes sont symétriques de révolution(sauf petit déséquilibtre de type balourd)

- Une section droite du rotor est supposée indéformable(arbre ou disque)

-Les supports fixes peuvent être anisotropes(paliers à raideur anisotrope)


Exemple

X

YZ

ky

kz

O

A

Arbre + disque rigideO: articulationA: palier souple

Arbre: longueur L; masse mDisque: rayon R; masse M

1 1 1

1 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2 3 3 3

rotations :

autour de Z : OXYZ Ox y z

autour de y : Ox y z Ox y z

autour de x : Ox y z Ox y z

Ψ →θ →ϕ →

ψ


Formulation énergétique

2 2 2

2

1 1

2 2 22

2 2Ox y z

Matrice d'inertie du rotor:

MRJ 0 0 J2I 0 J 0 ;

MR ml0 0 J J Ml

4 3

= = = + +

2 2 2

r 1 2 r

Ox y z

sin

Z y x = ;

cos

ϕ−ψ θ Ω = ψ + θ +ϕ → Ω θ ϕ = Ω ψ θ

( )2 2 2 22

Energie cinétique :

1Ec J a sin cos

2 = Ω −ψ θ + θ +ψ θ

( )2 2y y z z

y z

Energie potentielle :

1Ep k u k u ;

2u lsin ; u l cos sin

= +

= ψ = ψ θ


Equations du mouvement

y z

2 2 22

2 2 2 2 2 2y z z

pour et petits : u l ; u l

1Ec J a 2a

21 1

Ep l k k k l2 2

+

ψ θ = ψ = θ

= Ω − Ωψθ+ θ ψ

= ψ + θ = µψ + θ

22 2 z

Equations de Lagrange :

1 0 0 1 0J J a k l 0

0 1 1 0 0 1

ψ − ψ µ ψ + Ω + = θ − θ θ

( ) ( )

2i t 2 z

0 02

2 2 2 2 2 2 20 0

k lsolution : en posant V e et

J

les pulsations propres sont solutions de :

a 0

ωψ = ω = θ

ω

ω −ω µω −ω − ω Ω =


Campbell


Vibrations libres

ψ

θ

y z0

k k ; 0.8; C.I.: =1 =0 =0 =0Ω = = ψ θ ψ θ ω


Excitation par balourd

r

mb

Faible balourd:mbr2 petitr/l petit

( )2 2

2 2 2balourd b 2

2 22 2 z b

Energie cinétique:

1 r 2rEc m l sin t cos t

2 l l

Equation du mouvement :

1 0 0 1 0 cos tJ J a k l m rl

0 1 1 0 0 1 sin t

Ω Ω= ψ + θ + − ψ Ω + θ Ω

ψ − ψ µ ψ Ω + Ω + = Ω θ − θ θ − Ω


Solution du problème stationnaire (balourd)

|uz|/u0 |uy|/u0

|uz|=|uy|

Rotor à palier non-symétrique:(ky=kz)2 vitesses critiques

2b

2

m lu0 r.

J=

Rotor à palier symétrique:(ky=kz)1 seule vitesse critique


20

2 20

Equations dans le repère fixe :

1 0 0 1 1 0a 0

0 1 1 0 0 1

Equations dans le repère tournant:

1 0 0 2 a (1 a) 0

0 1 (2 a) 0 0

ψ − ψ ψ + Ω +ω = θ θ θ

ψ − ψ ω − − Ω +Ω + θ − − θ ω

2 20

0(1 a)

ψ = θ− − Ω

Repère fixe / repère tournant


Modèle arbre + disques rigidesmodèle élément fini

Modélisation d’un disque rigide

Z

X

Y

w

v

ψ

θ 1 nœud, 4 ddl (en flexion): v,w,ψ,θ

( ) ( )2 2 2 2 22 1

1 2

1 1 1Ec Md(v w ) J J 2

2 2 2J Jxx ; J Jzz Jyy

= + + θ +ψ + Ω − Ωψθ

= = =

2 1

2 1

Md 0 0 0 0 0 0 0

0 Md 0 0 0 0 0 0M ; G

0 0 J 0 0 0 0 J

0 0 0 J 0 0 J 0

= = −


Elément arbre

ZX

Y

v1

w1

ψ1

θ1

v2

w2

ψ2

θ2

2 nœuds ; 4 ddl par noeud

t1 1 2 2

t1 1 2 2

2 3 2 3 2 3 2 3

2 3 2 2 3 2

v(x) Nv.V; V=[v v ]

w(x) Nw.W; V=[w w ]

x x x x x x x xNv Nw 1 3 2 -x+2 3 2

l ll l l l l l

= ψ ψ

= θ θ

= = − + − − −


Formulation matricielle

− − − − − =

−

2 2

2 2

2

2

156 0 0 22L 54 0 0 13L

156 22L 0 0 54 13L 0

4L 0 0 13L 3L 0

4L 13L 0 0 3LSLM

420 156 0 0 22L

sym 156 22L 0

4L 0

4L

ρ

Lt t t t

v v w w

0

L t tt tv v w w

zz

0

L tt 2v w

xx xx

0

1Ec S V N N V W N N W dx

2

dN dN dN dN1 + I V V W W dx

2 dx dx dx dx

dN dN 1 - I V W dx I

dx dx 2

= ρ +

ρ +

ρ Ω + ρ Ω

∫

∫

∫

− − − − − − − − − − = − − −

2 2

2zz

2

0 36 3L 0 0 36 3L 0

0 0 3L 36 0 0 3L

0 4L 3L 0 0 L

0 0 3L L 0IG

30L anti 0 36 3L 0

sym 0 0 3L

0 4L

0

ρ

Matrice de raideur poutre en flexion classique inchangée


balourd

Pour un faible balourd situé sur l’axe OY à t=0:

( )2 2 2 2balourd b

1Ec m v w r 2r vsin t w cos t

2 = + + Ω + Ω − Ω + Ω

L’application des équations de Lagrange fait apparaîtreune masse locale au nœud (souvent négligée) et unvecteur force dans les direction Y et Z.Reporté dans le second membre les composantes sont:

2y b

2z b

F m r.cos t

F m r.sin t

= Ω Ω

= Ω Ω

r

mb

r

mb

Y

Z

αPour un faible balourd situé à un angle a par rapport àl’axe OY à t = 0:

( )( )

2y b

2z b

F m r.cos t

F m r.sin t

α

α

= Ω Ω +

= Ω Ω +

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